2024届高考数学一轮复习第4章第4节函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及简单应用学案

这是一份2024届高考数学一轮复习第4章第4节函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及简单应用学案，共27页。学案主要包含了教材概念·结论·性质重现，基本技能·思想·活动经验等内容，欢迎下载使用。

第四节　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象及简单应用
考试要求：1．结合具体实例，了解函数y＝A sin (ωx＋φ)的实际意义．
2．能借助图象理解参数A，ω，φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响．
3．会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．

一、教材概念·结论·性质重现
1．y＝A sin (ωx＋φ)的有关概念
y＝A sin (ωx＋φ)
(A>0，ω>0，x≥0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝2πω
f＝1T＝ω2π
ωx＋φ
φ
2．用五点法画y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)在一个周期内的简图时，要找五个特征点，如下表所示：
ωx＋φ
0
π2
π
3π2
2π
x
-φω
π2-φω
π-φω
3π2-φω
2π-φω
y＝A sin (ωx
＋φ)
0
A
0
－A
0


1．五点法作简图要取好五个关键点，注意曲线凹凸方向．
2．相邻两个关键点的横坐标之间的距离都是周期的14.
3．函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径：


由函数y＝sin x的图象经过变换得到y＝sin(ωx＋φ)的图象，如先伸缩，再平移时，要平移φω个单位长度，而不是|φ|个单位长度．
二、基本技能·思想·活动经验
1．判断下列说法的正误，对的画“√”，错的画“×”．
(1)将y＝sin 2x的图象向右平移π3个单位长度，得到y＝sin 2x-π3的图象．
(　×　)
(2)函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A. (　×　)
(3)若函数y＝A sin (ωx＋φ)(A≠0)为偶函数，则φ＝kπ＋π2(k∈Z)． (　√　)
(4)函数y＝A cos (ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2. (　√　)
2．已知函数f(x)＝2sin x，为了得到函数g(x)＝2sin 2x-π3的图象，只需(　　)
A．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，再向右平移π6个单位长度
B．先将函数f(x)图象上所有点的横坐标变为原来的12，再向右平移π6个单位长度
C．先将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的12
D．先将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度，再将所有点的横坐标变为原来的2倍
B　解析：将f(x)＝2sin x的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，
得到的函数解析式为f(x)＝2sin 2x；再将函数f(x)＝2sin 2x图象上所有的点向右平移π6个单位长度，得到函数f(x)＝2sin 2x-π3.
3．函数f(x)＝cos ωx+π6(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移π3个单位长度后得到的图象对应函数的单调递减区间是(　　)
A．-π4+kπ，π4+kπ(k∈Z)
B．π4+kπ，3π4+kπ(k∈Z)
C．π12+kπ，7π12+kπ(k∈Z)
D．-5π12+kπ，π12+kπ(k∈Z)
B　解析：由题意知ω＝2ππ＝2，将函数f(x)的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g(x)＝cos 2x-π3+π6＝cos2x-π2＝sin 2x的图象，由2kπ＋π2≤2x≤2kπ＋3π2(k∈Z)，解得函数的单调递减区间为kπ+π4，kπ+3π4(k∈Z)．
4．已知函数f(x)＝A sin (2x＋φ)A＞0，φ＜π2，其中x和f(x)部分对应值如表所示：
x
－π4
0
π12
π4
π3
f(x)
－2
－23
－2
2
23
那么A＝_________．
4　解析：由题意得f(0)＝A sin φ＝－23，f-π4＝－A cos φ＝－2，
所以A2(sin2φ＋cos2φ)＝16，因为A＞0，所以A＝4.
5．函数y＝A sin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝_________．

3　解析：观察函数图象可得周期T＝2π3，故T＝2π3＝2πω，所以ω＝3.


考点1　由图象确定y＝A sin (ωx＋φ)的解析式——基础性

1．(2022·银川模拟)已知函数y＝sin (ωx＋φ)ω>0，φ<π2的图象如图所示，则此函数的解析式可以是(　　)

A．y＝sin 12x-π4 B．y＝sin 2x+π8
C．y＝sin 2x+π4 D．y＝sin 12x+π4
C　解析：由函数y＝sin (ωx＋φ)的图象知，T＝2×7π8-3π8＝π，ω＝2πT＝2，由五点法画图知，3π8，0是函数图象的第三个关键点，即2×3π8＋φ＝π，解得φ＝π4，所以此函数的解析式是y＝sin 2x+π4.
2．若函数f(x)＝sin (ωx＋φ)ω>0，φ<π2满足f2π3-x＝f(x)，且f(x)的图象如图所示，则φ＝(　　)

A．π3 B．－π3
C．π6 D．－π6
D　解析：因为函数f(x)＝sin (ωx＋φ)ω>0，φ<π2满足f2π3-x＝f(x)，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝π3对称，结合图象，5π6-π3＝12×2πω，所以ω＝2.
结合五点法作图可得，2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6.
3．(2021·全国甲卷)已知函数f(x)＝2cos (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则fπ2＝_________．

－3　解析：由题意可得34T＝13π12-π3＝3π4，所以T＝π，ω＝2πT＝2，
当x＝13π12时，ωx＋φ＝2×13π12＋φ＝2kπ，所以φ＝2kπ－136π(k∈Z)，
令k＝1可得φ＝－π6，
据此有f(x)＝2cos 2x-π6，fπ2＝2cos 2×π2-π6＝2cos 5π6＝－3.
4．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数T＝A sin (ωt＋φ)＋b，则这段曲线对应的函数解析式为____________．

T＝10sin π8 t+3π4＋20，t∈[6，14]　解析：从题图中可以看出，6～14时是函数T＝A sin (ωt＋φ)＋b的半个周期，
所以A＝12×(30－10)＝10，b＝12×(30＋10)＝20.
又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8.
又π8×10＋φ＝2π＋2kπ，k∈Z，取φ＝3π4，
所以T＝10sin π8t+3π4＋20，t∈[6，14].

1．由图象求解析式问题，求ω的关键是求周期T，要注意观察图象，如第1题中7π8-3π8＝T2，第3题中13π12-π3＝3T4.
2．确定y＝A sin (ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法：
(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M-m2，b＝M+m2.
(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝2πT.
(3)求φ，常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：
“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π2＋kπ，k∈Z；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2＋kπ，k∈Z.

考点2　函数y＝A sin (ωx＋φ)的图象变换——综合性

(1)(2021 ·全国乙卷)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度，得到函数y＝sin x-π4的图象，则f(x)＝(　　)
A．sin x2-7π12 B．sin x2+π12
C．sin 2x-7π12 D．sin 2x+π12
B　解析：由已知的函数y＝sin x-π4逆向变换，
第一步：向左平移π3个单位长度，得到y＝sin x+π3-π4＝sin x+π12的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin x2+π12的图象，即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin x2+π12.
(2)将函数y＝sin 2x+π3的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度得到y＝cos 2x的图象，则φ的值可能为(　　)
A．11π12 B．5π12
C．5π6 D．11π6
A　解析：将函数y＝sin 2x+π3的图象沿x轴向右平移φ(φ＞0)个单位长度，
得到y＝sin 2x-φ+π3＝sin 2x-2φ+π3＝cos π2-2x-2φ+π3
＝cos 2φ+π6-2x＝cos 2x-2φ-π6.
若要得到y＝cos 2x的图象，则－2φ－π6＝2kπ，即φ＝－kπ－π12，k∈Z.
因为φ＞0，所以当k＝－1时，φ＝11π12.

本例(1)若改为：函数y＝sin x-π4的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移π3个单位长度得到函数y＝f(x)的图象，则f(x)＝_________．
sin 2x-11π12　解析：函数y＝sin x-π4的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin 2x-π4，向右平移π3个单位长度得到函数f(x)＝sin 2x-π3-π4＝sin 2x-11π12.


1．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin (ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．要特别注意这两种情况下平移的单位长度．
2．当变换前后解析式三角函数名称不同时，要注意利用诱导公式转化．

1．(2022·泰安模拟)已知函数f(x)＝4sin x+π5的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin 2x+π5的图象，只要把C上所有点的(　　)
A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
B．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变
C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
D．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变
D　解析：函数f(x)＝4sin x+π5的图象为C，为了得到函数g(x)＝4sin 2x+π5的图象，只要把C上所有点横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，即可．
2．已知函数f(x)＝cos2x+φ-π3φ<π2是偶函数，要得到函数g(x)＝sin 2x的图象，只需将函数f(x)的图象(　　)
A．向左平移π4个单位长度
B．向右平移π6个单位长度
C．向右平移π4个单位长度
D．向左平移π6个单位长度
C　解析：因为函数f(x)＝cos 2x+φ-π3φ<π2是偶函数，
所以φ－π3＝kπ(k∈Z)．
因为|φ|<π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝cos 2x，
要得到函数g(x)＝sin 2x＝cos 2x-π2的图象，只需将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移π4个单位长度．

考点3　三角函数模型及其应用——应用性

如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到点A的距离与点P的高度之和为(　　)

A．5米 B．(4＋7)米
C．(4＋17)米 D．(4＋19)米
D　解析：以圆心O1为原点，以水平方向为x轴正方向，以竖直方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一圈．
设∠OO1P＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t).
又T＝12，所以θ＝π6t，所以f(t)＝3－2cos π6t，t≥0；
风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达点P，θ＝6π＋2π3，P(3，1)，所以点P的高度为3－2×-12＝4(米)．
因为A(0，－3)，所以AP＝3+16＝19，
所以点P到点A的距离与点P的高度之和为(4＋19)米．


三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题．

1．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用．假设在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动．现将筒车抽象为一个几何图形，如图所示，圆O的半径为4 m，P0在水平面上，盛水筒M从点P0处开始运动，OP0与水平面所成角为30°，且2分钟恰好转动1圈，则盛水筒M距离水面的高度H(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系式是(　　)

A．H＝4sin π60t-π6＋2
B．H＝4sin π30t-π6＋2
C．H＝4sin π60t-π3＋2
D．H＝4sin π30t-π3＋2
A　解析：以O为原点，过点O的水平直线为x轴，建立如图所示平面直角坐标系，
因为∠xOP0＝30°＝π6，所以OM在 t(s) 内转过的角度为2π120t＝π60t，
所以以x轴为始边，以OM为终边的角为π60t－π6，
则点M的纵坐标为4sin π60t-π6，
所以点M距水面的高度H(m)表示为时间 t(s) 的函数是H＝4sin π60t-π6＋2.

2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7 000元的基础上，按月呈f(x)＝A sin (ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，φ<π2的模型波动(x为月份)．已知3月份达到最高价9 000元，9月份价格最低，为5 000元，则7月份的出厂价格为________元．
6 000　解析：作出函数简图如图：

三角函数模型为y＝A sin (ωx＋φ)＋B，由题意知A＝12(9 000－5 000)＝2 000，B＝7 000，
T＝2×(9－3)＝12，所以ω＝2πT＝π6.
将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，则有π6×3＋φ＝π2，所以φ＝0，
故f(x)＝2 000sin π6x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．
所以f(7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000(元)．故7月份的出厂价格为6 000元．

考点4　三角函数图象与性质的综合问题——综合性

(1)(多选题)将函数f(x)＝2sin 2x+π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)，则下列结论正确的是(　　)
A．函数g(x)的图象关于直线x＝π3对称
B．函数g(x)的图象关于点π4，0对称
C．函数g(x)在-π24，5π24上单调递减
D．函数g(x)在[0，2π]上恰有4个极值点
AD　解析：函数f(x)＝2sin 2x+π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的函数为y＝g(x)＝2sin 2x-π6的图象，
对于A：当x＝π3时，gπ3＝2，故A正确．
对于B：当x＝π4时，gπ4＝2sin π3＝3，故B错误．
对于C：当x∈-π24，5π24时，2x－π6∈-π4，π4，故函数在该区间上单调递增，故C错误．
对于D：令2x－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，解得x＝kπ2+π3(k∈Z)，当k＝0，1，2，3时，x＝π3，5π6，4π3，11π6，正好有4个极值点，故D正确．
(2)已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在π2，π上有两个不同的实数根，则m的取值范围是(　　)
A．-1，-12 B．(－2，2)
C．(－2，－3) D．(－2，－1)
D　解析：方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋3sin2x＝cos 2x＋3sin 2x＝2sin 2x+π6，x∈π2，π.
设2x＋π6＝t，则t∈7π6，13π6，
题目条件可转化为m2＝sin t，t∈7π6，13π6，有两个不同的实数根．
所以y＝m2和y＝sin t，t∈7π6，13π6的图象有两个不同交点，如图：

由图象观察知，m2的范围为-1，-12，故m的取值范围是(－2，－1)．

已知关于x的方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在x∈0，π2上有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是_________．
[1，2)　解析：2sin2x－3sin2x＋m－1＝－cos 2x－3sin 2x＋m＝－2sin 2x+π6＋m.
因为x∈0，π2，所以2x＋π6∈π6，7π6.
要使方程2sin2x－3sin2x＋m－1＝0在x∈0，π2上有两个不同的实数根，则2x＋π6∈π6，5π6且2x＋π6≠π2，此时2sin 2x+π6∈[1，2)，
所以1≤m＜2.


1．研究y＝A sin (ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．
2．方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．

1．函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则下列结论错误的是(　　)

A．f(x)＝2sin 13x-π6
B．若把f(x)的横坐标缩短为原来的23，纵坐标不变，则得到的函数在[－π，π]上是增函数
C．若把函数f(x)的图象向左平移π2个单位长度，则所得图象对应的函数是奇函数
D．函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－4π对称
B　解析：由图象可得14T＝7π2－2π＝3π2，所以T＝6π，所以ω＝2π6π＝13.
因为f(2π)＝2，所以f(2π)＝2sin 2π3+φ＝2，即sin 2π3+φ＝1，
所以2π3＋φ＝2kπ＋π2(k∈Z)，所以φ＝2kπ－π6(k∈Z)．
因为|φ|＜π，所以φ＝－π6.所以f(x)＝2sin 13x-π6，故A正确．
把f(x)的横坐标缩短为原来的23，纵坐标不变，得到的函数为y＝2sin 12x-π6.
因为x∈[－π，π]，所以－2π3≤12x－π6≤π3，
所以y＝2sin 12x-π6在[－π，π]上不单调递增，故B错误．
把函数f(x)的图象向左平移π2个单位长度，得到的函数为y＝2sin 13x+π2-π6＝2sin 13x，是奇函数，故C正确．
f(－4π)＝2sin -4π3-π6＝2，是最值，故x＝－4π是f(x)的对称轴，故D正确．
2．若将函数f(x)＝2sin (2x＋φ)φ＜π2的图象向左平移π6个单位长度后得到的图象关于y轴对称，则函数f(x)在0，π2上的最大值为(　　)
A．2 B．3
C．1 D．32
A　解析：将函数f(x)＝2sin (2x＋φ)φ＜π2的图象向左平移π6个单位长度后，
得到的y＝2sin 2x+π3+φ的图象关于y轴对称，所以φ＝π6，函数f(x)＝2sin 2x+π6.
因为x∈0，π2，所以2x＋π6∈π6，7π6，则当2x＋π6＝π2时，函数f(x)在0，π2上的最大值为2.


将函数y＝3cos x＋sin x(x∈R)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是(　　)
A．π12 B．π6
C．π3 D．5π6
[四字程序]
读
想
算
思
求m的最小值
1．解析式如何变形？
2．平移变换的规则是什么？
3．图象关于y轴对称说明了什么
1．三角恒等变换．
2．图象的对称轴方程
转化与化归
向左平移，图象关于y轴对称
1．辅助角公式．
2．左加右减．
3．在x＝0处取得最值
y＝2sin x+π3
或y＝2cos x-π6
1.平移变换前后，解析式之间的关系．
2．正弦(或余弦)型函数图象的对称性


思路参考：构造正弦型函数的解析式．
B　解析：y＝3cos x＋sin x＝2sin x+π3，函数的图象向左平移m(m>0)个单位长度，得y＝2sin x+m+π3的图象．由x＋m＋π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得函数y＝2sin x+m+π3的图象的对称轴为x＝π6－m＋kπ(k∈Z)．因为所得的图象关于y轴对称，所以π6－m＋kπ＝0(k∈Z)，即m＝kπ＋π6(k∈Z)，则m的最小值为π6.

思路参考：构造余弦型函数的解析式．
B　解析：函数y＝3cos x＋sin x＝2cos x-π6的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到y＝2cos x+m-π6的图象．因为此函数图象关于y轴对称，所以y＝2cos x+m-π6为偶函数，易知m的最小值为π6.

思路参考：根据图象对称轴与函数最值的关系．
B　解析：由解法1，得y＝2sin x+m+π3.因为所得的图象关于y轴对称，可得当x＝0时，y＝±2，进而sin m+π3＝±1，易知m的最小值为π6.

思路参考：利用函数图象．
B　解析：y＝3cos x＋sin x＝2sin x+π3，可得此函数图象的对称轴为x＝kπ＋π6(k∈Z)，可知离y轴最近的对称轴为x＝π6和x＝－5π6.由图象向左平移m(m>0)个单位长度后关于y轴对称，易知m的最小值为π6.

1．基于课程标准，解答本题一般需要提升运算求解能力、逻辑推理能力，体现逻辑推理、数学运算的核心素养．
2．基于高考数学评价体系，本题涉及三角恒等变换、三角函数的图象与性质等知识，渗透了转化与化归思想方法，有一定的综合性，属于中低档难度题．

将函数f(x)＝sin (2x＋φ)φ<π2的图象向左平移π3个单位长度后，所得函数g(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)在0，π2上的最大值为(　　)
A．0 B．12
C．32 D．1
D　解析：将函数f(x)＝sin (2x＋φ)φ<π2的图象向左平移π3个单位长度后，可得函数g(x)＝sin2x+2π3+φφ<π2的图象．根据所得图象关于原点对称，可得2π3＋φ＝kπ.因为|φ|<π2，所以φ＝π3，f(x)＝sin 2x+π3.
在0，π2上，2x＋π3∈π3，4π3，故当2x＋π3＝π2时，
f(x)取得最大值为1.
课时质量评价(二十四)
A组　全考点巩固练
1．若函数f(x)＝sin (ωx＋φ)的部分图象如图所示，则ω和φ的值可以是(　　)

A．ω＝12，φ＝π6 B．ω＝12，φ＝－π6
C．ω＝1，φ＝π3 D．ω＝1，φ＝－π3
A　解析：由函数的图象可知：T＝4×2π3+π3＝4π，T＝2πω，所以ω＝12.
函数的图象过-π3，0，
所以0＝sin 12×-π3+φ，所以φ＝π6.
2．为了得到函数f(x)＝sin 13x＋cos 13x的图象，可以将函数g(x)＝2cos 13x的图象(　　)
A．向右平移3π4个单位长度
B．向右平移π4个单位长度
C．向左平移3π4个单位长度
D．向左平移π4个单位长度
A　解析：因为f(x)＝sin 13x＋cos 13x＝2cos 13x-π4＝2cos 13x-3π4，
所以将函数g(x)＝2cos 13x的图象向右平移3π4个单位长度，可得f(x)的图象．
3．(多选题)已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π＜φ＜π)的部分图象如图所示，则(　　)

A．φ＝π6
B．ω＝2
C．f(x)＝2sin 2x+π6
D．将f(x)的图象向左平移π4个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝2cos 2x-5π6
BD　解析：由题图知，周期T＝22π3-π6＝π，A＝2，所以ω＝2πT＝2，故B正确；
因为点2π3，2在函数图象上，所以2sin 2×2π3+φ＝2，即sin 4π3+φ＝1.
所以4π3＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z，所以φ＝－5π6＋2kπ，k∈Z，又因为－π＜φ＜π，所以φ＝－5π6，故AC错误；故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin 2x-5π6，图象向左平移π4个单位长度，得y＝2sin 2x+π2-5π6＝2cos 2x-5π6，故D正确．
4．把函数y＝2sin 2x的图象向左平移π3个单位长度，再将所得图象向上平移1个单位长度，可得到函数f(x)的图象，则(　　)
A．f(x)＝2sin 2x+π3＋1
B．f(x)的最小正周期为2π
C．f(x)的图象关于直线x＝π6对称
D．f(x)在π6，5π12上单调递减
D　解析：将函数y＝2sin 2x的图象向左平移π3个单位长度得到y＝2sin 2x+π3＝2sin 2x+2π3的图象，
再向上平移1个单位长度可得到f(x)＝2sin 2x+2π3＋1的图象，故A，B错误．
令2x＋2π3＝π2＋kπ，k∈Z，得x＝－π12+kπ2，k∈Z，当k＝0时，x＝－π12；当k＝1时，x＝512π，故C错误．
令π2＋2kπ≤2x＋2π3≤3π2＋2kπ，k∈Z，求得－π12＋kπ≤x≤5π12＋kπ，k∈Z，
所以，f(x)在π6，5π12上单调递减，故D正确．
5．已知函数f(x)＝A tan (ωx＋φ)ω＞0，φ＜π2，y＝f(x)的部分图象如图，则fπ24＝_________．

3　解析：由题意可知T＝π2，所以ω＝2，函数的解析式为f(x)＝A tan (2x＋φ)．因为函数过3π8，0，所以0＝A tan 3π4+φ又|φ|<π2，所以φ＝π4.
因为函数图象经过点(0，1)，所以，1＝A tan π4，所以A＝1，所以f(x)＝tan 2x+π4，
则fπ24＝tan π12+π4＝3.
6．若函数f(x)＝sin ωx+π6(ω>0)满足f(0)＝fπ3，且函数在0，π2上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为_________．
π　解析：因为f(0)＝fπ3，所以x＝π6是f(x)图象的一条对称轴，所以fπ6＝±1，所以π6×ω＋π6＝π2＋kπ，k∈Z，
所以ω＝6k＋2，k∈Z，所以T＝π3k+1(k∈Z)．
又f(x)在0，π2上有且只有一个零点，所以π6 所以2π3<π3k+1≤4π3(k∈Z)，所以－112≤k<16.又因为k∈Z，所以k＝0，所以T＝π.
B组　新高考培优练
7．(多选题)将函数y＝sin 2x＋3cos 2x＋1的图象向右平移π12个单位长度，再将所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，则(　　)
A．函数g(x)的最小正周期为π2
B．函数g(x)的图象关于点-π12，0对称
C．函数g(x)在区间π4，π2内单调递增
D．函数g(x)的图象关于直线x＝π12对称
AD　解析：将函数y＝sin 2x＋3cos 2x＋1＝2sin 2x+π3＋1 的图象向右平移π12个单位长度，可得y＝2sin 2x-π6+π3＋1＝2sin 2x+π6＋1 的图象；
再将所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，
得到函数g(x)＝2sin 4x+π6＋1的图象，
则函数g(x)的最小正周期为2π4＝π2，故A正确．
令x＝－π12，求得sin 4x+π6＝－12≠0，g(x)＝0，故函数g(x)的图象不关于点-π12，0对称，故B错误．
在区间π4，π2内，4x＋π6∈7π6，13π6，函数g(x)没有单调性，故C错误．
令x＝π12，求得g(x)＝3，为最大值，故函数g(x)的图象关于直线x＝π12对称，故D正确．
8．已知函数f(x)＝Asinπ4x+φA>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，其中Q，R是与函数的极大值P相邻的两个极小值点，且△PQR为正三角形，则函数y＝f(x)在区间-13，53上的值域为(　　)

A．[3，23] B．12，1
C．12，23 D．[－23，23]
A　解析：由图可知点P为“五点法”作图中的第二点，所以π4×1＋φ＝π2，即φ＝π4.又ω＝π4，所以周期T＝2πω＝8，所以正三角形PQR的边长为8，所以2A＝32×8，
所以A＝23，所以f(x)＝23sin π4x+π4.
由x∈-13，53，得π4x＋π4∈π6，2π3，
所以当π4x＋π4＝π2，即x＝1时，f(x)取得最大值23.
当π4x＋π4＝π6，即x＝－13时，f(x)取得最小值3，
所以函数y＝f(x)在区间-13，53上的值域为[3，23].
9．京西某游乐园的摩天轮采用了国内首创的横梁结构，风格更加简约，摩天轮直径88米，最高点A距离地面100米，匀速运行一圈的时间是18分钟．由于受到周边建筑物的影响，乘客与地面的距离超过34米时，可视为最佳观赏位置，在运行的一圈里最佳观赏时长为(　　)

A.10分钟 B．12分钟
C．14分钟 D．16分钟
B　解析：如图所示，

方法一：转动的角速度为2π18＝π9，计算OC＝44－(34－12)＝22，所以∠BOC＝π3，
所以最佳观赏期的圆心角为2π－2π3＝4π3，
在运行的一圈里最佳观赏时长为4π3π9＝12(分钟)．
方法二：转动的角速度为2π18＝π9，所以点P从最下端开始运动，运行中到地面距离为f(t)＝44sin π9t-π2＋56(0≤t≤18)，
令f(t)≥34，得sin π9t-π2≥－12，解得－π6≤π9t－π2≤7π6，
即3≤t≤15，所以最佳观赏时长为15－3＝12(分钟)．
10．直线x＝－3π8，x＝π8都是函数f(x)＝sin (ωx＋φ)(ω＞0，0＜φ＜π)的对称轴，且函数f(x)在区间-3π8，π8上单调递增，则函数f(x)的解析式为f(x)＝___________．
sin 2x+π4　解析：由题意可得函数f(x)的周期T＝2π8+3π8＝π，即π＝2πω，解得ω＝2，
又由题意可得fπ8＝sin 2×π8+φ＝1，
所以2×π8＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，解得φ＝2kπ＋π4，k∈Z，又因为0＜φ＜π，所以φ＝π4，
所以函数f(x)的解析式为f(x)＝sin 2x+π4.
11．已知函数f(x)＝sin (ωx＋φ)ω>0，φ<π2的部分图象如图所示，又x1，x2∈-π6，π3，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝_________．

32　解析：由题图可知，T2＝π3--π6＝π2，则T＝π，ω＝2.
又-π6+π32＝π12，所以f(x)的图象过点π12，1，即sin 2×π12+φ＝1，所以2×π12＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z.
又|φ|<π2，可得φ＝π3，所以f(x)＝sin 2x+π3.
由f(x1)＝f(x2)，x1，x2∈-π6，π3，可得x1＋x2＝-π6+π3＝π6，
所以f(x1＋x2)＝fπ6＝sin 2×π6+π3＝sin 2π3＝32.
12．(2023·济宁月考)已知函数f(x)＝103sin x2·cos x2＋10cos2x2.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，且函数g(x)的最大值为2.
①求函数g(x)的解析式；
②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.
解：(1)因为f(x)＝103sinx2cos x2＋10cos2x2＝53sinx＋5cos x＋5＝10sin x+π6＋5，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π.
(2)①将f(x)的图象向右平移π6个单位长度后得到y＝10sin x＋5的图象，再向下平移a(a＞0)个单位长度后得到g(x)＝10sin x＋5－a的图象．
已知函数g(x)的最大值为2，所以10＋5－a＝2，解得a＝13.
所以g(x)＝10sin x－8.
②证明：要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得10sin x0－8＞0，即sinx0＞45.
由45＜32知，存在0＜α0＜π3，使得sin α0＝45.
由正弦函数的性质可知，当x∈(α0，π－α0)时，均有sin x＞45.
因为y＝sin x的最小正周期为2π，
所以当x∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)(k∈Z)时，均有sin x＞45.
因为对任意的整数k，(2kπ＋π－α0)－(2kπ＋α0)＝π－2α0＞π3＞1，
所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈(2kπ＋α0，2kπ＋π－α0)，使得sin xk＞45.
故存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g(x0)＞0.