四川省宜宾市第四中学校2023届高考适应性考试文科数学试题（含解析）

这是一份四川省宜宾市第四中学校2023届高考适应性考试文科数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
四川省宜宾市第四中学校2023届高考适应性考试文科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．设全集，集合，，则（    ）
A． B． C． D．
2．复数（是虚数单位）的虚部是（    ）
A．1 B． C．2 D．
3．为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如下图.该样本数据的55%分位数大约是（    ）

A． B． C． D．
4．已知向量，若，则在方向上的投影为（   ）
A． B． C． D．
5．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点E，F分别是棱A1C1，BC的中点，则下列结论中不正确的是（　　）

A．CC1∥平面A1ABB1 B．AF∥平面A1B1C1
C．EF∥平面A1ABB1 D．AE∥平面B1BCC1
6．已知双曲线C：﹣＝1的一条渐近线过点P（1，2），F为右焦点，|PF|＝b，则焦距为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．10
7．在核酸检测时，为了让标本中DNA的数量达到核酸探针能检测到的阈值，通常采用PCR技术对DNA进行快速复制扩增数量．在此过程中，DNA的数量（单位：）与扩增次数n满足，其中为DNA的初始数量．已知某待测标本中DNA的初始数量为，核酸探针能检测到的DNA数量最低值为，则应对该标本进行PCR扩增的次数至少为（    ）（参考数据：，）
A．5 B．10 C．15 D．20
8．已知函数图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（    ）
A．关于点对称 B．关于点对称
C．关于直线对称 D．关于直线对称
9．已知圆O的方程为和圆P的方程为,两圆上分别有动点 ，则的最大值为（    ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆()的右焦点为，离心率为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点为，则直线的斜率为（    ）
A． B． C． D．1
11．在菱形中，，点在菱形所在平面内，则的最小值为（    ）
A． B． C． D．
12．若存在x使不等式成立，则实数m的取值范围为(　　)
A．(－∞，－) B．(－，e)
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)

二、填空题
13．为了迎接春节，小王买了红､黄､紫三种颜色的花各一盆，准备并排摆放在自家阳台上，则红和紫两种颜色的花不相邻的概率为 .
14．△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，△ABC的面积，则a的最小值为 ．
15．若正四棱锥内接于球O，且底面过球心O，球的半径为4，则该四棱锥内切球的体积为 ．
16．已知抛物线的焦点为F，过F的直线l交抛物线于A，B两点，交抛物线的准线于C，且满足，则的长等于 ．

三、解答题
17．已知正项等比数列的前项和为，，且，，成等差数列.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列满足，求数列的前项和
18．随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图.

(1)由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数）
(2)已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.
参考数据：




2.82
32.56
0.46
5.27
，，.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
19．如图所示，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，,,侧棱⊥底面且．

(1)指出棱与平面的交点的位置（无需证明）；
(2)求点到平面的距离．
20．已知函数的图像在处的切线与直线平行．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，且时，，求实数m的取值范围．
21．已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，，分别是椭圆的右顶点和上顶点，三角形的面积为1（为坐标原点）．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线交椭圆于，两点，且三角形的面积是1，设直线的斜率为，直线的斜率为，问：与的乘积是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
22．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线的极坐标方程为.
(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
(2)求曲线上的点到直线距离的最小值.
23．已知函数的最大值为M，正实数m，n满足m+n=M.
(1)若不等式有解，求a的取值范围；
(2)当时，对任意正实数p，q，证明：.

参考答案：
1．C
【分析】根据集合的补集和并集运算法则即可求得结果.
【详解】∵，∴，
而，∴.
故选：C.
2．A
【分析】利用复数的除法法则及复数的概念即可求解.
【详解】由题意可知，，
所以复数的虚部为.
故选：A.
3．C
【分析】由已知，可通过频率分布直方图的性质求解出的值，然后设出样本数据的55%分位数为，根据题意列出等量关系，求解即可.
【详解】由直方图的性质可得：
，
解得，
由已知，设该样本数据的55%分位数大约是，由
，
解得.
故选：C.
4．B
【分析】利用坐标运算求出，然后求投影即可.
【详解】，，则，则在方向上的投影为.
故选：B.
5．D
【分析】利用线面平行的判定定理逐项判断即可．
【详解】解：在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得CC1∥AA1，AA1⊂平面A1ABB1，CC1⊄平面A1ABB1，∴CC1∥平面A1ABB1，故A正确；
AF⊂平面ABC，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，可得平面ABC∥平面A1B1C1，∴AF∥平面A1B1C1，故B正确；
取A1B1中点N，又E是A1C1中点，∴NE∥C1B1，且NE＝C1B1，
又F是棱BC的中点，所以BF＝C1B1，AF∥C1B1，∴BF∥NE，BF＝NE，
∴四边形BFEN是平行四边形，∴EF∥BN，BN⊂平面A1ABB1，EF⊄平面A1ABB1，∴EF∥平面A1ABB1，故C正确；
∵EC1∥AC，但EC1≠AC，∴AE与CC1相交，从而有AE不平行于平面B1BCC1，故D错误．
故选：D．

6．D
【分析】根据一条渐近线过点P（1，2），可确定，再结合|PF|＝b，再由的关系，即可出答案.
【详解】解：由题意可知，双曲线C的渐近线方程为，
P（1，2）在一条渐近线上，所以，进而可得，
由|PF|＝b，可得．
∴,∴，
∴，解得c＝5．2c＝10
故选：D.
7．B
【分析】根据题意列出方程，利用指数与对数的互化即可求解.
【详解】由题意知，，令，得，取以10为底的对数得，所以．
故选：B.
8．B
【分析】由相邻两条对称轴之间的距离为，可知，从而可求出，再由的图像向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，可得，从而可求出的值，然后逐个分析各个选项即可
【详解】因为相邻两条对称轴的距离为，故，，从而.
设将的图像向左平移单位后，所得图像对应的解析式为，
则，因的图像关于轴对称，故，
所以，，所以，
因，所以.
又，令，
故对称轴为直线，所以C，D错误；
令，故，所以对称中心为，所以A错误，B正确.
故选：B
【点睛】此题考查了三角函数的图像变换和三角函数的图像和性质，属于基础题.
9．B
【分析】确定两圆的圆心和半径，求得两圆的圆心距，即可求得答案.
【详解】圆O的方程为即，
其圆心为，半径为3，
的圆心为，半径为2，
故两圆的圆心距为，
故的最大值为，
故选：B
10．A
【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可.
【详解】解：设，，则的中点坐标为，
由题意可得，，
将，的坐标的代入椭圆的方程：，
作差可得，
所以，
又因为离心率，，所以，
所以，即直线的斜率为，
故选：A.
11．C
【分析】根据题意，设交于点，以为坐标原点，直线分别为轴，轴建立直角坐标系，利用坐标法求解即可.
【详解】解：由菱形中，，可得且，
设交于点，以为坐标原点，直线分别为轴，轴建立直角坐标系，如图，

取中点，则，，
设，
则
，
所以当，时，取得最小值.
故选：C．
12．C
【详解】由得，
令，由题意可得：－m>f(x)min，
，
所以f(x)为上的增函数，
所以f(x)≥f(0)＝0，－m>0，m0,所以舍去），所以a的最小值为6．
故答案为：6
15．
【分析】利用等体积法可求出四棱锥内切球的半径，从而可求出其体积
【详解】因为正四棱锥内接于球O，且底面过球心O，球的半径为4，
所以，
所以，
所以正四棱锥的表面积为，
正四棱锥的体积为
设正四棱锥内切球的半径为，则
，
解得，
所以该四棱锥内切球的体积为，
故答案为：
16．/1.5
【分析】过，，作抛物线准线的垂线，垂足依次为，，，利用抛物线的定义及相似可得答案.
【详解】过，，作抛物线准线的垂线，垂足依次为，，，则，，，由，∴，
故答案为：.

17．(1)；
(2)．

【分析】（1）设的公比为，根据等差数列的性质列方程求得后可得通项公式；
（2）写出，由分组求和法求和．
【详解】（1）设的公比为（），
因为，且，，成等差数列，
所以，即，解得，
所以；
（2）由（1），
．
18．(1)；
(2)预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.

【分析】（1）根据参考数据和公式算出，，进而得到关于的线性回归方程；
（2）先根据线性回归方程计算出当时的值，将其与通过已知数据计算所得的值相比较即可得解.
【详解】（1）解： ，
，
所以关于的线性回归方程为.
（2）解：由，得.
因为2020年全国居民人均可支配收入为3.2189万元，
且，，
所以预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆.
19．(1)点位于的中点位置，理由见解析；
(2).

【分析】（1）作出辅助线，得到四棱柱为长方体，利用中位线得到线线平行，得到棱与平面的交点的位置为的中点；
（2）利用等体积法求解点到平面的距离.
【详解】（1）延长至点F，且DF=CD，延长至点H，使得，连接FH，交于点Q，
因为四棱柱中，底面是等腰梯形，，
所以四棱柱为长方体，，且为的中点，
取的中点E，连接ED，则，
所以，
故棱与平面的交点的位置为的中点；

（2）取AB的中点M，连接DM，
因为,,
故△ADM为等边三角形，
所以，
因为侧棱⊥底面且，平面，
所以，
由勾股定理得：，
由余弦定理得：，
其中，
，
由余弦定理得：，
因为，
所以，
由三角形面积公式可知：，
设点到平面的距离为，
因为，即，
，解得：，
所以点到平面的距离为.

20．(1)在递增，在递减
(2)

【分析】（1）利用导数的几何意义求出，直接利用导数求单调区间；
（2）根据式子结构构造，由在为增函数，得到在恒成立，令，利用导数求出的最小值，即可求解.
【详解】（1）的导数为，
可得的图象在处的切线斜率为，
由切线与直线平行，可得，即，
，，
由，可得，由，可得，则在递增，在递减．
（2）因为，若，由，
即有恒成立，设，
所以在为增函数，即有对恒成立，
可得在恒成立，由的导数为，
当，可得，在递减，在递增，
即有在处取得极小值，且为最小值可得，解得
则实数m的取值范围是．
【点睛】导数的应用主要有：
（1）利用导函数几何意义求切线方程；
（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）；
（3）利用导数求参数的取值范围.
21．(1)
(2)与的乘积为定值

【分析】（1）根据点在椭圆上代入化简即可；
（2）讨论斜率不存在时的情况，再分析斜率存在时的情况，设为，设，，联立直线与椭圆的方程，根据三角形的面积是1得到，再表达出与的乘积代入韦达定理化简求解即可
【详解】（1）由题意得
所以
而，所以
故椭圆的标准方程为：
（2）①当直线的斜率不存在时，设，代入椭圆方程得
所以
得
所以，或，
此时
②当直线的斜率存在时，设为，与轴交点为，
设，，联立
得
∴，
所以
所以
即
所以
所以

综上：与的乘积为定值
【点睛】本题主要考查了根据椭圆上的点化简求解椭圆方程的问题，同时也考查了直线与椭圆相交证明定值的问题，需要注意联立直线与椭圆的方程，设交点并用交点的坐标表达斜率，结合韦达定理化简，属于难题
22．(1)，；
(2).

【分析】（1）消去曲线C的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线的直角坐标方程作答.
（2）设出曲线C上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答.
【详解】（1）由（为参数），消去参数得，
所以曲线的普通方程为，
把代入直线的极坐标方程得：，
所以直线的直角坐标方程为.
（2）由（1）知，曲线的参数方程为（为参数），
设为曲线上一点，到直线的距离为，
则，其中锐角由确定，
因此，当时，取到最小值，
所以曲线上的点到直线距离的最小值为.
23．(1)
(2)证明见解析

【分析】（1）利用绝对值三角不等式求解；
（2）先利用绝对值三角不等式求得最大值，再利用作差法比较.
【详解】（1）解：由绝对值不等式，
得，
故，
当且仅当时取“=”，
所以不等式有解的充要条件是，
解得或，
故实数a的取值范围为
（2）证明：由题可得，
当且仅当时取“=”，
故，
所以M=1，m+n=1.
因为，
，
，
，
，
所以
故.