江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高三上学期阶段检测一数学试题（含解析）

这是一份江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高三上学期阶段检测一数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省镇江市扬中市第二高级中学2023-2024学年高三上学期阶段检测一数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．若函数的定义域为，则的定义域为（     ）
A． B．
C． D．
2．已知幂函数在上是减函数，则的值为（    ）
A．3 B． C．1 D．
3．设a是函数的零点，若，则的值满足（    ）
A． B． C． D．以上都有可能
4．若函数在区间上为减函数，则的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
5．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）
A．－4 B．4 C．5 D．8
6．函数，若有个零点，则的取值范围是（     ）
A． B．
C． D．
7．已知函数的定义域为,为偶函数，且对，满足.若，则不等式的解集为
A． B．
C． D．
8．已知函数，若对任意的实数x，恒有成立，则实数a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．设，，，，则（    ）
A． B．
C．随着的增大而减小 D．随着的增大而减小
10．下列说法正确的是（    ）
A．函数的单调增区间为
B．函数为奇函数
C．幂函数是减函数
D．图像关于点成中心对称
11．设，则下列不等式中一定成立的是（    ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，若 ，则下列结论正确的是
A．
B．
C．
D．当时，

三、填空题
13．命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 .
14．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
①；②当时，；③是奇函数．
15．已知正数、满足，则的最小值为 .
16．当直线与曲线的图象相切时，的最小值为 .

四、解答题
17．已知函数，.
（1）设集合，求集合A；
（2）当时，求的最大值和最小值.
18．已知函数是定义在上的奇函数,且．
(1)确定函数的解析式;
(2)当时,判断函数的单调性,并证明;
(3)解不等式．
19．已知，.
（1）若，求的最小值及此时，的值；
（2）若，求的最小值及此时，的值；
（3）若，求的最小值及此时，的值.
20．设函数.
（1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围；
（2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围；
（3）解关于的不等式：.
21．已知函数.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若，且，都有成立，求实数的取值范围．
22．已知函数，，其中是自然对数的底数．
（1）若函数的极大值为，求实数的值；
（2）设函数，若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

参考答案：
1．C
【分析】利用抽象函数定义域的求解原则可求出函数的定义域，对于函数，可列出关于的不等式组，由此可得出函数的定义域.
【详解】因为函数的定义域为，则，可得，
所以，函数的定义域为，
对于函数，则有，解得，
因此，函数的定义域为.
故选：C.
2．C
【分析】先根据是幂函数，由求得，再根据函数在上是减函数，确定的值求解.
【详解】由函数为幂函数知，
，解得或.
∵在上是减函数，而当时，，在是增函数，不符合题意，
当时，，符合题意，
∴，，
∴.
故选：C.
3．C
【解析】先判断出函数的单调性，根据单调性可得的符号，从而得到正确的选项.
【详解】因为为增函数，为减函数，
故为上的增函数，故，
故选：C.
4．B
【分析】对参数进行分类讨论，当为二次函数时，只需考虑对称轴和区间的位置关系即可.
【详解】当时，，满足题意；
当时，要满足题意，只需，且，
解得.
综上所述：.
故选：B.
【点睛】本题考查由函数的单调区间，求参数范围的问题，属基础题.
5．C
【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值.
【详解】由的解集为，
则，且，是方程的两根，
由根与系数的关系知，
解得，，当且仅当时等号成立，
故， 设，
函数在上单调递增，
所以
所以的最小值为5.
故选：C
6．D
【分析】由可得出或，数形结合可知直线与函数的图象有两个交点，从而可知直线与函数有两个零点，结合图形可得出实数的取值范围.
【详解】由，可得，
解得或，如下图所示：
  
由图可知，直线与函数的图象有两个交点，
又因为函数有四个零点，故直线与函数有两个零点，且，
所以，且，
因此，实数的取值范围是.
故选：D.
7．A
【分析】由已知对,满足，可以判断函数当时，是单调递减函数，由为偶函数,可以判断出函数关于对称，这样可以知道函数当时，是增函数，这样可以根据与1的大小关系，进行分类讨论，求出不等式的解集.
【详解】因为对,满足，所以当时，是单调递减函数，又因为为偶函数，所以关于对称，所以函数当时，是增函数，又因为，所以有，
当时，即当时，

当时，即当时，
，综上所述：不等式的解集为，故本题选A.
【点睛】本题考查了抽象函数的单调性、对称性、分类讨论思想.对于来说，设定义域为,若,,
若，则是上的增函数，
若，则是上的减函数；
8．C
【分析】首先令，然后判断的奇偶性和单调性，然后将原不等式转化为，再利用的奇偶性和单调性得对于任意的实数恒成立，最后解二次函数恒成立问题即可.
【详解】令，
由于，
所以得为奇函数.
又因为在上单调递减，所以在上单调递减.
已知对于任意的实数，恒有，
整理得：，
即，由于为奇函数，
得，由于在上单调递减，
得对于任意的实数恒成立，
即对于任意的实数恒成立.
当时，不恒成立，故，
当时，有，解得.
故选：C
9．ACD
【分析】由可得的大小关系，利用导数可证明，然后可得的大小关系，即可判断AB，，然后可判断C，，然后可判断D.
【详解】因为，所以，所以，即，
，
因为，当时，，
所以在上单调递增，所以，即，即，
所以，故A正确、B错误，
，所以当增大时，增大且，减小，即减小，故C正确，
，
因为当增大时，减小且，增大且，所以减小，即减小，故D正确，
故选：ACD
10．ABD
【分析】利用函数性质相关的定义以及复合函数的同增异减性质逐项分析.
【详解】对于A， ， 是减函数， 在 是减函数，
在 是增函数，根据复合函数同增异减的性质，在 时是增函数，正确；
对于B， ，是奇函数，正确；
对于C， ，当 时， 并且是减函数，
所以 是增函数，错误；
对于D， ，相当于函数 先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，
而 是关于原点对称的，所以 是关于 对称的，正确；
故选：ABD.
11．ACD
【分析】利用基本不等式及其变形求最值即可判断.
【详解】A选项：，当且仅当时，等号成立，故A正确；
B选项：，所以，当且仅当时，等号成立，故B错；
C选项：，当且仅当时，等号成立，故C正确；
D选项：，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确.
故选：ACD.
12．AD
【解析】根据条件分别构造不同的函数，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系逐项进行判断即可．
【详解】令，在(0，+∞)上是增函数，∴当时，，
∴ 即；故A正确；
令，，
时，，单调递增， 时，，单调递减．
与无法比较大小；故B错误；
因为令，，
时，，在单调递减，时，，在单调递增，
当时，，
， ，．
当时，，，
，；故C错误；
因为时，单调递增，又因为A正确，

故D正确；
故选：AD．
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，通过构造辅助函数，利用导数判断函数的单调性，是解题的关键，综合性较强，有一定的难度．
13．
【分析】分析可知命题“，”为真命题，分、两种情况讨论，结合已知条件可得出关于的不等式（组），综合可求得实数的取值范围.
【详解】由题意可知，命题“，”为真命题.
①当时，可得.
若，则有，合乎题意；
若，则有，解得，不合乎题意；
②若，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
14．（答案不唯一，均满足）
【分析】根据幂函数的性质可得所求的.
【详解】取，则，满足①，
，时有，满足②，
的定义域为，
又，故是奇函数，满足③.
故答案为：（答案不唯一，均满足）
15．
【分析】令，则，所以，令，由导数求得函数的最小值，从而求得的最小值.
【详解】令，则，
所以，令，由，解得.
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以的最小值为，又对正数、有，所以.
故答案为：.
16．
【分析】设出切点，求出切线方程，与已知切线方程对应系数相等，得到，，进而得到，构造函数，求最小值即可.
【详解】设切点为，
因为，所以，
所以切线的斜率，
则切线方程为，即，
所以，，
所以，
令，所以，
令，得，在单调递减；
令，得，在单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，即，
所以的最小值为，
故答案为：.
17．（1）；（2）最大值为，最小值为.
【解析】（1）由可得，利用指数函数的单调性求解指数不等式即可求得集合；
（2）把变形，再由的范围求得的范围，结合二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）由，
得，
即，则，
求得．
，；
（2）
．
，，，
当时，，
当时，．
故的最大值为，最小值为．
【点睛】关键点点睛：解答（1）的关键是求出，解答（2）的关键是先求出，再利用配方法求解.
18．(1)
(2)单调递增,证明见解析
(3)

【分析】(1)根据奇函数可得,结合代入可得的解析式;
(2)先判断单调性,根据单调性的定义证明,先取值,再做差,变形至几个因式的乘积,定号,最后写出结论即可.
(3)将移至右侧,根据奇函数,将不等式转化为,再根据(2)的结论转化为,再加上均在定义域内,即可求出不等式解集.
【详解】（1）解:由题意可知为奇函数,
,
即,,
∵,∴,
∴;
（2）当时,函数单调递增,
证明如下:
设为上的任意两个数,且,

,
,
,
,
故函数在上为增函数;
（3）,
,
为奇函数,
∴,
当时,函数单调递增,
,
,
不等式的解集为．
19．（1）当，时，取得最小值；（2）当，时，取得最小值；（3）当，时，取得最小值.
【分析】（1）根据配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式及取等条件可得结果；
（2）利用可得符合基本不等式的形式，利用基本不等式及取等条件可得结果；
（3）由已知等式得，根据，利用基本不等式及取等条件可得结果.
【详解】（1），，，
（当且仅当，即，时取等号），
当，时，取得最小值；
（2），
（当且仅当，即，时取等号），
当，时，取得最小值；
（3），，
（当且仅当，即，时取等号），
当，时，取得最小值.
20．(1)；(2)；(3)分类求解，答案见解析.
【分析】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可；
(2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答；
(3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答.
【详解】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解，
当时，有实数解，则，
当时，取，则成立，即有实数解，于是得，
当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得，
综上，，
所以实数的取值范围是；
(2)不等式对于实数时恒成立，即，
显然，函数在上递增，从而得，即，解得，
所以实数的取值范围是；
(3) 不等式，
当时，，
当时，不等式可化为，而，解得，
当时，不等式可化为，
当，即时，，
当，即时，或，
当，即时，或，
所以，当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为，
当时，原不等式的解集为.
21．（1）答案见解析；（2）.
【解析】（1）求得函数的导数，分类，和，三种情况讨论，即可求解.
（2）当时，不妨设，由（1）得到，，把不等式，转化为对任意的成立，进而转化为对恒成立，构造函数，结合导数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】（1）由题意，函数，可得，
①当时，在上单调递减；
②当时，，所以在上单调递减；
③当时，令，即，解得或；
令，即，解得，
所以在单调递增，在单调递减
（2）当时，函数，由（1）可知在单调递减，
不妨设，则，
所以，即，
即对任意的成立，
所以在单调递减，
则，即对恒成立，
令，可得，
令，即，解得，
令，即，解得或，
所以在单调递增，在单调递减，
当时，函数取得最大值，最大值为，
所以，即实数的取值范围.
【点睛】对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
22．（1）1；（2）.
【解析】（1）利用导数确定函数的单调性，再由极大值确定实数的值；
（2）将整理为，构造函数，根据的单调性，分别讨论和两种情况，对任意恒成立，即，再次构造函数，，利用导数得出，从而得出实数的取值范围．
【详解】（1）因为，则，因为，所以，
则当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，的极大值，解得；
（2）由题意可知，对任意恒成立
整理得对任意恒成立，设
由（1）可知，在上单调递增，且当时，
当时，，若，则
若，因为，且在上单调递增，所以
综上可知，对任意恒成立，即
设，，则，所以单调递增，
所以，即的取值范围为．
【点睛】本题主要考查了由函数的极值求参数的范围以及利用导数研究不等式的恒成立问题，属于中档题.