2023年黑龙江省佳木斯市抚远市第二中学，第三中学中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年黑龙江省佳木斯市抚远市第二中学，第三中学中考三模数学试题（含解析），共35页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年黑龙江省佳木斯市抚远市第二中学，第三中学中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）
A． B． C． D．
3．已知一组数据2，a，4，5的众数为5，则这组数据的平均数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
4．如图是由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从左面、上面看到的形状图．搭成这个几何体所用的小立方块的个数至少是（    ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由元降为元．已知两次降价的百分率都是，则x的值是（　　）
A． B．25 C． D．20
6．已知关于x的分式方程的解为负数，则k的取值范围是（　　）
A． B．且 C． D．且
7．装乒乓球的盒子有两种，大盒装6个，小盒装4个，若将50个乒乓球都装进盒子且把每个盒子都装满，那么不同的装球方法有（    ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
8．如图，A是反比例函数图象上一点，过点A作轴于点D，且D为线段的中点．若C为x轴上任意一点，且的面积为11，则k的值为（　　）
  
A． B． C．11 D．
9．如图，在四边形中，，，作于点E，，连接，，则的长为（　　）
  
A．10 B．8 C．6 D．4
10．如图，在正方形中，点在边上，点在边上，，交于点，交于点，连接．下列结论：①；②；③；④当是的中点时，；⑤当时，．其中正确结论的序号是（    ）
  
A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．②④⑤

二、填空题
11．据统计，我国每年浪费粮食约是吨，将用科学记数法表示为 ．
12．函数的自变量x的取值范围是 ．
13．如图，与相交于点A，与相交于点B，，垂足为P，添加一个条件 ，使≌（填一个即可）．
  
14．随机掷一枚均匀的正方体骰子，骰子停止后朝上的点数小于的概率是 ．
15．若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
16．已知是半径为的圆的内接三角形，，则 ．
17．已知圆锥的母线长为高为则该圆锥侧面展开图的圆心角是 ．
18．如图，在中，，，交于点D，P为线段上的动点，则的最小值为 ．

19．在矩形中，，，M是直线上的一点，将沿折叠，得到，连接，若，则的长为 ．
20．如图，射线与x轴所夹的锐角为，的长为1，，，，…，均为等边三角形，点，，，…，在x轴的正半轴上依次排列，点，，，…，在射线上依次排列，那么点的坐标为 ．
  

三、解答题
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
  
(1)若经过平移后得到，已知点的坐标为，画出，并写出点的坐标；
(2)将绕着点O按逆时针方向旋转得到，画出，并写出点的坐标；
(3)求出（2）中点A旋转到点所经过的路径长．
23．已知抛物线经过点和点，与y轴交于点C，P为第二象限内抛物线上一点．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接交直线于点D，当时，直接写出点P的横坐标．
24．为了解七年级同学最喜欢看哪一类课外书，某校随机抽取本校七年级部分同学进行问卷调查（每人必选且只选择一种最喜欢的书籍类型）．如图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图．请根据统计图的信息，解答下列问题：
  
(1)一共有多少名学生参与了本次问卷调查？
(2)补全条形统计图；
(3)扇形统计图中“其他”所在扇形的图心角度数为___________；
(4)若该校七年级有1500名学生，请你估计喜欢“科普常识”的学生人数．
25．小张骑摩托车从A地去B地，小王驾车从B地去A地再返回B地．两人同时出发，小张骑摩托车的速度为，小王去A地用了，返回时速度有所提高，小张、小王两人离A地的路程y（单位：km）与小张出发的时间x（单位：h）之间的函数关系如图所示．
  
(1)A，B两地之间的路程为___________；
(2)求出小王返回追上小张时，他们离B地的距离；
(3)直接写出小王从A地返回B地的过程中，与小张相距12千米时的行驶时间．
26．已知为等边三角形，点D在边上，点F在射线上，以为一边作等边三角形，连接．

(1)当点F与点A重合时，如图①，线段，，之间的数量关系是___________；
(2)点F在边上时，如图②；当点F在边的延长线上时，如图③，猜想线段，，之间存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并对图③的猜想给予证明．
27．某手机经销商计划同时购进甲乙两种型号手机，若购进2部甲型号手机和5部乙型号手机，共需要资金6000元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元．
(1)求甲、乙型号手机每部进价各为多少元；
(2)该店预计用不少于1.78万元且不多于1.92万元的资金购进这两种型号手机共20部，请问有多少种进货方案？
(3)若甲型号手机的售价为1500元，乙型号手机的售价为1450元，为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机．返还顾客现金a元，甲型号手机售价不变，要使（2）中购进的手机全部售完，每种方案获利相同，求a的值．
28．如图，矩形的顶点A，C分别在x轴和y轴上，，的长是一元二次方程的两个实数根，点P从点C出发，以每秒个单位长度的速度向终点O运动，同时点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，将沿直线折叠得到，设与矩形重合部分的面积为S，运动时间为t秒．

(1)求点B的坐标；
(2)求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)当点D落在上时，点N在x轴上，直线上是否存在点M，使以D，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接与出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．A
【分析】根据同底数幂乘除法，积的乘方和完全平方公式等计算法则求解判断即可．
【详解】解：A、，原式计算正确，符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了同底数幂乘除法，积的乘方和完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键．
2．A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选A．
【点睛】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键．
3．C
【分析】根据众数得到a的值，再计算平均数即可．
【详解】数据2，a，4，5的众数为5 ，
5出现的次数最多，

平均数为，
故选C ．
【点睛】本题考查众数的定义及算法，平均数的求解，注意一组数据中出现次数最多的数为众数．
4．C
【分析】根据从左面看到的形状图，可得该几何体由2层，2行；从上面看到的形状图可得有2行，3列，从而得到上层至少1块，底层2行至少有3+1=4块，即可求解．
【详解】解：根据从左面看到的形状图，可得该几何体由2层，2行；从上面看到的形状图可得有2行，3列，
所以上层至少1块，底层2行至少有3+1=4块，
所以搭成这个几何体所用的小立方块的个数至少是1+4=5块．
故选：C
【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握三视图是观测者从三个不同位置观察同一个几何体，画出的平面图形；（1）从正面看：从物体前面向后面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和长度；（2）从左面看：从物体左面向右面正投影得到的投影图，它反映了空间几何体的高度和宽度；（3）从上面看：从物体上面向下面正投影得到的投影图，它反应了空间几何体的长度和宽度是解题的关键．
5．B
【分析】根据经过两次降价后的价格原价建立方程，解方程即可得．
【详解】解：由题意得：，
解得或，
当时，（不符合题意，舍去）．
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．
6．D
【分析】保留k解方程，得到x的解，再利用解为负数列不等式且分母不为零，求出k的取值范围即可．
【详解】解，
两边同乘得：，



，
，
，
得，
检验得分母不为零，
且，
得且，
即且，
综上且，
故选D．
【点睛】本题考查已知分式方程解的范围求分式方程中参数的取值范围，注意计算时保留参数须将参数看成常数，且分式方程的解需要检验确保分母不为零．
7．B
【分析】可设大盒x盒，小盒y盒，根据等量关系：大盒的乒乓球个数＋小盒的乒乓球个数＝50，列出方程，再根据正整数的定义即可求解．
【详解】解：设大盒x盒，小盒y盒，依题意有
6x＋4y＝50，
y＝，
∵x，y都是正整数，
∴x＝1时，y＝11；
x＝3时，y＝8；
x＝5时，y＝5；
x＝7时，y＝2；
故不同的装球方法有4种，
故选：B．
【点睛】考查了二元一次方程的应用，此题是一道紧密联系生活实际的题，是二元一次方程整数解的应用．
8．B
【分析】连接，则有，根据k的几何意义，可得，根据图象可知，即可求出k的值．
【详解】解：连接，如图所示：
  
∵轴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∵，的面积为11，
∴，
根据图象可知，，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数k的几何意义，由三角形面积求k的值注意符号是关键．
9．C
【分析】过点F作交与点F，根据等腰三角形的性质得出，根据同角的余角相等易证，根据全等三角形的性质得出，设，则，从而得出，再将建立方程，求解即可得出答案．
【详解】解：过点F作交与点F，
  
，

，
，

在和中


，
设，则
，




经检验符合题意
即
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质、无理方程，熟练掌握性质定理是解题的关键．
10．A
【分析】通过证明≌推出，即可判断①；再证明，即可判断②；利用角平分的性质可证中边的高与中边的高相等，通过“等底等高”证明，即可判断③；证明∽，∽，求出相关线段长度，可知当E是的中点时，，即可判断④；利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，两个等高的三角形面积比等于底长的比，可证，即可判断⑤．
【详解】解：四边形是正方形，
，．
∵，
≌，
，故①正确；
由①得，
∵，
∴，
∴，
∴，故②正确；
  
四边形是正方形，
，即是的角平分线，
点G到边与边的距离相等，
即中边的高与中边的高相等，
又，
，故③正确；
设正方形的边长为，
当E是的中点时，，，
由勾股定理得：，，
，，
∽，
，
．
，，
∽，
，
即，
，
，
，
，
，
当E是的中点时，，故④正确；
当时，，
，
，
∽，
，
中边的高与中边的高相等，，
，
设，则，，
，
，
，
，
，
，
，
，故⑤错误．
故选A．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，三角形面积公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，综合性较强，难度较大，解题的关键是从图形中找出全等三角形和相似三角形．
11．
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
12．
【分析】根据二次根式及分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：根据题意得，
解得：，
故答案为：．
【点睛】题目主要考查二次根式及分式有意义的条件，熟练掌握二次根式及分式有意义的条件是解题关键．
13．（答案不唯一）
【分析】添加，可根据证明．
【详解】添加，理由如下：
∵，
∴
在和中，

∴
故答案为：．（答案不唯一）
【点睛】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．
14．
【详解】试题分析：一个正方体骰子有六个数字，点数小于的3的有1和2，则概率为2÷6=.
考点：概率的计算.
15．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案．
【详解】解：解不等式，得，
解不等式，得，
原不等式组的解集是，
故的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
16．或
【分析】先画出图形，可能是锐角三角形也可能是钝角三角形.当是锐角三角形时，先作直径，连接构造直角三角形，根据同弧所对的圆周角相等可得，求出的三角函数值，即可求出的度数，即可知的度数.当是钝角三角形时，与互补，求出的度数，即可知的度数.
【详解】  
解：如图1，当是锐角三角形时，连接并延长交于点，连接，
则，
是的直径，
，
且，
∴sin，
，
；
  
如图2，当是钝角三角形时，

则

  ；
综上分析可知，或．
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查了圆的相关知识：“直径所对的圆周角等于”，“同弧所对的圆周角相等”，以及根据三角函数解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键.
17．
【分析】先根据勾股定理算出圆锥底面圆的半径，然后算出弧长，再根据弧长公式反推出圆心角．
【详解】解：根据母线和高，用勾股定理可以算出圆锥底面圆的半径，
则展开之后扇形的弧长就等于底面圆的周长，
再根据弧长公式，得到，算出．
故答案是：．
【点睛】本题考查扇形和圆锥有关的计算，解题的关键是要熟悉扇形和圆锥之间的关系以及有关的计算公式．
18．
【分析】过点P作于点H，由题意易得，进而可得即为，若使的值为最小，也就相当于为最小，则有当点C、P、H三点共线时，的值为最小，最后问题可求解．
【详解】解：过点P作于点H，如图所示：

∵，，
∴，
∴，
∴，
若使的值为最小，也就相当于为最小，
∴当点C、P、H三点共线时，的值为最小，如图所示：

∵，
∴，
∴的最小值为；
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角函数及勾股定理，解题的关键是利用“胡不归”模型找到最小值的情况，然后进行求解即可．
19．或10
【分析】分两种情况进行讨论，当点M在线段上时，当点M在延长线上时，分别画出图形，根据矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理求出结果即可．
【详解】解：当点M在线段上时，过点E作于点G，延长交于点H，如图所示：

∵四边形为矩形，
∴，，，
根据折叠可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴根据勾股定理得：，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
设，则，
∵，
∴在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：；
当点M在延长线上时，过点E作于点G，延长交于点H，如图所示：

∵四边形为矩形，
∴，，，
根据折叠可知，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴根据勾股定理得：，
∵，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
设，则，
∴在中，根据勾股定理得：，
即，
解得：；
综上分析可知，的长为或10．
故答案为：或10．
【点睛】本题主要考查了矩形与折叠，等腰三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是画出图形，注意分类讨论．
20．
【分析】根据等边三角形的性质和，得，得到，同理求得，根据含角的直角三角形的性质可求得的边长，得到点的坐标．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理可得，，
∵，
∴，
∴，即的边长为，则其高为，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识点，根据条件找到等边三角形的边长和的关系是解题的关键．
21．，
【分析】先根据分式的混合运算法则化简，再根据特殊角的三角函数值求得x，最后代入计算即可．
【详解】解：，
，

．
当时，原式．
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、特殊角的三角函数值等知识点，灵活运用分式混合运算法则化简分式是解答本题的关键．
22．(1)见解析，
(2)见解析，
(3)

【分析】（1）根据三角形在平面直角坐标系点的平移变化，记住对应点一定作相同的变化即可；
（2）根据旋转性质，绕点逆时针旋转，结合图形，对应点易求解；
（3）求点旋转到点所经过的路径长，转化为求弧长即可．
【详解】（1）如图，
  
∵点的对应点，
∴横坐标，纵坐标，
∴点即，
（2）如图，旋转点的坐标为，
  
（3）如图，点旋转到点 所经过的路径是弧长，
由旋转性质可知，，，
∴点旋转到点所经过的弧长为．
【点睛】本题考查了旋转变换和平移变换等知识，解题的关键是掌握平移变换，旋转变换的性质，弧长公式的应用．
23．(1)
(2)或

【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；
（2）如图，过点P作轴于点T，过点D作轴于点K，则；则，根据相似三角形的性质结合已知条件可得；设且，则；然后再分别求得设直线的解析式和直线OP的解析式，进而用t表示出点D的坐标，可得，最后代入求得t即可解答．
【详解】（1）解:将点和点代入，
得，解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，过点P作轴于点T，过点D作轴于点K，则
  
∴
∴，
∵，即，
∴ ，
∵．
∴，
∴设直线的解析式为，
∴，解得：，
∴设直线BC的解析式为，
设且，
∴，
设直线OP的解析式为，
∴，
∴，
∴直线OP的解析式为，
，解得，
∴，
∴，解得：或．
∴点P的横坐标为或．
【点睛】本题主要考查了求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质等知识点，将函数问题转化几何问题成为解答本题的关键．
24．(1)200名
(2)见解析
(3)
(4)450名

【分析】（1）用喜欢小说的人数除以其人数占比即可求出参与本次调查的学生人数；
（2）先求出喜欢科普常识的人数，然后补全统计图即可；
（3）用乘以喜欢其他的人数占比即可得到答案；
（4）1500乘以样本中喜欢科普常识的人数占比即可得到答案．
【详解】（1）解：（名）．
答：一共有200名学生参与了本次问卷调查．
（2）解：喜欢科普常识的人数为名，
补全条形统计图如图所示：
  
（3）解：，
∴扇形统计图中“其他”所在扇形的图心角度数为，
故答案为：；
（4）（名）．
答：估计喜欢“科普常识”的学生有450名．
【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量及数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法．
25．(1)
(2)
(3)或

【分析】（1）根据小张从A到B用了4小时，结合小张的速度即可得到答案．
（2）设小王返回追上小张时，小张所用的时间为，先求出小王返回时的速度，再根据路程速度时间列出方程求解即可；
（3）设小王从A地返回B地的过程中，与小张相距12千米时的行驶时间为t，然后分当小王没有追上小张时，当小王追上小张后，两种情况建立方程求解即可．
【详解】（1）解：，
∴A，B两地之间的路程为，
故答案为：；
（2）解：设小王返回追上小张时，小张所用的时间为．
小王返回时的速度为．
∴．
解得．
．
答：小王返回追上小张时，他们离B地的距离为．
（3）解：设小王从A地返回B地的过程中，与小张相距12千米时的行驶时间为t，
当小王没有追上小张时，由题意得，，
解得；
当小王追上小张后，由题意得，，
解得，
综上所述，小王从A地返回B地的过程中，与小张相距12千米时的行驶时间为或．
【点睛】本题主要考查了从函数图象获取信息，一元一次方程的实际应用，正确读懂函数图象是解题的关键．
26．(1)
(2)图②猜想：．图③猜想：，见解析

【分析】（1）根据等边三角形的性质得出，再由各角之间的关系确定，根据全等三角形的判定和性质即可证明；
（2）根据图象对图②③作出猜想即可；过点D作，交于点G，根据等边三角形的判定和性质得出为等边三角形，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可证明．
【详解】（1）证明：∵点F与点A重合，
∴与都是等边三角形，
∴，
∴，

∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）图②猜想：．
图③猜想：．
图③证明：过点D作，交于点G，如图．

∵是等边三角形，
∴．
∵，
∴，．
∴为等边三角形．
∴．
∵为等边三角形，
∴，．
∵，即，
∴．
∴．
∵，
∴．
【点睛】题目主要考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解题意，熟练掌握运用这些知识点是解题关键．
27．(1)甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．
(2)8种
(3)a的值为150．

【分析】（1）设未知数列二元一次方程组解方程即可；
（2）设未知数列不等式，解不等式，考虑实际问题中取整得到解的可能情况；
（3）用（2）中未知数和a列出利润计算式，根据m的值不影响利润结果得到含m的项系数为0，求出a即可．
【详解】（1）设甲型号手机每部进价为x元，乙型号手机每部进价为y元．
依题意，得．
解得．
答：甲型号手机每部进价为1000元，乙型号手机每部进价为800元．
（2）设购进甲型号手机m部，则购进乙型号手机部．
依题意，得，
解得．
又m为整数，m可以为9，10，11，12，13，14，15，16．
有8种进货方案．
（3）设20部手机全部销售完后获得的总利润相等，则
．
（2）中每种方案获利相同，
利润计算式中不能有含的项，
．
．
答：a的值为150．
【点睛】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，及定值问题．注意定值问题中一个式子的值与m无关，则含有m的项中，m的系数为0．
28．(1)
(2)
(3)或或

【分析】（1）解一元二次方程，推出，，可得；
（2）点D落在上时，再分和两种情况分别计算即可；
（3）求出点D落在上时点D，P，Q的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，设，，分点M在x轴下方，点M在x轴上方、下方，点M在上方三种情况，利用平行四边形的性质分别列式求解即可
【详解】（1）解：解方程，
得，．
∵，．
∴，，
∴点B的坐标为．
（2）解：由题意，得，．
在中，，
∴．
由折叠可知，，．
当点D落在上时，如下图所示：

∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
①当时，
；
②当时，设与，分别交于点E，F．

∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
综上，．
（3）解：由（1）知，点D落在上时，
此时，，，
∴，，，
∴，
∴，，，
设直线的解析式为，
则，
解得，
∴直线的解析式为，
点N在x轴上，点M在直线上，
∴设，，
以D，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，分三种情况：
当点M在x轴下方时，如图所示：

由平行四边形的性质可得，，，
即，
解得，
；
当点M在x轴上方、下方时，如图所示：

由平行四边形的性质可得，，，
即，
解得，
；
当点M在上方时，如图所示：

由平行四边形的性质可得，，，
即，
解得，
；
综上可知，点M的坐标为或或．
【点睛】本题考查解一元二次方程，矩形中的动点问题，解直角三角形，平行四边形存在性问题等，解题的关键是求出点D落在上时点D，P，Q的坐标，画出不同情况下点M和点N的位置示意图．