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重庆市涪陵第十四中学校2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题(含答案)
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这是一份重庆市涪陵第十四中学校2022-2023学年八年级上学期期中考试数学试题(含答案)，共28页。
A．﹣5B．5C．D．﹣
2．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．科克曲线
C．斐波那契螺旋线D．费马螺线
3．若长度分别为a，4，6的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1B．2C．5D．11
4．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
5．如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝∠E，则∠C的度数是（ ）
A．15°B．20°C．22.5°D．30°
6．下列命题错误的是（ ）
A．三角形的三条高交于一点
B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处
D．三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等
7．估算+1的值在（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
8．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．这里构造了全等三角形，△ABC≌△DEC，那么判断这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC＝5cm，AB＝8cm，则△EBC的周长为（ ）
A．9cmB．13cmC．18cmD．21cm
11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E；…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以A2022为顶点的内角度数是（ ）
A．（）2019•75°B．（）2020•75°
C．（）2021•75°D．（）2022•75°
12．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠ADE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．+＝ ．
14．一个凸n边形的内角和为1260°，则n＝ ．
15．等腰三角形的两边长分别为4和9，该三角形的周长为 ．
16．如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝AD，在BC上取一点E，连接AE，DE．若∠DAC＝2∠BAE，现有下列五个结论：①∠DEC＝∠DAC；②∠BAE+∠ACD＝90°；③AE平分∠BED；④DE＝AB+BE；⑤S△ADC＝S△CED+S△ABE；其中正确的命题是 ．
三、解答题（本大题9个小题，共86分）解答时每个小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．计算：
（1）（4a2b﹣3ab）+（﹣5a2b+2ab）；
（2）（8xy﹣x2）﹣4（2xy+x2）．
18．解下列不等式：
（1）3（2x+5）＞2（4x+3）；
（2）＜﹣1．
19．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF．求证：∠E＝∠F．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，BD是AC边上的高．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点E．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
（2）在（1）的条件下，求∠DBE的度数．
21．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A，B，C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，其中点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）计算△ABC的面积．
22．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE是AB边上的中线，延长AB至点D，使BD＝AC，连接CD．求证：CD＝2CE．
24．学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“积数”
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与个位数字之积恰好能被十位数字整除，则称这个自然数为“积数”，例如：124是“积数”，因为1，2，4都不为0，且1×4＝4，4能被2整除；643不是“积数”，因为6×3＝18，18不能被4整除．
（1）判断951，396是否是“积数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比个位数字大6的所有“积数”，并说明理由．
25．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A、B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于D点，求的值；
（3）如图③，若点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值，若变化，求PB的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．5的倒数是（ ）
A．﹣5B．5C．D．﹣
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
解：∵5×＝1，
∴5的倒数是．
故选：C．
【点评】本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．科克曲线
C．斐波那契螺旋线D．费马螺线
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．若长度分别为a，4，6的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1B．2C．5D．11
【分析】根据三角形三边关系定理得出6﹣4＜a＜4+6，求出即可．
解：由三角形三边关系定理得：6﹣4＜a＜4+6，
即2＜a＜10，
即符合的只有5，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出2＜a＜10是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
4．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即可得出答案．
解：点P（3，﹣2）关于y轴的对称点Q的坐标是（﹣3，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝∠E，则∠C的度数是（ ）
A．15°B．20°C．22.5°D．30°
【分析】利用平行的性质求出∠DOE，再利用三角形外角的性质求出∠C即可．
解：∵AB∥CD，∠A＝45°
∴∠DOE＝∠A＝45°，
∵∠DOE＝∠E+∠C，∠C＝∠E，
∴∠C＝∠DFE＝22.5°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系：两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6．下列命题错误的是（ ）
A．三角形的三条高交于一点
B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处
D．三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等
【分析】利用三角形的垂心的定义、重心的定义及三角形的角平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、钝角三角形的三条高（线段）不能交于一点，是三条高所在的直线交于一点，故原命题错误，符合题意；
B、三角形的三条中线都在三角形的内部，正确，不符合题意；
C、直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处，正确，不符合题意；
D、三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等，正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的垂心的定义、重心的定义及三角形的角平分线的性质，难度不大．
7．估算+1的值在（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小，进而得出+1的大小即可．
解：∵42＝16，52＝25，而16＜24＜25，
∴4＜＜5，
∴5＜+1＜6，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
8．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．这里构造了全等三角形，△ABC≌△DEC，那么判断这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等．
解：量出DE的长就等于AB的长，理由如下：
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
10．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC＝5cm，AB＝8cm，则△EBC的周长为（ ）
A．9cmB．13cmC．18cmD．21cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，从而可得△EBC的周长＝AB+BC，进行计算即可解答．
解：∵DE是AC边上的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∵BC＝5cm，AB＝8cm，
∴△EBC的周长＝EB+EC+BC
＝EB+AE+BC
＝AB+BC
＝13（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E；…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以A2022为顶点的内角度数是（ ）
A．（）2019•75°B．（）2020•75°
C．（）2021•75°D．（）2022•75°
【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B＝30°，A1B＝CB，得∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°，那么∠BA1C＝×150°＝75°．由A1A2＝A1D，得∠DA2A1＝∠A1DA2．根据三角形外角的性质，由∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1，得∠DA2A1＝∠BA1C＝××150°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
解：∵∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°．
∴2∠BA1C＝150°．
∴∠BA1C＝×150°＝75°．
∵A1A2＝A1D，
∴∠DA2A1＝∠A1DA2．
∴∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1．
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝××150°．
同理可得：∠EA3A2＝∠DA2A1＝××150°．
…，
以此类推，以An为顶点的内角度数是∠An＝（）n×150°＝（）n﹣1×75°．
∴以A2022为顶点的内角度数是（）2021•75°．
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
12．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠ADE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】连接AA′，根据三角形内角和求出∠BAC，再根据∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，得出∠1+∠2＝2∠BAC，从而得出答案．
解：如图，连接AA′，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2∠BAC＝80°，
∴BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴AA′平分∠BAC，
∴∠DAA′＝BAC＝20°，
∵∠1＝40°，
∴∠ADE＝＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．+＝ 5 ．
【分析】直接利用算术平方根以及立方根的性质化简得出答案．
解：+＝3+2＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
14．一个凸n边形的内角和为1260°，则n＝ 9 ．
【分析】根据多边形内角和定理列式计算即可．
解：由题意得，（n﹣2）×180°＝1260°，
解得，n＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）是解题的关键．
15．等腰三角形的两边长分别为4和9，该三角形的周长为 22 ．
【分析】分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案．
解：分两种情况：
①当4为底边长，9为腰长时，4+9＞9，
∴三角形的周长＝4+9+9＝22；
②当9为底边长，4为腰长时，
∵4+4＜9，
∴不能构成三角形；
∴这个三角形的周长是22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系；熟练掌握等腰三角形的性质，通过进行分类讨论得出结果是解决问题的关键．
16．如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝AD，在BC上取一点E，连接AE，DE．若∠DAC＝2∠BAE，现有下列五个结论：①∠DEC＝∠DAC；②∠BAE+∠ACD＝90°；③AE平分∠BED；④DE＝AB+BE；⑤S△ADC＝S△CED+S△ABE；其中正确的命题是 ①②③④ ．
【分析】①设∠BAE＝α，依次表示出∠DAC，∠ACD，∠DAE，∠DCE，从而计算得∠DAE+∠DCE＝180°，从而得出点A、E、C、D共圆，进一步得出结果；
②计算可得出结果；
③可推出∠AEB＝∠ADC，∠AED＝∠ACD，进一步得出结果；
④作AF⊥DE，可推出DF＝AF＝AB，BE＝FE，进一步得出结果；
⑤可推出△ADE的面积大于△ABC的面积，进而得出△AOD的面积大于△ABE与△COE的面积之和，进一步得出△ACD的面积大于△ABE与△CDE的面积之和．
解：①设∠BAE＝α，则∠DAC＝2α，
∵∠B＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝45°﹣α，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝2α+45﹣α＝α+45°，
∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝＝＝90°﹣α，
∴∠DCE＝∠ACD+∠ACB＝90°﹣α+45°＝135°﹣α，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∴点A、E、C、D共圆，
∴∠DEC＝∠DAC，
故①正确；
②由①得：∠ACD＝90°﹣α，
∵∠BAE＝α，
∴∠ACD+∠BAE＝90°，
故②正确；
③由①得：点A、E、C、D共圆，
∴∠AED＝∠ACD，∠AEB＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠ACD，
∴∠AED＝∠AEB，
故③正确；
④如图1，
作AF⊥DE于F，
由③得：AE平分∠BED，
∵∠B＝90°，
∴AB＝AF，
∵点A、E、C、D共圆，
∴∠ADE＝∠ACB＝45°，
∴∠DAF＝90°﹣∠ADE＝45°，
∴∠ADE＝∠DAF，
∴DF＝AF，
∵∠B＝∠AFE＝90°，∠AED＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠EAF，
∴BE＝EF，
∴DE＝DF+EF＝AB+BE，
故④正确；
⑤如上图，
∵AD＝AC，AF＝AB，∠AFD＝∠B＝90°，
∴Rt△ADF≌Rt△ACB（HL），
∴S△ADF+S△AEF＞S△ACB，
∴S△ADF+S△AEF﹣S△AOE＞S△ACB﹣S△AOE，
∴S△AOD＞S△ABE+S△COE，
∴S△AOD+S△COD＞S△ABE+S△COE+S△COD，
∴S△ACD＞S△CDE+S△ABE，
故⑤不正确，
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键寻找角之间数量关系．
三、解答题（本大题9个小题，共86分）解答时每个小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．计算：
（1）（4a2b﹣3ab）+（﹣5a2b+2ab）；
（2）（8xy﹣x2）﹣4（2xy+x2）．
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项；
（2）先去括号，然后合并同类项．
解：（1）（4a2b﹣3ab）+（﹣5a2b+2ab）
＝4a2b﹣3ab﹣5a2b+2ab
＝﹣a2b﹣ab；
（2）（8xy﹣x2）﹣4（2xy+x2）
＝8xy﹣x2﹣8xy﹣4x2
＝﹣5x2．
【点评】本题考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
18．解下列不等式：
（1）3（2x+5）＞2（4x+3）；
（2）＜﹣1．
【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
解：（1）3（2x+5）＞2（4x+3），
6x+15＞8x+6，
6x﹣8x＞6﹣15，
﹣2x＞﹣9，
x＜4.5；
（2）＜﹣1，
3（x+3）＜5（2x﹣5）﹣15，
3x+9＜10x﹣25﹣15，
3x﹣10x＜﹣25﹣15﹣9，
﹣7x＜﹣49，
x＞7．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
19．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF．求证：∠E＝∠F．
【分析】证△AEC≌△DFB（SSS），即可得出结论．
解：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC．
即AC＝BD．
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（SSS），
∴∠E＝∠F．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△AEC≌△DFB是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，BD是AC边上的高．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点E．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
（2）在（1）的条件下，求∠DBE的度数．
【分析】（1）利用尺规作出∠ABC的角平分线即可；
（2）分别求出∠ABE，∠ABD，可得结论．
解：（1）如图，射线BE即为所求；
（2）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝35°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DBE＝50°﹣35°＝15°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
21．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A，B，C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，其中点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）计算△ABC的面积．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
解：（1）如图，的△A1B1C1即为所求．A1（﹣2，﹣1），B1（﹣4，﹣5），C1，（﹣5，﹣2）；
（2）△ABC的面积＝3×4﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×4＝5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
22．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
【分析】①利用SAS即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到∠AEB＝∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．
【解答】①证明：在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
由①得：△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝30°+45°＝75°，
则∠BDC＝75°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE是AB边上的中线，延长AB至点D，使BD＝AC，连接CD．求证：CD＝2CE．
【分析】取AC的中点F，连接BF，由SAS判定△ABF≌△ACE，得到BF＝CE，再利用三角形中位线定理得到CD＝2BF，即可得出结论．
【解答】证明：取AC的中点F，连接BF，
∵AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的中点，
∴AE＝AF，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴BF＝CE，
∵BD＝AC，AB＝AC，
∴BD＝AB，
∵AF＝CF，
∴BF是△ACD的中位线，
∴CD＝2BF，
∴CD＝2CE．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形中位线定理等知识，正确作出辅助线、构造三角形全等是解题的关键．
24．学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“积数”
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与个位数字之积恰好能被十位数字整除，则称这个自然数为“积数”，例如：124是“积数”，因为1，2，4都不为0，且1×4＝4，4能被2整除；643不是“积数”，因为6×3＝18，18不能被4整除．
（1）判断951，396是否是“积数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比个位数字大6的所有“积数”，并说明理由．
【分析】（1）根据题意中的新定义求解；
（2）设个位数字为a，十位数字为b，则百位数字为（a+6），且1≤a≤3，根据整除的意义验证求解．
解：（1）951，因为9×1＝9，9不能被5整除，
∴951不是“积数”，
396，因，3，9，6都不为0，且3×6＝18，18能被9整除，
∴396是“积数”；
（2）设个位数字为a，十位数字为b，则百位数字为（a+6），且1≤a≤3，
由题意得：a（a+6）能被b整除，
当a＝1时，b的值为1，7，
此时该数是，711，771，
当a＝2时，b的值为1，2，4，8，
此时该数是：812，822，842，882，
当a＝3时，b的值为1，3，9，，
此时该数是：913，933，993，
百位数字比个位数字大6的所有“积数”为：711，771，812，822，842，882，913，933，993．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整除的意义是解题的关键．
25．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A、B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于D点，求的值；
（3）如图③，若点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值，若变化，求PB的取值范围．
【分析】（1）作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）设AB＝BC＝a，根据勾股定理求出AC＝a，根据MA（即x轴）平分∠BAC，得到＝＝，求得BM＝（﹣1）a，MC＝（2﹣）a，AM＝a，再证明Rt△ABM∽Rt△CDM，得到＝，即CD＝，即可解答，
（3）作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝AO，即可解题．
解：（1）如图1，作CD⊥BO于D，
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中，
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD＝BO＝5，
∴B点坐标（O，5）；
（2）设AB＝BC＝a，
则AC＝a，
∵MA（即x轴）平分∠BAC，
∴＝＝，
即MC＝BM，
∵BC＝BM+MC＝a，
∴BM+BM＝a，
解得BM＝（﹣1）a，MC＝（2﹣）a
则AM＝＝a，
∵∠ABM＝∠CDM＝90°
且∠AMB＝∠CMD
∴Rt△ABM∽Rt△CDM，
∴＝，
即CD＝，
∴＝＝；
解法二：延长CD交AB的延长线于点T．
可证△ABM≌△CBT（AAS），
∴AM＝CT，
再证明CD＝DT，可得AM＝2CD，
∴＝．
（3）如图3，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBG＝90°，
∴∠BAO＝∠EBG，
在△BAO和△EBG中，
，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG＝AO，EG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝EG，
在△EGP和△FBP中，
，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝AO＝2．
【点评】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．
A．﹣5B．5C．D．﹣
2．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．科克曲线
C．斐波那契螺旋线D．费马螺线
3．若长度分别为a，4，6的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1B．2C．5D．11
4．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
5．如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝∠E，则∠C的度数是（ ）
A．15°B．20°C．22.5°D．30°
6．下列命题错误的是（ ）
A．三角形的三条高交于一点
B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处
D．三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等
7．估算+1的值在（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
8．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．这里构造了全等三角形，△ABC≌△DEC，那么判断这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
10．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC＝5cm，AB＝8cm，则△EBC的周长为（ ）
A．9cmB．13cmC．18cmD．21cm
11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E；…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以A2022为顶点的内角度数是（ ）
A．（）2019•75°B．（）2020•75°
C．（）2021•75°D．（）2022•75°
12．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠ADE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．+＝ ．
14．一个凸n边形的内角和为1260°，则n＝ ．
15．等腰三角形的两边长分别为4和9，该三角形的周长为 ．
16．如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝AD，在BC上取一点E，连接AE，DE．若∠DAC＝2∠BAE，现有下列五个结论：①∠DEC＝∠DAC；②∠BAE+∠ACD＝90°；③AE平分∠BED；④DE＝AB+BE；⑤S△ADC＝S△CED+S△ABE；其中正确的命题是 ．
三、解答题（本大题9个小题，共86分）解答时每个小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．计算：
（1）（4a2b﹣3ab）+（﹣5a2b+2ab）；
（2）（8xy﹣x2）﹣4（2xy+x2）．
18．解下列不等式：
（1）3（2x+5）＞2（4x+3）；
（2）＜﹣1．
19．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF．求证：∠E＝∠F．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，BD是AC边上的高．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点E．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
（2）在（1）的条件下，求∠DBE的度数．
21．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A，B，C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，其中点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）计算△ABC的面积．
22．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE是AB边上的中线，延长AB至点D，使BD＝AC，连接CD．求证：CD＝2CE．
24．学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“积数”
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与个位数字之积恰好能被十位数字整除，则称这个自然数为“积数”，例如：124是“积数”，因为1，2，4都不为0，且1×4＝4，4能被2整除；643不是“积数”，因为6×3＝18，18不能被4整除．
（1）判断951，396是否是“积数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比个位数字大6的所有“积数”，并说明理由．
25．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A、B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于D点，求的值；
（3）如图③，若点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值，若变化，求PB的取值范围．
参考答案
一、选择题（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑.
1．5的倒数是（ ）
A．﹣5B．5C．D．﹣
【分析】根据倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
解：∵5×＝1，
∴5的倒数是．
故选：C．
【点评】本题主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是：
倒数的性质：负数的倒数还是负数，正数的倒数是正数，0没有倒数．
倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．
2．下列图形中是轴对称图形的是（ ）
A．赵爽弦图B．科克曲线
C．斐波那契螺旋线D．费马螺线
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
解：A，C，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
B选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．若长度分别为a，4，6的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）
A．1B．2C．5D．11
【分析】根据三角形三边关系定理得出6﹣4＜a＜4+6，求出即可．
解：由三角形三边关系定理得：6﹣4＜a＜4+6，
即2＜a＜10，
即符合的只有5，
故选：C．
【点评】本题考查了三角形三边关系定理，能根据定理得出2＜a＜10是解此题的关键，注意：三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．
4．在平面直角坐标系中，点P（3，﹣2）关于y轴的对称点Q的坐标是（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣2，3）D．（﹣2，﹣3）
【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y）即可得出答案．
解：点P（3，﹣2）关于y轴的对称点Q的坐标是（﹣3，﹣2）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中对称点的规律．解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；
（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
5．如图，AB∥CD，∠A＝45°，∠C＝∠E，则∠C的度数是（ ）
A．15°B．20°C．22.5°D．30°
【分析】利用平行的性质求出∠DOE，再利用三角形外角的性质求出∠C即可．
解：∵AB∥CD，∠A＝45°
∴∠DOE＝∠A＝45°，
∵∠DOE＝∠E+∠C，∠C＝∠E，
∴∠C＝∠DFE＝22.5°．
故选：C．
【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形内角与外角的关系：两直线平行，内错角相等；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．
6．下列命题错误的是（ ）
A．三角形的三条高交于一点
B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处
D．三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等
【分析】利用三角形的垂心的定义、重心的定义及三角形的角平分线的性质分别判断后即可确定正确的选项．
解：A、钝角三角形的三条高（线段）不能交于一点，是三条高所在的直线交于一点，故原命题错误，符合题意；
B、三角形的三条中线都在三角形的内部，正确，不符合题意；
C、直角三角形的三条高交于一点，且交点在直角顶点处，正确，不符合题意；
D、三角形的三条角平分线交于一点，且这个交点到三角形三边的距离相等，正确，不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形的垂心的定义、重心的定义及三角形的角平分线的性质，难度不大．
7．估算+1的值在（ ）
A．3到4之间B．4到5之间C．5到6之间D．6到7之间
【分析】根据算术平方根的定义，估算无理数的大小，进而得出+1的大小即可．
解：∵42＝16，52＝25，而16＜24＜25，
∴4＜＜5，
∴5＜+1＜6，
故选：C．
【点评】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
8．如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B．连接AC并延长到点D，使CD＝CA，连接BC并延长到点E，使CE＝CB．连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离．这里构造了全等三角形，△ABC≌△DEC，那么判断这两个三角形全等的依据是（ ）
A．SSSB．SASC．ASAD．HL
【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等．
解：量出DE的长就等于AB的长，理由如下：
在△ABC和△DEC中，
，
∴△ABC≌△DEC（SAS），
∴AB＝DE，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．
9．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB＝10，S△ABD＝15，则CD的长为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【分析】过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE＝CD，然后利用△ABD的面积列式计算即可得解．
解：如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C＝90°，AD平分∠BAC，
∴DE＝CD，
∴S△ABD＝AB•DE＝×10•DE＝15，
解得：DE＝3，
∴CD＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形的面积和角平分线的性质，能熟记角平分线上的点到角两边的距离相等是解此题的关键．
10．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC＝5cm，AB＝8cm，则△EBC的周长为（ ）
A．9cmB．13cmC．18cmD．21cm
【分析】根据线段垂直平分线的性质，可得AE＝CE，从而可得△EBC的周长＝AB+BC，进行计算即可解答．
解：∵DE是AC边上的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∵BC＝5cm，AB＝8cm，
∴△EBC的周长＝EB+EC+BC
＝EB+AE+BC
＝AB+BC
＝13（cm），
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E；…按此做法继续下去，则第2022个三角形中以A2022为顶点的内角度数是（ ）
A．（）2019•75°B．（）2020•75°
C．（）2021•75°D．（）2022•75°
【分析】根据等腰三角形的性质，由∠B＝30°，A1B＝CB，得∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°，那么∠BA1C＝×150°＝75°．由A1A2＝A1D，得∠DA2A1＝∠A1DA2．根据三角形外角的性质，由∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1，得∠DA2A1＝∠BA1C＝××150°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
解：∵∠B＝30°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝∠C，30°+∠BA1C+∠C＝180°．
∴2∠BA1C＝150°．
∴∠BA1C＝×150°＝75°．
∵A1A2＝A1D，
∴∠DA2A1＝∠A1DA2．
∴∠BA1C＝∠DA2A1+∠A2DA1＝2∠DA2A1．
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝××150°．
同理可得：∠EA3A2＝∠DA2A1＝××150°．
…，
以此类推，以An为顶点的内角度数是∠An＝（）n×150°＝（）n﹣1×75°．
∴以A2022为顶点的内角度数是（）2021•75°．
故选：C．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
12．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，若∠BA'C＝110°，则∠ADE的度数为（ ）
A．60°B．65°C．70°D．75°
【分析】连接AA′，根据三角形内角和求出∠BAC，再根据∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，得出∠1+∠2＝2∠BAC，从而得出答案．
解：如图，连接AA′，
∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∠BA'C＝110°，
∴∠A′BC+∠A′CB＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝140°，
∴∠BAC＝180°﹣140°＝40°，
∵∠1＝∠DAA′+∠DA′A，∠2＝∠EAA′+∠EA′A，
∵∠DAA′＝∠DA′A，∠EAA′＝∠EA′A，
∴∠1+∠2＝2∠BAC＝80°，
∴BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACB，
∴AA′平分∠BAC，
∴∠DAA′＝BAC＝20°，
∵∠1＝40°，
∴∠ADE＝＝70°．
故选：C．
【点评】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上.
13．+＝ 5 ．
【分析】直接利用算术平方根以及立方根的性质化简得出答案．
解：+＝3+2＝5．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
14．一个凸n边形的内角和为1260°，则n＝ 9 ．
【分析】根据多边形内角和定理列式计算即可．
解：由题意得，（n﹣2）×180°＝1260°，
解得，n＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）是解题的关键．
15．等腰三角形的两边长分别为4和9，该三角形的周长为 22 ．
【分析】分类讨论：9为腰长，9为底边长，根据三角形的周长公式，可得答案．
解：分两种情况：
①当4为底边长，9为腰长时，4+9＞9，
∴三角形的周长＝4+9+9＝22；
②当9为底边长，4为腰长时，
∵4+4＜9，
∴不能构成三角形；
∴这个三角形的周长是22．
故答案为：22．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的三边关系；熟练掌握等腰三角形的性质，通过进行分类讨论得出结果是解决问题的关键．
16．如图，在四边形ABCD中，AC为对角线，∠B＝90°，AB＝BC，AC＝AD，在BC上取一点E，连接AE，DE．若∠DAC＝2∠BAE，现有下列五个结论：①∠DEC＝∠DAC；②∠BAE+∠ACD＝90°；③AE平分∠BED；④DE＝AB+BE；⑤S△ADC＝S△CED+S△ABE；其中正确的命题是 ①②③④ ．
【分析】①设∠BAE＝α，依次表示出∠DAC，∠ACD，∠DAE，∠DCE，从而计算得∠DAE+∠DCE＝180°，从而得出点A、E、C、D共圆，进一步得出结果；
②计算可得出结果；
③可推出∠AEB＝∠ADC，∠AED＝∠ACD，进一步得出结果；
④作AF⊥DE，可推出DF＝AF＝AB，BE＝FE，进一步得出结果；
⑤可推出△ADE的面积大于△ABC的面积，进而得出△AOD的面积大于△ABE与△COE的面积之和，进一步得出△ACD的面积大于△ABE与△CDE的面积之和．
解：①设∠BAE＝α，则∠DAC＝2α，
∵∠B＝90°，AB＝BC，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
∴∠CAE＝∠BAC﹣∠BAE＝45°﹣α，
∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝2α+45﹣α＝α+45°，
∵AD＝AC，
∴∠ACD＝∠ADC＝＝＝90°﹣α，
∴∠DCE＝∠ACD+∠ACB＝90°﹣α+45°＝135°﹣α，
∴∠DAE+∠DCE＝180°，
∴点A、E、C、D共圆，
∴∠DEC＝∠DAC，
故①正确；
②由①得：∠ACD＝90°﹣α，
∵∠BAE＝α，
∴∠ACD+∠BAE＝90°，
故②正确；
③由①得：点A、E、C、D共圆，
∴∠AED＝∠ACD，∠AEB＝∠ADC，
∵∠ADC＝∠ACD，
∴∠AED＝∠AEB，
故③正确；
④如图1，
作AF⊥DE于F，
由③得：AE平分∠BED，
∵∠B＝90°，
∴AB＝AF，
∵点A、E、C、D共圆，
∴∠ADE＝∠ACB＝45°，
∴∠DAF＝90°﹣∠ADE＝45°，
∴∠ADE＝∠DAF，
∴DF＝AF，
∵∠B＝∠AFE＝90°，∠AED＝∠AEB，
∴∠BAE＝∠EAF，
∴BE＝EF，
∴DE＝DF+EF＝AB+BE，
故④正确；
⑤如上图，
∵AD＝AC，AF＝AB，∠AFD＝∠B＝90°，
∴Rt△ADF≌Rt△ACB（HL），
∴S△ADF+S△AEF＞S△ACB，
∴S△ADF+S△AEF﹣S△AOE＞S△ACB﹣S△AOE，
∴S△AOD＞S△ABE+S△COE，
∴S△AOD+S△COD＞S△ABE+S△COE+S△COD，
∴S△ACD＞S△CDE+S△ABE，
故⑤不正确，
故答案为：①②③④．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键寻找角之间数量关系．
三、解答题（本大题9个小题，共86分）解答时每个小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上.
17．计算：
（1）（4a2b﹣3ab）+（﹣5a2b+2ab）；
（2）（8xy﹣x2）﹣4（2xy+x2）．
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项；
（2）先去括号，然后合并同类项．
解：（1）（4a2b﹣3ab）+（﹣5a2b+2ab）
＝4a2b﹣3ab﹣5a2b+2ab
＝﹣a2b﹣ab；
（2）（8xy﹣x2）﹣4（2xy+x2）
＝8xy﹣x2﹣8xy﹣4x2
＝﹣5x2．
【点评】本题考查了整式的加减，整式的加减的实质就是去括号、合并同类项．一般步骤是：先去括号，然后合并同类项．
18．解下列不等式：
（1）3（2x+5）＞2（4x+3）；
（2）＜﹣1．
【分析】（1）按照解一元一次不等式的步骤：去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（2）按照解一元一次不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答．
解：（1）3（2x+5）＞2（4x+3），
6x+15＞8x+6，
6x﹣8x＞6﹣15，
﹣2x＞﹣9，
x＜4.5；
（2）＜﹣1，
3（x+3）＜5（2x﹣5）﹣15，
3x+9＜10x﹣25﹣15，
3x﹣10x＜﹣25﹣15﹣9，
﹣7x＜﹣49，
x＞7．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
19．如图，点A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，AE＝DF，CE＝BF．求证：∠E＝∠F．
【分析】证△AEC≌△DFB（SSS），即可得出结论．
解：∵AB＝CD，
∴AB+BC＝CD+BC．
即AC＝BD．
在△AEC和△DFB中，
，
∴△AEC≌△DFB（SSS），
∴∠E＝∠F．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明△AEC≌△DFB是解题的关键．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，BD是AC边上的高．
（1）尺规作图：作∠ABC的角平分线交AC于点E．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论）；
（2）在（1）的条件下，求∠DBE的度数．
【分析】（1）利用尺规作出∠ABC的角平分线即可；
（2）分别求出∠ABE，∠ABD，可得结论．
解：（1）如图，射线BE即为所求；
（2）∵AB＝AC，∠A＝40°，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠ABC＝35°，
∵BD⊥AC，
∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°，
∴∠DBE＝50°﹣35°＝15°．
【点评】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是掌握五种基本作图，属于中考常考题型．
21．如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A，B，C的坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）作△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，其中点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）计算△ABC的面积．
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
（2）把三角形的面积看成矩形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
解：（1）如图，的△A1B1C1即为所求．A1（﹣2，﹣1），B1（﹣4，﹣5），C1，（﹣5，﹣2）；
（2）△ABC的面积＝3×4﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×4＝5．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
22．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE、DE、DC．
①求证：△ABE≌△CBD；
②若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．
【分析】①利用SAS即可得证；
②由全等三角形对应角相等得到∠AEB＝∠CDB，利用外角的性质求出∠AEB的度数，即可确定出∠BDC的度数．
【解答】①证明：在△ABE和△CBD中，
，
∴△ABE≌△CBD（SAS）；
②解：∵在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，
∴∠BAC＝∠ACB＝45°，
由①得：△ABE≌△CBD，
∴∠AEB＝∠BDC，
∵∠AEB为△AEC的外角，
∴∠AEB＝∠ACB+∠CAE＝30°+45°＝75°，
则∠BDC＝75°．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE是AB边上的中线，延长AB至点D，使BD＝AC，连接CD．求证：CD＝2CE．
【分析】取AC的中点F，连接BF，由SAS判定△ABF≌△ACE，得到BF＝CE，再利用三角形中位线定理得到CD＝2BF，即可得出结论．
【解答】证明：取AC的中点F，连接BF，
∵AB＝AC，点E，F分别是AB，AC的中点，
∴AE＝AF，
在△ABF和△ACE中，
，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴BF＝CE，
∵BD＝AC，AB＝AC，
∴BD＝AB，
∵AF＝CF，
∴BF是△ACD的中位线，
∴CD＝2BF，
∴CD＝2CE．
【点评】本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质以及三角形中位线定理等知识，正确作出辅助线、构造三角形全等是解题的关键．
24．学习自然数时，我们发现一种特殊的自然数——“积数”
定义：对于三位自然数n，各位数字都不为0，且百位数字与个位数字之积恰好能被十位数字整除，则称这个自然数为“积数”，例如：124是“积数”，因为1，2，4都不为0，且1×4＝4，4能被2整除；643不是“积数”，因为6×3＝18，18不能被4整除．
（1）判断951，396是否是“积数”？并说明理由；
（2）求出百位数字比个位数字大6的所有“积数”，并说明理由．
【分析】（1）根据题意中的新定义求解；
（2）设个位数字为a，十位数字为b，则百位数字为（a+6），且1≤a≤3，根据整除的意义验证求解．
解：（1）951，因为9×1＝9，9不能被5整除，
∴951不是“积数”，
396，因，3，9，6都不为0，且3×6＝18，18能被9整除，
∴396是“积数”；
（2）设个位数字为a，十位数字为b，则百位数字为（a+6），且1≤a≤3，
由题意得：a（a+6）能被b整除，
当a＝1时，b的值为1，7，
此时该数是，711，771，
当a＝2时，b的值为1，2，4，8，
此时该数是：812，822，842，882，
当a＝3时，b的值为1，3，9，，
此时该数是：913，933，993，
百位数字比个位数字大6的所有“积数”为：711，771，812，822，842，882，913，933，993．
【点评】本题考查了因式分解的应用，整除的意义是解题的关键．
25．如图，等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点A、B分别在坐标轴上．
（1）如图①，若C点的横坐标为5，求B点的坐标；
（2）如图②，若x轴恰好平分∠BAC，BC交x轴于点M，过C点作CD⊥x轴于D点，求的值；
（3）如图③，若点A的坐标为（﹣4，0），点B在y轴的正半轴上运动时，分别以OB、AB为边在第一、第二象限作等腰Rt△OBF，等腰Rt△ABE，连接EF交y轴于P点，当点B在y轴上移动时，PB的长度是否发生改变？若不变，求出PB的值，若变化，求PB的取值范围．
【分析】（1）作CD⊥BO，易证△ABO≌△BCD，根据全等三角形对应边相等的性质即可解题；
（2）设AB＝BC＝a，根据勾股定理求出AC＝a，根据MA（即x轴）平分∠BAC，得到＝＝，求得BM＝（﹣1）a，MC＝（2﹣）a，AM＝a，再证明Rt△ABM∽Rt△CDM，得到＝，即CD＝，即可解答，
（3）作EG⊥y轴，易证△BAO≌△EBG和△EGP≌△FBP，可得BG＝AO和PB＝PG，即可求得PB＝AO，即可解题．
解：（1）如图1，作CD⊥BO于D，
∵∠CBD+∠ABO＝90°，∠ABO+∠BAO＝90°，
∴∠CBD＝∠BAO，
在△ABO和△BCD中，
，
∴△ABO≌△BCD（AAS），
∴CD＝BO＝5，
∴B点坐标（O，5）；
（2）设AB＝BC＝a，
则AC＝a，
∵MA（即x轴）平分∠BAC，
∴＝＝，
即MC＝BM，
∵BC＝BM+MC＝a，
∴BM+BM＝a，
解得BM＝（﹣1）a，MC＝（2﹣）a
则AM＝＝a，
∵∠ABM＝∠CDM＝90°
且∠AMB＝∠CMD
∴Rt△ABM∽Rt△CDM，
∴＝，
即CD＝，
∴＝＝；
解法二：延长CD交AB的延长线于点T．
可证△ABM≌△CBT（AAS），
∴AM＝CT，
再证明CD＝DT，可得AM＝2CD，
∴＝．
（3）如图3，作EG⊥y轴于G，
∵∠BAO+∠OBA＝90°，∠OBA+∠EBG＝90°，
∴∠BAO＝∠EBG，
在△BAO和△EBG中，
，
∴△BAO≌△EBG（AAS），
∴BG＝AO，EG＝OB，
∵OB＝BF，
∴BF＝EG，
在△EGP和△FBP中，
，
∴△EGP≌△FBP（AAS），
∴PB＝PG，
∴PB＝BG＝AO＝2．
【点评】本题考查了勾股定理、角平分线的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的证明是解本题的关键．
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