新教材2023高中数学数学探究杨辉三角的性质与应用分层演练新人教A版选择性必修第三册

数学探究 杨辉三角的性质与应用

1.观察图中的数所成的规律,则a所表示的数是  (　　)

A.8B.6C.4D.2

解析:由题图,知每相邻两行中下一行的数除了两个1以外,其他的数都是其肩上两数的和,所以4+a=10,得a=6.

答案:B

2.如图,与杨辉三角有类似性质的三角形数垒中,a,b是某行的前两个数,当a=7时,b等于(　　)

A.20B.21C.22D.23

解析:根据观察可知,每一行除开始和末尾的数外,中间的数分别是其肩上两个数的和,当a=7时,上面一行的第一个数为6,第二个数为16,所以b=6+16=22.

答案:C

3.如图,在杨辉三角中,斜线AB左方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10,…,记这个数列的前n项和为Sn,则S16等于

(　　)

A.144B.146C.164D.461

解析:由题图,知数列中的首项是,第2项是,第3项是,第4项是……第15项是,第16项是,

所以S16=++++…++

=(++…+)+(++…+)

=(+++…+-)+(++…+)

=+-1=164.

答案:C

4.多选题以下关于杨辉三角的猜想中正确的有(　　)

A.由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想:=

B.由“在相邻的两行中,除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想:=+

C.由“第n行所有数之和为2n”猜想:+++…+=2n

D.由“111=11,112=121,113=1 331”猜想 115=15 101 051

解析:由杨辉三角的性质以及二项式定理可知 ABC 正确.115=

(10+1)5=×105+×104+×103+×102+×101+=161 051,故D错误.故选ABC.

答案: ABC

5.一组数据如图所示,满足如下条件:

①第n行首尾两数均为n;

②图中的递推关系类似杨辉三角.

则第10行的第2个数是46,第n行的第2个数是.

解析:由题图可知第10行的第2个数为(1+2+3+…+9)+1=46,第n行的第2个数为[1+2+3+…+(n-1)]+1=+1=.

6.将全体正整数排成一个三角形数阵,如图所示.

按照以上排列的规律,第n(n≥3)行从左向右的第3个数为.

解析:前n-1行共有正整数[1+2+…+(n-1)]个,即个,因此第n行第3个数是全体正整数中第个,为.

7.将杨辉三角中从第1行开始的奇数换成1,偶数换成0,得到如图所示的三角数表.从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行……第n次全行的数都为1的是第2n-1行;第61行中1的个数是32.

解析:观察可得第1行,第3行,第7行,第15行……全行都为1,故第n次全行的数都为1的是第2n-1行.由n=6,得26-1=63,故第63行共有64个1,逆推可知第62行共有32个1,第61行共有32个1.

8.将杨辉三角中的每一个数都换成分数,就得到如图所示的分数三角形,这个分数三角形称为莱布尼茨三角形,请根据莱布尼茨三角形求解以下2个问题.

(1)若+=,求x;

(2)令an=++++…++,求an.

解: (1)从莱布尼茨三角形可以看出,下一行相邻两分数之和等于上一行它们肩上的同一个分数,所以x=r+1.

(2)因为an=++…+++-

=++…++-

=+-

=-,

所以an=-.