2023年四川省绵阳市中考数学测试卷（含解析）

这是一份2023年四川省绵阳市中考数学测试卷（含解析），共27页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年四川省绵阳市中考数学测试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的绝对值是（    ）
A． B．2023 C． D．
2．芝麻被称为“八谷之冠”，是世界上最古老的油料作物之一．它作为食品和药物，得到广泛的使用．经测算，一粒芝麻的质量约为 kg，将100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为
A． kg B． kg
C．kg D． kg
3．下列各运算中，正确的运算是（    ）
A． B．（2a）3＝8a3
C．a8÷a4＝a2 D．（a﹣b）2＝a2﹣b2
4．如图，已知直线，直角三角形顶点C在直线b上，且，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
5．如图，垂直平分，交于点E，交于点D，的周长是13，，则的长是（    ）

A．6 B．5 C．4 D．3
6．若关于的方程无解，则的值为（    ）
A．2 B． C．1或2 D．2或
7．下面是某校八年级（2）班两组女生的体重（单位：kg）：
第1组35，36，38，40，42，42，75
第2组35，36，38，40，42，42，45
下面关于对这两组数据分析正确的是：（   ）
A．平均数、众数、中位数都相同
B．平均数﹑众数、中位数都只与部分数据有关
C．中位数相同，都是39
D．众数、中位数不受极端值影响，平均数受极端值影响
8．已知圆锥的三视图如图所示，则这个圆锥的侧面展开图的面积为（　　）

A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2
9．如图，抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的-元二次方程-x2+mx-t=0 (t为实数)在l
A．-5-5
10．若A，B，C是⊙上三点，，则⊙的半径是（    ）
A． B． C．6 D．
11．下列四个命题：①一组同旁内角相等的平行四边形是矩形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形；④等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形．其中真命题共有（    ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．在矩形ABCD中，点P为CD边上一点(DP＜CP)，∠APB＝90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．现有以下结论：①连接DD′，则AP垂直平分DD′；②四边形PMBN是菱形；③AD2＝DP⋅PC；④若AD＝2DP，则．其中正确的结论的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

二、填空题
13．在实数范围内分解因式： ．
14．已知一元二次方程有两个实数根，则a的取值范围是 ．
15．如图，点C为线段AB延长线上一点，正方形AEFG和正方形BCDE的面积分别为8和4，则△EDF的面积为 ．

16．若关于x的不等式组有且只有三个整数解，则m的取值范围是 ．
17．如图，菱形 ABCD 中，∠D = 120°，AB = 4，点 E 为 BC 的中点，点 P 为对角线 AC 上的任意一点，连接 PB，PE，则 PB + PE 的最小值为 ．

18．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x与双曲线y＝﹣交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1﹣y2的值为 ．

三、解答题
19．（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
20．黔东南州某中学为了解本校学生平均每天的课外学习实践情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果分为A，B，C，D四个等级，设学生时间为t（小时），A：t＜1，B：1≤t＜1.5，C：1.5≤t＜2，D：t≥2，根据调查结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．请你根据图中信息解答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？并将条形统计图补充完整；
（2）本次抽样调查中，学习时间的中位数落在哪个等级内？
（3）表示B等级的扇形圆心角α的度数是多少？
（4）在此次问卷调查中，甲班有2人平均每天课外学习时间超过2小时，乙班有3人平均每天课外学习时间超过2小时，若从这5人中任选2人去参加座谈，试用列表或化树状图的方法求选出的2人来自不同班级的概率．

21．如图，一座山的一段斜坡BD的长度为600米，且这段斜坡的坡度i=1：3（沿斜坡从B到D时，其升高的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面B处测得山顶A的仰角为33°，在斜坡D处测得山顶A的仰角为45°．求山顶A到地面BC的高度AC是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）

22．某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如下表：

原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
380
940
餐椅

160
已知用600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）该商场计划购进餐椅的数量是餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过200张．若将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售，请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
23．如图，已知AB是⊙O的直径，D是⊙O上一点，连接OD，BD，C为AB延长线上一点，连接CD，且∠BDC=∠BOD．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为2，CD，求BC和BD的长．
24．已知，在Rt△ABC中，，于点H，P是上一动点，，，与两延长线交于点F．

(1)如图①，当时，求的度数．
(2)如图②，当时，探求与的数量关系，说明理由．
(3)当时，直接用的代数式表示的值．
25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点，且．

(1)求二次函数的解析式；
(2)若点D的坐标为，试判断的形状，并说明理由；
(3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得以B，C，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由

参考答案：
1．B
【分析】一个数在数轴上对应的点到原点的距离即为这个数的绝对值，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此即可求得答案．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查绝对值的定义及绝对值的性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2．B
【分析】利用科学记数法的表示方法进行表示即可.
【详解】解：∵
∴100粒芝麻的质量用科学记数法表示约为kg，
故选：B.
【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数.一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数．
3．B
【分析】分别按照二次根式的加法法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则及完全平方公式分析即可．
【详解】解：A、∵与不是同类二次根式，
∴与不能合并，故A错误；
B、按照积的乘方的运算法则可知，（2a）3＝8a3，故B正确；
C、按照同底数幂的除法的运算法则可知，a8÷a4＝a4，故C错误；
D、根据完全平方公式可知，（a﹣b）2＝a2﹣2ab＋b2，故D错误．
综上，只有B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次根式的加法运算及整式乘除法的相关运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
4．B
【分析】依据直线，即可得到，再根据，即可得到．
【详解】解：如图，∵直线，
∴，
∵
∴．

故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
5．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案．
【详解】解：∵DE垂直平分AB，
∴，
∵△ACD的周长是13，
∴，
∴，
∵，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
6．C
【分析】分两种情况，整式方程无解，原分式方程产生增根，无解．
【详解】解：，
x−a＝a（x−2），
x−a＝ax−2a，
x−ax＝a−2a，
（1−a）x＝−a，
∵原方程无解，
∴（1−a）x＝−a无解或原分式方程产生增根，无解，
当（1−a）x＝−a无解，
∴1−a＝0，
∴a＝1，
当原分式方程产生增根，无解，
∴x−2＝0，
∴x＝2，
把x＝2代入x−a＝a（x−2）中得：
2−a＝0，
∴a＝2，
综上所述：a的值为1或2，
故选：C．
【点睛】本题考查了分式方程的解，分两种情况考虑是解题的关键．
7．D
【分析】分别利用平均数、众数及中位数的定义求解后，然后逐个选项进行分析即可得出答案.
【详解】解：第1组的平均数=
∵第1组的数组为35，36，38，40，42，42，75
∴第1组的众数为42，中位数为40
第2组的平均数=
∵第2组的数组为35，36，38，40，42，42，45
∴第2组的众数为42，中位数为40
A．两组的中位数和众数相等，但是平均数不相等，所以此选项错误；
B．平均数受所有数据的影响，中位数与众数是部分数据的影响，所以此选项错误；
C．中位数相等，都是40，所以此选项错误；
D．众数和中位数分别都是42和40，不是极端值的影响，第1组平均值为44，第2组平均值为39.7明显受到极端值的影响，所以此选项正确.
故选：D.
【点睛】本题主要考查了中位数、众数和平均数的定义，解题的关键在于能够熟练掌握相关定义进行计算求解.
8．B
【分析】先利用三视图得到底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，再根据勾股定理计算出母线长为13cm，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．
【详解】根据三视图得到圆锥的底面圆的直径为10cm，即底面圆的半径为5cm，圆锥的高为12cm，
所以圆锥的母线长=，
所以这个圆锥的侧面积=×2π×5×13=65π（cm2）．
故选B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．
9．B
【分析】先利用抛物线的对称轴方程求出m得到抛物线解析式为y=-x2+4x，配方得到抛物线的顶点坐标为（2，4），再计算出当x=1或3时，y=3，结合函数图象，利用抛物线y=-x2+4x与直线y=t在1＜x＜3的范围内有公共点可确定t的范围．
【详解】∵ 抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，
∴，
解之：m=4，
∴y=-x2+4x，
当x=2时，y=-4+8=4，
∴顶点坐标为(2，4)，
∵ 关于x的-元二次方程-x2+mx-t=0 (t为实数)在l 当x=1时，y=-1+4=3，
当x=2时，y=-4+8=4，
∴ 3 故选B
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
10．C
【分析】⊙O的优弧AC上取一点D，连接AD、CD，连接OA、OC，∠ADC＝180°−∠ABC＝30°，根据圆周角定理求得∠AOC＝2∠ADC＝60°，根据等边三角形的判定定理知△AOB是等边三角形，所以等边三角形的三条边相等，即可求解．
【详解】解：⊙O的优弧AC上取一点D，连接AD、CD，连接OA、OC，如图所示：

∵∠ABC＝150°，
∴∠ADC＝180°−∠ABC＝30°，
∴∠AOC＝2∠ADC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴OA＝OC＝AC＝6，
∴⊙O的半径是6．
故选：C．
【点睛】本题考查了圆周角定理和等边三角形的判定与性质．解答该题时，利用圆周角定理要注意圆心角与圆周角的定义，只有三个点都在圆上所组成的角才称之为圆周角．
11．B
【分析】根据矩形的判定定理、正方形的判定定理、矩形的判定定理、轴对称图形和中心对称图形的概念判断即可．
【详解】解：①一组同旁内角相等的平行四边形是矩形，是真命题；
②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故本选项命题是假命题；
③顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，是真命题；
④等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项命题是假命题；
故选：B．
【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
12．C
【分析】根据折叠的性质得出AP垂直平分DD′，判断出①正确；过点P作PG⊥AB于点G，易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，所以AD=PG，DP=AG，GB=PC， 易证△APG∽△PBG，所以，即AD2＝DP⋅PC，判断出③正确；DP// AB，所以∠DPA=∠PAM，由题意可知：∠DPA=∠ APM，所以∠PAM=∠APM，由于∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB，从而可知PM=MB=AM，又易证四边形PMBN是平行四边形，所以四边形PMBN是菱形；判断出②正确；由于，可设DP=1，AD=2，由(1) 可知：AG=DP=1，PG=AD=2，从而求出GB=PC=4，AB=AG+GB=5，由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，求出，，从而求出EF=AF-AE=，从而可得，判断出④错误.
【详解】连接DD′，将△ADP沿AP翻折得到△A D′P，
∴AP垂直平分DD′，故①正确；
过点P作PG⊥AB于点G，
∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，
∴AD=PG，DP=AG，GB=PC，
∵∠APB=90°，
∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，
∴∠APG=∠PBG，
∴△APG∽△PBG，
∴，
∴，即AD2＝DP⋅PC，故③正确；
∵DP// AB，BN∥PM，
∴∠DPA=∠PAM，四边形PMBN是平行四边形，
由题意可知：∠DPA=∠ APM，
∴∠PAM=∠APM，
∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB，
∴PM=MB，
∴四边形PMBN是菱形；故②正确；
由于，可设DP=1，AD=2，
由(1) 可知：AG=DP=1，PG=AD=2，
∵，
∴GB=PC=4，AB=AG+GB=5，
∵CP∥AB，
∴△PCF∽△BAF，
∴，
∴，
∴AF=，
∵△PCE∽△MAE，，
∴，
∴，
∴AE=，
∴EF=AF-AE=，
∴，故④错误.
故选：C.

【点睛】此题考查了矩形的判定及性质，折叠的性质，相似三角形的判定及性质，菱形的判定定理，等腰三角形等角对等边的判定，此题是一道较难的几何综合题，熟记各定理并熟练应用解题是关键.
13．
【分析】用提公因式法即可求解．
【详解】解：原式．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键．
14．且
【分析】根据一元二次方程根的判别式非负，得关于a的不等式，解不等式即可．
【详解】∵关于x的一元二次方程有两个实数根，
∴，解得，
∴a的取值范围是且．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，特别注意二次项系数非零这个条件不能忽略．
15．2
【分析】如图所示，连接正方形BCDE的对角线CE，BD，且CE交BD于点O，根据正方形的性质及勾股定理可得EF=AE=，BE=CD=BC=2，利用平角可得点F、E、C在同一直线上，结合三角形面积公式及图形求解即可得．
【详解】解：如图所示，连接正方形BCDE的对角线CE，BD，且CE交BD于点O，

∴∠BEC=45°，CE⊥BD，
∵正方形AEFG和正方形BCDE的面积分别为8和4，
∴正方形AEFG的边长为，正方形BCDE的边长为，
∴EF=AE=，BE=CD=BC=2，
∵点C是线段AB延长线上一点，
∴∠ABE=90°，
∴AB=，
∴Rt∆ABE是等腰直角三角形，
∴∠AEB=45°，
∵∠AEF+∠AEB+∠BEC=180°，
∴点F、E、C在同一直线上，
∵CE⊥BD，
∴OD=，
∴，
故答案为：2．
【点睛】题目主要考查正方形的基本性质及勾股定理解三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题关键．
16．1≤m＜4
【分析】解不等式组得出其解集为﹣2＜x≤，根据不等式组有且只有三个整数解得出1≤＜2，解之可得答案．
【详解】解不等式，得：x＞﹣2，
解不等式2x﹣m≤2﹣x，得：x≤，
则不等式组的解集为﹣2＜x≤，
∵不等式组有且只有三个整数解，
∴1≤＜2，
解得：1≤m＜4，
故答案为：1≤m＜4．
【点睛】本题考查了不等式组的整数解，关键是根据不等式组的整数解求出取值范围，用到的知识点是一元一次不等式的解法．
17．2
【分析】根据菱形的对称性可知点B、D关于AC对称，则PB+PE的最小值即为DE的长，再利用勾股定理求出DE的长即可．
【详解】解：连接BD，与AC相交于点O，连接DE，与AC相交于点P，
则此时PB + PE 取最小值，如图所示，

理由如下：
∵四边形ABCD是菱形
∴ 对角线AC与BD互相垂直平分，ADBC，BC＝CD＝AB＝4
∴ 点B、D关于AC对称，∠BCD＝180°－∠ADC＝60°
∴ PD＝PB，△BDC是等边三角形
∴PB+PE＝PD+PE
当PD与PE共线时，即DE就是PD＋PE的最小值，即PB+PE的最小值就是DE的长，
∵点 E 为 BC 的中点，
∴DE⊥BC，CE＝
∴∠CED＝90°
在Rt△CDE中，由勾股定理得，

∴
即PB + PE 的最小值为2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，轴对称﹣最短路线问题，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
18．0
【分析】根据正比例函数和反比例函数的对称性得到x1＋x2＝0，由y2＝﹣x2，得出x2＝﹣y2，即可得到x1﹣y2＝0.
【详解】解：∵直线y＝﹣x与双曲线y＝﹣交于点A（x1，y1），B（x2，y2），
∴点A，点B关于原点对称，
∴x1＋x2＝0，
∵y2＝﹣x2，
∴x2＝﹣y2，
∴x1﹣y2＝0，
故答案为：0．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，掌握正比例函数和反比例函数的对称性是本题的关键．
19．（1）；（2）；；
【分析】（1）直接利用计算公式进行计算即可；
（2）直接利用分式混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：原式

；
（2）解：原式




∵，∴，代入上式得：
．
∴原式值为．
【点睛】本题考查计算，需要熟悉各项计算规则，包含负指数幂，二次根式化简，特殊角三角函数值及分式的混合运算，熟悉各项运算规则是解题的关键．
20．（1）200；（2）C；（3）54°；（4）．
【分析】（1）根据B类的人数和所占的百分比即可求出总数；求出C的人数从而补全统计图；
（2）根据中位数定义：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数可得答案；
（3）用B的人数除以总人数再乘以360°，即可得到圆心角α的度数；
（4）先设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，B3根据题意画出树形图，再根据概率公式列式计算即可．
【详解】（1）共调查的中学生数是：80÷40%=200（人），C类的人数是：200﹣60﹣80﹣20=40（人），如图1：

（2）本次抽样调查中，学习时间的中位数落在C等级内；
（3）根据题意得：α=×360°=54°；
（4）设甲班学生为A1，A2，乙班学生为B1，B2，B3，画树状图为：

一共有20种等可能结果，其中2人来自不同班级共有12种，
∴P（2人来自不同班级）==．
【点睛】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图；中位数．
21．山顶A到地面BC的高度AC是米.
【分析】作DH⊥BC于H．设AE=x．在Rt△ABC中，根据tan∠ABC=，构建方程即可解决问题即可.
【详解】作DH⊥BC于H，设AE=x，

∵DH：BH=1：3，
在Rt△BDH中，DH2+（3DH）2=6002，
∴DH=60，BH=180，
在Rt△ADE中，∵∠ADE=45°，
∴DE=AE=x，
∵又HC=ED，EC=DH，
∴HC=x，EC=60，
在Rt△ABC中，tan33°=，
∴x=，
∴AC=AE+EC=+60=，
答：山顶A到地面BC的高度AC是米.
【点睛】本题考查解直角三角形——仰角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，熟练应用数形结合思想与方程思想解答问题是关键.
22．（1）a=260；（2）购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
【分析】（1）用含a的代数式分别表示出600元购进的餐椅数量与用1300元购进的餐桌数量，再根据二者数量相等即可列出关于a的方程，解方程并检验即得结果；
（2）设购进餐桌x张，销售利润为W元．根据购进总数量不超过200张，得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可求出x的取值范围，再根据“总利润＝成套销售的利润+零售餐桌的利润+零售餐椅的利润”即可得出W关于x的一次函数，然后根据一次函数的性质即可解决问题．
【详解】解：（1）根据题意，得：，
解得：a=260，
经检验：a=260是所列方程的解，
∴a=260；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅（5x+20）张，销售利润为W元．
由题意得：x+5x+20≤200，解得：x≤30．
∵a＝260，∴餐桌的进价为260元/张，餐椅的进价为120元/张．
依题意可知：
W＝x×(940﹣260﹣4×120）+x×(380﹣260）+（5x+20﹣x×4）×(160﹣120）＝280x+800，
∵k＝280＞0，
∴W随x的增大而增大，
∴当x＝30时，W取最大值，最大值为9200元．
故购进餐桌30张、餐椅170张时，才能获得最大利润，最大利润是9200元．
【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式和一次函数的应用，属于常考题型，解题的关键是：（1）正确理解题意、由数量相等得出关于a的分式方程；（2）根据数量关系找出W关于x的函数解析式，灵活应用一次函数的性质．
23．(1)见解析
(2)，

【分析】（1）根据，可得，根据已知条件即可证明，即可证明是⊙O的切线；
（2）根据题意证明，根据相似三角形的性质求解可得的长，进而根据勾股定理求得的关系，利用相似三角形的性质求解可得的长．
【详解】（1）
（2）

是的直径

即



又


⊙O的半径为2，



解得（负值舍去）
在中，
，

解得（负值舍去）
，
【点睛】本题考查了切线的性质与判定，直径所对的，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．
24．(1)45°
(2)，理由见解析
(3)

【分析】（1）由题意可知是等腰直角三角形，则，由，，可得△ACH是等腰直角三角形，A、C、H、D四点共圆，进而可得，由，可得是等腰直角三角形，即可得；
（2）过点B作交的延长线于点G，则，根据互余可得，由（1）得A、C、H、D四点共圆，进而可得，可知，进而可得，可证，列比例关系为，得，由平行可得，可得，即，即可得结论；
（3）由（2）得，可得，，可得，，，进而可得，进而可得，可得．
【详解】（1）解：∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，，
∴，△ACH是等腰直角三角形，
∴A、C、H、D四点共圆，，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
（2），理由如下：如图③，

过点B作交的延长线于点G，则，
∵，
∴，
∴，由（1）得A、C、H、D四点共圆，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，  
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∴．
（3）由（2）得，
，，
∴，，，
∴，
∴，  
∴，
∵．
【点睛】本题考查等腰直角三角形的判定及性质，四点共圆，圆周角定理，相似三角形的判定及性质，含的直角三角形，解直角三角形，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键．
25．(1)
(2)是直角三角形
(3)存在，，，，，，，，．

【分析】（1）由的坐标确定出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，确定出点坐标，把与坐标代入抛物线解析式求出的值，确定出抛物线解析式即可；
（2）根据两点直角的坐标公式分别求出三边的距离长度，利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形即可；
（3）在抛物线的对称轴上存在点，使得以，，三点为顶点的三角形是直角三角形，如图所示，分三种情况考虑，分别求出的坐标即可．
【详解】（1）解：，即，，
在中，根据勾股定理得：，即，
由，，设抛物线解析式为，
把代入得：，
则抛物线解析式为；
（2）解：是直角三角形，
，，，
，


，
是直角三角形；
（3）解：存在．
如图所示，分两种情况考虑：
抛物线解析式为，
其对称轴．
当时，△为直角三角形，
直线的ｋ为，
直线ｋ为，
直线解析式为，即，
与抛物线对称轴方程联立得，
解得：，
此时，；
当时，为直角三角形，
同理得到直线的ｋ为，
直线方程为，
与抛物线对称轴方程联立得：，
解得：，
此时，．
综上所示，，或，．
当点为直角顶点时，设，，
，，
，
，即，解得，
，，，．
综上所述，，，，，，，，．

【点睛】此题考查的是二次函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，勾股定理的逆定理，二次函数的性质，以及两直线垂直时斜率的关系，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．