中考数学模拟试卷--解析版

这是一份中考数学模拟试卷--解析版，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解析题等内容，欢迎下载使用。

2021年江苏省常州二十四中中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共7小题，每小题2分，共16分。在每小题所给的四个选项中，只有一根选项是正确的）
1．（下列选项错误的是（　　）
A．cos60°＝ B．a2•a3＝a5
C． D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y
2．（随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：℃），则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．30，32 B．31，30 C．30，31 D．30，30
3．（设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
4．（点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（　　）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1
5．（如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos∠ECF的值为（　　）

A． B． C． D．
6．（如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
7．（如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（　　）

A． B． C．1 D．
二、填空题（本大题共11小题，每小题2分，共20分。不需写出解析过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）
8．（如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为　 　．

9．（8的立方根是　 　．
10．（计算：（﹣1）2+＝　 　．
11．（分解因式：x3﹣x＝　 　．
12．（在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab＝　 　．
13．（如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝40°，则∠B的度数是　 　°．

14．（如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　 　．

15．（如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝　 　．

16．（如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式的值为　 　．

17．（已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　 　．
18．（如果一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　 　．（填“增大”或“减小”）
三、解析题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解析应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）先化简，再求值：÷（1+），其中m＝﹣2．
20．（6分）如图，已知G、H分别是▱ABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F．
（1）当＝时，求的值；
（2）联结BD交EF于点M，求证：MG•ME＝MF•MH．

21．（8分）扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是　 　，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为　 　°；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
22．（8分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点　 　（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为　 　；
②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．

23．（8分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝　 　，点C的坐标为　 　；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．

25．（8分）将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．

（1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）．
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．

27．（10分）某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富．经过调查研究，他们决定利用当地盛产的甲、乙两种原料开发A、B两种商品．为科学决策，他们试生产A、B两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料293千克，乙种原料314千克，生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示．

甲种原料（单位：千克）
乙种原料（单位：千克）
生产成本（单位：元）
A商品
3
2
120
B商品
2.5
3.5
200
设生产A种商品x千克，生产A、B两种商品共100千克的总成本为y元，根据上述信息，解答下列问题：
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围；
（2）x取何值时，总成本y最小？
28．（1如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；
（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．


2021年江苏省常州二十四中中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共7小题，每小题2分，共16分。在每小题所给的四个选项中，只有一根选项是正确的）
1．（下列选项错误的是（　　）
A．cos60°＝ B．a2•a3＝a5
C． D．2（x﹣2y）＝2x﹣2y
【分析】分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一判断即可．
【解答】解：A．cos60°＝，故本选项不合题意；
B．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.2（x﹣2y）＝2x﹣4y，故本选项符合题意．
故选：D．
2．（随州7月份连续5天的最高气温分别为：29，30，32，30，34（单位：℃），则这组数据的众数和中位数分别为（　　）
A．30，32 B．31，30 C．30，31 D．30，30
【分析】根据中位数、众数的意义和计算方法分别求出结果即可．
【解答】解：这5天最高气温出现次数最多的是30，因此众数是30；
将这5天的最高气温从小到大排列，处在中间位置的一个数是30，因此中位数是30，
故选：D．
3．（设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（　　）
A．3 B．﹣ C． D．﹣2
【分析】本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求值即可．
【解答】解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，
由根与系数的关系：x1+x2＝﹣＝﹣＝3．
故选：A．
4．（点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（　　）
A．5 B．3 C．﹣3 D．﹣1
【分析】把点P的坐标代入一次函数解析式，得出3a﹣b＝﹣2，代入2（3a﹣b）+1即可．
【解答】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x+2的图象上，
∴b＝3a+2，
则3a﹣b＝﹣2．
∴6a﹣2b+1＝2（3a﹣b）+1＝﹣4+1＝﹣3
故选：C．
5．（如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos∠ECF的值为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由矩形的性质得出∠B＝90°，由勾股定理求出AE，由翻折变换的性质得出△AFE≌△ABE，得出∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，因此EF＝CE，由等腰三角形的性质得出∠EFC＝∠ECF，由三角形的外角性质得出∠AEB＝∠ECF，cos∠ECF＝cos∠AEB＝，即可得出结果．
【解答】解：如图，∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
∵E是BC的中点，BC＝2，
∴BE＝CE＝BC＝，
∴AE＝＝＝3，
由翻折变换的性质得：△AFE≌△ABE，
∴∠AEF＝∠AEB，EF＝BE＝，
∴EF＝CE，
∴∠EFC＝∠ECF，
∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，
∴∠AEB＝∠ECF，
∴cos∠ECF＝cos∠AEB＝＝．
故选：C．
6．（如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的对称轴是直线x＝1，则以下四个结论中：①abc＞0，②2a+b＝0，③4a+b2＜4ac，④3a+c＜0．正确的个数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】①根据抛物线开口向下可得a＜0，对称轴在y轴右侧，得b＞0，抛物线与y轴正半轴相交，得c＞0，进而即可判断；
②根据抛物线对称轴是直线x＝1，即﹣＝1，可得b＝﹣2a，进而可以判断；
③根据b＝﹣2a，可得c＜2，进而可以判断；
④当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，根据b＝﹣2a，可得3a+c＜0，即可判断．
【解答】解：①根据抛物线开口向下可知：
a＜0，
因为对称轴在y轴右侧，
所以b＞0，
因为抛物线与y轴正半轴相交，
所以c＞0，
所以abc＜0，
所以①错误；
②因为抛物线对称轴是直线x＝1，
即﹣＝1，
所以b＝﹣2a，
所以b+2a＝0，
所以②正确；
③因为b＝﹣2a，
由4a+b2＜4ac，得
4a+4a2＜4ac，
∵a＜0，
∴c＜1+a，
根据抛物线与y轴的交点，c＞1，
所以③错误；
④当x＝﹣1时，y＜0，
即a﹣b+c＜0，
因为b＝﹣2a，
所以3a+c＜0，
所以④正确．
所以正确的是②④2个．
故选：B．
7．（如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝4，以点O为圆心，2为半径的圆与OB交于点C，过点C作CD⊥OB交AB于点D，点P是边OA上的动点．当PC+PD最小时，OP的长为（　　）

A． B． C．1 D．
【分析】延长CO交⊙O于点E，连接EP，交AO于点P，则PC+PD的值最小，利用平行线分线段成比例分别求出CD，PO的长即可．
【解答】解：如图，延长CO交⊙O于点E，连接ED，交AO于点P，此时PC+PD的值最小．

∵CD⊥OB，
∴∠DCB＝90°，
又∠AOB＝90°，
∴∠DCB＝∠AOB，
∴CD∥AO
∴
∵OC＝2，OB＝4，
∴BC＝2，
∴，解得，CD＝；
∵CD∥AO，
∴＝，即＝，解得，PO＝
故选：B．
二、填空题（本大题共11小题，每小题2分，共20分。不需写出解析过程，请把答案直接写在答题卡相应位置上）
8．（如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，第③个图形中一共有13个菱形，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中菱形的个数为　57　．

【分析】根据图形的变化规律即可得第⑦个图形中菱形的个数．
【解答】解：第①个图形中一共有3个菱形，即2+1×1＝3；
第②个图形中一共有7个菱形，即3+2×2＝7；
第③个图形中一共有13个菱形，即4+3×3＝13；
…，
按此规律排列下去，
所以第⑦个图形中菱形的个数为：8+7×7＝57．
故答案为：57．
9．（8的立方根是　2　．
【分析】利用立方根的定义计算即可得到结果．
【解答】解：8的立方根为2，
故答案为：2．
10．（计算：（﹣1）2+＝　4　．
【分析】根据有理数乘方的定义以及算术平方根的定义计算即可．
【解答】解：（﹣1）2+＝1+3＝4．
故答案为：4．
11．（分解因式：x3﹣x＝　x（x+1）（x﹣1）　．
【分析】本题可先提公因式x，分解成x（x2﹣1），而x2﹣1可利用平方差公式分解．
【解答】解：x3﹣x，
＝x（x2﹣1），
＝x（x+1）（x﹣1）．
故答案为：x（x+1）（x﹣1）．
12．（在平面直角坐标系中，点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，则ab＝　12　．
【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的横坐标与纵坐标均互为相反数，即可得到a，b的值，进而得出ab的值．
【解答】解：∵点A（a，2）与点B（6，b）关于原点对称，
∴a＝﹣6，b＝﹣2，
∴ab＝12，
故答案为：12．
13．（如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，连接OC交⊙O于点D，连接BD．若∠C＝40°，则∠B的度数是　25　°．

【分析】先根据切线的性质得∠OAC＝90°，再利用互余计算出∠AOC＝90°﹣∠C＝50°，由于∠OBD＝∠ODB，利用三角形的外角性质得∠OBD＝∠AOC＝25°．
【解答】解：∵AC是⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣∠C＝90°﹣40°＝50°，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
而∠AOC＝∠OBD+∠ODB，
∴∠OBD＝∠AOC＝25°，
即∠ABD的度数为25°，
故答案为：25．
14．（如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝4，点D，E分别在边AB，AC上，且DB＝2AD，AE＝3EC，连接BE，CD，相交于点O，则△ABO面积最大值为　　．

【分析】过点D作DF∥AE，根据平行线分线段成比例定理可得则＝＝，根据已知＝，可得DO＝2OC，C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，即可求出此时△ABO的最大面积．
【解答】解：如图，过点D作DF∥AE，

则＝＝，
∵＝，
∴DF＝2EC，
∴DO＝2OC，
∴DO＝DC，
∴S△ADO＝S△ADC，S△BDO＝S△BDC，
∴S△ABO＝S△ABC，
∵∠ACB＝90°，
∴C在以AB为直径的圆上，设圆心为G，
当CG⊥AB时，△ABC的面积最大为：4×2＝4，
此时△ABO的面积最大为：×4＝．
故答案为：．
15．（如图，点C在线段AB上，且AC＝2BC，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE、BCFG，连接EC、EG，则tan∠CEG＝　　．

【分析】根据正方形的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：连接CG，
在正方形ACDE、BCFG中，
∠ECA＝∠GCB＝45°，
∴∠ECG＝90°，
∵AC＝2BC，
∴设AC＝2a，BC＝a，
∴CE＝2a，CG＝a，
∴tan∠CEG＝＝，
故答案为：．

16．（如图，在平面直角坐标系中，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则代数式的值为　　．

【分析】由题意得，函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），则ab＝4，b＝a﹣1，进而求解．
【解答】解：函数y＝（x＞0）与y＝x﹣1的图象交于点P（a，b），
∴ab＝4，b＝a﹣1，
∴b﹣a＝﹣1，
∴＝＝＝﹣．
故答案为﹣．
17．（已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x﹣7＝0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是　2　．
【分析】根据根与系数的关系求解．
【解答】解：根据题意得x1+x2＝4，x1x2＝﹣7
所以，x12+4x1x2+x22＝（x1+x2）2+2x1x2＝16﹣14＝2
故答案为2．
18．（如果一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），那么y的值随x的增大而　减小　．（填“增大”或“减小”）
【分析】根据点的坐标利用一次函数图象上点的坐标特征可求出k值，再利用一次函数的性质即可得出结论．
【解答】解：∵一次函数y＝kx+3（k是常数，k≠0）的图象经过点（1，0），
∴0＝k+3，
∴k＝﹣3，
∴y的值随x的增大而减小．
故答案为：减小．
三、解析题（本大题共10小题，共84分。请在答题卡指定区域内作答，如无特殊说明，解析应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
19．（6分）先化简，再求值：÷（1+），其中m＝﹣2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝÷（+）
＝÷
＝•
＝，
当m＝﹣2时，
原式＝＝1．
20．（6分）如图，已知G、H分别是▱ABCD对边AD、BC上的点，直线GH分别交BA和DC的延长线于点E、F．
（1）当＝时，求的值；
（2）联结BD交EF于点M，求证：MG•ME＝MF•MH．

【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据平行四边形的性质和相似三角形的相似比解答即可．
【解答】（1）解：∵＝，
∴．
∵□ABCD中，AD∥BC，
∴△CFH∽△DFG．
∴．
∴．
（2）∵□ABCD中，AD∥BC，
∴．
∵□ABCD中，AB∥CD，
∴．
∴．
∴MG•ME＝MF•MH．
21．（8分）扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如图两幅尚不完整的统计图．

根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是　500　，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为　108　°；
（2）补全条形统计图；
（3）学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
【分析】（1）根据A等级的人数和所占的百分比，可以求得样本容量，然后即可计算出扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角的度数；
（2）根据（1）中的结果，可以计算出B等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据条形统计图中的数据，可以计算出该校需要培训的学生人数．
【解答】解：（1）本次调查的样本容量是150÷30%＝500，
扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为：360°×30%＝108°，
故答案为：500，108；
（2）B等级的人数为：500×40%＝200，
补全的条形统计图如右图所示；
（3）2000×＝200（人），
答：该校需要培训的学生有200人．

22．（8分）如图1，⊙I与直线a相离，过圆心I作直线a的垂线，垂足为H，且交⊙I于P、Q两点（Q在P、H之间）．我们把点P称为⊙I关于直线a的“远点“，把PQ•PH的值称为⊙I关于直线a的“特征数”．
（1）如图2，在平面直角坐标系xOy中，点E的坐标为（0，4）．半径为1的⊙O与两坐标轴交于点A、B、C、D．
①过点E画垂直于y轴的直线m，则⊙O关于直线m的“远点”是点　D　（填“A”、“B”、“C”或“D”），⊙O关于直线m的“特征数”为　10　；
②若直线n的函数表达式为y＝x+4．求⊙O关于直线n的“特征数”；
（2）在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（1，4），点F是坐标平面内一点，以F为圆心，为半径作⊙F．若⊙F与直线l相离，点N（﹣1，0）是⊙F关于直线l的“远点”．且⊙F关于直线l的“特征数”是4，求直线l的函数表达式．

【分析】（1）①根据远点，特征数的定义判断即可．
②如图1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．解直角三角形求出PH，PQ的长即可解决问题．
（2）如图2中，设直线l的解析式为y＝kx+b．分两种情形k＞0或k＜0，分别求解即可解决问题．
【解答】解：（1）①由题意，点D是⊙O关于直线m的“远点”，⊙O关于直线m的特征数＝DB•DE＝2×5＝10，
故答案为：D，10．

②如图1中，过点O作OH⊥直线n于H，交⊙O于Q，P．

设直线y＝x+4交x轴于F（﹣，0），交y轴于E（0，4），
∴OE＝4，OF＝，
∴tan∠FEO＝＝，
∴∠FEO＝30°，
∴OH＝OE＝2，
∴PH＝OH+OP＝3，
∴⊙O关于直线n的“特征数”＝PQ•PH＝2×3＝6．

（2）如图2中，设直线l的解析式为y＝kx+b．

当k＞0时，过点F作FH⊥直线l于H，交⊙F于E，N．
由题意，EN＝2，EN•NH＝4，
∴NH＝，
∵N（﹣1，0），M（1，4），
∴MN＝＝2，
∴HM＝＝＝，
∴△MNH是等腰直角三角形，
∵MN的中点K（0，2），
∴KN＝HK＝KM＝，
∴H（﹣2，3），
把H（﹣2，3），M（1，4）代入y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x+，
当k＜0时，同法可知直线l′经过H′（2，1），可得直线l′的解析式为y＝﹣3x+7．
综上所述，满足条件的直线l的解析式为y＝x+或y＝﹣3x+7．
23．（8分）近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．
（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；
（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？
【分析】（1）设增长率为x，根据“第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次”可列方程求解；
（2）用2.42×（1+增长率），计算即可求解．
【解答】解：（1）设增长率为x，根据题意，得
2（1+x）2＝2.42，
解得x1＝﹣2.1（舍去），x2＝0.1＝10%．
答：增长率为10%．

（2）2.42（1+0.1）＝2.662（万人）．
答：第四批公益课受益学生将达到2.662万人次．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
（1）m＝　6　，点C的坐标为　（2，0）　；
（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．

【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；
（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D、E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE＝﹣（x﹣1）2+，由二次函数的性质即可求得结论．
【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），
∴m＝＝6，
∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．
∴C（2，0）；
故答案为6，（2，0）；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（4，），C（2，0）代入得，解得，
∴直线AB的解析式为y＝x﹣；
∵点D为线段AB上的一个动点，
∴设D（x，x﹣）（0＜x≤4），
∵DE∥y轴，
∴E（x，），
∴S△ODE＝x•（﹣x+）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，
∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为．
25．（8分）将图中的A型、B型、C型矩形纸片分别放在3个盒子中，盒子的形状、大小、质地都相同，再将这3个盒子装入一只不透明的袋子中．

（1）搅匀后从中摸出1个盒子，求摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率；
（2）搅匀后先从中摸出1个盒子（不放回），再从余下的两个盒子中摸出一个盒子，求2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率（不重叠无缝隙拼接）．
【分析】（1）直接利用概率公式计算可得；
（2）画树状图得出所有等可能结果，从中找打2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的结果数，利用概率公式计算可得．
【解答】解：（1）搅匀后从中摸出1个盒子有3种等可能结果，
所以摸出的盒子中是A型矩形纸片的概率为；

（2）画树状图如下：

由树状图知共有6种等可能结果，其中2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的有4种结果，
所以2次摸出的盒子的纸片能拼成一个新矩形的概率为＝．
26．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点O在AC上，以OA为半径的半圆O交AB于点D，交AC于点E，过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F．
（1）求证：BF＝DF；
（2）若AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆O的半径长．

【分析】（1）连接OD，由切线性质得∠ODF＝90°，进而证明∠BDF+∠A＝∠A+∠B＝90°，得∠B＝∠BDF，便可得BF＝DF；
（2）设半径为r，连接OD，OF，则OC＝4﹣r，求得DF，再由勾股定理，利用OF为中间变量列出r的方程便可求得结果．
【解答】解：（1）连接OD，如图1，
∵过点D作半圆O的切线DF，交BC于点F，
∴∠ODF＝90°，
∴∠ADO+∠BDF＝90°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠OAD+∠BDF＝90°，
∵∠C＝90°，
∴∠OAD+∠B＝90°，
∴∠B＝∠BDF，
∴BF＝DF；


（2）连接OF，OD，如图2，
设圆的半径为r，则OD＝OE＝r，
∵AC＝4，BC＝3，CF＝1，
∴OC＝4﹣r，DF＝BF＝3﹣1＝2，

∵OD2+DF2＝OF2＝OC2+CF2，
∴r2+22＝（4﹣r）2+12，
∴．
故圆的半径为．
27．（10分）某驻村扶贫小组为解决当地贫困问题，带领大家致富．经过调查研究，他们决定利用当地盛产的甲、乙两种原料开发A、B两种商品．为科学决策，他们试生产A、B两种商品共100千克进行深入研究，已知现有甲种原料293千克，乙种原料314千克，生产1千克A商品，1千克B商品所需要的甲、乙两种原料及生产成本如表所示．

甲种原料（单位：千克）
乙种原料（单位：千克）
生产成本（单位：元）
A商品
3
2
120
B商品
2.5
3.5
200
设生产A种商品x千克，生产A、B两种商品共100千克的总成本为y元，根据上述信息，解答下列问题：
（1）求y与x的函数解析式（也称关系式），并直接写出x的取值范围；
（2）x取何值时，总成本y最小？
【分析】（1）根据题意表示出两种商品需要的成本，再利用表格中数据得出不等式组进而得出答案；
（2）利用一次函数增减性进而得出答案．
【解答】解：（1）由题意可得：y＝120x+200（100﹣x）＝﹣80x+20000，
，
解得：24≤x≤86；

（2）∵y＝﹣80x+20000，
∴y随x的增大而减小，
∴x＝86时，y最小．
28．（1如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；
（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．

【分析】（1）证明△DMG∽△DAC，△DCB∽△DTN，求出AC＝，BC＝，即可求解；
（2）点D（1，1﹣4a），N（4，1+5a），则ME＝2，DE＝﹣4a，由（1）的结论得：AC＝，BC＝，即可求解；
（3）利用△FHE∽△DCE，求出F（﹣，﹣a），即可求解．
【解答】解：（1）分别过点M、N作MG⊥CD于点E，NT⊥DC于点T，
∵MG∥TN∥x轴，

∴△DMG∽△DAC，△DCB∽△DTN，
∴，＝，
∵a＝﹣1，则y＝﹣x2+2x+c，
将M（﹣1，1）代入上式并解得：c＝4，
∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+4，
则点D（1，5），N（4，﹣4），
则MG＝2，DG＝4，DC＝5，TN＝3，DT＝9，
∴，解得：AC＝，BC＝，
∴＝；

（2）不变，
理由：∵y＝ax2﹣2ax+c过点M（﹣1，1），则a+2a+c＝1，
解得：c＝1﹣3a，
∴y＝ax2﹣2ax+（1﹣3a），
∴点D（1，1﹣4a），N（4，1+5a），
∴MG＝2，DG＝﹣4a，DC＝1﹣4a，FN＝3，DF＝﹣9a，
由（1）的结论得：AC＝，BC＝，
∴＝；

（3）过点F作FH⊥x轴于点H，则FH∥l，则△FHE∽△DCE，

∵FB＝FE，FH⊥BE，
∴BH＝HE，
∵BC＝2BE，
则CE＝6HE，
∵CD＝1﹣4a，
∴FH＝，
∵BC＝，
∴CH＝×＝，
∴F（﹣+1，﹣a），
将点F的坐标代入y＝ax2﹣2ax+（1﹣3a）＝a（x+1）（x﹣3）+1得：
﹣a＝a（﹣+1+1）（﹣+1﹣3）+1，
解得：a＝﹣或（舍弃），
经检验a＝﹣，
故y＝﹣x2+x+．
解法二：∵AC：BC＝3：2，BC＝2BE，
∴AC＝CE，
∴AD与DE关于直线CD对称，
∵AD，DE交抛物线于M，F，
∴M，F关于直线CD对称，
∴F（3，1），
∴﹣a＝1，
∴a＝﹣．
故y＝﹣x2+x+．