人教A版高考数学一轮总复习第5章第4节数系的扩充与复数的引入课时学案

第四节　数系的扩充与复数的引入

一、教材概念·结论·性质重现

1．复数的有关概念

2．复数的几何意义

3．复数的加、减、乘、除运算法则

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则

(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.

(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.

(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.

(4)除法：＝＝＝＋i(c＋di≠0)．

4．常用结论

(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i，z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1||z2|，＝，|zn|＝|z|n.

二、基本技能·思想·活动体验

1．判断下列说法正误，对的打“√”，错的打“×”．

(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．(×)

(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi． (×)

(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小．(×)

(4)原点是实轴与虚轴的交点． (√)

(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．              (√)

2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则实数x的值为(　　)

A．－1 B．0

C．1 D．－1或1

A　解析：因为z为纯虚数，所以所以x＝－1.

3．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是(　　)

A．4＋8i B．8＋2i

C．2＋4i D．4＋i

C　解析：因为A(6,5)，B(－2,3)，所以线段AB的中点C(2,4)，则点C对应的复数为z＝2＋4i.

4．若复数z满足iz＝2－2i(i为虚数单位)，则z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限是(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

B　解析：由题意，因为z＝＝＝－2－2i，所以＝－2＋2i，则z的共轭复数对应的点在第二象限．

5．设z＝＋2i，则|z|＝________.

1　解析：因为z＝＋2i＝＋2i＝＋2i＝i，所以|z|＝1.

考点1　复数的有关概念——基础性

1．(2020·新乡一模)若与i的虚部互为相反数，则实数a的值为(　　)

A．－2　　B．2　　C．－1　　D．1

D　解析：因为＝＝＝－1－i，虚部为－1，

i＝a＋ai，虚部为a，

所以a－1＝0，即a＝1.

2．(2020·潍坊一模)已知z为复数，i为虚数单位．若复数为纯虚数，则|z|＝(　　)

A．2　　B．　　C．1　　D．

C　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，

所以复数＝＝

＝.

因为复数为纯虚数，所以a2＋b2＝1，a≠0.

所以|z|＝＝1.

3．(2020·青岛二模)若复数z满足(－i)z＝|＋i|(其中i是虚数单位)，则复数z的共轭复数的虚部为(　　)

A．  B．i  C．－  D．－i

C　解析：由(－i)z＝|＋i|得(－i)z＝＝2，

所以z＝＝＝＝＋i，所以＝－i，所以的虚部为－.

考点2　复数的几何意义——应用性

(2020·嘉祥模拟)欧拉公式eix＝cos x＋isin x(i是虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，e表示的复数位于复平面中的(　　)

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

A　解析：根据题意eix＝cos x＋isin x，故e＝cos＋isin＝＋i，表示的复数在第一象限．

若复数z＝在复平面内对应的点在第四象限，求实数m的取值范围．

解：z＝＝＝＋i，所以所以－1<m<1，故m的取值范围为(－1,1)．

考点3　复数的运算——综合性

考向1　复数的乘法运算

(1)(2020·山东省实验高考预测)已知复数z＝(1＋2i)(1＋ai)(a∈R)，若z∈R，则实数a＝(　　)

A．　　B．－　　C．2　　D．－2

D　解析：因为z＝(1＋2i)(1＋ai)＝(1－2a)＋(a＋2)i，又因为z∈R，所以a＋2＝0，解得a＝－2.

(2)(2020·柳州一模)若复数z满足＝i，其中i为虚数为单位，则z＝(　　)

A．1－i B．1＋i

C．－1－i D．－1＋i

A　解析：因为＝i，所以＝i(1－i)＝1＋i，所以z＝1－i.

考向2　复数的除法运算

(1)(2020·毕节一诊)已知i为虚数单位，若z(1＋i)2＝2＋i，则z＝(　　)

A．－i B．－＋i

C．－－i D．＋i

A　解析：由z(1＋i)2＝2＋i得

z＝＝＝＝＝－i.

(2)已知a∈R，i是虚数单位，若复数z＝∈R，则复数z＝________.

　解析：因为复数z＝＝＝＝＋i∈R，

所以＝0，即a＝3.

则复数z＝＝＝.

考向3　复数运算的综合应用

(1)(2020·银川三模)若复数z与其共轭复数满足z－2＝1＋3i，则|z|＝(　　)

A． B． 

C．2 D．

A　解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z－2＝a＋bi－2a＋2bi＝－a＋3bi＝1＋3i，故a＝－1，b＝1，z＝－1＋i，|z|＝.

(2)已知复数z＝－1＋i(i是虚数单位)，则＝(　　)

A．－1 B．1 

C．－i D．i

A　解析：因为z＝－1＋i，所以z2＝(－1＋i)2＝－2i，则z2＋z＝－1－i，

所以＝＝＝＝－1.故选A．

1．等于(　　)

A．－－i B．－＋i

C．－－i D．－＋i

D　解析：＝＝＝＝－＋i.

2．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝＋ai，z·＝4，则a为(　　)

A．1或－1 B．1

C．－1 D．不存在的实数

A　解析：由题意得＝－ai，

故z·＝3＋a2＝4⇒a＝±1.

3．若复数z满足z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)，则|z|等于(　　)

A． B．3 

C．5 D．25

C　解析：由题意z(2－i)＝(2＋i)(3－4i)＝10－5i，

则z＝＝＝5，所以|z|＝5.