2023年黑龙江省鸡西市虎林市青山学校中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年黑龙江省鸡西市虎林市青山学校中考数学二模试卷（含解析），共31页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列运算正确的是( )
A. 3a+2b=5abB. 5a2−2b2=3
C. 7a+a=7a2D. (x−1)2=x2+1−2x
2. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3. 某校“英语课本剧”表演比赛中，九年级的10名学生参赛成绩统计如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法中正确的是( )
A. 平均数是88B. 众数是85C. 中位数是90D. 方差是6
4. 由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数是( )
A. 4B. 5C. 6D. 9
5. 某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.经调查发现，商品销售单价每降1元，平均每天可多售出2件.在每件盈利不少于25元的前提下，要获利1200元利润，每件商品应降价( )
A. 10元B. 20元C. 10元或20元D. 13元
6. 若关于x的分式方程1x−2+ax−22−x=1有解，则a的取值范围是( )
A. a≠32B. a≠−1C. a=−1D. a≠32且a≠−1
7. 某单位为了加大“精准扶贫”力度，将16名干部分成甲、乙、丙三个小组到村屯带领48个贫困户脱贫.若甲组每人负责4个农户，乙组每人负责3个农户，丙组每人负责1个农户，则分组方案有( )
A. 3种B. 4种C. 5种D. 6种
8. 如图，菱形OABC在第二象限内，∠AOC=60°，反比例函数y=kx(x<0)的图象经过点A，交BC边于点D，若△AOD的面积为2 3，则k的值为( )
A. 2 3
B. −2 3
C. 4 3
D. −4 3
9. 如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为( )
A. 40°
B. 50°
C. 65°
D. 75°
10. 如图，已知正方形ABCD的边长为a，E为CD边上一点(不与端点重合)，将△ADE沿AE翻折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF.则下列给出的判断：①∠EAG=45°；②若DE=13a，则tan∠GFC=2；③若E为CD的中点，则△GFC的面积为110a2；④若CF=FG，则DE=( 2−1)a，其中正确的是( )
A. ①②③B. ①②④C. ②③④D. ①②③④
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 聚丙烯是生产口罩的原料之一，2019年我国的产量约为20960000吨，约占全球30%.数据20960000用科学记数法可表示为______ ．
12. 函数y= 3x+1中自变量x的取值范围是 ．
13. 如图，已知AB=AC，若以“SAS“为依据证明△ABE≌△ACD，需添加一个条件是______．
14. 根据规定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类.现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率是 ．
15. 关于x的不等式−2x−3≥1x4−1≥a−12无实数解，则a的取值范围是______．
16. 如图，△ABC内接于⊙O，BD为直径，若tan∠BAC=2 6，BC=2 6，点O到AB的距离为 5，则AB的长为______ ．
17. 圆锥的母线长为6cm，底面半径为2cm，则圆锥的侧面展开图的圆心角的度数为______ ．
18. 如图，在等边△ABC中，D，E分别为边BC，AB的中点，AD=5，且P为AD上的动点，连接EP，BP，则BP+EP的最小值为______ ．
19. 如图，在矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm.F是AB上一点，将△AFD沿DF所在的直线折叠，点A恰好落在BC边上的点E处，连接AE交DF于点G，取CE的中点H，连接GH，则GH= ______ cm．
20. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为3，4，5的直角△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置……依次进行下去，发现A(3,0)，A1(12,3)，A2(15,0)，……那么点A2022的坐标为______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. (本小题6.0分)
先化简，再求值：xx+1÷(x2−2x+1x2−1−1)，其中x=sin30°．
22. (本小题6.0分)
如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A(−2,4)，B(−4,1)，C(−1,2)．
(1)画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A1B1C1；
(2)以点O为位似中点，在y轴的右侧画出与△ABC的相似比为1：2的图形△A2B2C2；
(3)△A2B2C2的面积是______ ．
23. (本小题8.0分)
如图，抛物线y=49x2+bx+c与x轴交于点A，B，顶点C(1,−4)，请解答下列问题：
(1)求抛物线解析式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，若四边形ACBD的面积为18，则DA的长为______ ．
24. (本小题8.0分)
某社区为了解该小区居民喜爱观看的奥运会项目(A.乒乓球；B.篮球；C.体操；D.跳水；E.排球)情况，随机调查了部分该小区居民(每个人只能从五个项目中选择一种)，并根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中信息回答下列问题：
(1)抽样调查共有______ 名小区居民，补全条形统计图和扇形统计图；
(2)求扇形统计图中“D”对应的扇形圆心角的度数；
(3)若该小区共有3000名居民，请你估计喜欢排球的有多少名．
25. (本小题8.0分)
快、慢两车分别从相距400千米的A，B两地同时出发，相向而行.已知快车在中途发生故障停下维修，用时1小时，修好后继续按原速前行.如图是快、慢两车距A地的距离y1(单位：千米)，y2(单位；千米)与所用时间x(单位：小时)之间的函数图象.请根据图象信息解答下列问题．
(1)快、慢两车的速度分别是多少？
(2)求快车从A地到B地的过程中，y1与x的函数解析式；
(3)请直接写出两车出发多长时间相距40千米．
26. (本小题8.0分)
已知CD是△ABC的高，∠BAC=2∠BCD，P是直线BC上一点．
(1)当点P在BC的延长线上，且∠APC=60°时，如图1，求证：PB+PC=PA；
(2)当点P在边BC上，且∠APC=60°时，如图2；当点P在边BC上，且∠APC=120°时，如图3，请直接写出线段PB，PC，PA之间的数量关系，不需要证明．
27. (本小题8.0分)
为迎接春节，某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫共100件.已知乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍．
(1)甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元？
(2)商场决定购进甲、乙两种品牌T恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌T恤衫至少78件，求该商场有哪几种进货方案；
(3)在(2)的条件下，商场决定甲品牌T恤衫以每件50元出售，乙品牌T恤衫以每件100元出售，若该商场推出促销活动：顾客购买一件T恤衫持购物票据可抽奖一次，每人限购一件，一等奖共有1个，所购T恤衫按标价返款100%；二等奖共有3个，所购T恤衫按标价返款50%.该商场将这100件T恤衫全部售出后共获利2220元，直接写出抽到的二等奖中，购买的乙种品牌T恤衫有多少件．
28. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，M为BC的中点，OA、OB的长分别是一元二次方程x2−7x+12=0的两个根(OA(1)求点C的坐标；
(2)求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
(3)在点P的运动过程中，是否存在点P，使△CMP是等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A.3a和2b不是同类项，不能合并，A错误，故选项A不符合题意；
B.5a2和2b2不是同类项，不能合并，B错误，故选项B不符合题意；
C.7a+a=8a，C错误，故选项C不符合题意；
D.(x−1)2=x2−2x+1，D正确，选项D符合题意．
故选：D．
由合并同类项法则及完全平方公式依次判断每个选项即可．
本题主要考查合并同类项，完全平方公式等内容，熟记同类项定义及合并同类项法则是解题基础．
2.【答案】A
【解析】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；
故选：A．
根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
本题主要考查了中心对称图形，解题的关键是找出对称中心．
3.【答案】C
【解析】解：∵平均数是(80×1+85×2+90×5+95×2)÷10=89；
故A错误；
∵90出现了5次，出现的次数最多，
∴众数是90；
故B正确；
共有10个数，
∴中位数是第5、6个数的平均数，
∴中位数是(90+90)÷2=90；
故C正确；
方差为110×[(89−80)2+2×(89−85)2+2×(89−95)2+(89−90)2×5]=19，
故D错误．
故选：C．
根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．
此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，关键是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差．
4.【答案】A
【解析】解：综合三视图，我们可得出，这个几何体的底层应该有3个小正方体，第二层应该有1个小正方体，
因此搭成这个几何体的小正方体的个数为3+1=4个，
故选A．
根据三视图，该几何体的主视图以及俯视图可确定该几何体共有两层3列，故可得出该几何体的小正方体的个数．
本题意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
5.【答案】A
【解析】解：设每件商品降价x元，则平均每天可售出(20+2x)件，
依题意得：(40−x)(20+2x)=1200，
整理得：x2−30x+200=0，
解得：x1=10，x2=20，
又∵40−x≥25，
∴x≤15，
∴x=10．
故选：A．
根据题意设每件商品降价x元，则平均每天可售出(20+2x)件，根据每日的总利润=每件商品的利润×每日的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合40−x≥25即可确定x的值．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：1x−2+ax−22−x=1
去分母得：1−(ax−2)=x−2，
去括号得：1−ax+2=x−2，
移项得：−ax−x=−2−2−1，
合并同类项得：−(a+1)x=−5，
∵关于x的分式方程1x−2+ax−22−x=1有解，
∴a+1≠0x−2≠0，
∴a+1≠0−2(a+1)≠−5，
∴a≠32且a≠−1，
故选：D．
先解分式方程得到−(a+1)x=−5，再根据分式方程有解，进行求解即可．
本题主要考查了分式方程有解的问题，正确解方程得到−(a+1)x=−5是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：设甲组a人，乙组b人，则丙组(16−a−b)人，
由题意，4a+3b+(16−a−b)=48，
∴3a+2b=32，
∵a、b是正整数，
∴当a=2时，b=13，16−a−b=1，符合题意；
当a=4时，b=10，16−a−b=2，符合题意；
当a=6时，b=7，16−a−b=3，符合题意；
当a=8时，b=4，16−a−b=4，符合题意；
当a=10时，b=1，16−a−b=5，符合题意；
分组方案共5组，
故选：C．
根据选派16名成员分三组带领48个农户可列方程，再根据每组人数为正整数求解即可．
本题考查了二元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求量的等量关系．
8.【答案】B
【解析】解：如图，连接AC，过点A作AE⊥x轴于点E，

∵四边形OABC是菱形，
∴AO//CB，OA=OC，且∠AOC=60°，
∴△AOC是等边三角形，且AE⊥OC，
∴S△AOE=12△AOC=12△AOD= 3，
∴|k|2= 3，
∵k<0，
∴k=−2 3．
故选：B．
连接AC，过点A作AE⊥x轴于点E，由菱形的性质可得，AO//CB，OA=OC，且∠AOC=60°，可证△AOC是等边三角形，可得S△AOE=12△AOC=12△AOD= 3=|k|2，即可求解．
本题考查反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上的点的特征、菱形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
9.【答案】C
【解析】解：∵AB是⊙O的切线，B为切点，
∴OB⊥AB，即∠OBA=90°，
∵∠BAO=40°，
∴∠O=50°，
∵OB=OC(都是半径)，
∴∠OCB=12(180°−∠O)=65°．
故选：C．
根据切线的性质可判断∠OBA=90°，再由∠BAO=40°可得出∠O=50°，在等腰△OBC中求出∠OCB即可．
本题考查了切线的性质，解答本题的关键在判断出∠OBA为直角，△OBC是等腰三角形，难度一般．
10.【答案】A
【解析】解：①∵将△ADE沿AE翻折至△AFE，
∴∠DAE=∠EAF，AD=AF，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
∴∠BAG=∠GAF，
∵∠BAD=∠DAE+∠EAF+∠DAE+∠EAF=90°，
∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=12∠BAD=45°，
故①正确；
②令a=3，则DE=EF=1，
设BG=GF=x，
在Rt△GCE中有，GE2=CG2+CE2，
即(1+x)2=(3−x)2+(3−1)2，
解得x=1.5，
∴BG=GC=GF，
∵∠BGA+∠AGF=∠GCF+∠GFC(外角)，
∴∠BGA=∠AGF=∠GCF=∠GFC，
∴tan∠GFC=tan∠AGB=3÷1.5=2，
故②正确；
③令a=2，同理可得BG=GF=x=23，
∴GC=43，
∵E为CD的中点，
∴CE=DE=1，
∴GE= GC2+CE2=53，
过F作△GFC的高线FH，
∵FH//EC，
∴△GHF∽△GCE，
∴FHCE=GFGE，
即FH1=2353，
解得FH=25，
∴S=12GC⋅FH=12×43×25=415，
故③错误；
④∵GF=FC，∠FGC+∠GEC=∠FCG+∠FCE，
∴GF=GC=EF=DE=BG，
∴F为GE的中点(斜边中线为斜边一半逆定理，用互余关系可证)，
∴EC=GC，即△GCE为等腰直角三角形，
∴GE=EC，
设BG=x，则有2x= 2(a−x)，
解得x=( 2−1)a，
故④正确；
故选：A．
①根据HL先证Rt△ABG≌Rt△AFG，得出∴∠EAG=∠EAF+∠GAF=12∠BAD即可；
②令a=3，则DE=EF=1，设BG=GF=x，根据勾股定理求出x，运用特殊值直接求出tan∠GFC的值即可；
③令a=2，同样利用特殊值法计算△GFC的面积得不出相应关系即可证明结论不正确；
④根据已知关系先求证△GCE为等腰直角三角形，设BG=x，根据GE=EC，则有2x= 2(a−x)，解出x即可．
本题主要考查图形的翻折，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，解直角三角形等知识，熟练利用特殊值法解决选择题是解题的关键．
11.【答案】2.096×107
【解析】解：将20960000用科学记数法表示为2.096×107，
故答案为：2.096×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12.【答案】x≥−13
【解析】解：根据二次根式的意义，
3x+1≥0，解得x≥−13．
故答案为x≥−13．
根据二次根式有意义的条件，列不等式3x+1≥0，求x的取值范围．
本题主要考查函数自变量的取值范围的知识点，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
13.【答案】AE=AD
【解析】解：根据题意，可添加AE=AD，证明过程如下：
在△ABE和△ACD中，
AB=AC,∠BAE=∠CAD,AE=AD,
∴△ABE≌△ACD(SAS)．
故答案为：AE=AD．
根据全等三角形的判定解决此题．
本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解决本题的关键．
14.【答案】112
【解析】解：设可回收物、易腐垃圾、有害垃圾和其他垃圾四大类所对应的垃圾桶分别为A，B，C，D，垃圾分别记为a，b，c，d，
令分类打包好的两袋不同垃圾为a，b，
画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果有1种，
∴分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的概率为112．
故答案为：112．
画树状图得出所有等可能的结果数，以及分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，投放正确的结果数，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
15.【答案】a>−2
【解析】解：解不等式−2x−3≥1得：x≤−2，
解不等式x4−1≥a−12得：x≥2a+2，
∵关于x的不等式−2x−3≥1x4−1≥a−12无实数解，
∴2a+2>−2，
解得：a>−2，
故答案为：a>−2．
分别解两个不等式，根据不等式组无实数解，得到关于a的不等式，解之即可．
本题考查一元一次不等式组的解，正确找出不等关系，列出一元一次不等式是解题的关键．
16.【答案】 5
【解析】解：过O作OH⊥AB于H，连接CD，则AH=BH，∠BCD=90°，∠BAC=∠BDC，

∵tan∠BAC=2 6，
∴tan∠BDC=2 6
在Rt△BCD中，∠BCD=90°，tan∠BDC=BCCD=2 6，BC=2 6，
∴CD=1，则BD= BC2+CD2= (2 6)2+12=5，
∴OB=12BD=52，
在Rt△OBH中，OH= 5，∠OHB=90°，
∴BH= OB2−OH2= 52，
∴AB=2BH= 5，
故答案为： 5．
过O作OH⊥AB于H，连接CD，根据圆周角定理和垂径定理得到AH=BH，∠BCD=90°，∠BAC=∠BDC，再根据正切定义和勾股定理求得解即可．
本题考查了圆周角定理、垂径定理、正切、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理，正确求得圆的半径是解答的关键．
17.【答案】120°
【解析】解：设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为n°，
根据题意得2π⋅2=n⋅π⋅6180，
解得n=120，
即圆锥侧面展开图的圆心角的度数为120°．
故答案为：120°．
设圆锥侧面展开图的圆心角的度数为n°，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2π⋅2=n⋅π⋅6180，然后解方程即可．
本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
18.【答案】5
【解析】解：如图，作点E关于AD的对称点F，连接BF，交AD于点P，

∵等边三角形为轴对称图形，
∴点F在线段AC上，
∴PF=PE，
∴BP+PE=BP+PF≥BF，即BP+EP的最小值为BF的长，且此时AC⊥BF，
根据等边三角形三边上的高相等，即AD=BF=5，
∴BP+EP的最小值为5．
故答案为：5．
作点E关于AD的对称点F，连接BF，交AD于点P，由BP+PE=BP+PF≥BF，根据AD=BF即可求得BP+EP的最小值．
本题考查等边三角形的性质，轴对称的性质，掌握轴对称求线段和最小值的方法是解题的关键．
19.【答案】5 52
【解析】解：由折叠可知，DF垂直平分AE，连接AC，

∴G是AE的中点，
∵H是BC的中点，
∴GH是△AEC的中位线，
∴GH=12AC，
∵AB=5cm，BC=10cm，
∴AC= AB2+BC2=5 5cm，
∴GH=5 52cm，
故答案为：5 52．
由折叠可知，DF垂直平分AE，连接AC，可得GH是△ACE的中位线，求出AC即可求GH．
本题考查图形的折叠，熟练掌握翻折的性质，矩形的性质，三角形中位线的性质是解题的关键．
20.【答案】(12135,0)
【解析】解：∵∠AOB=90°，A(3,0)，OB=4，AB=5，
根据题意知：OA+AB1+B1C2=3+4+5=12，
得：A1(12,3)，A2(15,0)；
继续滚动得：A3(24,3)，A4(27,0)；
⋯⋯
发现规律：A2n−1(12n,3)，A2n(12n+3,0)，
∵2022=2n，解得：n=1011
则12n+3=12135，
∴点A2022的横坐标为12135，
故答案为：(12135,0)．
根据直角△ABO的边长求出点A1，A2，A3，A4，再由沿x轴向右滚动到△AB1C1的位置，再到△A1B1C2的位置，依次进行下去，即可找到规律，即可求解．
本题主要考查了规律型：点的坐标，找到规律是解题的关键．
21.【答案】解：xx+1÷(x2−2x+1x2−1−1)
=xx+1÷(x2−2x+1x2−1−x2−1x2−1)
=xx+1÷x2−2x+1−x2+1x2−1
=xx+1⋅(x+1)(x−1)−2(x−1)
=−x2，
当x=sin30°=12时，原式=−122=−14．
【解析】先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行计算即可．
本题主要考查了分式混合运算，求特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算．
22.【答案】78
【解析】解：(1)△A1B1C1如图所示．

(2)△A2B2C2如图所示．
(3)△ABC的面积为3×3−12×3×2−12×1×2−12×1×3=3.5，
∴△A2B2C2的面积是78．
故答案为：78．
(1)直接利用旋转的性质得出对应点位置，进而得出答案；
(2)直接利用位似图形的性质得出对应点位置，进而得出答案．
(3)利用割补法求得△ABC的面积，再利用相似比求解．
此题主要考查了旋转变换、位似变换，正确得出对应点位置是解题关键．
23.【答案】 13
【解析】解：(1)∵抛物线y=49x2+bx+c的顶点为C(1,−4)，
∴y=49(x−1)2−4=49x2−89x−329，
抛物线的解析式y=49x2−89x−329．
(2)设对称轴交x轴于点E，

对于y=49x2−89x−329，令y=0，49x2−89x−329=0，
∴x1=2，x2=4，
∴A(−2,0)，B(4,0)
∵抛物线顶点C(1,−4)，
∴对称轴为直线x=1，CE=4，
∴AE=BE=3，
∴S四边形ACBD=S△ACD+S△BCD=12CD⋅AE+12CD⋅BE=3CD=18，
∴CD=6，
∴DE=CD−CE=2，
(四边形ACBD为凸四边形，D点只能在x轴的上方)
在Rt△ADE中，DA= AE2+DE2= 32+22= 13．
故答案为： 13．
(1)利用二次函数的顶点式求解即可；
(2)设对称轴交x轴于点E，先求得点A、B坐标，再利用坐标与图形性质和三角形的面积公式求得DE，根据初中所学的四边形为凸四边形结合勾股定理即可求解．
本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数与x轴的交点、坐标与图形、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的性质，以及数形结合思想是解答的关键．
24.【答案】200
【解析】解：(1)50÷25%=200(人)，
喜欢观看体操的人数为：200−45−50−35−30=40(人)，
45200×100%=22.5%，
补全条形统计图和扇形统计图，如图所示：

(2)360°×35200=63°．
答：扇形统计图中“D”对应的扇形圆心角的度数为63°．
(3)3000×30200=450(名)，
答：估计喜欢排球的居民有450名．
(1)根据喜爱观看篮球的人数为50人，占总调查人数的25%，求出总的调查人数即可；求出喜欢观看体操的人数，喜欢观看乒乓球的人数占总人数的百分比，补全条形统计图和扇形统计图即可；
(2)用360°乘以喜欢观看跳水人数所占的百分比即可求出扇形统计图中“D”对应的扇形圆心角的度数；
(3)用3000乘以喜欢排球的百分比，估算出总的人数即可．
本题主要考查了扇形统计图和条形统计图信息关联，解题的关键是数形结合，熟练掌握扇形统计图和条形统计图的特点．
25.【答案】解：(1)480÷6=80(千米/时)，2+1=3(小时)，
慢车行驶3小时，快车行驶的路程为：480−3×80=240(千米)，
240÷2=120(千米/时)，
答：快、慢两车的速度分别为120千米/时和80千米/时．
(2)①当0≤x≤2时，y1=120x；
②当2③480÷120+1=5(小时)．
当3得3k+b=2405k+b=480，
解得k=120b=−120，
∴y1=120x−120．
综上，y1与x的函数解析式为y1=120x,0≤x≤2240x,2(3)①快车与慢车相遇之前，两车行驶2小时，两车之间的距离为480−(120×2+80×2)=80(千米)，
设两车出发时间为x小时，120×2+80x+40=480，
解得：x=52；
②快车与慢车相遇之后，设两车出发时间为x小时，
120(x−1)+80x−40=480，
解得：x=165；
综上，两车出发52小时或165小时，相距40千米．
故答案为：52小时或165小时．
【解析】(1)根据速度=路程÷时问可求出慢车的速度，再结合题意和图象求得快车2小时行驶的路程，最后运用公式即可求出快车的速度；
(2)分段讨论：①当0≤x≤2时；②当2(3)两车相距40千米分为两种情况，即两车相遇前和两车相遇后，分别计算即可解答．
本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：(1)结合题意和图象，列式计算；(2)根据数量关系和待定系数法求出各段的函数解析式；(3)运用分类讨论思想求解．
26.【答案】(1)证明：如图1，过点A作AH⊥BC，垂足为H．

∵CD是△ABC的高，
∴∠AHB=∠AHC=∠BDC=90°，
∴∠BAH+∠ABC=90°，∠BCD+∠ABC=90°．
∴∠BAH=∠BCD，
∵∠BAC=2∠BCD，
∴∠BAC=2∠BAH．
∴∠BAH=∠CAH．
在△ABH和△AHC中，
AHB=∠AHCAH=AH∠BAH=∠CAH，
∴△ABH≌△ACH(ASA)，
∴BH=CH．
∵∠APC=60°，
∴∠ACP=90°−60°=30°，
∴PA=2PH．
∵PB=PH−BH，PC=PH+HC，
∴PB+PC=PH−BH+PH+CH=2PH=PA．
(2)解：图2：PC−PB=PA.图3：PB−PC=PA.理由如下：
当点P在边BC上，且∠APC=120°时，如图2，过点A作AH⊥BC，垂足为H．

∵CD是△ABC的高，
∴∠AHB=∠AHC=∠BDC=90°，
∴∠BAH+∠ABC=90°，∠BCD+∠ABC=90°．
∴∠BAH=∠BCD，
∵∠BAC=2∠BCD，
∴∠BAC=2∠BAH．
∴∠BAH=∠CAH．
在△ABH和△AHC中，
AHB=∠AHCAH=AH∠BAH=∠CAH，
∴△ABH≌△ACH(ASA)，
∴BH=CH．
∵∠APC=60°，
∴∠PAH=90°−60°=30°，
∴PA=2PH．
∴2PH=PA．
∵PB=BH−PH，PC=PH+HC，
∴PC−PB=PH+HC−BH+PH=2PH=PA，即PC−PB=PA；
∴∠AHB=∠AHC=∠BDC=90°，
当点P在边BC上，且∠APC=120°时，如图3，过点A作AH⊥BC，垂足为H．

∵CD是△ABC的高，
∴∠BAH+∠ABC=90°，∠BCD+∠ABC=90°．
∴∠BAH=∠BCD，
∵∠BAC=2∠BCD，
∴∠BAC=2∠BAH．
∴∠BAH=∠CAH．
在△ABH和△AHC中，
AHB=∠AHCAH=AH∠BAH=∠CAH，
∴△ABH≌△ACH(ASA)，
∴BH=CH．
∵∠APC=120°
∴∠APB=60°
∵∠APC=120°，
∴∠HAP=120°−90°=30°，
∴PA=2PH．
∴2PH=PA．
∴2PH=PA．
∵PB=BH+PH，PC=HC−PH
∴PB−PC=BH+PH−HC+PH=2PH=PA，即PB−PC=PA．
【解析】(1)如图1，过点A作AH⊥BC，垂足为H.先证明△ABH≌△ACH可得BH=CH，再解直角三角形可得2PH=PA，最后根据线段的和差表示出PB，PC，最后根据线段的和差即可解答；
(2)分∠APC=60°、∠APC=120°两种情况分别画出图形，然后根据(1)的方法即可解答．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、30°所对的直角边是斜边的一半等知识点，作出辅助线、构造直角三角形是解答本题的关键．
27.【答案】解：(1)设甲品牌T恤衫每件的进价为x元，则乙品牌T恤衫每件的进价为(x+30)元．
由题意得：6000x=2×6000x+30，
解得：x=30，
经检验x=30是原分式方程的解，且符合题意．
∴x+30=60，
答：甲品牌T恤衫每件的进价为30元．乙品牌T恤衫每件的进价为60元．
(2)设该商场购进甲品牌T恤衫a件，则购进乙品牌T恤衫(100−a)件．
根据题意得：30a+60(100−a)≥3600a≥78，
∴78≤a≤80，
∴a的整数值为78，79，80．
∴商场共有三种进货方案．
方案一：购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件；
方案二：购进甲品牌T恤衫79件，购进乙品牌T恤衫21件；
方案三：购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件．
(3)设二等奖中购买乙品牌的有n件，甲品牌的有(3−n)件，
①购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件，一等奖为甲品牌，
(50−30)×78+(100−60)×22−50−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=195(舍)．
购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件，一等奖为乙品牌，
(50−30)×78+(100−60)×22−100−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=95(舍)．
②购进甲品牌T恤衫79件，购进乙品牌T恤衫21件，一等奖为甲品牌，
(50−30)×79+(100−60)×21−50−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=3．
购进甲品牌T恤衫79件，购进乙品牌T恤衫21件，一等奖为乙品牌，
(50−30)×79+(100−60)×21−100−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=1．
③购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，一等奖为甲品牌，
(50−30)×80+(100−60)×20−50−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=115(舍)．
购进甲品牌T恤衫80件，购进乙品牌T恤衫20件，一等奖为乙品牌，
(50−30)×80+(100−60)×20−100−100×50%n−50×50%(3−n)=2220，
解得：n=15(舍去)．
因此，抽到的二等奖中，购买乙品牌有1件或3件．
【解析】(1)根据乙品牌每件的进价比甲品牌每件的进价贵30元，且用6000元购买甲品牌的件数恰好是用6000元购买乙品牌件数的2倍，可以列出相应的分式方程，从而可求得甲、乙两种品牌每件的进价分别是多少元；
(2)购进甲、乙两种品牌T恤衫的资金不少于3600元，且购进甲品牌T恤衫至少78件，可以列出相应的不等式组，从而求出a的取值，分别列出进货方案即可；
(3)根据(2)中共有3种方案，分三种情况进行讨论：设二等奖中购买乙品牌的有n件，甲品牌的有(3−n)件，当购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件时，一等奖为甲品牌时，根据该商场将这100件T恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得n不是整数即可舍去；当购进甲品牌T恤衫78件，购进乙品牌T恤衫22件时，一等奖为乙品牌时，根据该商场将这100件T恤衫全部售出后共获利2220元可列出方程解得n不是整数即可舍去；以此例推分别进行讨论即可，若n为小于等于3的整数，则可满足题意．
本题考查了分式方程的应用问题以及不等式组的应用解决方案问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程或不等式解决问题，利用分类讨论思想不遗漏情况进行讨论问题，注意分式方程需要检验．
28.【答案】解：(1)方程x2−7x+12=0，
解得：x1=3，x2=4，
∵OA∴OA=3，OB=4，
∵tan∠DAB=ODOA=43，
∴OD=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DC=AB=3+4=7，DC//AB，
∴∠ODC=∠AOD=90°，
∴点C的坐标为(7,4)；
(2)：①当0≤t≤7时，
由题意得：PC=7−t，
∴△APC的面积为S=12PC⋅OD=12(7−t)×4=14−2t；
②当7
∵AD= OA2+OD2= 32+42=5，四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=5，
∵S△ABC=12AB⋅OD=12CB⋅AF，
∴AB⋅OD=CB⋅AF，
∴7×4=5AF，
∴AF=285，
∴△APC的面积为S=12PC⋅AF=12(t−7)×285=145t−985；
综上，S=14−2t(0≤t≤7)145t−985(7(3)∵BC=AD=5，M为BC的中点，C(7,4)，B(4,0)，
∴CM=52，M(112,2)，
①当CM=CP时，

∵CM=52，
∴CM=CP=52，
∵CD=7，
∴DP=7−52=92，
∴点P的坐标为(92,4)；
②当CM=MP时，过点M作ME⊥CD于E，

∴PE=CE，
∵M(112,2)，C(7,4)，
∴E(112,4)，CE=7−112=32，
∴PE=CE=32，
∴DP=DE−PE=112−32=4，
∴点P的坐标为(4,4)；
③当CP=MP时，过点P作PF⊥BC于F，

∴MF=CF=12CM=54，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠DAB，
∴cs∠BCD=cs∠DAB=OAAD=35，
∴CFPC=35，即54PC=35，
∴PC=2512，
∴DP=DC−PC=7−2512=5912，
∴点P的坐标为(5912,4)；
综上，点P的坐标为(4,4)或(92,4)或(5912,4)．
【解析】(1)解一元二次方程求出OA、OB的长度，可得出A、B的坐标，即可求解；
(2)分0≤t≤7和7(3)要使△CMP是等腰三角形，点P一定在CD上，需分情况讨论：①当CM=CP时；②当CM=MP时；③当CP=MP时，根据等腰三角形的性质即可求解．
本题是四边形综合题目，考查了一元二次方程的解法，平行四边形的性质，三角形面积的计算，解直角三角形，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．