2024届高考数学一轮复习第5章第6节数系的扩充与复数的引入学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第5章第6节数系的扩充与复数的引入学案，共13页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第六节　数系的扩充与复数的引入
考试要求：1．理解复数的代数表示及其几何意义．
2．理解两个复数相等的含义．
3．掌握复数代数形式的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义．

一、教材概念·结论·性质重现
1．复数的定义及分类
(1)复数的定义
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是a，虚部是b．
(2)复数的分类：
复数z＝a＋bi(a，b∈R)实数b=0 虚数b≠0纯虚数a=0 非纯虚数a≠0
2．复数的有关概念
(1)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(2)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(3)模：向量OZ的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝a2+b2(a，b∈R)．
3．复数的几何意义
复平面的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
实轴、虚轴
在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的几何表示
复数z＝a＋bi 一一对应 复平面内的点Z(a，b) 一一对应 平面向量OZ
几何意义

复数的加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行．如图给出的平行四边形OZ1ZZ2，OZ＝OZ1+OZ2，Z1Z2＝OZ2-OZ1
4.复数的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(4)z1z2＝a+bic+di＝a+bic-dic+dic-di＝ac+bdc2+d2+bc-adc2+d2i(c＋di≠0)．
5．常用结论及复数加、减法的几何意义
(1)(1±i)2＝±2i，1+i1-i＝i，1-i1+i＝－i.
(2)i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i，i4n＋i4n+1＋i4n+2＋i4n+3＝0(n∈N*)．
(3)z·z＝|z|2＝|z|2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，z1z2＝z1z2，|zn|＝|z|n.
(4)复数加法的几何意义：若复数z1，z2对应的向量OZ1，OZ2不共线，则复数z1＋z2是以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的对角线OZ所对应的复数．
(5)复数减法的几何意义：复数z1－z2是OZ1-OZ2＝Z2Z1所对应的复数．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解． (　×　)
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi. (　×　)
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小． (　×　)
(4)原点是实轴与虚轴的交点． (　√　)
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模． (　√　)
2．(1－i)4＝(　　)
A．－4 B．4
C．－4i D．4i
A　解析：(1－i)4＝[(1－i)2]2＝(－2i)2＝－4.
3．在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数是(　　)
A．1－2i B．－1＋2i
C．3＋4i D．－3－4i
D　解析：CA＝CB+BA＝－1－3i＋(－2－i)＝－3－4i.
4．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x＝_______．
－1　解析：因为z为纯虚数，所以x2-1=0，x-1≠0，所以x＝－1.
5．已知(1＋2i)z＝4＋3i，则z＝_________．
2＋i　解析：因为(1＋2i)z＝4＋3i，所以z＝4+3i1+2i＝4+3i1-2i1+2i1-2i＝10-5i5＝2－i，所以z＝2＋i.


考点1　复数的有关概念——基础性

1．设a∈R且a≠0，若复数(1＋ai)3是实数，则a2＝(　　)
A．9 B．6
C．3 D．2
C　解析：因为(1＋ai)3＝1＋3ai＋3(ai)2＋(ai)3＝1－3a2＋(3a－a3)i，所以3a－a3＝0，又a≠0，所以a2＝3.故选C.
2．已知a，b∈R，a＋3i＝(b＋i)i(i为虚数单位)，则(　　)
A．a＝1，b＝－3 B．a＝－1，b＝3
C．a＝－1，b＝－3 D．a＝1，b＝3
B　解析：因为a＋3i＝(b＋i)i＝－1＋bi，a，b∈R，所以a＝－1，b＝3.
3．设复数z＝1+i2 0212-i，则z的虚部是(　　)
A．35 B．35i
C．15 D．15i
A　解析：z＝1+i2 0212-i＝1+i4×505·i2-i＝1+i2-i＝1+i2+i2-i2+i＝1+3i5，所以z的虚部是35.故选A.

解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
(2)解题时一定要先看复数是不是a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
(3)解决此类问题的关键是弄清复数的相关概念，如第1题易弄混复数为实数的条件而致错；第3题易混淆复数虚部的概念而误选B.

考点2　复数的几何意义——应用性

(1)(2021·新高考全国Ⅱ卷)复数2-i1-3i在复平面内对应的点所在的象限为(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
A　解析：2-i1-3i＝2-i1+3i1-3i1+3i＝5+5i10＝12+12i.故选A.
(2) (2020·全国Ⅱ卷)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝3＋i，则|z1－z2|＝_________．
23　解析：方法一：设z1，z2在复平面内对应的向量为OZ1，OZ2，以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形(图略)．
则|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)，
所以|z1－z2|2＝2(22＋22)－4＝12，所以|z1－z2|＝23.
方法二：设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4.又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝3＋i，所以a＋c＝3，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，
所以8＋2ac＋2bd＝4，
即2ac＋2bd＝－4，
所以|z1－z2|＝a-c2+b-d2＝a2+b2+c2+d2-2ac+2bd＝8--4＝23.

若本例(2)条件不变，则复数z1＋z2对应向量与复数z1对应向量的夹角等于_________．
60°　解析：因为|z1|＝|z2|＝|z1＋z2|＝2，
所以由平行四边形法则知，复数z1与复数z1＋z2对应向量的夹角为60°.


复数几何意义问题的解题策略
(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ间的相互联系：z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ＝(a，b)．
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题简单化．

1．(2022·聊城月考)设复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝(　　)
A．1＋i B．35+45i
C．1＋45i D．1＋43i
B　解析：因为复数z1，z2在复平面内对应的点关于实轴对称，z1＝2＋i，所以z2＝2－i，所以z1z2＝2+i2-i＝2+i25＝35+45i.
2．复数z满足|z－2|＝1，则|z|的最大值为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．3
C　解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，因为|z－2|＝1，所以复数z对应点Z(x，y)在以A(2，0)为圆心，1为半径的圆上运动．由图可知当点Z位于点B(3，0)处时，点Z到原点的距离最大，最大值为3.故选C.


考点3　复数的运算——综合性

考向1　复数的乘法运算
(1)(2021·新高考Ⅰ卷)已知z＝2－i，则z(z＋i)＝(　　)
A．6－2i B．4－2i
C．6＋2i D．4＋2i
C　解析：因为z＝2－i，所以z＝2＋i，则z(z＋i)＝(2－i)·(2＋2i)＝4＋4i－2i＋2＝6＋2i.故选C.
(2)若复数z满足z1-i＝i，其中i为虚数单位，则z＝(　　)
A．1－i B．1＋i
C．－1－i D．－1＋i
A　解析：因为z1-i＝i，所以z＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i.

复数乘法运算的要点
复数的乘法类似于多项式的乘法，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可，但要注意把i2换成－1.
考向2　复数的除法运算
(1) (2021·全国乙卷)设iz＝4＋3i，则z＝(　　)
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
C　解析：方法一：因为iz＝4＋3i，所以i2z＝(4＋3i)·i＝－3＋4i，所以－z＝－3＋4i，则z＝3－4i.故选C.
方法二：由iz＝4＋3i，得z＝4+3ii＝4+3i-ii·-i＝3－4i.故选C.
(2)(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋z＝(　　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
D　解析：由i(1－z)＝1，得1－z＝1i＝-i-i2＝－i，所以z＝1＋i，则z＝1－i，
所以z＋z＝1＋i＋1－i＝2.

求解复数除法问题的注意点
除法的关键是分子、分母同乘分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式．

1．(2022·全国甲卷)若z＝1＋i，则|iz＋3z|＝(　　)
A．45 B．42
C．25 D．22
D　解析：z＝1＋i，所以iz＋3z＝i＋i2＋3(1－i)＝i－1＋3－3i＝2－2i，
则|iz＋3z|＝22+-22＝22.
2．(多选题)下面是关于复数z＝2-1+i的四个命题，其中的真命题为(　　)
A．|z|＝2
B．z2＝2i
C．z的共轭复数为1＋i
D．z的虚部为－1
BD　解析：因为z＝2-1+i＝2-1-i-1+i-1-i＝－1－i，所以|z|＝2，z2＝2i，z的共轭复数为－1＋i，z的虚部为－1，故选BD.
3．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”．若复数z满足(eiπ＋i)·z＝i，则|z|＝(　　)
A．1 B．22
C．32 D．2
B　解析：由题意z＝ieiπ+i＝icosπ+isin π+i＝i-1+i＝i-1-i-1+i-1-i＝-i+12＝12-12i，
所以z＝122+-122＝22.故选B.
课时质量评价(三十一)
A组　全考点巩固练
1．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　)
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
D　解析：(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i－4i2＝6－2i.
2．(2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则(　　)
A．a＝1，b＝－1
B．a＝1，b＝1
C．a＝－1，b＝1
D．a＝－1，b＝－1
A　解析：因为(1＋2i)a＋b＝2i，所以a＋b＋2ai＝2i，即a+b=0，2a=2，解得a=1，b=-1.
3．(2022·北京卷)若复数z满足i·z＝3－4i，则|z|＝(　　)
A．1 B．5
C．7 D．25
B　解析：由i·z＝3－4i，得z＝3-4ii＝－3i－4，
所以|z|＝3-4ii＝3-4ii＝32+-421＝5.
4．(2022·全国甲卷)若z＝－1＋3i，则zzz-1＝(　　)
A．－1＋3i B．－1－3i
C．－13+33i D．－13-33i
C　解析：因为z＝－1＋3i，所以z·z＝|z|2＝-12+322＝4，
则zzz-1＝-1+3i4-1＝－13+33i.
5．设i为虚数单位，则复数z＝2-5i1+i的虚部为(　　)
A．32 B．－32
C．92 D．－92
B　解析：z＝2-5i1+i＝22+-521+i＝31-i1+i1-i＝3-3i2＝32-32i，所以复数z的虚部为－32.故选B.
6．复数z1，z2分别对应复平面内的点M1，M2，且|z1＋z2|＝|z1－z2|，线段M1M2的中点M对应的复数为4＋3i(i是虚数单位)，则|z1|2＋|z2|2＝(　　)
A．10 B．100
C．52 D．50
B　解析：由|z1＋z2|＝|z1－z2|可知，OM1⊥OM2，故△OM1M2为直角三角形，故有z12+z22＝OM12+OM22＝|M1M2|2＝4|OM|2＝100，故选B.
B组　新高考培优练
7．若复数z满足z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)，则|z|等于(　　)
A．5 B．3
C．5 D．25
C　解析：由题意z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i，则z＝10-5i2-i＝10-5i2+i2-i2+i＝5，所以|z|＝5.
8．(多选题)(2022·邯郸二模)若复数z满足(2＋i)z＋5i＝0，则(　　)
A．z的虚部为－2
B．z＝1＋2i
C．z在复平面内对应的点位于第二象限
D．|z4|＝25
AD　解析：由z＝-5i2+i＝－1－2i，虚部为－2，故A正确；z＝－1＋2i，故B错误；z在复平面内对应的点位于第三象限，故C错误；|z4|＝|z|4＝(5)4＝25，故D正确．故选AD.
9．在复平面内，复数z＝a＋bi(a∈R，b∈R)对应向量OZ(O为坐标原点)，设|OZ|＝r，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为θ，则z＝r(cos θ＋isin θ)．法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：z1＝r1(cosθ1+isin θ1)，z2＝r2(cos θ2＋isin θ2)，则z1z2＝r1r2[cos (θ1＋θ2)＋isin (θ1＋θ2)]，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，则(－1＋3i)10＝(　　)
A．1 024－1 0243i
B．－1 024＋1 0243i
C．512－5123i
D．－512＋5123i
D　解析：根据复数乘方公式zn＝[r(cos θ＋isin θ)]n＝rn(cos nθ＋isin nθ)，得(－1＋3i)10＝210cos10×2π3+isin 10×2π3＝1 024cos20π3+isin 20π3
＝1 024-12+32i＝－512＋5123i.故选D.
10．若复数z＝a+i1+i(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第一象限，则实数a的取值范围是_________．
(－1，1)　解析：由题意得z＝a+i1+i＝a+i1-i1+i1-i＝a+1+1-ai2，因为z在复平面内对应的点在第一象限，所以a+1>0，1-a>0，所以－1 11．已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下(i为虚数单位)：甲：z＋z＝2；乙：z－z＝23i；丙：z·z＝4；丁：zz＝z22.在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝1＋i．