2022届河南省南阳市第一中学校高考考前适应性考试文科数学试题含解析

河南省南阳市第一中学校2022届高考考前适应性考试

文科数学试题

一、单选题

1．设集合，，则等于（       ）

A． B． C． D．

2．已知复数为纯虚数，且，则的虚部为（       ）

A．1 B． C．i D．

3．我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清嘉颗粒和胶囊、血必清注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宣肺败毒方．若某医生从“三药三方”中随机选出两种，则这两种全部是“药”或者全部是“方”的概率为（       ）

A． B． C． D．

4．2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局.2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中错误的是（       ）

A．2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增

B．2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比高于医疗保健占比

C．2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降

D．2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过50%

5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出S的为，则判断框中填写的内容可以是（       ）

A． B． C． D．

6．平行六面体中，既与共面也与共面的棱的条数为（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

7．已知实数、满足，且的最大值为，则实数的值为（       ）

A． B． C． D．

8．已知奇函数，且在上是增函数.若，，，则a，b，c的大小关系为（       ）

A． B． C． D．

9．已知函数在区间上的图象如图所示，则（       ）

A． B． C．2 D．

10．已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为（       ）

A．6 B．7 C．8 D．9

11．中，若，点E满足，直线CE与直线AB相交于点D，则CD的长（       ）

A． B． C． D．

12．已知抛物线：的焦点为F，Q为上一点，M为的准线上一点且轴.若为坐标原点，P在x轴上，且在点F的右侧，，，，则准线的方程为（       ）

A． B． C． D．

二、填空题

13．函数的图象在处切线的倾斜角为______．

14．一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为__________．

15．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若，且有唯一解，则的取值范围是___________.

16．在棱长为3的正方体中，P为内一点，若的面积为，则AP的最大值为________．

三、解答题

17．当顾客在超市排队结账时，“传统排队法”中顾客会选他们认为最短的队伍结账离开，某数学兴趣小组却认为最好的办法是如图（1）所示地排成一条长队，然后排头的人依次进入空闲的收银台结账，从而让所有的人都能快速离开，该兴趣小组称这种方法为“长队法”.为了检验他们的想法，该兴趣小组在相同条件下做了两种不同排队方法的实验.“传统排队法”的顾客等待平均时间为5分39秒，图（2）为“长队法”顾客等待时间柱状图.

(1)根据柱状图估算使用“长队法”的100名顾客平均等待时间，并说明选择哪种排队法更适合；

(2)为进一步分析“长队法”的可行性，对使用“长队法”的顾客进行满意度问卷调查，发现等待时间为[8，10）的顾客中有5人满意，等待时间为[10，12]的顾客中仅有1人满意，在这6人中随机选2人发放安慰奖，求获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）顾客的概率.

18．已知等差数列的前项和为，公差，，且是与的等比中项.

(1)求的通项公式；

(2)设，是否存在一个非零常数，使得数列也为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

19．如图，四棱锥S－ABCD的底面ABCD是正方形，SD⊥平面ABCD，SD＝2a，，E是SD上的点，且．

(1)求证：AC⊥BE；

(2)若点B到平面ACE的距离为，求实数的值．

20．已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）当时，求证：．

21．已知椭圆经过点，椭圆C的离心率．

(1)求椭圆C的方程；

(2)设过点且与x轴不重合的直线l与椭圆C交于不同的两点M，N，直线AM，AN分别与直线分别交于P，Q，记点P，Q的纵坐标分别为p，q，求的值．

22．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．

(1)求曲线和直线的直角坐标方程；

(2)已知点，直线和曲线相交于、两点，求的值

23．已知函数.

（1）当时，解不等式；

（2）记关于的不等式的解集为，若，求的取值范围.

参考答案：

1．C

【解析】

【分析】

先解出集合A、B，再求.

【详解】

由题意，，所以.

故选：C.

2．A

【解析】

【分析】

解法一:由题设，，进而得，再根据复数相等求解即可.

解法二:由复数的除法运算得，再根据复数的概念求解即可.

【详解】

解：解法一:设，，则，得，因此，故选：A.

解法二:由得，

因为复数为纯虚数，所以为纯虚数，故，所以，则.

故选：A.

3．B

【解析】

【分析】

先分别求出“三药三方”中随机选出两种不同的选法，这两种全部是“药”或者全部是“方”的选法，然后由古典概率可求得答案.

【详解】

从“三药三方”中随机选出两种有选法，这两种全部是“药”或者全部是“方”的选法有

所求概率为．

故选：B

4．C

【解析】

【分析】

观察图1可确定A、C正误，观察图2可确定B、D正误.

【详解】

观察图1可知2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增，故A正确，

2020年全国居民人均可支配收入的增速下降，而不是收入下降，故C错误，

观察图2可知2021年全国居民人均消费支出构成中教育文化娱乐占比10.8%高于医疗保健占比8.8%，故B正确，

食品烟酒和居住占比和为29.8%+23.4%=53.2%，超过50%，故D正确.

故选：C.

5．C

【解析】

【分析】

执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n值，直到出现退出循环，判断此时的条件作答.

【详解】

执行程序框图，，

满足条件，；满足条件，，满足条件，，

依题意，此时不满足条件，退出循环，输出S的值为，

所以判断框中填写的内容可以是.

故选：C

6．C

【解析】

【详解】

如图，用列举法知合要求的棱为：

、、、、故选C．

7．B

【解析】

【分析】

作出不等式组所表示的可行域，根据可行域存在可求得，平移直线，找出使得该直线在轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数即可得解.

【详解】

作出不等式组表示的可行域如下图中的阴影部分区域所表示，

联立，可得，即点，

若不等式组所表示的可行域存在，则，

联立，可得，即点，

平移直线，当该直线经过可行域的顶点时，直线在轴上的截距最大，

此时取最大值，即，解得.

故选：B.

8．C

【解析】

【详解】

因为是奇函数，从而是上的偶函数，且在上是增函数，

，

，又，则，所以即，

，

所以，故选C．

【考点】

指数、对数、函数的单调性

【名师点睛】

比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.

9．B

【解析】

【分析】

法一：利用导函数研究出极值点，进而结合图象及极值求出的值；法二：设函数值为，使用辅助角公式及三角函数的有界性及极值列出方程，求出的值.

【详解】

法一：当时，

设，其中，则，另外，所以，故，解得：，又因为，所以，

故选：B.

法二：由，，从而，由于，所以，解得：，又从图象可以看出，即，从而，解得：，由于，故.

故选：B.

10．B

【解析】

【详解】

由题意，AC为直径，所以 ,当且仅当点B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B.

考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质

【名师点睛】与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想. 由平面几何知识知，圆上的一点与圆外一定点距离最值在定点和圆心连线与圆的两个交点处取到．圆周角为直角的弦为圆的半径，平面向量加法几何意义这些小结论是转化问题的关键.

11．A

【解析】

【分析】

先由向量共线定理求出，进而求出AD=3，再用余弦定理求出CD的长即可.

【详解】

在△ABC中，由余弦定理得：

设，，因为，

所以，即，

因为A、B、D三点共线，

所以，

解得：，

所以，

即

因为AB=5，

所以AD=3，BD=2

在三角形ACD中，由余弦定理得：

，

因为，所以.

故选：A

12．C

【解析】

【分析】

根据抛物线的定义以及已知的几何关系，判断出为等边三角形，再运用焦半径公式求出边长，进而解得的取值，求出准线方程.

【详解】

由题意得，如图，

点在焦点的右边，且，，

由抛物线的定义知，∵，∴，

又，轴，

∴为等边三角形，

∴点的横坐标为，∴，

又，∴，解得，

∴准线的方程为，

故选：C.

13．

【解析】

【分析】

求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合倾斜角的定义求解作答.

【详解】

由求导得：，则，

所以函数的图象在处切线斜率为-1，倾斜角为.

故答案为：

14．

【解析】

【分析】

由三视图得到几何体的直观图，再根据正方体与圆锥的体积公式计算可得；

【详解】

解：由三视图可知该几何体的直观图如下所示，

该几何体是由棱长为的正方体与底面直径为，高为的圆锥组合而成，

所以，，

所以几何体的体积

故答案为：

15．或

【解析】

【分析】

由正弦定理得，对分类讨论，即可判断

【详解】

由正弦定理得，

因为有唯一解，当时，即，

唯一，符合题意，得；

当时，有两个值，不唯一，不合题意；

当时，，

所以，唯一，符合题意，得.

所以的取值范围为或.

故答案为：或.

【点睛】

求解本题的关键是利用正弦定理表示边，再由有唯一解，对分类讨论.

16．##

【解析】

【分析】

先证明平面，由条件确定点的轨迹，由此可求AP的最大值.

【详解】

因为，,平面，，

所以，同理可证，又，，

所以平面，

设与平面相交于点O，连接，因为平面，所以

所以，又，

则，即点P的轨迹是以O为原点，1为半径的圆，

因为，平面，所以，

又为等边三角形，且,

所以，

所以AP的最大值为．

故答案为：.

17．(1)（分钟），选择“传统排队法”更适合

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据柱状图中的数据和平均数的公式求解使用“长队法”的100名顾客平均等待时间，从而进行比较，

（2）利用列举法求解，先列出6人中随机选2人的所有情况，然后找出先出的两人都是等待时间在[8，10）的情况，再利用古典概型的概率公式求解

(1)

（分钟）

因为使用“长队法”顾客的平均等待时间长于使用“传统排队法”的顾客平均等待时间，

所以选择“传统排队法”更适合；

(2)

记事件A=“获得安慰奖的都是等待时间在[8，10）的顾客”，用1，2，3，4，5表示等待时间在[8，10）的满意顾客，用a表示等待时间在[10，12]的满意顾客，

Ω={（1，2），（1，3），（1，4）（1，5），（1，a），（2，3），（2，4），（2，5），（2，a），（3，4），（3，5），（3，a），（4，5），（4，a），（5，a）}

n（Ω）=15，事件A包含的样本点为（1，2），（1，3），（1，4）（1，5），（2，3），（2，4），（2，5），（3，4），（3，5），（4，5），

，

.

18．(1)

(2)存在，

【解析】

【分析】

（1）利用等差中项的性质可求得的值，根据已知条件可得出关于的方程组，解出的值，即可求得数列的通项公式；

（2）求出，可求得的表达式，由已知条件得出，结合可求得的值，化简数列的通项公式，结合等差数列的定义可判断数列为等差数列，即可得出结论.

(1)

解：因为为等差数列，且，所以，

又是与的等比中项，所以，即.

化简得，解得或（舍去），所以.

(2)

解：由（1）知，所以，

若数列为等差数列，则，则，

整理可得，，解得，此时，

因为，所以数列是公差为的等差数列，

因此，存在非零常数，使得数列为等差数列.

19．(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件，先证明AC⊥平面SBD，然后证明异面直线互相垂直；

（2）利用三棱锥ABCE的体积，分别以ABC、ACE为底面，ED、点B到平面ACE的距离为高，计算三棱锥ABCE的体积，即可求解.

(1)

证明：如图，连接BD，由底面ABCD是正方形，可得AC⊥BD．

∵SD⊥平面ABCD，AC在平面ABCD中，

∴SD⊥AC，又，∴AC⊥平面SBD．

∵平面SBD，∴AC⊥BE．

(2)

解：设点B到平面ACE的距离为h．

△ABC的面积，

故三棱锥E－ABC的体积．

，

△AEC的面积，

故三棱锥B－AEC的体积．

由可得，解得，又，

∴，解得．

即实数的值为．

20．（1）答案见解析；（2）证明见解析．

【解析】

【分析】

（1）求导后，对分类讨论，根据导数的符号可得结果；

（2），利用导数求出的最小值大于即可得证明不等式成立.

【详解】

（1），

当时，在R上单调递减；

当时，令，可得，令，可得，

所以在上单调递减，在上单调递增．

综上所述：当时，的增区间为；

当时，的增区间为，减区间为.

（2）证明：当时，，

令，

，令，

因为恒成立，

所以在R上单调递增，，

由零点存在性定理可得存在，使得，即，

当时，单调递减，当时，单调递增，

所以，

由二次函数性质可得，

所以，即，得证．

21．(1)

(2)12

【解析】

【分析】

（1）用待定系数法求出椭圆的方程；

（2）设直线l的方程为,，用“设而不求法”得到.

分别表示出，；得到整理化简即可求得.

(1)

由题意可得：，解得：，所以所求椭圆方程为.

(2)

直线l的斜率不存在时，直线与椭圆不相交.故斜率存在，设其为k，设直线l的方程为,，

联立方程，消去y得：,

所以,解得：.

.

直线AM方程为:,令x=-3解得：；

直线AN方程为: ,令x=-3解得：；

所以

即.

【点睛】

（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；

（2）“设而不求法”是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.

22．(1)，；

(2)

【解析】

【分析】

（1）消去参数得普通方程，利用公式可化极坐标方程为直角坐标方程；

（2）把直线方程化为标准参数方程，代入曲线的直角坐标方程，利用参数几何意义计算．

(1)

由得

利用，得，即为的普通方程，

由，得，

即，即，直线的直角坐标方程为；

(2)

点在直线上，可得其参数方程为（为参数），

把代入得，，

所以，，不同号．

．

23．（1）；（2）.

【解析】

【分析】

（1）分类讨论去绝对值符号，然后解不等式即可；

（2）首先根据的范围，确定，，然后解不等式得到.，进而根据集合的包含关系得到不等式组，解不等式组即可.

【详解】

解：（1）当时，，

原不等式可化为，或或，

解得或或，

∴原不等式的解集为.

（2）若的解集包含，

即当时，恒成立，

由于在上，，，

∴，，

∴，等价于，

即，，

∴.

由于当时该不等式恒成立，

∴且，

∴，即的取值范围为.