2023年黑龙江省佳木斯市中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年黑龙江省佳木斯市中考二模数学试题（含解析），共32页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年黑龙江省佳木斯市中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列计算正确的是（   ）
A． B． C． D．
2．下列历届世博会会徽的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．某校九年级有11名同学参加“庆祝二十大”党知识竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛．小兰已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这11名同学成绩的（   ）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．方差
4．如图是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和俯视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数最多为(   )
  
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
5．某商场将进货价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，则每天可多售5件，如果每天要盈利800元，每件应降价（    ）
A．12元 B．10元 C．11元 D．9元
6．已知关于的分式方程的解是负数，那么的取值范围是（   ）
A． B．且 C． D．
7．双曲线与直线交于A，两点，过点A作轴于点，过点作轴于点，连接，则四边形的面积为(   )
  
A．3 B．6 C．9 D．12
8．刘老师为鼓励学习成绩优秀的同学，计划用60元钱全部购买甲、乙两种笔记本作为奖品．已知甲种笔记本每本3元，乙种笔记本每本5元，则刘老师购买笔记本的方案共有（   ）
A．6种 B．5种 C．4种 D．3种
9．如图，在平行四边形中，，，是上一点，，连接，过点作，交的延长线于点，则的长为（   ）

A．1 B． C． D．2
10．如图，正方形的边长为6，E，F分别为上两点，且，作．交于点G，交于点H，连接．下列结论：①；②；③当时，的面积为6；④CH的最小值是．其中结论正确的序号是（   ）
  
A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③

二、填空题
11．千年天问，梦圆火星，近期我国研制祝融号火星车传回的数据中，发现了火星乌托邦平原40亿年以来发生的水和风沙活动的新证据，数据40亿用科学记数法表示为_____．
12．在函数中，自变量的取值范围是_______．
13．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，若，请你添加一个条件________，使四边形是正方形（填一个即可）．
  
14．在一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的3个白球、2个红球，从中随机摸出1个球，记下颜色，不放回，再随机摸出1个球，则两次摸到的球颜色相同的概率是_______．
15．若关于的一元一次不等式组只有个整数解，则的取值范围是_______．
16．如图，是的外接圆，，于点，，则的长为_______．
  
17．一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，则圆锥的高为_________．
18．如图，等腰直角三角形中，，，D是边的中点，P是边上一动点，连接，则的最小值为________．
  
19．已知中，，，，将它的一条直角边沿一锐角角平分线所在直线翻折，使直角顶点落在斜边上，则折叠后不重合部分三角形的面积为______．
20．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以点为位似中心，在点的异侧作的位似图形，使与的相似比为1：2；再以点为位似中心，在点的异侧作的位似图形，使与的相似比为以此类推，则点的坐标为_______．
    

三、解答题
21．先化简，再求值：，其中．
22．如图，网格中每个小正方形的边长都是1个单位长度，的三个顶点都在格点上，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题：

(1)将先向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，画出两次平移后得到的；
(2)将绕点：逆时针旋转，画出旋转后的；
(3)求（2）中线段在旋转过程中扫过的面积．
23．如图，抛物线交轴于点，，交轴于点，对称轴是直线．
  
(1)求抛物线的解析式；
(2)点在抛物线上，若直线平分的面积，请直接写出点的坐标．
24．在我市开展的“阳光体育”跳绳活动中，为了解中学生跳绳活动的开展情况，随机抽查了全市九年级部分同学1分钟跳绳的次数x（单位：次），将抽查结果进行统计，并绘制出如下两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：
  
(1)本次共抽查了多少名学生？
(2)请补全频数分布直方图，并求出扇形统计图中跳绳次数为所在扇形的圆心角度数；
(3)若本次抽查中，跳绳次数在125次以上（含125次）为优秀，请你估计全市5000名九年级学生中有多少名学生的成绩为优秀．
25．一条公路上依次有A，C，B三地，甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶，甲车驶向C地，乙车从B地驶向C地，停1h后按原速原路返回到B地．两车与C地的距离y（单位：）与甲车出发的时间x（单位：h）之间的函数图象如图所示．

(1)求甲、乙两车的速度；
(2)求乙车从出发到返回B地的过程中y与x之间的函数解析式；
(3)直接写出甲车出发多长时间时，甲、乙两车相距．
26．已知为等边三角形，D为平面内一点，连接，过点B作交直线于点E，．
  
(1)如图①，求证：；
(2)如图②、图③，请分别写出线段之间的数量关系，不需要证明．
27．国家鼓励大学生创业，王同学毕业后开办一家服装加工厂，计划生产甲、乙两种服装共100套投放到市场销售．已知甲种服装每套成本34元，售价39元；乙种服装每套成本42元，售价50元．服装厂预计两种服装的成本不低于3752元，不高于3768元．
(1)问服装厂有哪几种生产方案？
(2)若生产的100套服装全部售出，最多可获得利润多少元？
(3)按获利最大的方案生产这100套服装，服装厂拿出6套服装捐赠给某社区低保户，其余94套全部售出，这样服装厂可获得利润349元．请直接写出捐出几件甲种服装，几件乙种服装．
28．在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B在y轴上，且的长是方程的两个根，过点B作点轴，且与x轴的夹角为度．动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段向点C运动，动点Q从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向点C运动，点P，Q同时出发，当其中一个点到点C后同时停止运动，设运动的时间为t秒．
  
(1)求点C的坐标；
(2)设的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3)M是直线上一点，在平面内是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．C
【分析】根据合并同类项，同底数幂相除，同底数幂相乘，积的乘方法则，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项错误，不符合题意；
C、，故本选项正确，符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故选：C
【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数相除，同底数相乘，积的乘方法则，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
2．C
【分析】根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、是中心对称图形，符合题意；
D、不是中心对称图形，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的的定义及特点是解题的关键．
3．A
【分析】11人成绩的中位数是第6名的成绩．参赛选手要想知道自己是否能进入前6名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
【详解】解：由于总共有11个人，且他们的成绩互不相同，第6名的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，故应知道自己的成绩和中位数．
故选：A．
【点睛】本题考查了中位数的意义，理解中位数反映了数据的中间水平是解答本题的关键．
4．C
【分析】根据题意，在俯视图上标记最大数字，并求和即可．
【详解】解：依题意得：
  
框内数字是指该位置上的正方体的最大个数，
这个几何体的小立方体的个数最多为：（个），
故选：C．
【点睛】本题考查由三视图判断正方体的个数，利用俯视图填空的方法和空间想象能力是解题的关键．
5．B
【分析】设应降价x元，根据题意列写方程并求解可得答案．
【详解】设应降价x元
则根据题意，等量方程为：(65－x－45)(30+5x)=800
解得：x=4或x=10
∵要尽快较少库存，∴x=4舍去
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程利润问题的应用，需要注意最后有2个解，需要按照题干要求舍去其中一个解．
6．D
【分析】先解分式方程得出，根据方程的解为正数，分式有意义的条件得出且，即可求解．
【详解】解：，
即，
∴，
解得：，
∵，
∴，
∵的解为负数，
∴，
解得：，
∴．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，熟练掌握分式方程的解法以及分式有意义的条件是解题的关键．
7．B
【分析】利用反比例函数关于原点中心对称，设A点，则C点，由坐标的特征便可计算四边形面积；
【详解】解：∵反比例函数图象上任意一点关于原点的对称点也在函数图象上，
∴反比例函数关于原点对称，
设A点，则C点，
又∵轴，轴，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象性质，掌握反比例函数关于原点中心对称是解题关键．
8．D
【分析】设刘老师购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本，根据题意列出二元一次方程，并结合均为非负整数，即可获得答案．
【详解】解：设刘老师购买甲种笔记本本，购买乙种笔记本本，
根据题意可得，
∴，
∵均为正整数，
∴或或，
∴共有3种购买方案．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题关键．
9．D
【分析】过E点作交于，组成2个平行四边形，利用对边相等，得出，在利用等角的余角相等及等角对等边得到，再根据题意得出结果．
【详解】解：过E点作交于．

四边形是平行四边形，．
．
四边形和四边形都是平行四边形．
．
又，
．
．
．
，
，
，
．
故答案选：D．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等角对等边、等角的余角相等等知识点，其中会过点作已知边的平行线是本题的关键．
10．D
【分析】先证可得，再根据说明即可判定①；如图：延长到M，使,然后再证可得，进而说明是的垂直平分线可得，然后根据线段的和差和等量代换即可判定②；由结合可得,，然后运用勾股定理求得,进而得到，再根据三角形的面积公式计算即可判定③；如图：取的中点Q，连接，由直角三角形的性质和勾股定理可得、，再说明当Q、H、C三点共线时，有最小值，然后求解即可判定④．
【详解】解：∵正方形，
∴,，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴,即，
∴，即①正确；
如图：延长到M，使,
∵,,，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴,即②正确；
∵，
∴，
∵，
∴,，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴的面积为,即③正确；
如图：取的中点Q，连接，
∵，
∴，
在中，,
在中，，当Q、H、C三点共线时，有最小值，,即④错误．
则正确的有①②③．
故选D．
  
【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，综合应用所学知识成为解答本题的关键．
11．
【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
【详解】解：40亿，用科学记数法表示为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数．
12．
【分析】自变量的取值范围即使得式子有意义的的取值范围．
【详解】解：，
，
解得．
函数的自变量的取值范围为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了函数的自变量，熟知函数自变量取值范围的求法是解题的关键．
13．（答案不唯一）
【分析】根据正方形的判定方法进行解答即可．
【详解】解：∵在平行四边形中，，
∴平行四边形为矩形，
添加条件可以利用对角线互相垂直的矩形是正方形，得出四边形是正方形；
添加或或或，利用一组邻边相等的矩形为正方形，得出四边形是正方形．
故答案为：．（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查了正方形的判定，解题的关键是熟练掌握正方形的判定方法．
14．/
【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸到的球颜色相同的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
  
共有20种等可能的结果，其中两次摸到的球颜色相同的有8种情况，
两次摸到的球颜色相同的概率是．
故答案为：．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
15．/
【分析】先解不等式组，再根据该不等式组有且仅有个整数解判断的取值范围．
【详解】解：解不等式组，得．
又该不等式组有且仅有个整数解，
该不等式组的两个整数解为或，
，
解得．
故答案为：．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的整数解求参数的取值范围，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
16．6
【分析】根据圆周角定理得出，根据垂径定理以及勾股定理即可求解．
【详解】解：∵是的外接圆，，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
，
∴．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，掌握相关性质定理是解题的关键．
17．
【分析】先根据侧面积计算公式求出母线长，再根据圆锥的侧面展开图，即对应扇形的弧长是底面圆的周长，结合题意列出方程，求出底面的半径，进而利用勾股定理求出高即可．
【详解】解：设圆锥的底面半径为R，母线长为l，
∵一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴圆锥的高为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了，圆锥的侧面积计算，圆锥侧面展开图中弧长的等量关系，勾股定理等等，正确求出母线长和底面圆的半径是解题的关键．
18．
【分析】找D点关于的对称点，连接，连接交于点，的最小值即为的长度，即可解答．
【详解】

  
解：如图，找D点关于的对称点，连接，分别交于点，
D点关于的对称点为点，
，，
因此当点在同一直线时，的值最小，即的长度，
等腰直角三角形，，
，
，
，D是边的中点，
，
在中，，
的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了对称轴-最短路径问题，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练画出辅助线是解题的关键．
19．或6
【分析】首先利用勾股定理求出的斜边的长，然后根据题意，分两种情况画出图形，利用折叠的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∴，
可分两种情况：
第一种情况：如图1，不重合部分是，

∵直角边沿的平分线所在直线翻折，直角顶点C落在斜边上点D处，
∴，，，
∴，
设，则，
∴，即，
解得，
∴，
∴；
第二种情况：如图2，不重合部分是，

∵直角边沿的平分线所在直线翻折，直角顶点C落在斜边上点D处，
∴，，
∴，
设，则，
∴，即，
解得，
∴，
∴；
综上所述，折叠后不重合部分三角形的面积为或6．
故答案为：或6．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查了勾股定理、折叠的性质的知识．根据题意分情况计算是解答本题的关键．
20．
【分析】结合位似图形的性质，确定点的变化规律，即可获得答案．
【详解】解：根据题意，点的坐标为，在点的异侧作的位似图形，使与的相似比为，
则，
再以点为位似中心，在点的异侧作的位似图形，使与的相似比为，
则，
……
所以，点，
故点的坐标为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、位似图形、点的坐标规律等知识，结合位似图形的性质确定点的变化规律是解题关键．
21．，
【分析】先根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，再将x的值化简，最后将x的值代入即可求解．
【详解】解：原式

．
当时，
原式．
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，特殊角度的三角函数计算，解题的关键是掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序，以及熟记各个特殊角度的三角函数值．
22．(1)见解析
(2)见解析
(3)线段扫过的面积为

【分析】（1）根据图形平移的性质画出两次平移后的即可．
（2）根据旋转图形的作法，先确定旋转后的点的位置，然后顺次连接即可；
（3）根据勾股定理求出的长，由扇形的面积公式即可计算出线段旋转过程中扫过的面积．
【详解】（1）解：如图所示即为所求；
  
（2）如图所示即为所求；
（3），
线段扫过的面积为．
【点睛】题目主要考查图形的平移和旋转，求扇形的面积，熟练掌握图形的平移和旋转时解题关键．
23．(1)抛物线的解析式为
(2)，

【分析】（1）先根据对称性求出与x轴的另一个交点，再根据交点式可直接出结果；
（2）由直线平分的面积推出直线经过的中点，求出这个中点，从而求出直线的解析式，将直线的解析式与抛物线的解析式联立方程组可求出点P的坐标．
【详解】（1）解：点关于直线的对称点是，点在抛物线上，
∴的两根是，
又∵二次项系数，
∴由交点式可得抛物线的解析式为：，即；
（2）点的坐标：，．
补充求解过程如下：
令得：
∴
∵直线平分的面积，
∴直线经过的中点，设为点D，
∵，
∴
  
设直线的解析式为，
将点D代入得：
解得：，
∴直线的解析式为．
将直线的解析式与抛物线的解析式联立得：

将①代入②得：
解得：，
当时，，
当时，，
∴直线与抛物线的公共点即点的坐标：，
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，直线与二次函数的交点问题，掌握待定系数法和求抛物线与直线的交点的方法是解题的关键．
24．(1)本次共调查了200名学生
(2)补全频数分布直方图见解析；跳绳次数为所在扇形的圆心角度数为81°
(3)全市5000名九年级学生中有2625名学生的成绩为优秀

【分析】（1）根据的人数是人，所占的百分比是12%，据此即可求得总人数；
（2）利用总人数减去其它各组的人数即可求得一组的频数，利用乘以对应的比例即可求得圆心角的度数；
（3）利用总人数5000乘以125次以上所占的比例即可求解．
【详解】（1）（名）.
答：本次共调查了200名学生.
（2）（名）.
补全频数分布直方图如图.
跳绳次数为所在扇形的圆心角度数为.
  
（3）（名）
答：全市九年级学生中有2625名学生的成绩为优秀．
【点睛】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，求扇形统计图圆心角度数，两图结合，从图中正确获取信息是解题的关键．
25．(1)甲车的速度为，乙车的速度为
(2)
(3)甲车出发或或时，甲、乙两车相距300km

【分析】（1）根据速度=路程时间，将图象中的数据代入计算，即可求解；
（2）由乙车图象，利用待定系数法求解即可；
（3）先求得甲车y与x之间的函数解析式，根据图象，分情况讨论即可．
【详解】（1）解：甲车的速度为，
乙车的速度为；
（2）解：，.
当时，设所求函数解析式为，
把代入，得，
解得，
所求函数解析式为；
当时，所求函数解析式为；
当时，设所求函数解析式为.
将，代入，得，
解得，
所求函数解析式为.
综上，；
（3）解：设甲车从出发到C地的过程中y与x之间的函数解析式为，
将，代入，得，
解得：，
甲车从出发到C地的过程中y与x之间的函数解析式为，
①当时，，
解得：；
②当时，，
解得：；
③当时，，
解得：；
甲车出发或或时，甲、乙两车相距．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数解析式，一元一次方程的应用，解题的关键是理解每段图象的意义，进行分类讨论．
26．(1)见解析
(2)图②：；图③：

【分析】（1）在上截取，连接，再说明为等边三角形可得、，进而再证可得，最后根据线段的和差即可证明结论；
（2）根据（1）的方法进行推理即可解答．
【详解】（1）证明：在上截取，连接，
  
，，
，，
，
为等边三角形.
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
（2）解：如图②，在延长线上截取，连接．
  
，，
，
，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
∵，
，
，
，
，
．
如图②，在的延长线上截取，连接．
  
，，
，
，
为等边三角形，
，
为等边三角形，
，，
∵，
∴，
，
，
，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识点，作出辅助线、构造等边三角形是解答本题的关键．
27．(1)方案一：甲种服装54套，乙种服装46套；方案二：甲种服装55套，乙种服装45套；方案三：甲种服装56套，乙种服装44套
(2)最多可获得利润638元
(3)捐出甲种服装1套，乙种服装5套

【分析】（1）先设生产甲种服装套，则生产乙种服装套，根据两种服装的成本不低于3752元，不高于3768元列出不等式组，解出x的范围从而得到所有方案；
（2）设利润为y元，求出y与x的关系式，再根据函数的增减性求出最大值即可；
（3）设捐出甲种服装m套，则乙种服装套，根据利润的差就是卖掉捐出的6套服装服装的总价列出方程，解出m即可得解．
【详解】（1）设生产甲种服装套，则生产乙种服装套．
根据题意，得
解得．
为正整数，
可以取54，55，56元．
方案一：甲种服装54套，乙种服装46套；
方案二：甲种服装55套，乙种服装45套；
方案三：甲种服装56套，乙种服装44套．
（2）设利润为y元．

，随的增大而减小．
当时，有最大值为638．
答：最多可获得利润638元．
（3）捐出甲种服装1套，乙种服装5套．
补充理由如下：
由（2）知最大利润的方案是：甲种服装54套，乙种服装46套，
则利润的差就是卖掉捐出的6套服装服装的总价，
设捐出甲种服装m套，则乙种服装套
则有：，
解得：
∴
答：捐出甲种服装1套，乙种服装5套．
【点睛】本题考查不等式组的应用，一次函数的应用，一元一次方程的应用，根据题意列不等式组、函数关系式、方程是解题的关键．
28．(1)点的坐标为
(2)
(3)存在点N．坐标为或或或．

【分析】（1）过点作轴，垂足为.则，解，得，，求得点A的坐标是，点B的坐标是，证明四边形是矩形，则，由得到，则.即可得到答案；
（2）作于点，由题意可得、，，然后解直角三角形可得、最后根据实际和三角形的面积公式即可解答；
（3）设点M的坐标是、N的坐标是，然后分是对角线、当为边、是对角线三种情况，分别根据中点坐标公式、两点间距离公式求解即可解答．
【详解】（1）解：如图：过点作轴，垂足为.则，
  
解，得，．
，
，，
∴点A的坐标是，点B的坐标是，
∵轴，，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
，
，
，
．
点的坐标为．
（2）解：作于点．
  
由题意可得，，
，
，
，
，
，，
，
．
（3）解：∵M是直线上一点，
∴可设点M的坐标是，
设点N的坐标是，
①当是对角线时，由中点坐标公式得到，
∴，
由得到，解得，
∴点N的坐标是；
②当为边时，则，
∴，，
∴，， ，
解得，
∴此时点N的坐标是或；
③当是对角线时，由中点坐标公式得到，
∴，，
由得到，解得（不合题意，舍去）或，
∴，解得，
∴此时点N的坐标是．
综上可知，存在点N，坐标分别为或或或．
【点睛】本题主要考查了菱形的判定和性质、勾股定理、一元二次方程、函数解析式等知识点，掌握分类讨论和数形结合是解题的关键.