重难点专题 1.2 抽象函数的赋值计算与模型总结【15类题型】（讲与练）-2025年高考数学二轮热点题型专题突破（新高考专用）

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一、注意基础知识的整合、巩固。进一步夯实基础，提高解题的准确性和速度。
二、查漏补缺，保强攻弱。针对“一模”中的问题根据实际情况作出合理的安排。
三、提高运算能力，规范解答过程。运算技巧粗中有细，提高运算准确性和速度。
四、强化数学思维，构建知识体系。同学们在听课时注意把重点要放到理解老师对问题思路的分析以及解法的归纳总结，以便于同学们在刷题时做到思路清晰，迅速准确。
五、解题快慢结合，改错反思。审题制定解题方案要慢，不要急于解题，要适当地选择好的方案，一旦方法选定，解题动作要快要自信。
六、重视和加强选择题的训练和研究。对于选择题不但要答案正确，还要优化解题过程，提高速度。灵活运用特值法、排除法、数形结合法、估算法等。
重难点专题 1-2 抽象函数的赋值计算与模型总结
模块一
总览
热点题型解读（目录）
近5年考情（2020-2024）
考题统计
考点分析
考点要求
2023年新高考1卷，第11题
赋值法判断抽象函数的奇偶性，周期性
（1）熟悉常见函数的抽象表达式
（2）用赋值法判断抽象函数性质
2022年新高考2卷，第8题
TOC \ "1-3" \n \h \z \u \l "_Tc171529226" 【题型1】抽象函数的赋值计算求值
\l "_Tc171529227" 【题型2】抽象函数的奇偶性
\l "_Tc171529228" 【题型3】抽象函数的单调性
\l "_Tc171529229" 【题型4】抽象函数的最值与值域
\l "_Tc171529230" 【题型5】抽象函数的对称性
\l "_Tc171529231" 【题型6】抽象函数的周期性
\l "_Tc171529232" 【题型7】一次函数的抽象表达式
\l "_Tc171529233" 【题型8】对数型函数的抽象表达式
\l "_Tc171529234" 【题型9】指数型函数的抽象表达式
\l "_Tc171529235" 【题型10】幂函数的抽象表达式
\l "_Tc171529236" 【题型11】正弦函数的抽象表达式
\l "_Tc171529237" 【题型12】余弦函数的抽象表达式
\l "_Tc171529238" 【题型13】正切函数的抽象表达式
\l "_Tc171529239" 【题型14】二次函数的抽象表达式
\l "_Tc171529240" 【题型15】其它函数的抽象表达式
模块二
核心题型·举一反三(讲与练)
【题型1】抽象函数的赋值计算求值
赋值法是求解抽象函数问题最基本的方法，一般有以下几种：
1、……-2，-1,0,1,2……等特殊值代入求解
2024·长沙市第一中适应性训练
已知定义域为的函数，满足 ，且，，则________.
【答案】0
【详解】由，
令，则
（2024·福建龙岩·一模）已知函数的定义域为，且，，则________
【答案】2
【详解】令 ， 得得 或 ，
当 时，令得 不合题意， 故
【巩固练习1】定义在R上的函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2xy(x,y∈R)，f(1)＝2，则f(3)= ， f(-3)= .
【详解】f(1+1)= f(1)+ f(1)+2=6，f(2+1)= f(2)+ f(1)+4=12
易知f(0)=0，f(-1+1)= f(-1)+ f(1)-2 f(-1)=0 f(-2)=2 f(-1)+2=2 f(-3)= f(-2)+ f(-1)+4=6
【巩固练习2】已知对所有的非负整数均有
，若，则______．
【答案】31
【解析】令，则，可得，
当时，令，令，
令，，则，可得，
所以，
令，，则，可得
【巩固练习3】（2024·安徽合肥·一模）已知函数的定义域为，且，记，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据函数满足的表达式以及，利用赋值法即可计算出的大小.
【详解】由可得，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即，
令，代入可得，即；
由可得，
显然可得.
【题型2】抽象函数的奇偶性
证明奇偶性：利用定义和赋值的方法找到与的关系
2024·福建莆田·二模
已知定义在上的函数满足：，证明：是奇函数
【详解】定义域为，关于原点对称；
对原式，令，可得，解得；
对原式，令，可得，即，
故是奇函数
2024·长沙市第一中适应性训练
已知定义域为的函数，满足 ，且，，证明：是偶函数
【详解】令，则①，
知函数关于点成中心对称，
令，则，
令，则②，
由①可得：③，由①②可知：，
且函数的定义域为，则函数是偶函数
【巩固练习1】（多选）定义在上的函数满足：对任意的，则下列结论一定正确的有（ ）
A．B．
C．为上的增函数D．为奇函数
【答案】ABD
【思路点拨】对于A：令，结合题意运算求解；对于D：令，根据题意结合奇函数的定义分析判断；对于B：根据奇函数的定义分析判断；对于C：举反例分析判断.
【详解】因为对任意的，
对于选项A：令，则，解得，故A正确；
对于选项C：令，则，可得，
且的定义域为，所以为奇函数，故D正确；
对于选项B：因为为奇函数，
所以，故B正确；
对于选项C：例如满足题意，但为常函数，不具有单调性，故C错误；
故选：ABD
【巩固练习2】（多选）已知定义在上的函数满足，且，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【思路点拨】由已知，利用赋值法计算判断得解.
【详解】定义在上的函数满足，
令，得，而，则，A正确；
令1，得，而，则， 令，
得，即，而，即，则，B正确；
令，得，
即有，因此，C错误，D正确.
【巩固练习3】（2024·全国·模拟预测）（多选）已知函数的定义域为，满足，则（ ）
A．B．
C．为偶函数D．为奇函数
【答案】AD
【分析】令，或，分类讨论可求，判断A；令，可得，进而可求，判断B；由B可得，可判断CD；
【详解】对于A：令，得，即，所以或．
当时，不恒成立，故，故A正确．
对于B：令，得，又，所以，
故，故B错误．
对于C、D：由B选项可知，则，所以为奇函数，故C错误，D正确．
【巩固练习4】（2024届韶关市一模）已知是定义在上且不恒为零的函数，对于任意实数满足，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】对取特殊值代入已知表达式，结合奇偶性即可求解.
【详解】当时，，
当时，，可得，
则，
当时，，则，
函数的定义域为R，
令时，，
所以得，所以函数是奇函数，
令得，
又函数是奇函数，.
【题型3】抽象函数的单调性
判断抽象函数单调性的方法：
（1）凑：凑定义或凑已知,利用定义或已知条件得出结论;
（2）赋值：给变量赋值要根据条件与结论的关系.有时可能要进行多次尝试.
= 1 \* GB3 ①若给出的是“和型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或;
= 2 \* GB3 ②若给出的是“积型”抽象函数，判断符号时要变形为：
或.
函数的定义域为，对于，，，且当时，，证明：为减函数.
【详解】（1）设，且，则，，
因为，所以，即为减函数
已知函数是定义在R上的函数.对任意，总有，，且时，恒成立.
（1）求
（2）判断的奇偶性并证明
（3）证明在上单调递减
【答案】（1），（2）奇函数;(3)在上单调递减
【详解】（1）由对任意，总有，
令，则，则，
又由，可得，
则，故选项A判断正确；
（2）令，则，
则有，故，则是奇函数
（3）设任意，，
则，
又，则，则，
则在上单调递减.
【巩固练习1】（多选）定义在上的函数，对于任意的都有；且；当时，；则下列结论正确的是（ ）
A．B．是奇函数
C．在上单调递增D．的解集为
【答案】ACD
【思路点拨】对于A：利用赋值法求出；
对于B：借助于赋值法，利用奇偶性的定义直接证明；
对于C：利用单调性的定义进行证明；
对于D：利用赋值法求出，把化为，即可解得.
【详解】对于A：对于任意的都有，令，则有，所以.故A正确；
对于B：对于任意的都有，令，则有，所以；令，则有，所以，故是偶函数.故B错误；
对于C：任取，不妨令，则有，因为当时，，所以，即，所以在上单调递增.故C正确；
对于D：由B的判断过程，可知是偶函数；由C的推导过程，在上单调递增.
对于任意的都有，且，令可得：，令可得：.
所以可化为：，即解得：，即的解集为.故D正确
【巩固练习2】若定义在R上的函数f(x)对任意x1,x2∈R,都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立，且当x＞0时，f(x)＞1.
(1)求证: y＝f(x)－1为奇函数;
(2)求证: f(x)是R上的增函数;
(3)若f(4)＝5，解不等式f(3m－2)＜3.
[解] (1)证明：因为定义在R上的函数f(x)对任意x1，x2∈R，都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1成立．
所以令x1＝x2＝0，则f(0＋0)＝f(0)＋f(0)－1.即f(0)＝1.
令x1＝x，x2＝－x，则f(x－x)＝f(x)＋f(－x)－1.所以[f(x)－1]＋[f(－x)－1]＝0，故y＝f(x)－1为奇函数．
(2)证明：由(1)知y＝f(x)－1为奇函数，所以f(x)－1＝－[f(－x)－1]．
任取x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2－x1＞0.
所以f(x2－x1)＝f(x2)＋f(－x1)－1＝f(x2)－[f(x1)－1]＝f(x2)－f(x1)＋1.
因为当x＞0时，f(x)＞1.所以f(x2－x1)＝f(x2)－f(x1)＋1＞1，即f(x1)＜f(x2)，故f(x)是R上的增函数．
(3)因为f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－1，且f(4)＝5，所以f(4)＝f(2)＋f(2)－1＝5，即f(2)＝3，
由不等式f(3m－2)＜3，得f(3m－2)＜f(2)．由(2)知f(x)是R上的增函数，
所以3m－2＜2，即3m－4＜0，即m＜eq \f(4,3).故不等式f(3m－2)＜3的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4,3))).
【巩固练习3】（2023·湖南师大附中校考）已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则以下说法中正确的是（ ）
A．
B．
C．在上的最大值是10
D．不等式的解集为
【答案】ACD
【思路点拨】依题意令，求出，从而判断A；令得到，再令，，即可判断B；再利用定义法证明函数的单调性即可判断C；依题意原不等式等价于，再根据函数的单调性转化为自变量的不等式，即可判断D.
【详解】因为，则有，
令，则，则，故A正确；
令，则，
令代，则，
即，即，故B错误；
设且，则，由，
令，则，即，
令，，则，即，
因为时，，又，故，
所以，所以，即在上单调递减，
又，所以，，
又，所以，
故在上的最大值为，故C正确；
由，即，
即，即，
又因为，即，
所以，即，
故，即，解得，
即原不等式的解集为，故D正确
【题型4】抽象函数的最值与值域
结合奇偶性与单调性来判断最值或值域
已知函数对任意的，总有，若时，，且，则当时，的最大值为（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】令，则，得，
令，则，所以，所以为奇函数，
任取，且，则，，
所以，
所以，所以在上递减，
所以当时，的最大值为，
因为，所以，
所以，故选：D
【巩固练习1】已知连续函数满足：①，则有，②当时，，③，则在上的最大值是________
【答案】10
【解析】设且，则，由，
令，则，即，
令，，则，即，
因为时，，又，故，
所以，所以，即在上单调递减，
又，所以，，
又，所以，故在上的最大值为
【巩固练习2】已知连续函数对任意实数x恒有，当时，，，则f(x)在[－3，3]上的最大值是________
【答案】6
【详解】令，可得，所以，
所以是奇函数；
令，则，
因为当x＞0时，f(x)＜0，
所以，即，
所以在均递减，
因为，所以在上递减；
，可得；
令，可得
，；
，在，上的最大值是6
【题型5】抽象函数的对称性
抽象函数的对称性常有以下结论
（1）关于轴对称，
（2）关于中心对称，
2024·江苏南通·二模
（多选）已知函数，的定义域均为R，的图象关于点(2，0)对称，，，则（ ）
A．为偶函数B．为偶函数
C．D．
【答案】ACD
【分析】
由赋值法，函数奇偶性，对称性对选项一一判断即可得出答案.
【详解】令，则，注意到不恒为，
故，故A正确；
因为的图象关于点(2，0)对称，所以，
令，得，
故，故B错误；
令，得，
令，得，故，
从而，故,
令，得，化简得，故C正确；
令，得，而，故D正确.
故选：ACD.
【巩固练习1】已知对任意实数x，y，函数满足，则（ ）
A．有对称中心B．有对称轴
C．是增函数D．是减函数
【答案】B
【分析】依题意取特值即可求解.
【详解】令，得，∴；
令，得，∴；
令，得，
∴的图象关于直线关于对称
【巩固练习2】（2024·重庆八中校考）（多选）已知函数的定义域为R，且，当时，，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．为奇函数
B．
C．不等式的解集为
D．
【答案】AB
【详解】对于A中，令，可得，所以，
令，得到，即，
所以为奇函数，故A正确；
对于B中，因为为奇函数，所以，故B正确；
对于C中，设，可得，
所以，
又因为，所以，所以，即，
所以在R上单调递增，因为，所以，由，可得，
所以，所以，得到，
所以的解集为，所以C错误；
对于D中，因为为奇函数，所以，
所以，
又，故，所以D错误
【巩固练习3】（多选）已知定义域为的函数对任意实数都有，且，则以下结论一定正确的有（ ）
A．B．是偶函数
C．关于中心对称D．
【答案】BC
【分析】根据赋值法，可判断或，进而判断A，根据赋值法结合奇偶性的定义可判断C，根据偶函数即可判断对称性，根据对称性以及奇偶性可得函数的周期性，进而可判断CD.
【详解】令，则或，故A错误，
若时，令，则，此时是偶函数，若时，令，则，此时既是偶函数又是奇函数；因此B正确，
令，则，所以关于中心对称，故C正确，
由关于中心对称可得，结合是偶函数，所以，所以的周期为2，
令，则，故，
进而，而，由A选项知或，所以或，故D错误.
【题型6】抽象函数的周期性
抽象函数周期问题一般先求对称性
2024山东青岛·统考三模
设为定义在整数集上的函数，，，，对任意的整数均有．则______．
【答案】
【分析】采用赋值的方式可求得，令和可证得的对称轴和奇偶性，由此可推导得到的周期性，利用周期性可求得函数值.
【详解】令，则，；
令，，则，又，；
令，则，关于直线对称；
令，则，
不恒成立，恒成立，为奇函数，
，，
是周期为的周期函数，.
函数的定义域为，且，，，则 .
【答案】2
【分析】根据给定条件，探讨函数的周期，再结合求出即可求解作答.
【详解】函数的定义域为，由，
得，
因此函数是以3为周期的周期函数，且，即，
由，得，又，，从而，
所以.
（2024届厦门一中校考）若定义域为的奇函数满足，且，则 ．
【答案】2
【分析】利用赋值法及奇函数的定义，结合函数的周期性即可求解.
【详解】由，得，
所以，即，于是有，
所以，即.
所以函数的周期为.
因为是定义域为的奇函数，
所以，即.
令，则，解得，
所以.
【巩固练习1】2024·山东青岛·一模
，，，则的值为（ ）
A．2B．1C．0D．－1
【答案】B
【分析】利用赋值法求出的值，将变形为，即可推出，可得函数周期，由此即可求得答案.
【详解】由题意知，，，
令，则
显然时，不成立，故，
故，则，
即6为函数的周期，则
【巩固练习2】（2024·福建龙岩·一模）已知函数的定义域为，且，，则（ ）
A．B．为奇函数
C．D．的周期为3
【答案】C
【分析】令 ，则得，再令即可得到奇偶性，再令则得到其周期性，最后根据其周期性和奇偶性则得到的值.
【详解】令 ， 得得 或 ，
当 时，令得 不合题意， 故 ， 所以 A错误 ；
令 得 ， 且的定义域为，故 为偶函数， 所以B错误 ；
令 ， 得 ， 所以 ，
所以 ， 则，则，
所以 的周期为 6 ， 所以 D错误 ；
令 ， 得 ， 因为
所以 ，所以 ， 故C正确.
【巩固练习3】（2024·福建厦门·一模）已知函数的定义域为，，，，若，则（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】A
【分析】利用赋值法对进行赋值结合函数的周期可得答案.
【详解】令，得，即，
令，得，得，所以函数为偶函数，
令，得，
令，得，
，或，
若，解得与已知矛盾，
，即，解得，，
令，得，
，，，
，所以函数的周期为4.
【巩固练习4】函数的定义域为，对任意，恒有，若，则 ， ．
【答案】 ,
【分析】取特殊值可得；取特殊值可得是周期为函数，计算出的值可得答案.
【详解】令，则，解得，
令，则，
因为，所以；
令，则，，
令，则，，
令，则，，
，
令，则，即，可得，
令，则，
令，则，
可得，从而，
所以，可得，
所以，是周期为的函数，
.
故答案为：①；②0.
【巩固练习5】深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题
（多选）已知函数的定义域为，且，，为偶函数，则（ ）
A．为偶函数B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】A选项，赋值法得到，进而得到，为奇函数，A错误；B选项，由为偶函数得到关于对称，所以；C选项，由结合函数为奇函数，得到，C正确；D选项，推导出的一个周期为6，利用关系式得到，结合函数周期得到.
【详解】对于A，因为的定义域为R，关于原点对称，
令，则，故，则，
令，则，又不恒为0，故，
所以为奇函数，故A错误；
对于B，因为为偶函数，所以，
所以关于对称，所以，故B正确；
对于C，因为为偶函数，所以，
令，则，故，
令，则，故，又为奇函数，故，
所以，即，故C正确；
对于D，由选项C可知，所以，
故的一个周期为6，因为，所以，
对于，令，得，则，
令，得，则，令，得，
令，得，令，得，
所以，
又，所以由的周期性可得：
，故D正确.
故选：BCD
【题型7】一次函数的抽象表达式
一次函数的抽象表达式
（1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为 .
（2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 .
（3） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 .
已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列三个条件的一个的解析式为 .
①，；②为奇函数；③在上单调递减.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数的性质直接得解.
【详解】由题意为奇函数，且在上单调递减，
可假设，此时，，即①成立
（2023-2024学年重庆一中高一期中）（多选）已知定义在区间上的函数满足：对任意均有；当时，．则下列说法正确的是
A．B．在定义域上单调递减
C．是奇函数D．若，则不等式的解集为
【答案】ACD
【简析】即考虑一次函数模型，故AC对，B错，而，则，
，解得
【巩固练习1】(2024·安徽安庆·二模)（多选）已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（ ）
A．B．
C．函数为减函数D．函数的图象关于点对称
【答案】ACD
【详解】
法一
对A：令，则有，故，故A正确；
对B：令，，则有，故，故B错误；
对C：令，则有，其中，，
令，，即有对、，当时，恒成立，
即函数为减函数，故C正确；
对D：令，则有，又，
故，故函数的图象关于点对称，故D正确.
法二：令，，故选ACD
【巩固练习2】(2024·山东泰安·一模)（多选）已知函数的定义域为R，且，若，则下列说法正确的是（ ）
A．B．有最大值
C．D．函数是奇函数
【答案】ACD
【详解】法一：赋值法
对于A中，令，可得，令，
则，解得，所以A正确；
对于B中，令，且，则，
可得，
若时，时，，此时函数为单调递增函数；
若时，时，，此时函数为单调递减函数，
所以函数不一定有最大值，所以B错误；
对于C中，令，可得，即，
，C正确
对于D中，令，可得，可得，
即，所以函数是奇函数，所以D正确
法二：构造函数
因为，设，又，故，故ACD正确
【题型8】对数型函数的抽象表达式
对数函数的抽象表达式（重要）
对数函数 ，
其对应的抽象函数为 或
补充：对于对数函数 ，其抽象函数还可以是
奇偶性证明：只需构造即可
已知函数f（x）满足：①对，，；②．请写出一个符合上述条件的函数f（x）＝______．
【答案】（答案不唯一，符合条件即可）
【解析】因为对，，；
所以在上可能为对数函数，
故满足条件①，又，
所以，故符合上述条件的函数可能为：
（2024·安徽·二模）已知函数满足，当时，，则（ ）
A．为奇函数B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】C
【详解】法一：赋值法
令，，，所以；
令，，则．
令，得，故为偶函数．A错误，
任取，，，则，
则，故在上为减函数．
由已知，可得，故，解得，且．B错误，
若，则，C正确，
若，则，，
，所以，故D错误
法二：由，可以令，又时，，故，故C正确
【巩固练习1】已知定义在上的函数，满足，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】法一：令，则，解得，
令，则，解得，
令，则，解得，
令，则，解得，
，依次类推可得
法二：因为，考虑对数函数模型，代入，得，故
【巩固练习2】已知函数的定义域是，对定义域内的任意都有，且当时，.
(1)证明：当时，；
(2)判断的单调性并加以证明；
【答案】(1)；；当时，；；当时，.
(2)单调递减.证明：
即单调递减
【题型9】指数型函数的抽象表达式
对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 .
奇偶性证明：由得，判断和1的大小关系
已知函数的定义域为，且的图像是一条连续不断的曲线，则同时满足下列二个条件的一个的解析式为 .
①，；②在上单调递减.
【答案】（答案不唯一）
【分析】根据函数的性质直接得解.
【详解】由题意为指数型函数，且在上单调递减，
（2023上·浙江·高一校联考）（多选）已知定义在上的函数满足：①是偶函数；②当时，；当，时，，则（ ）
A．B．在上单调递增
C．不等式的解集为D．
【答案】AB
【思路点拨】方法一：对于A，由条件③令，，结合条件②可得；对于B，结合条件与单调性定义求解；对于C，不等式等价于，结合的单调性及奇偶性求解；对于D，令判断即可．
方法二：构造函数判断即可．
【详解】方法一：对于A，由条件③当，时，，
令，，得：，
又由条件②得，∴，A正确；
对于B，取，，且，则
，
∵，∴，，∴，
∴，即，∴在上单调递增，B正确；
对于C，∵，，
∴不等式等价于，
又在上单调递增，且由条件①得是偶函数，
∴，∴解集为，C错误；
对于D，令，则，，
此时不成立，D错误．
方法二：构造函数，符合条件①②．
，故A正确；
时，，在上单调递增，故B正确；
，则即为，则，解集为，故C错误；
令，则，，
此时不成立，D错误
【巩固练习1】如果且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】法一：，，，，，
，，，
法二：设，，则
【巩固练习2】已知函数满足，，则的值为（ ）
A．15B．30C．60D．75
【答案】B
【解析】
因此
【巩固练习3】已知定义在R上的函数满足：对任意的实数x，y均有，且，当且.
(1)判断的奇偶性；
(2)判断在上的单调性，并证明；
【答案】(1)奇函数(2)单调递增，证明见详解
【详解】（1）根据题意，令，得，因为，所以，故结合定义域可知，为奇函数.
（2）在上单调递增.证明：由题意，可知，
假设，使得，则，
而当时，由题意知，因此矛盾，故，恒成立.
设，且，则，
因此，
因为，且当时，，所以，
又因为，所以，即，又因为，所以在上单调递增.
【题型10】幂函数的抽象表达式
对于幂函数 ，与其对应的抽象函数为或
（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的函数满足，则（ ）
A．是奇函数且在上单调递减
B．是奇函数且在上单调递增
C．是偶函数且在上单调递减
D．是偶函数且在上单调递增
【答案】A
【解析】令，则，所以，
令，则，所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
因为，且定义域关于原点对称，所以函数是奇函数，
由反比例函数的单调性可得函数在上单调递减.
【巩固练习】已知函数的定义域为，且，则（ ）
A．B．C．是偶函数D．没有极值点
【答案】D
【解析】令，则，
所以，且为定义域内任意值，故为常函数.
令，则，为奇函数且没有极值点，C错，D对；
所以不恒成立，不一定成立，A、B错.
【题型11】正弦函数的抽象表达式
三角函数注意系数的配凑，，，以下均以为例
对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为
注： 此抽象函数对应于正弦平方差公式：
2024·广东江门·一模
函数的定义域为，对任意的，，恒有成立.请写出满足上述条件的函数的一个解析式 .
【答案】（答案不唯一）
【分析】
本题属于开放性问题，只需找到符合题意的函数解析式即可，不妨令，根据两角和的正弦公式及诱导公式证明即可.
【详解】依题意不妨令，
则，
又
，
所以，故符合题意.
同理可证明，，，也符合题意.
故答案为：（答案不唯一）
【巩固练习1】（多选题）（2024·辽宁·模拟预测）已知函数的定义域为R，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数B．C．D．
【答案】BD
【解析】法一：赋值法
令，则.
另令，则，由，所以不成立，
所以，所以函数为奇函数，故A错误；
令，，则，故B正确；
令，，则，
又，所以，故C错；
令得.且，，.
所以；；
所以，又，，
所以；
所以；
所以
所以，故D正确.
法二：利用函数模型
∵，设
又∵，故，即
【巩固练习2】（多选题）（2024·全国·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则下列说法中正确的是（ ）
A．为偶函数B．C．D．
【答案】BC
【解析】方法一：先介绍正弦平方差公式：．
证明过程如下：
．
由题意，可以令，因为为奇函数，故选项A错误．
因为，故选项B正确．
因为，故选项C正确．
因为，故，故选项D错误．
方法二：对于选项A，因为的定义域为，
令，则，故，则，
令，则，
又不恒为0，故，
所以为奇函数，故A错误．
对于选项B，令，则．
而，所以，故选项B正确．
对于选项C，由选项B可知，，
令，则，所以．
又因为为奇函数，所以，故C正确．
对于选项D，由选项B以及，可得，
所以，同理可得．
因为，故，故D错误．
故选：BC
【题型12】余弦函数的抽象表达式
三角函数注意系数的配凑，，，以下均以为例
（1） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为
注： 此抽象函数对应于余弦和差化积公式：
（2） 对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是
注：余弦积化和差公式：
，2022新高考2卷T8用的就是这个模型
2024·吉林白山·一模
已知函数的定义域为，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）， ．
【答案】 （答案不唯一）；
【分析】应用赋值法可得为偶函数及以6为周期，进而可求.
【详解】令，则，解得或，
若，令，，则，即与已知矛盾,
∴，令，则，
则，∴为偶函数；
令，则，
则，
则，
所以以6为周期，
结合以上特征，找到满足条件的一个函数为，
结合以6为周期，则．
故答案为：（答案不唯一）；
2024·重庆一中3月月考
（多选）函数的定义域为R，且满足，，则下列结论正确的有（ ）
A．B．
C．为偶函数D．的图象关于对称
【答案】BC
【详解】
法一：利用赋值法求出函数的周期（通性通法）
令，，则，
即，可得，故A错；
令，则，即，
又因为，，可得，故B正确；
令，可得，故C正确；
若的图象关于对称，则函数满足，
而，，显然，故D错，
令，可得，
的图象关于对称.
法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化（优解）
联想到余弦函数和差化积公式
，，易知，又，故，即，则，故BC对
【巩固练习1】已知函数满足：，则 .
【答案】
【分析】由已知等式联想到三角公式，构造函数求解.
【详解】由已知等式联想到三角公式，
注意它们结构相似，通过尝试和调整，构造函数，则，
故函数满足题意，而函数是周期的函数，
.
【巩固练习2】（2022新高考2卷T8）已知函数的定义域为R，且，则（ ）
A．B．C．0D．1
【答案】A
【分析】法一：根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出．
【详解】[方法一]：赋值加性质
因为，令可得，，所以，令可得，，即，所以函数为偶函数，令得，，即有，从而可知，，故，即，所以函数的一个周期为．因为，，，，，所以
一个周期内的．由于22除以6余4，
所以．故选：A．
[方法二]：【最优解】构造特殊函数
由，联想到余弦函数和差化积公式
，可设，则由方法一中知，解得，取，
所以，则
，所以符合条件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故选：A．
【巩固练习3】（2024·河北·模拟预测）（多选）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是
A．B．是偶函数
C．D．的图象关于对称
【答案】BCD
【分析】根据所给关系式，利用赋值法一一计算可得.
【详解】法一：赋值法
因为，，
令可得，解得或，
又当时，恒成立，所以，故A错误；
令，，则，即，
所以为偶函数，故B正确；
令，，则，所以，
令，，则，所以，故C正确；
令可得，
令，可得，又，
所以，即，
所以，
所以的图象关于对称，故D正确.
法二：令，因为，故，
又因为，故，即，故选BCD
【题型13】正切函数的抽象表达式
对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为
注： 此抽象函数对应于正切函数和差角公式：
已知函数满足，，则（ ）
A．B．
C．的定义域为RD．的周期为4
【答案】ABD
【分析】赋值，令，即可判断A；令，可判断C；令，结合函数奇偶性定义可判断B；令，推出，即可推出函数的周期，判断D.
【详解】令，则，即，A正确，
令，则无意义，即的定义域不为R，C错误；
由可知，
令，则，即，
故，B正确；
，
故，即的周期为4，D正确
【巩固练习1】（2024·广西贺州·一模）（多选）已知函数的定义域为，且当时，，则下列说法正确的是（ ）
A．是奇函数
B．为增函数
C．若实数a满足不等式，则a的取值范围为
D．
【答案】ABD
【分析】先令，求出，再令，即可判断A；令，结合已知判断的符号，即可判断B；根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可判断C；根据函数的奇偶性和单调性即可判断D.
【详解】对于A，令，则，所以，
令，则，所以，
所以是奇函数，故A正确；
对于B，令，
则，
因为，所以，
所以，，
所以，
又因为当时，，
所以，即，
所以函数在上单调递增，
又是奇函数，且，
所以函数为增函数，故B正确；
对于C，由，得，
所以，解得，故C错误；
对于D，，
即，故D正确.
【巩固练习2】定义在上的函数满足：对任意的都有，且当时，．
（1）判断在上的单调性并证明；
（2）求实数t的取值集合，使得关于x的不等式在上恒成立．
【答案】（1）单调递增；证明见解析；（2）.
【解析】（1）首先判断，再令，判断函数的奇偶性，再设任意，利用已知条件列式，判断符号，证明函数的单调性；（2）不等式转化为，再利用函数的单调性，去掉“”后，求的取值范围.
【详解】解：（1）令，则，得，
再令，则，∴，∴为奇函数，
对任意，令，，则，
∵当时，，∴，，
从而，∴在上的单调递增.
（2）∵为奇函数，∴，∵在上的单调递增，且，
∴在上单调递增，由题意得：及在上恒成立，
∴，得①；
，，得②，由①②可知，的取值集合是.
【题型14】二次函数的抽象表达式
二次函数
对于二次函数 ，与其对应的抽象函数为
（2024·浙江杭州·模拟预测）对于每一对实数，，函数满足函数方程，如果，那么满足的的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．无数多个
【答案】A
【分析】根据题意，令可得，由累加法可得，然后考虑负整数的情况，代入计算，即可求解.
【详解】令，则，
①，
分别令，
可得，
，
，
并将诸式相加得
整理可得②，
从而对所有自然数，②式成立.
若，可得，，.
于是，对且时，无解.
对公式①取得.
再取得.
进而得，，.
再由①式，时，.
从而，时，有.
所以，只有时，.
（2024·高三·河北保定·期末）已知函数满足：，，成立，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，则，所以，
令，则，
所以，
令，则，所以，
令，则，
所以，
则当时，，
则
，
当时，上式也成立，
所以，
所以.
【巩固练习1】（2024·陕西西安·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足，则下列结论正确的是（ ）
A．B．方程有解
C．是偶函数D．是偶函数
【答案】C
【解析】对于A，因为函数的定义域为，且满足，
取，得，则，
取，得，则，故错误；
对于B，取，得，则，
所以，
以上各式相加得，
所以，
令，得，此方程无解，故B错误.
对于CD，由知，
所以是偶函数，
不是偶函数，故C正确，错误.
故选：C.
【巩固练习2】（2024·河南·三模）已知函数满足：，且，，则的最小值是（ ）
A．135B．395C．855D．990
【答案】C
【解析】由，得，令，得，
令，得，
故，又，
所以，
所以，因为，当时，的最小值为855．
【题型15】其它函数的抽象表达式
理论上，有多少种原函数就有多少种抽象函数与之对应，但也不乏一种原函数可以与多种抽象函数对应，以及一个抽象函数可以表示多种原函数。这时，就会有同学问了：既然一个抽象函数可能表示多种原函数，那么不就导致一道题可能出现多种答案了吗？是的，这种这样想是没有错的，但是，有多种原函数的抽象函数题，除了给出抽象函数模型 ，往往还会给出一个限制条件，比如 等等，这样就限制了原函数的唯一性
（2023新高考1卷12题）（多选）已知函数的定义域为，，则（ ）．
A．B．
C．是偶函数D．为的极小值点
【答案】ABC
【思路点拨】方法一：利用赋值法，结合函数奇遇性的判断方法可判断选项ABC，举反例即可排除选项D.
方法二：选项ABC的判断与方法一同，对于D，可构造特殊函数进行判断即可.
【详解】方法一：
因为，
对于A，令，，故正确.
对于B，令，，则，故B正确.
对于C，令，，则，
令，
又函数的定义域为，所以为偶函数，故正确，
对于D，不妨令，显然符合题设条件，此时无极值，故错误.
方法二：两边同时除以，得到，
联想到，设，即
又函数的定义域为，为偶函数，故可以设，则，
当肘，，则，
令，得；令，得；
故在上单调递减，在上单调递增，
因为为偶函数，所以在上单调递增，在上单调递减，

显然，此时是的极大值，故D错误.
【巩固练习】（江苏省G4联盟联考）（多选）定义在上的函数满足如下条件：①；②当时，.则（ ）
A．B．在上是增函数
C．是周期函数D．
【答案】ABD
【详解】两边同时除以，得到，
联想到，设，即，
满足条件②，依次代入可得ABD