重庆市南开中学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题（含答案）

这是一份重庆市南开中学校2021-2022学年八年级上学期期中数学试题（含答案），共24页。试卷主要包含了计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2021-2022学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卡中对应的表格内。
1．下列各数中，最小的数是（　　）
A．0 B． C． D．﹣π
2．在平面直角坐标系中点B（﹣2，0）在（　　）
A．x轴的正半轴上 B．x轴的负半轴上
C．y轴的正半轴上 D．y轴的负半轴上
3．若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＜3 B．x≠3 C．x≤3 D．x≥3
4．下列运算正确的是（　　）
A．2+＝2 B．＝﹣ C． D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．﹣2是4的一个平方根 B．9的算术平方根是±3
C．点（1，2）到x轴距离为1 D．点（2，﹣1）在第二象限
6．《九章算术》中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8文，多3文；每人出7文，少4文，求人数及该物品的价格．小明用二元一次方程组解此问题，若已经列出一个方程8x﹣3＝y，则符合题意的另一个方程是（　　）
A．7x﹣4＝y B．7x+4＝y C．+4＝x D．﹣4＝x
7．根据以下程序，当输入x＝﹣时，则输出结果y＝（　　）

A．+1 B．﹣1 C．﹣﹣1 D．﹣+1
8．估计（3）的值应在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
9．国庆节期间，重庆南开中学用彩灯带装饰了艺术楼大厅的所有圆柱形柱子．为了美观，每根柱子的彩灯带需要从A点沿柱子表面缠绕两周到其正上方的B点，如图所示，若每根柱子的底面周长均为2米，高均为3米，则每根柱子所用彩灯带的最短长度为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．5米
10．如图所示，∠DAB＝90°，∠DBA＝30°，AB＝BC＝，DC＝，则∠ACB＝（　　）

A．45° B．35° C．30° D．25°
11．如图，在平面直角坐标系中，有若干个整点，按图中→方向排列，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4），……，则按此规律排列下去第20个点的坐标为（　　）

A．（13，14） B．（13，13） C．（12，13） D．（12，12）
12．在边长为12的正方形ABCD中，E为CD边中点，连接AE，将△ADE沿线段AE翻折得到△AFE，延长AF交BC边于点N，连接EN，延长EF交BC边于点G，其中BG＝4，连接DF并延长交BC边于点K，连接EK，则下列结论：①DF⊥AE；②△ECN≌△EFN；③∠EKC＝45°；④AN＝4；⑤S△GKE＝S△GFN，其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
13．0的立方根是　 　．
14．已知点A（﹣1，1），点B（1，3），若点M是线段AB的中点，则点M的坐标为 　 　．
15．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，则AC边的长为 　 　．
16．已知是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值为 　 　．
17．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以AB，BC，AC为边向外作等边三角形，并分别记它们的面积为S1，S2，S3，若S1＝3，S2＝8，则S3＝　 　．

18．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（﹣5，12），它关于y轴的对称点为B，则△AOB的周长为 　 　．

19．如图，等腰△ABC的中线为AD，且点A、点D均在数轴上．AB＝AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交数轴于点M（M在点A右边），若点A对应的实数为﹣1，则点M对应的实数为 　 　．

20．若实数a，b，c在数轴上对应点的位置如图所示，则代数式﹣|b+c|+2（a﹣b）的化简结果为 　 　．

21．如图，在△ABC中，∠A＞90°，BD为△ABC的角平分线，点D到BC边的距离为2cm，点E在BC边上，满足AB＝BE，连接DE，DE＝3cm，若线段AC比线段CE长3.5cm，则线段CD＝　 　cm．

22．在第四个“中国农民丰收节”来临之际，中国邮政推出了“城市邮票”盲盒，盲盒内含不同丰收场景的邮票，其中A，B，C三种邮票最受消费者喜爱，故中国邮政准备加印这三种邮票单独售卖．A，B，C三种邮票分别加印各自原有数量的2倍，3倍，2倍．加印后，这三种邮票原有总数量占加印邮票总数量的，若印制A，B，C三种邮票的单张费用之比为3：2：15，且加印B邮票的总费用是加印三种邮票总费用的，则A邮票原有数量与三种邮票原有总数量之比为 　 　．
三、计算题：（本大题共6个小题，23题-26题每小题4分，27题10分，28题8分，共34分）解答时给出必要的演算过程.
23．（4分）计算：﹣（π﹣2021）0．
24．（4分）计算：．
25．（4分）计算：．
26．（4分）计算：﹣13+．
27．（10分）解下列方程组：
（1）；
（2）．
28．（8分）化简求值：[（a+2b）2+（2a+b）（a﹣2b）﹣2b2]÷a，其中a＝2，b＝﹣3．
四、解答题：（本大题共5个小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
29．（10分）如图，在△ABC中，
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠C的角平分线交AB边于点M，延长线段CA，并在其延长线上截取线段AN，使得AN＝AM，连接MN（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图形中，若∠BAC＝2∠B，证明：MN＝MB．

30．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，﹣1）．
（1）若AB∥y轴，且AB＝2，请直接写出B点坐标；
（2）若将A点向右平移4个单位长度，向下平移1个单位长度得到点C，请在图中画出以点O，点A，点C为顶点的三角形，并求△AOC的面积；
（3）在（2）条件下，在x轴上是否存在点P，使得△ACP是以AC为底边的等腰三角形，若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

31．（10分）在重庆南开中学建校85周年之际，学校举行了隆重的庆祝活动．为感谢参与活动的师生，学校定制了水杯和手账两种纪念品，已知定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元．
（1）定制一个水杯和一本手账的单价各是多少元？
（2）学校最终决定定制水杯和手账的总数量为600件（其中水杯不超过300个），并委托商家进行包装，现有如下两种方案：
方案1：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费为1元，总费用打8折；方案2：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费为2元．
求定制水杯多少个时，两种方案的总费用相同？（总费用＝定制物品的总费用+包装总费用）
32．（10分）若一个两位数P的十位数字为a，个位数字为b，其中1≤a≤9，1≤b≤9，规定：s＝a+b，t＝a﹣b，F（P）＝2s+3t．例如：P＝32，则F（32）＝2×（3+2）+3×（3﹣2）＝13．
（1）求F（21）和F（58）的值；
（2）若一个两位数M满足个位数字比十位数字大1，另一个两位数N满足个位数字比十位数字的2倍少3，规定：k＝，当F（M）+F（N）＝28时，求k的最大值．
33．（10分）在△ABC中，AB＝BC，∠B＝45°，AD为BC边上的高．
（1）如图1，若AD＝1，求线段CD的长度；
（2）如图2，点E，点F在AB边上，且满足AE＝BF，连接CE，CF分别交线段AD于点M，点N，若点M为线段CE的中点，求证：AN+CD＝AB；
（3）在（2）问条件下，若AC＝，点Q为AC边上一动点，点P为△ACF内一点且满足∠ACP＝∠CAD，当PQ+PA取最小值时，请直接写出S△CPQ的值．


2021-2022学年重庆市沙坪坝区南开中学八年级（上）期中数学试卷参考答案
一、选择题（本大题12个小题，每小题3分，共36分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将正确答案的代号填入答题卡中对应的表格内。
1．【分析】根据负数都小于0，负数都小于正数，即可得出答案．
【解答】解：∵﹣π＜0＜＜，
∴最小是数是﹣π．
故选：D．
2．【分析】根据坐标轴上点的坐标特征解答．
【解答】解：点B（﹣2，0）在x轴的负半轴上．
故选：B．
3．【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：x﹣3≥0，
∴x≥3
故选：D．
4．【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据最简二次根式对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的除法法则对D进行判断．
【解答】解：A．2与不能合并，所以A选项不符合题意；
B． ＝，所以B选项不符合题意；
C．原式＝＝，所以C选项符合题意；
D．原式＝，所以D选项不符合题意．
故选：C．
5．【分析】根据平方根、算术平方根、点的坐标的特征解决本题．
【解答】解：A．根据平方根的定义，﹣2是4的一个平方根，那么A正确．
B．根据算术平方根的定义，9的算术平方根是3，那么B不正确．
C．点（1，2）到x轴距离为2，那么C不正确．
D．点（2，﹣1）在第四象限，那么D不正确．
故选：A．
6．【分析】由已经列出的方程，可得出x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格，结合“每人出7文，少4文”，即可列出另一方程，此题得解．
【解答】解：∵每人出8文，多3文，且已经列出一个方程8x﹣3＝y，
∴x表示买这件物品的人数，y表示这件物品的价格．
又∵每人出7文，少4文，
∴7x+4＝y．
故选：B．
7．【分析】根据求函数值、二次根式的运算解决此题．
【解答】解：当x＝时，＝3＞2．
∴y＝x+1＝﹣+1．
故选：D．
8．【分析】先根据二次根式的除法进行计算，再利用已知无理数得出的取值范围，进而得出答案．
【解答】解：（3）＝3﹣2，
∵1.7＜＜2，
∴5.1＜3＜6，
∴3.1＜3﹣2＜4，
∴估计（3）的值应在3和4之间．
故选：C．
9．【分析】要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
【解答】解：将圆柱表面切开展开呈长方形，
则彩灯带长为2个长方形的对角线长，
∵圆柱高3米，底面周长2米，
∴AC2＝22+1.52＝6.25，
∴AC＝2.5（米），
∴每根柱子所用彩灯带的最短长度为5m．
故选：D．

10．【分析】根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理得出BD＝2，根据勾股定理得逆定理得出∠DBC＝90°，进而得出∠ABC＝120°，再根据等腰三角形的性质即可得解．
【解答】解：在△ABD中，∠DAB＝90°，∠DBA＝30°，
∴AD＝BD，
∵AD2+AB2＝BD2，AB＝，
∴BD2+3＝BD2，
∴BD＝2，
∵BC＝，DC＝，
∴BD2+BC2＝DC2，
∴△BCD是直角三角形，
∴∠DBC＝90°，
∴∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝90°+30°＝120°，
∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝（180°﹣120°）＝30°．
故选：C．
11．【分析】先由题意写出前10个点的坐标，观察发现并归纳：横坐标与纵坐标相等且为坐标为2的正整数倍的点的坐标特点，从而可得答案．
【解答】解：∵（0，0）→（0，1）→（1，1）→（2，2）→（2，3）→（3，3）→（4，4），→（4，5）→（5，5）→（6，6），……
∴观察发现：横坐标与纵坐标相等且坐标为2的正整数倍的点的坐标为：（2×1，2×1），（2×2，2×2），（2×3，2×3），……
而这些点为：第4个，第7个，第10个，……
归纳得到第19个点的坐标为：（2×6，2×6）、即（12，12），而这样的点的后面一个点是再沿y轴正方向平移一个单位长度，
∴第20个点的坐标为：（12，13），
故选：C．
12．【分析】由折叠的性质即可判定①；由折叠得到∠EFN＝∠ECN＝90°，EF＝EC，利用HL定理即可证明②；利用②中定理证明△ABG≌△AFG，然后利用勾股定理求得FG与FN，然后得到AN的长度，从而判定④；设DF与AE的交点为点O，先利用等面积法求得OD，利用勾股定理求得OE，再利用等面积法求得KN的长，进而判定③；由③中KN的长度可以求出KG的长，从而求得△GKE的面积，再求得△GFN的面积，从而判定⑤．
【解答】解：由折叠的性质可知，∠AFE＝∠ADE＝90°，DE＝EF，AE是DF的中垂线，故①正确，符合题意；
∴∠EFN＝∠ECN＝90°，
∵点E是CD的中点，
∴DE＝CE＝6，
∴EF＝EC＝6，
在Rt△EFN和Rt△ECN中，
，
∴Rt△EFN≌Rt△ECN（HL），故②正确，符合题意；
∴FN＝CN，
同理可证，Rt△AFG≌Rt△ABG（HL），
∴BG＝FG＝4，
设FN＝NC＝x，则GN＝BC﹣BG﹣NC＝12﹣4﹣x＝8﹣x，
在Rt△GNF中，FN2+FG2＝GN2，
∴x2+42＝（8﹣x）2，
解得：x＝3，
∴GN＝5，FN＝NC＝3，
∴AN＝AF+FN＝12+3＝15，故④错误，不符合题意；
设AE与DF的交点为点O，
∵AE⊥DF，
∴S△ADE＝，
∵AD＝12，DE＝6，
∴AE＝6，
∴×6OD＝×12×6，
∴OD＝，
∴OE＝＝，
在△DEK中，S△DEK＝，
设KN＝a，则CK＝a+3，DK＝，
∴××＝×6×（a+3），
解得：a＝3或a＝﹣9（舍），
∴KN＝3，
∴CK＝6，
∴CK＝CE，
∴∠EKC＝45°，故③正确，符合题意；
∵KN＝3，GN＝5，
∴GK＝GN﹣KN＝5﹣3＝2，
∴S△GKE＝GK×CE＝×2×6＝6，S△GFN＝GF×FN＝×4×3＝6，
∴S△GKE＝S△GFN，故⑤正确，符合题意；
∴正确的说法有①②③⑤，
故选：D．

二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）请将正确答案直接填写在答题卡中对应的横线上。
13．【分析】根据0的立方根是0填上即可．
【解答】解：0的立方根是0，
故答案为：0．
14．【分析】根据中点坐标公式即可求出，
【解答】解：（1）∵A（﹣1，1），B（1，3），
∴线段AB的中点M（0，2），
故答案为：（0，2）．
15．【分析】直接根据勾股定理即可得出结论．
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝5，
∴AC＝＝＝．
故答案为：．
16．【分析】把x与y的值代入方程组计算求出a与b的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】解：把代入方程组得：，
解得：，
则原式＝×2﹣×3＝1﹣1＝0．
故答案为：0．
17．【分析】先设AC＝b，BC＝a，AB＝c，根据勾股定理有a2+b2＝c2，再根据等式性质可得a2+b2＝c2，再根据等边三角形的性质以及直角三角形的性质，易求而S1＝×a•a＝a2，同理可求S2＝b2，S3＝c2，从而可得S1+S2＝S3，易求S3．
【解答】解：设AC＝b，BC＝a，AB＝c，那么
∵△ABC是直角三角形，
∴a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝c2，
又∵S1＝×a•a＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
∴S1+S2＝S3，
∴S3＝S2+S1＝8+3＝11，
故答案为：11．
18．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点（纵坐标不变，横坐标互为相反数）可得点B的坐标，进而得出AB的长，再根据勾股定理得出OA与OB的长，从而得出△AOB的周长．
【解答】解：∵点O为坐标原点，点A的坐标为（﹣5，12），它关于y轴的对称点为B，
∴点B的坐标为（5，12），
∴AB＝5﹣（﹣5）＝5+5＝10，，
∴△AOB的周长为：AB+OA+OB＝10+13+13＝36．
故答案为：36．
19．【分析】根据等腰三角形的性质求出BD＝CD＝BC＝2，根据勾股定理求出AD＝AM＝，求出OM即可．
【解答】解：∵等腰△ABC的中线为AD，BC＝4，
∴BD＝CD＝BC＝2，AD⊥BC，
∵AB＝AC＝3，
由勾股定理得：AD＝＝，
所以AM＝AD＝，
∵点A对应的实数为﹣1，
∴AO＝1，
∴OM＝﹣1，
则点M对应的实数为﹣1，
故答案为：﹣1．
20．【分析】直接利用数轴得出a﹣c＜0，b+c＞0，a﹣b＜0，进而化简得出答案．
【解答】解：由数轴可得：a﹣c＜0，b+c＞0，a﹣b＜0，
故原式＝c﹣a﹣（b+c）+2（a﹣b）
＝c﹣a﹣b﹣c+2a﹣2b
＝a﹣3b．
故答案为：a﹣3b．
21．【分析】根据勾股定理求出EH，证明△ABD≌△EBD，根据全等三角形的性质求出AD，根据勾股定理计算，得到答案．
【解答】解：在Rt△DEH中，EH＝＝＝1（cm），
∵BD为△ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠EBD，
在△ABD和△EBD中，
，
∴△ABD≌△EBD（SAS），
∴AD＝DE＝3cm，
∵线段AC比线段CE长3.5cm，AD＝3cm，
∴线段CD比线段CE长0.5cm，
∴线段CD比线段CH长1.5cm，即CH＝CD﹣1.5，
在Rt△DHC中，CD2＝DH2+CH2，即CD2＝（2）2+（CD﹣1.5）2，
解得：CD＝，
故答案为：．

22．【分析】设A，B，C三种邮票原有数量分别为a，b，c，则A，B，C三种邮票分别加印的数量为2a，3b，2c，根据题意列出方程组，用a表示出b、c，代入即可得出答案．
【解答】解：设A，B，C三种邮票原有数量分别为a，b，c，则A，B，C三种邮票分别加印的数量为2a，3b，2c，
由题意得：，
整理得：，
解得：，
∴＝＝，
故答案为：7：12．
三、计算题：（本大题共6个小题，23题-26题每小题4分，27题10分，28题8分，共34分）解答时给出必要的演算过程.
23．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及绝对值的性质、零指数幂的性质分别化简，再利用实数加减运算法则计算得出答案．
【解答】解：原式＝4+﹣2﹣1
＝1+．
24．【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简，再合并同类二次根式得出答案．
【解答】解：原式＝2+3+
＝+3．
25．【分析】利用平方差公式和二次根式的性质计算．
【解答】解：原式＝7﹣9+8
＝6．
26．【分析】先利用乘方的意义、二次根式的乘法法则运算和分母有理化，然后合并即可．
【解答】解：原式＝﹣1++1+3﹣3
＝﹣1++1+2﹣3
＝3﹣3．
27．【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先把方程组化简，再采用适合的方法即可．
【解答】解：（1），
①×5得，5x﹣5y＝5③，
②+③得，7x＝14，
解得x＝2，
把x＝2代入①得，y＝1，
所以方程组的解是．
（2），
整理得，
③+④得，5y＝10，
解得y＝2，
把y＝2代入④得，x＝﹣1，
所以方程组的解是．
28．【分析】先计算小括号里面的，然后再算括号外面的，最后代入求值．
【解答】解：原式＝（a2+4ab+4b2+2a2﹣4ab+ab﹣2b2﹣2b2）÷a
＝（3a2+ab）÷a
＝a+b，
当a＝2，b＝﹣3时，
原式＝+×（﹣3）
＝2﹣
＝．
四、解答题：（本大题共5个小题，每小题10分，共50分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。
29．【分析】（1）利用基本作图，作出∠ACB的平分线CM，然后在CA的延长线上截取线段AN，使得AN＝AM；
（2）证明∠ANM＝∠B，则可根据“AAS”判断△NCM≌△BCM，从而得到MN＝MB．
【解答】（1）解：如图，MN为所作；

（2）证明：∵AM＝AN，
∴∠AMN＝∠ANM，
∴∠MAC＝∠AMN+∠ANM＝2∠ANM，
∵∠BAC＝2∠B，
∴∠ANM＝∠B，
∵CM平分∠ACB，
∴∠ACM＝∠BCM，
在△NCM和△BCM中，
，
∴△NCM≌△BCM（AAS），
∴MN＝MB．
30．【分析】（1）根据平行y轴的特点解答即可；
（2）根据平移的特点和三角形面积公式解答即可；
（3）根据等腰三角形的特点解答即可．
【解答】解：（1）∵点A（﹣2，﹣1），AB∥y轴，且AB＝2，
∴B点坐标为（﹣2，1）或（﹣2，﹣3）；
（2）如图所示：

△AOC的面积＝；
（3）存在，△ACP是以AC为底边的等腰三角形，则点P在AC的垂直平分线上，
∵PA＝PC，
设点P的坐标为（m，0），可得：（m+2）2+12＝（2﹣m）2+22，
解得：m＝，
∴点P坐标为（，0）．
31．【分析】（1）设定制一个水杯的单价为x元，一本手账的单价为y元，由题意：定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元．列出方程组，解方程组即可；
（2）设定制水杯m个时，两种方案的总费用相同，则定制手账为（600﹣m）个，由题意：方案1：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费为1元，总费用打8折；方案2：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费为2元．列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设定制一个水杯的单价为x元，一本手账的单价为y元，
由题意得：，
解得：，
答：定制一个水杯的单价为60元，一本手账的单价为20元；
（2）设定制水杯m个时，两种方案的总费用相同，则定制手账为（600﹣m）个，
则方案1的总费用为：0.8×[60m+20（600﹣m）+6m+（600﹣m）×1]＝36m+10080，
方案2的总费用为：60m+20（600﹣m﹣m）+4m+2×（600﹣m﹣m）＝20m+13200，
由题意得：36m+10080＝20m+13200，
解得：m＝195，
答：定制水杯195个时，两种方案的总费用相同．
32．【分析】（1）根据新定义列算式计算即可；
（2）设两位数M的十位数字为c，则个位数字为（c+1），设两位数N的十位数字为d，则个位数字为2d﹣3，由新定义得F（M）＝4c﹣1，F（N）＝3d+3，则F（M）+F（N）＝4c﹣1+3d+3＝4c+3d+2＝28，得4c＝26﹣3d，再由题意得，，解得1≤c≤8，2≤d≤6，然后求出k＝﹣1+，进而求解即可．
【解答】解：（1）由题意得：F（21）＝2×（2+1）+3×（2﹣1）＝9，F（58）＝2×（5+8）+3×（5﹣8）＝26﹣9＝17；
（2）设两位数M的十位数字为c，则个位数字为（c+1），
设两位数N的十位数字为d，则个位数字为2d﹣3，
∴F（M）＝2×（c+c+1）+3×（c﹣c﹣1）＝4c﹣1，
F（N）＝2×（d+2d﹣3）+3×（d﹣2d+3）＝3d+3，
∴F（M）+F（N）＝4c﹣1+3d+3＝4c+3d+2＝28，
∴4c+3d＝26，
∴4c＝26﹣3d，
由题意得：，，
解得：1≤c≤8，2≤d≤6，
∴k＝＝＝＝＝﹣＝﹣1+，
∴当d＝2时，k值最大，
∴k的最大值＝﹣1+＝．
33．【分析】（1）证明AD＝BD＝1，求出AB＝BC＝，可得结论；
（2）如图2中，延长AM到T，使得AM＝MT，连接CT，BT．证明△AME≌△TMC（SAS），推出AE＝CT，∠MAE＝∠MTC＝45°，推出AB∥CT，再证明AN＝AF，BF＝CT＝CD，可得结论；
（3）如图3中，过点A作AR⊥CE于点R．证明∠PCF＝∠PCA＝22.5°，作点Q关于CP的对称点J（点J在CF上，连接PJ．由PA+PQ＝PA+PJ≥AR，推出当A，P，J共线，且垂直CF时，PA+PQ的值最小，由此可得结论．
【解答】（1）解：如图1中，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵∠B＝45°，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴AD＝BD＝1，
∴AB＝＝＝，
∵BC＝AB＝，
∴CD＝BC﹣BD＝﹣1；

（2）证明：如图2中，延长AM到T，使得AM＝MT，连接CT，BT．

在△AME和∠TMC中，
，
∴△AME≌△TMC（SAS），
∴AE＝CT，∠MAE＝∠MTC＝45°，
∴AB∥CT，
∵BF＝AE，
∴BF＝CT，
∴四边形BFCT是平行四边形，
∴CF∥BT，
∵∠CDT＝90°，∠DTC＝45°，
∴∠DCT＝∠DTC＝45°，
∴DT＝DC，CT＝BF＝CD，
∵AD＝BD，
∴BC＝AT，
∵BC＝AB，
∴AB＝AT，
∴∠ABT＝∠ATB，
∵FN∥BT，
∴∠AFN＝∠ABT，∠ANF＝∠ATB，
∴∠AFN＝∠ANF，
∴AN＝AF，
∴AB＝AF+BF＝AN+CD；

（3）解：如图3中，过点A作AR⊥CF于点R．

由（2）可知，AF＝AN，
∵∠FAN＝45°，
∴∠AFN＝∠ANF＝67.5°，
∵∠ANF＝∠CND＝67.5°，∠NDC＝90°，
∴∠DCN＝90°﹣67.5°＝22.5°，
∵BA＝BC，∠B＝45°，
∴∠BCA＝∠BAC＝67.5°，
∴∠CAD＝∠BAC﹣∠BAD＝22.5°，∠ACF＝∠ACB﹣∠DCN＝45°，
∵AC＝，AR⊥CF，
∴AR＝CR＝1，
∵∠ACP＝∠DAC＝22.5°，
∴∠PCF＝∠PCA＝22.5°，
作点Q关于CP的对称点J（点J在CF上，连接PJ．
∵PA+PQ＝PA+PJ≥AR，
∴当A，P，J共线，且垂直CF时，PA+PQ的值最小，
此时PQ⊥AC，CQ＝CR＝1，AQ＝AC﹣CQ＝﹣1，PQ＝AQ＝﹣1，
∴S△CPQ＝•CQ•PQ＝