2021-2022学年湖南省永州市双牌县八年级（上）期末数学试卷 解析版

2021-2022学年湖南省永州市双牌县八年级（上）期末数学试卷

一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）下列代数式中，是分式的为（　　）

A． B． C． D．

2．（4分）下列计算正确的是（　　）

A．＝﹣2 B．＝±2 C．a6÷a3＝a2 D．a2•a3＝a6

3．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＜3 B．x＝3 C．x＞3 D．x≠3

4．（4分）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　）

A． B． 

C． D．

5．（4分）在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6．（4分）下列语句是命题的是（　　）

（1）两点之间，线段最短；

（2）对顶角相等；

（3）请画出两条互相平行的直线；

（4）过直线外一点作已知直线的垂线．

A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4）

7．（4分）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝30°，∠ACD＝110°，则∠A等于（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°

8．（4分）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（　　）

A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2

9．（4分）等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长是（　　）

A．7cm B．9cm C．12cm D．9cm或12cm

10．（4分）先阅读下面例题的解答过程，然后作答．

例题：化简．

解：先观察，

由于8＝5+3，即8＝（）2+（）2，

且15＝5×3，即＝2××，

则有＝＝+．

试用上述例题的方法化简：＝（　　）

A．+ B．2+ C．1+ D．+2

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

11．（4分）当x　   　时，分式值为0．

12．（4分）世界上最小的晶体管，它的长度只有0.00000004m，用科学记数法表示它的长度是 　   　米．

13．（4分）4是 　   　的算术平方根．

14．（4分）要使有意义，则x的取值范围是　   　．

15．（4分）比较大小：6　   　7（填＞，＜，＝）．

16．（4分）如图，△ABC的周长为22cm，AC的垂直平分线DE分别交BC、AC于D、E，且AE＝4cm，则△ABD的周长为 　   　cm．

17．（4分）若a，b为实数，且a＝﹣+1，则ab的值为 　   　．

18．（4分）若|2021﹣a|+＝a，则a﹣20212＝　   　．

三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）

19．（8分）计算：﹣12×（π﹣2022）0×（﹣）﹣2．

20．（8分）解分式方程：．

21．（8分）解不等式组：．

22．（10分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中1≤x≤3的正整数，选一个合适的x的值代入求值．

23．（10分）如图所示，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求证：△ABC≌△DEC．

24．（10分）已知实数x，y满足+（y2﹣1）2＝0，试判断是有理数还是无理数．

25．（12分）某校准备组织290名师生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人（不含司机）和10件行礼，乙种汽车每辆最多能载30人（不含司机）和20件行礼．设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案．

26．（12分）如图△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．

（1）求证：△BCD为等腰三角形．

（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，证明：BD+AD＝AB+BE．

2021-2022学年湖南省永州市双牌县八年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）

1．（4分）下列代数式中，是分式的为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据分式的定义，形如，B中含有字母且B≠0，判断即可．

【解答】解：上列代数式中，是分式的为：，

故选：C．

2．（4分）下列计算正确的是（　　）

A．＝﹣2 B．＝±2 C．a6÷a3＝a2 D．a2•a3＝a6

【分析】利用立方根的化简，二次根式的化简，同底数幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则对各项进行运算即可．

【解答】解：A、＝﹣2，故A符合题意；

B、＝2，故B不符合题意；

C、a6÷a3＝a3，故C不符合题意；

D、a2•a3＝a5，故D不符合题意；

故选：A．

3．（4分）若分式有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x＜3 B．x＝3 C．x＞3 D．x≠3

【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：x﹣3≠0，

∴x≠3，

故选：D．

4．（4分）下面是小强用三根火柴组成的图形，其中符合三角形概念的是（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】因为三角形的定义为：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．

【解答】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形．

故选：C．

5．（4分）在0，，﹣0.101001，π，中无理数的个数是（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

【解答】解：0是整数，属于有理数；

是分数，属于有理数；

﹣0.101001是有限小数，属于有理数；

＝2是整数，属于有理数；

π是无理数，无理数共有1个．

故选：A．

6．（4分）下列语句是命题的是（　　）

（1）两点之间，线段最短；

（2）对顶角相等；

（3）请画出两条互相平行的直线；

（4）过直线外一点作已知直线的垂线．

A．（1）（2） B．（3）（4） C．（2）（3） D．（1）（4）

【分析】根据命题的概念判断即可．

【解答】解：（1）两点之间，线段最短，是命题；

（2）对顶角相等，是命题；

（3）请画出两条互相平行的直线，没有对事件作出判断，不是命题；

（4）过直线外一点作已知直线的垂线，没有对事件作出判断，不是命题；

故选：A．

7．（4分）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝30°，∠ACD＝110°，则∠A等于（　　）

A．60° B．70° C．80° D．90°

【分析】直接利用三角形的外角性质进行求解即可．

【解答】解：∵∠B＝30°，∠ACD＝110°，∠ACD是△ABC的外角，

∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝80°，

故选：C．

8．（4分）关于x的不等式的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式的解集为（　　）

A．x＜2 B．x≤2 C．x＞2 D．x≥2

【分析】观察数轴得到不等式的解集都在2的左侧包括2，根据数轴表示数的方法得到不等式的解集为x≤2．

【解答】解：观察数轴可得该不等式的解集为x≤2．

故选：B．

9．（4分）等腰三角形的两边长分别为2cm和5cm，则该等腰三角形的周长是（　　）

A．7cm B．9cm C．12cm D．9cm或12cm

【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2cm和5cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【解答】解：当腰长是2cm时，因为2+2＜5，不符合三角形的三边关系，舍去；

当腰长是5cm时，因为2+5＞5，符合三角形三边关系，此时周长是12cm．

故选：C．

10．（4分）先阅读下面例题的解答过程，然后作答．

例题：化简．

解：先观察，

由于8＝5+3，即8＝（）2+（）2，

且15＝5×3，即＝2××，

则有＝＝+．

试用上述例题的方法化简：＝（　　）

A．+ B．2+ C．1+ D．+2

【分析】先把被开方数拆项，化为完全平方的形式，再根据二次根式的性质化简．

【解答】解：＝＝＝+2；

故选：D．

二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分）

11．（4分）当x　＝﹣1　时，分式值为0．

【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．

【解答】解：根据题意得：x2﹣1＝0，且x﹣1≠0

解得：x＝﹣1

故答案是：＝﹣1

12．（4分）世界上最小的晶体管，它的长度只有0.00000004m，用科学记数法表示它的长度是 　4×10﹣8　米．

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．

【解答】解：0.00000004m＝4×10﹣8m．

故答案为：4×10﹣8．

13．（4分）4是 　16　的算术平方根．

【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，由此即可求出结果．

【解答】解：∵42＝16，

∴4是16的算术平方根．

故答案为：16．

14．（4分）要使有意义，则x的取值范围是　x≥3　．

【分析】根据二次根式的性质知，被开方数大于或等于0，据此可以求出x的范围．

【解答】解：根据题意得：x﹣3≥0，

解得：x≥3；

故答案是：x≥3．

15．（4分）比较大小：6　＞　7（填＞，＜，＝）．

【分析】先比较两数的平方的大小，然后即可作出判断．

【解答】解：，，

∵108＞98，

∴．

故答案为：＞．

16．（4分）如图，△ABC的周长为22cm，AC的垂直平分线DE分别交BC、AC于D、E，且AE＝4cm，则△ABD的周长为 　14　cm．

【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DC，AC＝2AE＝8cm，根据三角形的周长公式计算，得到答案．

【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，

∴DA＝DC，AC＝2AE＝8（cm），

∵△ABC的周长为22cm，

∴AB+BC+AC＝22cm，

∴AB+BC＝14cm，

∴△ABD的周长＝AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝14（cm），

故答案为：14．

17．（4分）若a，b为实数，且a＝﹣+1，则ab的值为 　1　．

【分析】根据二次根式有意义的条件可求出a与b的值，然后代入所求式子即可求出答案．

【解答】解：由题意可知：b﹣2≥0，2﹣b≥0，

∴b≥2，b≤2，

∴b＝2，

∴a＝0+0+1＝1，

∴ab

＝12

＝1，

故答案为：1．

18．（4分）若|2021﹣a|+＝a，则a﹣20212＝　2022　．

【分析】根据二次根式有意义的条件可得a的值，然后进行式子的变形可得20212，再代入计算即可．

【解答】解：∵|2021﹣a|+＝a，

∴a≥2022，

∴a﹣2021+＝a，

∴＝2021，

∴a﹣2022＝20212，

∴a﹣20212＝a﹣a+2022＝2022．

故答案为：2022．

三、解答题（本大题共8个小题，共78分，解答题要求写出证明步骤或解答过程）

19．（8分）计算：﹣12×（π﹣2022）0×（﹣）﹣2．

【分析】直接利用有理数的乘方运算法则、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别化简，进而利用有理数的乘法运算法则计算得出答案．

【解答】解：原式＝﹣1×1×4

＝﹣4．

20．（8分）解分式方程：．

【分析】按照解分式方程的步骤进行计算即可解答．

【解答】解：，

x＝2（x﹣2），

解得：x＝4，

检验：当x＝4时，x（x﹣2）≠0，

∴x＝4是原方程的根．

21．（8分）解不等式组：．

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．

【解答】解：由x+1≥0，得：x≥﹣1，

由10﹣2x＞0，得：x＜5，

则不等式组的解集为﹣1≤x＜5．

22．（10分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中1≤x≤3的正整数，选一个合适的x的值代入求值．

【分析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再根据分式有意义的条件选取合适的x的值，代入求值即可．

【解答】解：原式＝（﹣）•

＝

＝

＝，

∵x﹣1≠0，（x+2）（x﹣2）≠0，

∴x≠1且x≠±2，

又∵x是1≤x≤3的正整数，

∴x＝3，

∴原式＝＝．

23．（10分）如图所示，CD＝CA，∠1＝∠2，EC＝BC，求证：△ABC≌△DEC．

【分析】根据三角形全等的判定，由已知先证∠ACB＝∠DCE，再根据SAS可证△ABC≌△DEC．

【解答】证明：∵∠1＝∠2，

∴∠ACB＝∠DCE，

在△ABC和△DEC中，

，

∴△ABC≌△DEC（SAS）．

24．（10分）已知实数x，y满足+（y2﹣1）2＝0，试判断是有理数还是无理数．

【分析】根据偶次方和算术平方根的非负性求出x，y的值，然后代入式子中进行计算即可解答．

【解答】解：由题意得：

x﹣2＝0，y2﹣1＝0，

∴x＝2，y＝±1，

当x＝2，y＝1时，＝＝2，是有理数；

当x＝2，y＝﹣1时，＝＝，是无理数．

25．（12分）某校准备组织290名师生进行野外考察活动，行李共有100件．学校计划租用甲、乙两型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多能载40人（不含司机）和10件行礼，乙种汽车每辆最多能载30人（不含司机）和20件行礼．设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案．

【分析】设租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车（8﹣x）辆，根据有290名老师和100件行李，以及甲种汽车每辆最多能载40人（不含司机）和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人（不含司机）和20件行李可列方程求解．

【解答】解：（1）由租用甲种汽车x辆，则租用乙种汽车（8﹣x）辆．

由题意得：

解得：5≤x≤6．

即共有2种租车方案：

第一种是租用甲种汽车5辆，乙种汽车3辆；

第二种是租用甲种汽车6辆，乙种汽车2辆．

26．（12分）如图△ABC中，∠BAC＝60°，∠C＝40°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．

（1）求证：△BCD为等腰三角形．

（2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，证明：BD+AD＝AB+BE．

【分析】（1）由角平分线的性质和三角形内角和定理可求∠DBC＝∠ACB，可得结论；

（2）由“ASA”可证△AFC≌△AFB，可得AC＝AH，HF＝CF，由等腰三角形的判定可证BH＝BE，可得结论．

【解答】证明：（1）∵∠BAC＝60°，∠C＝40°，

∴∠ABC＝80°，

∵BD平分∠ABC，

∴∠ABD＝∠DBC＝40°，

∴∠DBC＝∠ACB，

∴BD＝CD，

∴△BCD是等腰三角形；

（2）如图，过点C作CF⊥AE，交AE的延长线于点F，交AB的延长线于点H，连接EH，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝∠CAE，

在△AFC和△AFH中，

，

∴△AFC≌△AFB（ASA），

∴AC＝AH，HF＝CF，

∴AF是CH的垂直平分线，

∴EH＝EC，

∴∠ECH＝∠EHC，

∵AH＝AC，

∴∠AHC＝∠ACH，

∴∠ACB＝∠AHE＝40°，

∵∠ABC＝80°＝∠AHE+∠BEH，

∴∠BEH＝40°＝∠AHE，

∴BH＝BE，

∴AB+BE＝AH＝AC＝AD+CD＝AD+BD，

即BD+AD＝AB+BE．