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2022-2023学年山西省朔州市右玉县教育集团初中部八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年山西省朔州市右玉县教育集团初中部八年级（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年山西省朔州市右玉县教育集团初中部八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，能与 2合并的是( )
A. 3 B. 8 C. 12 D. 13
2. 下列计算正确的是( )
A. 3 2− 2=3 B. 2× 5= 10
C. 2÷ 3= 23 D. 2+ 3= 5
3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，DC=2，点D在BC上，∠BAD=∠B，BC的长为( )
A. 2 3
B. 7+2
C. 13−2
D. 13+2
4. 如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为y m.则y关于x的函数解析式是( )
A. y=5−x B. y=10−x C. y=5+x D. y=x+10
5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是( )
A. 26
B. 22
C. 16
D. 94
6. 下列说法错误的是( )
A. 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 有一个内角是直角的四边形是矩形
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
7. 一次函数y=mx+6(m<0)的图象经过A(−1,y1)、B(2,y2)，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
9. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=10，AB=3.则△OCD的周长为( )
A. 13 B. 8 C. 7 D. 5
10. 下列各曲线中不能表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 代数式1 x+1有意义时，x应满足的条件为______ ．
12. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：
成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
2
3
3
2
4
1
则这些运动员成绩的众数为______ ．
13. 如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D，若CD=6，则AC的长为______ ．
14. 若一次函数y=3x+b(b为常数)的图象经过点(−2,3)，则该一次函数的图象与x轴交点的坐标为 ．
15. 如图，点E是正方形ABCD中BC延长线上一点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB=4，DF= 5，则AE的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：
(1)( 10+3)( 10−3)−2；
(2)( 2−3)0− 9+|−2|+(−13)−2．
17. (本小题8.0分)
四月，正是春暖花开、草长莺飞的时节.“时光花店”里各类鲜花的销量都逐步增长，其中大家最喜欢购买的品种是香槟玫瑰和铃兰这两种鲜花.店主对最近10天香槟玫瑰和铃兰这两种鲜花的销售额进行统计，记录下两种鲜花的销售额(单位：元)，并作了整理、描述和分析(每天的销售额用x表示，共分为三个等级，其中A：400≤x<500，B：300≤x<400，C：200≤x<300)，下面给出了部分信息：
10天里香槟玫瑰的销售额：500，430，370，290，300，360，260，280，360，450．
10天里铃兰的销售额中“B”等级包含的所有数据为：360，370，370，370．
10天里香槟政瑰和铃兰销售额的统计表
品种
平均数
中位数
众数
方差
香槟政瑰
360
360
a
5760
铃兰
365
b
370
4160
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ；
(2)若四月除去休息日，共开店25天，估计“时光花店”本月的铃兰销售额达到“A”等级的天数；
(3)根据以上数据，你认为四月里香摈玫瑰和铃兰两种鲜花的销售情况哪种更好？请说明理由(写出一条理由即可)．
18. (本小题8.0分)
如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度DE为0.8m，将秋千AD往前推送水平距离EF为3m时到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为1.8m，秋千的绳索始终保持拉直的状态.求秋千的长度．
19. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，过点A作AF//BC交DE延长线于点F，连接AD，CF．
(1)求证：四边形ABDF为平行四边形；
(2)请对△ABC的边或角添加一个条件，使得四边形ADCF成为菱形，并进行证明．
20. (本小题9.0分)
【阅读材料】在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：已知小明家、文具店、体育场依次在同一条直线上，体育场离小明家3km，文具店离小明家2.2km，小明从家跑步15min到体育场；在那里锻炼了30min后，又匀速步行了10min到文具店买圆规；在文具店停留了10min后，匀速步行22min返回家，给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离y km与小明离开家的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
离开家的时间/min
5
12
30
50
65
离开家的距离/km
1
______
______
2.6
______
(2)填空：
①体育场到文具店的距离为______ km；
②小明从文具店返回家的速度为______ km/min；
③当小明离家的距离为2km时，他离开家的时间为______ ．
(3)当45≤x≤55时，请直接写出y关于x的函数解析式．
21. (本小题9.0分)
我国人民万众一心，共同抗疫.某蔬菜基地要把青瓜、包菜送往疫情严重的某地，已知装青瓜的A货车比装包菜的B货车每辆的运费少400元，50辆A货车与30辆B货车的运费相同．
(1)求每辆A货车、B货车的运费；
(2)该基地所租车辆为10辆，已知每辆A货车可载3吨青瓜，B货车可载2吨包菜，计划运送的青瓜数量不多于包菜数量的2倍，如何租车使得费用最少？
22. (本小题11.0分)
在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E，F，如图(1)所示．
(1)请探索BE，DF，EF这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点P在DC的延长线上，如图(2)所示，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢？如图(3)所示，请分别直接写出结论．
(2)请证明图(2)中的结论．
23. (本小题13.0分)
【操作思考】
如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系.先画出正比例函数y=x的图象，再画出△ABC关于正比例函数y=x的图象对称的△DEF．
【猜想验证】
猜想：点P(a,b)关于正比例函数y=x的图象对称的点Q的坐标为______ ；
验证点P(a,b)在第一象限时的情况(请将下面的证明过程补充完整)．
证明：如图2，点P(a,b)、Q关于正比例函数y=x的图象对称，PH⊥x轴，垂足为H．
【应用拓展】
在△ABC中，点A坐标为(3,3)，点B坐标为(−2,−1)，点C在射线BO上，且AO平分∠BAC，则点C的坐标为______ ．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 3不能和 2合并，故本选项不合题意；
B、 8=2 2，能和 2合并，故本选项符合题意；
C、 12=2 3，不能和 2合并，故本选项不合题意；
D、 13= 33，不能和 2合并，故本选项不合题意；
故选：B．
先化成最简二次根式，再判断即可．
本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的应用，注意：几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
2.【答案】B
【解析】解：A、3 2− 2=2 2，原计算错误，不符合题意；
B、 2× 5= 10，正确，符合题意；
C、 2÷ 3= 63，原计算错误，不符合题意；
D、 2与 3不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，AC=3，DC=2，
∴AD= AC2+CD2= 32+22= 13，
∵∠BAD=∠B，
∴BD=AD= 13，
∴BC=BD+CD= 13+2，
故选：D．
根据勾股定理可以求得AD的长，再根据∠BAD=∠B，可以得到BD=AD，然后即可求得BC的长．
本题考查勾股定理、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，求出AD的长．
4.【答案】A
【解析】解：由题意得，2(x+y)=10，
∴x+y=5，
∴y=5−x，
y关于x的函数解析式是y=5−x，
故选：A．
矩形的周长为2(x+y)=10，可用x来表示y即可．
本题考查了一次函数的应用等知识，理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数的解析式形式是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，
即S3=6+10+4+6=26．
故选：A．
根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
本题考查了勾股定理．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
6.【答案】C
【解析】解：A.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故选项正确，不符合题意；
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项正确，不符合题意；
C.有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故选项错误，符合题意；
D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项正确，不符合题意；
故选：C．
根据正方形、菱形、矩形的判定分别进行判断即可．
本题考查了正方形、菱形、矩形的判定，掌握正方形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵m<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵一次函数y=mx+6的图象经过A(−1,y1)，B(2,y2)，且−1<2，
∴y1>y2．
故选：A．
由m<0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合−1<2，即可得出y1>y2．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5，6，8，8，9，
则中位数为：8．
故选：C．
根据中位数的概念：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数求解．
本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，
C△OCD=CD+OD+OC=CD+12(AC+BD)，
∴C△OCD=3+12×10=8．
故选：B．
平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的对边相等
10.【答案】C
【解析】解：A，B，D的图象都满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A、B、D的图象是函数，不符合题意，
C的图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C错误，符合题意；
故选：C．
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
本题主要考查了函数的概念，解答本题的关键是掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
11.【答案】x>−1
【解析】解：由题意得：x+1>0，
解得：x>−1，
故答案为：x>−1．
根据二次根式和分式有意义的条件可得x+1>0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零．
12.【答案】1.75m
【解析】解：从表中可得，人数最多的成绩是1.75m，
则众数是1.75m，
故答案为：1.75m．
根据众数的定义，结合表格数据进行判断．
本题考查了确定一组数据的众数的能力．
13.【答案】9
【解析】解：设AC=x，则AD=x+6，
∵AB=AD，
∴AB=x+6，
∵∠ACB=90°，BC=12，
∴AB2=AC2+BC2，
∴(x+6)2=x2+122，
解得x=9，
即AC=9，
故答案为：9．
先设AC=x，即可得到AD=x+6，然后根据勾股定理即可计算出AC的长．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】(−3,0)
【解析】解：∵一次函数y=3x+b(b为常数)的图象经过点(−2,3)，
∴3=3×(−2)+b，
解得b=9，
∴y=3x+9，
当y=0时，3x+9=0，
解得x=−3，
∴该一次函数的图象与x轴交点的坐标为(−3,0)．
故答案为：(−3,0)．
把点(−2,3)代入y=3x+b，求出b的值，再令y=0，得出3x+9=0，然后求解即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
15.【答案】2 13
【解析】解：过F作GH⊥AD分别交AD、BC于G，H，则四边形GDCH为矩形，
∴CH=GD，CD=GH，∠FGA=∠FHE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=4，∠B=90°，
∵F是AE的中点，
∴AF=EF，
在△AFG与△EFH中，
∠AGF=∠EHF=90°∠AFG=∠EFHAF=EF，
∴△AFG≌△EFH(AAS)，
∴AG=EH，GF=HF=12GH=2，
在Rt△GDF中，DG= DF2−GF2=1，
∴AG=EH=3，CH=DG=1，
∴CE=2，
∴BE=6，
在Rt△ABE中，AE= AB2+BE2=2 13，
故答案为：2 13．
根据正方形的性质得出AB=BC=CD，进而利用AAS证明△AFG与△EFH全等，进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的四边相等和勾股定理解答．
16.【答案】解：(1)原式=10−9−2
=−1；
(2)原式=1−3+2+9
=9．
【解析】(1)利用平方差公式展开，再算加减法；
(2)先算零指数幂，算术平方根，绝对值和负整数指数幂，再算加减法．
本题主要考查了二次根式的混合运算，正确利用运算法则与性质解答是解题的关键．
17.【答案】360 365
【解析】解：(1)10天里香槟玫瑰的销售额中360出现的次数最多，故众数a=360；
把10天里铃兰的销售额从小到大排列，排在中间的两个数是360、370，故中位数b=360+3702=365．
故答案为：360；365；
(2)25×410=10(天)，
答：估计“时光花店”本月的铃兰销售额达到“A”等级的天数约10天；
(3)铃兰的销售情况更好，理由如下：
因为铃兰销售额的平均数、中位数，众数均大于香摈玫瑰，铃兰销售额的方差小于香摈玫瑰，所以铃兰的销售情况更好．
(1)分别根据众数和中位数的定义解答即可；
(2)用25乘样本中铃兰销售额达到“A”等级的天数所占比例即可；
(3)根据统计表平均数、中位数、众数和方差的值解答即可．
本题考查数据的整理，涉及众数、中位数、平均数、方差等，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念．
18.【答案】解：∵CE=BF=1.8m，DE=0.8m，
∴CD=CE−DE=1.8−0.8=1(m)，
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，BC=3m，
设秋千的长度为x m，则AC=(x−1)m，
故x2=32+(x−1)2，
解得：x=5，
答：绳索AD的长度是5m．
【解析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC=(x−1)m，利用勾股定理可得x2=32+(x−1)2．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
19.【答案】(1)证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE//AB，
∵AF//BC，
∴四边形ABDF是平行四边形；
(2)当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是直角三角形，
∴AD=DC，
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD，则AF=DC，
∴AD=AF，
∵AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴平行四边形ADCF是菱形．
【解析】(1)首先利用平行四边形的判定方法得出四边形ABDF是平行四边形；
(2)利用直角三角形的性质结合菱形的判定方法得出即可．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练应用平行四边形的判定与性质是解题关键．
20.【答案】2.4 3 2.2 0.8 0.1 10min或67min
【解析】解：(1)由题意知，前15min，小明匀速运动，速度为315=0.2(km/min)，
∴在第12min时，离家的距离为 0.2×12=2.4(km)，
由图象可知，30min时，离家的距离为3km；65min时，离家的距离为2.2km；
故答案为：2.4；3；2.2；
(2)①由题意知，3−2.2=0.8(km)，
故答案为：0.8；
②小明从文具店回家用了87−65=22(min)，
∵2.222=0.1，
∴小明从文具店走回家的速度为0.1km/min，
故答案为：0.1；
③由题意知，出发去体育场，离家距离为2km时，离家的时间为20.2=10(min)，
从文具店回家，离家距离为2km时，还需要时间为20.1=20(min)，
∴离家时间为87−20=67(min)，
∴当小明离家的距离为2km时；他离开家的时间为10min或67min，
故答案为：10min或67min；
(3)设45min到55min之间的函数解析式为y=kx+b，
将(45,3)，(55,2.2)，代入得，
3=45k+b2.2=55k+b，
解得k=−0.08b=6.6，
∴y=−0.08x+6.6(45
(2)①根据图象作答即可；②根据图象作答即可；③根据离开和回家时离家2km，两种情况进行求解；
(3)利用待定系数法以及函数图象写函数关系式即可．
本题考查了一次函数的应用，函数图象．解题的关键在于从图象中获取正确的信息并理解图象的含义．
21.【答案】解：(1)设每辆B货车的运费为x元，则每辆A货车的运费为(x−400)元，
则由题意得，50(x−400)=30x，
解得x=1000，
∴x−400=1000−400=600，
∴每辆A货车、B货车的运费分别为600、1000元；
(2)设A货车有a辆，则B货车有(10−a)辆，总费用为y，
则由题意得，3a≤2(10−a)×2，
解得a≤407，
总费用y=600a+1000(10−a)，整理得，y=−400a+10000，
∵−400<0，
∴y随a的增大而减小，
∴当a=5时，y最小，
∴10−a=10−5=5，
∴安排A货车5辆，B货车5辆时费用最少．
【解析】(1)设每辆B货车的运费为x元，则每辆A货车的运费为(x−400)元，则由题意得，50(x−400)=30x，求解x值，进而可得结果；
(2)设A货车有a辆，则B货车有(10−a)辆，总费用为y，则由题意得，3a≤2(10−a)，解得a≤4，总费用y=600a+1000(10−a)，整理得，y=−400a+10000，根据一次函数的性质确定费用最小时的a值，进而可得结果．
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式．
22.【答案】(1)解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
在△ABE和△DAF中，
∠ABE=∠DAF∠AEB∠=∠DFAAB=AD，
∴△ABE≌△DAF(AAS)，
∴AE=DF，AF=BE，
如图①，∵AF=AE+EF，
∴BE=DF+EF；
如图②，∵AF=AE−EF，
∴BE=DF−EF，
如图③，∵AF=EF−AE，
∴BE=EF−DF；
(2)证明：如图，
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠AEB=∠AFD=90°，∠ABE+∠BAE=90°．
∵∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∴△ABE≌△DAF(AAS)，
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF=AE−EF，
∴BE=DF−EF．
【解析】(1)根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，再证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DF，AF=BE，然后结合图形求解即可；
(2)根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DF，AF=BE，然后结合图形求AF=AE−EF，即BE=DF−EF．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】(b,a) (1,12)
【解析】解：操作思考：
猜想验证：
猜想点P(a,b)关于正比例函数y=x的图象对称的点Q的坐标为(b,a)．
故答案为：(b,a)；
证明：作QI⊥y轴，垂足为I，连接OQ．
∵点P、Q关于函数y=x的图象对称，
∴OP=OQ，PQ⊥ON，
∴∠QON=∠PON，
∵∠ION=∠HON=45°，
∴∠ION−∠QON=∠HON−∠PON，即∠IOQ=∠HOP．
在△IOQ和△HOP中，
∠QIO=∠PHO∠IOQ=∠HOPOQ=OP，
∴△IOQ≌△HOP(AAS)，
∴IQ=PH=b，OI=OH=a，
∴Q(b,a)．
应用拓展：
如图3，过B作BB′⊥OA交AC延长线于B′，交直线AO于K，
∵A(3,3)，
∴直线OA为y=x的图象，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO=∠B′AO，
∵∠BKA=∠B′KA=90°，AK=AK，
∴△BKA≌△B′KA(ASA)，
∴BK=B′K，
∵BB′⊥AO，
∴B、B′关于直线y=x对称，
∵B(−2,−1)，
∴B′(−1,−2)，
设直线AB′为y=kx+b，
∴3k+b=3−k+b=−2，
∴k=54b=−34，
∴直线AB′为y=54x−34，
又∵直线BO为y=12x，
∴54x−34=12x，
∴x=1，
∴y=12x=12，
∴C(1,12)．
故答案为：(1,12)．
操作思考：根据平面直角坐标系的对称性即可画出图象．
猜想验证：作QI⊥y，PH⊥x，点P、Q关于函数y=x的图象对称，可证明得到△IOQ≌△HOP，从而得到IQ=PH，OI=OH，进而可得到Q点坐标；
应用拓展：在△ABC中，AO平分∠BAC，构造全等三角形，可得点C在AB关于AK的对称线AB′上，又因为点C在射线BO上，所以点C为直线BO和直线AB′的交点坐标．求出直线BO和直线AB′的解析式，即可得到答案．
本题考查了图形在平面直角坐标系中的对称问题、三角形全等问题、一次函数的应用，熟练掌握图形对称的定义，证明全等的方法，求交点坐标的方法是解此题的关键．
2022-2023学年山西省朔州市右玉县教育集团初中部八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式中，能与 2合并的是( )
A. 3 B. 8 C. 12 D. 13
2. 下列计算正确的是( )
A. 3 2− 2=3 B. 2× 5= 10
C. 2÷ 3= 23 D. 2+ 3= 5
3. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，DC=2，点D在BC上，∠BAD=∠B，BC的长为( )
A. 2 3
B. 7+2
C. 13−2
D. 13+2
4. 如图，用绳子围成周长为10m的矩形，记矩形的一边长为xm，它的邻边长为y m.则y关于x的函数解析式是( )
A. y=5−x B. y=10−x C. y=5+x D. y=x+10
5. 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为6，10，4，6，则最大正方形E的面积是( )
A. 26
B. 22
C. 16
D. 94
6. 下列说法错误的是( )
A. 对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形
B. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C. 有一个内角是直角的四边形是矩形
D. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形
7. 一次函数y=mx+6(m<0)的图象经过A(−1,y1)、B(2,y2)，则y1与y2的大小关系是( )
A. y1>y2 B. y1=y2 C. y1
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
9. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC+BD=10，AB=3.则△OCD的周长为( )
A. 13 B. 8 C. 7 D. 5
10. 下列各曲线中不能表示y是x的函数的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 代数式1 x+1有意义时，x应满足的条件为______ ．
12. 在一次中学生田径运动会上，参加男子跳高的15名运动员的成绩如表所示：
成绩/m
1.50
1.60
1.65
1.70
1.75
1.80
人数
2
3
3
2
4
1
则这些运动员成绩的众数为______ ．
13. 如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，BC=12，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC延长线于点D，若CD=6，则AC的长为______ ．
14. 若一次函数y=3x+b(b为常数)的图象经过点(−2,3)，则该一次函数的图象与x轴交点的坐标为 ．
15. 如图，点E是正方形ABCD中BC延长线上一点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB=4，DF= 5，则AE的长为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
计算：
(1)( 10+3)( 10−3)−2；
(2)( 2−3)0− 9+|−2|+(−13)−2．
17. (本小题8.0分)
四月，正是春暖花开、草长莺飞的时节.“时光花店”里各类鲜花的销量都逐步增长，其中大家最喜欢购买的品种是香槟玫瑰和铃兰这两种鲜花.店主对最近10天香槟玫瑰和铃兰这两种鲜花的销售额进行统计，记录下两种鲜花的销售额(单位：元)，并作了整理、描述和分析(每天的销售额用x表示，共分为三个等级，其中A：400≤x<500，B：300≤x<400，C：200≤x<300)，下面给出了部分信息：
10天里香槟玫瑰的销售额：500，430，370，290，300，360，260，280，360，450．
10天里铃兰的销售额中“B”等级包含的所有数据为：360，370，370，370．
10天里香槟政瑰和铃兰销售额的统计表
品种
平均数
中位数
众数
方差
香槟政瑰
360
360
a
5760
铃兰
365
b
370
4160
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ；
(2)若四月除去休息日，共开店25天，估计“时光花店”本月的铃兰销售额达到“A”等级的天数；
(3)根据以上数据，你认为四月里香摈玫瑰和铃兰两种鲜花的销售情况哪种更好？请说明理由(写出一条理由即可)．
18. (本小题8.0分)
如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度DE为0.8m，将秋千AD往前推送水平距离EF为3m时到达AB的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为1.8m，秋千的绳索始终保持拉直的状态.求秋千的长度．
19. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，过点A作AF//BC交DE延长线于点F，连接AD，CF．
(1)求证：四边形ABDF为平行四边形；
(2)请对△ABC的边或角添加一个条件，使得四边形ADCF成为菱形，并进行证明．
20. (本小题9.0分)
【阅读材料】在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：已知小明家、文具店、体育场依次在同一条直线上，体育场离小明家3km，文具店离小明家2.2km，小明从家跑步15min到体育场；在那里锻炼了30min后，又匀速步行了10min到文具店买圆规；在文具店停留了10min后，匀速步行22min返回家，给出的图象反映了这个过程中小明离开家的距离y km与小明离开家的时间xmin之间的对应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
离开家的时间/min
5
12
30
50
65
离开家的距离/km
1
______
______
2.6
______
(2)填空：
①体育场到文具店的距离为______ km；
②小明从文具店返回家的速度为______ km/min；
③当小明离家的距离为2km时，他离开家的时间为______ ．
(3)当45≤x≤55时，请直接写出y关于x的函数解析式．
21. (本小题9.0分)
我国人民万众一心，共同抗疫.某蔬菜基地要把青瓜、包菜送往疫情严重的某地，已知装青瓜的A货车比装包菜的B货车每辆的运费少400元，50辆A货车与30辆B货车的运费相同．
(1)求每辆A货车、B货车的运费；
(2)该基地所租车辆为10辆，已知每辆A货车可载3吨青瓜，B货车可载2吨包菜，计划运送的青瓜数量不多于包菜数量的2倍，如何租车使得费用最少？
22. (本小题11.0分)
在正方形ABCD中，点P是CD上一动点，连接PA，分别过点B，D作BE⊥PA，DF⊥PA，垂足分别为E，F，如图(1)所示．
(1)请探索BE，DF，EF这三条线段长度具有怎样的数量关系，若点P在DC的延长线上，如图(2)所示，那么这三条线段的长度之间又具有怎样的数量关系？若点P在CD的延长线上呢？如图(3)所示，请分别直接写出结论．
(2)请证明图(2)中的结论．
23. (本小题13.0分)
【操作思考】
如图1所示的网格中，建立平面直角坐标系.先画出正比例函数y=x的图象，再画出△ABC关于正比例函数y=x的图象对称的△DEF．
【猜想验证】
猜想：点P(a,b)关于正比例函数y=x的图象对称的点Q的坐标为______ ；
验证点P(a,b)在第一象限时的情况(请将下面的证明过程补充完整)．
证明：如图2，点P(a,b)、Q关于正比例函数y=x的图象对称，PH⊥x轴，垂足为H．
【应用拓展】
在△ABC中，点A坐标为(3,3)，点B坐标为(−2,−1)，点C在射线BO上，且AO平分∠BAC，则点C的坐标为______ ．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 3不能和 2合并，故本选项不合题意；
B、 8=2 2，能和 2合并，故本选项符合题意；
C、 12=2 3，不能和 2合并，故本选项不合题意；
D、 13= 33，不能和 2合并，故本选项不合题意；
故选：B．
先化成最简二次根式，再判断即可．
本题考查了二次根式的性质，同类二次根式的应用，注意：几个二次根式，化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
2.【答案】B
【解析】解：A、3 2− 2=2 2，原计算错误，不符合题意；
B、 2× 5= 10，正确，符合题意；
C、 2÷ 3= 63，原计算错误，不符合题意；
D、 2与 3不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意．
故选：B．
根据二次根式混合运算的法则对各选项进行逐一分析即可．
本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵∠C=90°，AC=3，DC=2，
∴AD= AC2+CD2= 32+22= 13，
∵∠BAD=∠B，
∴BD=AD= 13，
∴BC=BD+CD= 13+2，
故选：D．
根据勾股定理可以求得AD的长，再根据∠BAD=∠B，可以得到BD=AD，然后即可求得BC的长．
本题考查勾股定理、等腰三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，求出AD的长．
4.【答案】A
【解析】解：由题意得，2(x+y)=10，
∴x+y=5，
∴y=5−x，
y关于x的函数解析式是y=5−x，
故选：A．
矩形的周长为2(x+y)=10，可用x来表示y即可．
本题考查了一次函数的应用等知识，理清题中的数量关系并熟练掌握一次函数的解析式形式是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为S1，C、D的面积和为S2，S1+S2=S3，
即S3=6+10+4+6=26．
故选：A．
根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形A，B，C，D的面积和即为最大正方形的面积．
本题考查了勾股定理．能够发现正方形A，B，C，D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形的面积．
6.【答案】C
【解析】解：A.对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，故选项正确，不符合题意；
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故选项正确，不符合题意；
C.有一个内角是直角的平行四边形是矩形，故选项错误，符合题意；
D.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故选项正确，不符合题意；
故选：C．
根据正方形、菱形、矩形的判定分别进行判断即可．
本题考查了正方形、菱形、矩形的判定，掌握正方形、菱形、矩形的判定方法是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵m<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵一次函数y=mx+6的图象经过A(−1,y1)，B(2,y2)，且−1<2，
∴y1>y2．
故选：A．
由m<0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合−1<2，即可得出y1>y2．
本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
8.【答案】C
【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5，6，8，8，9，
则中位数为：8．
故选：C．
根据中位数的概念：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数求解．
本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=3，
C△OCD=CD+OD+OC=CD+12(AC+BD)，
∴C△OCD=3+12×10=8．
故选：B．
平行四边形的对角线互相平分，根据平行四边形的性质即可解决问题．
本题考查平行四边形的性质、三角形的周长等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质：平行四边形的对边相等
10.【答案】C
【解析】解：A，B，D的图象都满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A、B、D的图象是函数，不符合题意，
C的图象不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C错误，符合题意；
故选：C．
根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．
本题主要考查了函数的概念，解答本题的关键是掌握函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．
11.【答案】x>−1
【解析】解：由题意得：x+1>0，
解得：x>−1，
故答案为：x>−1．
根据二次根式和分式有意义的条件可得x+1>0，再解即可．
此题主要考查了二次根式有意义，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数，分式有意义的条件是分母不等于零．
12.【答案】1.75m
【解析】解：从表中可得，人数最多的成绩是1.75m，
则众数是1.75m，
故答案为：1.75m．
根据众数的定义，结合表格数据进行判断．
本题考查了确定一组数据的众数的能力．
13.【答案】9
【解析】解：设AC=x，则AD=x+6，
∵AB=AD，
∴AB=x+6，
∵∠ACB=90°，BC=12，
∴AB2=AC2+BC2，
∴(x+6)2=x2+122，
解得x=9，
即AC=9，
故答案为：9．
先设AC=x，即可得到AD=x+6，然后根据勾股定理即可计算出AC的长．
本题考查勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】(−3,0)
【解析】解：∵一次函数y=3x+b(b为常数)的图象经过点(−2,3)，
∴3=3×(−2)+b，
解得b=9，
∴y=3x+9，
当y=0时，3x+9=0，
解得x=−3，
∴该一次函数的图象与x轴交点的坐标为(−3,0)．
故答案为：(−3,0)．
把点(−2,3)代入y=3x+b，求出b的值，再令y=0，得出3x+9=0，然后求解即可．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键．
15.【答案】2 13
【解析】解：过F作GH⊥AD分别交AD、BC于G，H，则四边形GDCH为矩形，
∴CH=GD，CD=GH，∠FGA=∠FHE=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=4，∠B=90°，
∵F是AE的中点，
∴AF=EF，
在△AFG与△EFH中，
∠AGF=∠EHF=90°∠AFG=∠EFHAF=EF，
∴△AFG≌△EFH(AAS)，
∴AG=EH，GF=HF=12GH=2，
在Rt△GDF中，DG= DF2−GF2=1，
∴AG=EH=3，CH=DG=1，
∴CE=2，
∴BE=6，
在Rt△ABE中，AE= AB2+BE2=2 13，
故答案为：2 13．
根据正方形的性质得出AB=BC=CD，进而利用AAS证明△AFG与△EFH全等，进而利用全等三角形的性质和勾股定理解答即可．
此题考查正方形的性质，关键是根据正方形的四边相等和勾股定理解答．
16.【答案】解：(1)原式=10−9−2
=−1；
(2)原式=1−3+2+9
=9．
【解析】(1)利用平方差公式展开，再算加减法；
(2)先算零指数幂，算术平方根，绝对值和负整数指数幂，再算加减法．
本题主要考查了二次根式的混合运算，正确利用运算法则与性质解答是解题的关键．
17.【答案】360 365
【解析】解：(1)10天里香槟玫瑰的销售额中360出现的次数最多，故众数a=360；
把10天里铃兰的销售额从小到大排列，排在中间的两个数是360、370，故中位数b=360+3702=365．
故答案为：360；365；
(2)25×410=10(天)，
答：估计“时光花店”本月的铃兰销售额达到“A”等级的天数约10天；
(3)铃兰的销售情况更好，理由如下：
因为铃兰销售额的平均数、中位数，众数均大于香摈玫瑰，铃兰销售额的方差小于香摈玫瑰，所以铃兰的销售情况更好．
(1)分别根据众数和中位数的定义解答即可；
(2)用25乘样本中铃兰销售额达到“A”等级的天数所占比例即可；
(3)根据统计表平均数、中位数、众数和方差的值解答即可．
本题考查数据的整理，涉及众数、中位数、平均数、方差等，解题的关键是掌握数据收集与整理的相关概念．
18.【答案】解：∵CE=BF=1.8m，DE=0.8m，
∴CD=CE−DE=1.8−0.8=1(m)，
在Rt△ACB中，AC2+BC2=AB2，BC=3m，
设秋千的长度为x m，则AC=(x−1)m，
故x2=32+(x−1)2，
解得：x=5，
答：绳索AD的长度是5m．
【解析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC=(x−1)m，利用勾股定理可得x2=32+(x−1)2．
此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
19.【答案】(1)证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点，
∴DE//AB，
∵AF//BC，
∴四边形ABDF是平行四边形；
(2)当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形，
理由：∵点D是边BC的中点，△ABC是直角三角形，
∴AD=DC，
∵四边形ABDF是平行四边形，
∴AF=BD，则AF=DC，
∴AD=AF，
∵AF//BC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴平行四边形ADCF是菱形．
【解析】(1)首先利用平行四边形的判定方法得出四边形ABDF是平行四边形；
(2)利用直角三角形的性质结合菱形的判定方法得出即可．
本题主要考查了平行四边形的判定与性质以及菱形的判定，熟练应用平行四边形的判定与性质是解题关键．
20.【答案】2.4 3 2.2 0.8 0.1 10min或67min
【解析】解：(1)由题意知，前15min，小明匀速运动，速度为315=0.2(km/min)，
∴在第12min时，离家的距离为 0.2×12=2.4(km)，
由图象可知，30min时，离家的距离为3km；65min时，离家的距离为2.2km；
故答案为：2.4；3；2.2；
(2)①由题意知，3−2.2=0.8(km)，
故答案为：0.8；
②小明从文具店回家用了87−65=22(min)，
∵2.222=0.1，
∴小明从文具店走回家的速度为0.1km/min，
故答案为：0.1；
③由题意知，出发去体育场，离家距离为2km时，离家的时间为20.2=10(min)，
从文具店回家，离家距离为2km时，还需要时间为20.1=20(min)，
∴离家时间为87−20=67(min)，
∴当小明离家的距离为2km时；他离开家的时间为10min或67min，
故答案为：10min或67min；
(3)设45min到55min之间的函数解析式为y=kx+b，
将(45,3)，(55,2.2)，代入得，
3=45k+b2.2=55k+b，
解得k=−0.08b=6.6，
∴y=−0.08x+6.6(45
(2)①根据图象作答即可；②根据图象作答即可；③根据离开和回家时离家2km，两种情况进行求解；
(3)利用待定系数法以及函数图象写函数关系式即可．
本题考查了一次函数的应用，函数图象．解题的关键在于从图象中获取正确的信息并理解图象的含义．
21.【答案】解：(1)设每辆B货车的运费为x元，则每辆A货车的运费为(x−400)元，
则由题意得，50(x−400)=30x，
解得x=1000，
∴x−400=1000−400=600，
∴每辆A货车、B货车的运费分别为600、1000元；
(2)设A货车有a辆，则B货车有(10−a)辆，总费用为y，
则由题意得，3a≤2(10−a)×2，
解得a≤407，
总费用y=600a+1000(10−a)，整理得，y=−400a+10000，
∵−400<0，
∴y随a的增大而减小，
∴当a=5时，y最小，
∴10−a=10−5=5，
∴安排A货车5辆，B货车5辆时费用最少．
【解析】(1)设每辆B货车的运费为x元，则每辆A货车的运费为(x−400)元，则由题意得，50(x−400)=30x，求解x值，进而可得结果；
(2)设A货车有a辆，则B货车有(10−a)辆，总费用为y，则由题意得，3a≤2(10−a)，解得a≤4，总费用y=600a+1000(10−a)，整理得，y=−400a+10000，根据一次函数的性质确定费用最小时的a值，进而可得结果．
本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式和不等式．
22.【答案】(1)解：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠DAF=90°，
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠AEB=∠DFA=90°，
∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
在△ABE和△DAF中，
∠ABE=∠DAF∠AEB∠=∠DFAAB=AD，
∴△ABE≌△DAF(AAS)，
∴AE=DF，AF=BE，
如图①，∵AF=AE+EF，
∴BE=DF+EF；
如图②，∵AF=AE−EF，
∴BE=DF−EF，
如图③，∵AF=EF−AE，
∴BE=EF−DF；
(2)证明：如图，
∵ABCD是正方形，
∴AB=AD，
∵BE⊥PA，DF⊥PA，
∴∠AEB=∠AFD=90°，∠ABE+∠BAE=90°．
∵∠DAF+∠BAE=90°，
∴∠ABE=∠DAF，
∴△ABE≌△DAF(AAS)，
∴BE=AF，AE=DF，
∵AF=AE−EF，
∴BE=DF−EF．
【解析】(1)根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，再证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DF，AF=BE，然后结合图形求解即可；
(2)根据正方形的性质可得AB=AD，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，证明△ABE和△DAF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DF，AF=BE，然后结合图形求AF=AE−EF，即BE=DF−EF．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握正方形的性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
23.【答案】(b,a) (1,12)
【解析】解：操作思考：
猜想验证：
猜想点P(a,b)关于正比例函数y=x的图象对称的点Q的坐标为(b,a)．
故答案为：(b,a)；
证明：作QI⊥y轴，垂足为I，连接OQ．
∵点P、Q关于函数y=x的图象对称，
∴OP=OQ，PQ⊥ON，
∴∠QON=∠PON，
∵∠ION=∠HON=45°，
∴∠ION−∠QON=∠HON−∠PON，即∠IOQ=∠HOP．
在△IOQ和△HOP中，
∠QIO=∠PHO∠IOQ=∠HOPOQ=OP，
∴△IOQ≌△HOP(AAS)，
∴IQ=PH=b，OI=OH=a，
∴Q(b,a)．
应用拓展：
如图3，过B作BB′⊥OA交AC延长线于B′，交直线AO于K，
∵A(3,3)，
∴直线OA为y=x的图象，
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAO=∠B′AO，
∵∠BKA=∠B′KA=90°，AK=AK，
∴△BKA≌△B′KA(ASA)，
∴BK=B′K，
∵BB′⊥AO，
∴B、B′关于直线y=x对称，
∵B(−2,−1)，
∴B′(−1,−2)，
设直线AB′为y=kx+b，
∴3k+b=3−k+b=−2，
∴k=54b=−34，
∴直线AB′为y=54x−34，
又∵直线BO为y=12x，
∴54x−34=12x，
∴x=1，
∴y=12x=12，
∴C(1,12)．
故答案为：(1,12)．
操作思考：根据平面直角坐标系的对称性即可画出图象．
猜想验证：作QI⊥y，PH⊥x，点P、Q关于函数y=x的图象对称，可证明得到△IOQ≌△HOP，从而得到IQ=PH，OI=OH，进而可得到Q点坐标；
应用拓展：在△ABC中，AO平分∠BAC，构造全等三角形，可得点C在AB关于AK的对称线AB′上，又因为点C在射线BO上，所以点C为直线BO和直线AB′的交点坐标．求出直线BO和直线AB′的解析式，即可得到答案．
本题考查了图形在平面直角坐标系中的对称问题、三角形全等问题、一次函数的应用，熟练掌握图形对称的定义，证明全等的方法，求交点坐标的方法是解此题的关键．
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