湖南省常德市2023届九年级下学期4月期中联考数学试卷(含答案)

这是一份湖南省常德市2023届九年级下学期4月期中联考数学试卷(含答案)，共13页。试卷主要包含了下列各数中，属于无理数的是，5，90B．90，90C．87，因式分解，在函数中，自变量的取值范围是，分式方程的解为等内容，欢迎下载使用。

数学试卷
时量：120 分钟 满分：120 分


一．选择题（每小题3分，共24分）
1.下列各数中，属于无理数的是 （ ）
A. B.1.414 C. D.
2.如图是运动会领奖台，它的俯视图是 ( )

A. B. C. D.
3. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲，3名航天员演示了在微重力环境下毛细效应实验、水球变“懒”实验等，相应视频在某短视频平台的点赞量达到150万次，数据150万用科学记数法表示为（　　）
A．1.5×105 B．0.15×105 C．1.5×106 D． 1.5×107
4. 下列各式中，运算正确的是 （ ）
A. B. C. D.
5.为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，让学生深刻体会数学的魅力，某校举办了一次数学文化知识竞赛，并随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理如表：
成绩/分
80
85
90
95
人数/人
4
6
8
2
根据表中的信息可知，这些参赛学生成绩的中位数和众数分别是（　　）
A．87.5，90 B．90，90 C．87.5，85 D．90，85
6.将一张四边形纸片沿直线剪开，剪开后的两个图形内角和相等的是（  ）
A． B．
座位号

C． D．
7.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后面两句的意思是：如果一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果一间客房住9人，那么就空出一间客房，若设该店有客房x间，房客y人，则列出关于x、y的二元一次方程组正确的是（       ）
A． B． C． D．
8.如图，在中，，，．动点沿从点向点移动，过点作的垂线，交折线于点．记，的面积为，则关于的函数图像大致是（    ）
A． B．
C． D．
二．填空题（每小题3分，共24分）
9.因式分解：=
10.在函数中，自变量的取值范围是
11.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则值为
12.用圆心角为120°，半径为9的扇形围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为
13.若一个角是37°38'，则它的余角的度数是
14.分式方程的解为
15.在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'的相似比是2:1，并且是关于原点O的位似图形，若点B的坐标为（-4，-2）则其对应点B'的坐标为
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D在AC上，将△ADB沿直线BD
翻折后，将点A落在点E处，如果AD⊥ED，那么线段DE的长为________.







三．解答题（本大题共10个小题，第17,18题每小题5分，第19,20题每小题6分，第21,22题每小题7分，第23,24题每小题8分，第25,26题每小题10分，共72分。解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17.计算：

18. 先化简，再求值：,其中


C
A
B
D
E
F
19. 如图，AD平分∠BAC，AB=AC，且AB∥CD，点E在线段AD上，BE的延长线交CD于点F，连接CE。
（1）求证：△ACE≌△ABE
（2）当AC=AE，∠CAD=38°时，求∠DCE的度数。




20.如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点A和B，与x轴交于点F,与y轴交于点C,点A的坐标为(6,2)，点B的坐标为．
(1)求一次函数和反比例函数的关系式；
(2)若点E是点C关于x轴的对称点，求△ABE的面积；
(3)当函数值 时，直接写出x的取值范围．





21. 我市某校想知道学生对“桃花源古镇”，“城头山遗址”，“常德诗墙”等旅游名片的了解程度，随机抽查了部分学生进行问卷调查，问卷有四个选项（每位被调查的学生必须且只能选一项）：A.不知道 B.了解较少 C.了解较多 D.十分了解
将问卷调查的结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据两幅统计图中的信息回答问题：

(1)本次调查了多少名学生？
(2)根据调查信息补全条形统计图；
(3)该校共有1000名学生，请你估计“十分了解”的学生共有多少名？
(4)在被调查“十分了解”的学生中，有四名同学普通话较好，他们中有2名男生和2名女生，学校想从这四名同学中任选两名同学，做家乡旅游品牌的宣传员，请你用列表法或画树状图法，求出被选中的两人恰好是一男一女的概率。






22. 2022年北京冬奥会上众多花滑名将联袂献上的精彩绝伦的表演激起了众多冰雪运动爱好者对花样滑冰的热爱，某冰雪运动专营店新购进了一批A，B两种型号的滑冰鞋．已知每双B型滑冰鞋的进价是每双A型滑冰鞋进价的2倍，购进2双A型滑冰鞋和1双B型滑冰鞋共需920元．
（1）每双A，B型滑冰鞋的进价分别是多少？
（2）若A型滑冰鞋的售价为400元/双，B型滑冰鞋的售价为560元/双，该专营店计划再购进一批这两种型号的滑冰鞋共50双，且计划A型滑冰鞋的进货数量不超过B型滑冰鞋数量的2倍，假设购进的滑冰鞋能够全部售完，应如何安排进货才能使这批滑冰鞋的获利最大？最大利润是多少？





23.如图，AB是⊙O的直径，点C,D在⊙O上，AC=CD，AD与BC相交于点E，点F在BC的延长线上，且AF=AE．
(1)求证：AF是⊙O的切线；
(2)若EF=12， ，求⊙O的半径．





24..如图，某中学依山而建，校门A处有一坡度的斜坡，长度为13米，在坡顶B处看教学楼的楼顶C的仰角，离B点4米远的E处有一个花台，在E处仰望C的仰角是，的延长线交校门处的水平面于点D，求楼顶C的高度.(结果保留根号)









25. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（-2,0）和点B（4,0）
（1） 求这条抛物线所对应的函数解析式；
（2） 点P为该抛物线上一点（不与点C重合），直线CP将△ABC的面积分成2:1两部分，求点P 的坐标；
（3） 点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿轴移动，运动时间为t秒，当∠OCA=∠OCB-∠OMA时，求t的值。










26.在四边形中，的平分线交于，延长到使，是的中点，交于，连接．

（1）当四边形是矩形时，如图，求证：①；②．
（2）当四边形是平行四边形时，如图，（1）中的结论都成立，请给出结论②的证明．





九年级 数学（答案）
一． 选择题
CDCD ADBB
二． 填空题
9. 10. 且 11. 12.
13. 14. 15.（-2，-1）或（2,1） 16.
三．解答题
17.计算：
解：原式= 4+3+1-1 4分
=7 5分
20. 先化简，再求值：,其中
解：原式=
= 3分
当时，原式= 4分
= 5分
C
A
B
D
E
F

21. 证明：（1）∵AD平分∠BAC
∴∠CAE＝∠BAE
∵AC=AB
AE=AE
∴△ACE≌△ABE 3分
（2） ∵△ACE≌△ABE
∴∠CAE＝∠BAE=38°
∵AC=AE
∴∠ACE=∠AEC=71°
∵AB∥CD
∴∠BAC+∠DCA=180°
∴∠DCA=104°
∴∠DCE=33° 6分

22. （1） 2分
（2）ABE的面积=32 4分
（3）或 6分


23. 解：（1)100名 2分
（2）略 3分
（3）200名 5分
（4）P(一男一女）= 7分

22.（1） 解：设A型每双x元，B型每双2x元，则

x=230 2分
2x=460（元） 3分
答：A型每双230元，B型每双460元.
（2）设购买A型m双 ，则购买B型 （50-m）双，

4分

= 6分
因为70＞0，m只能取整数，所以当m取最大值33时，即购买A型33双，购买B型17双，w取最大值7310元。 7分

23.证明：（1）∵AB为⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠F＋∠CAF=90°
∵AE=AF
∴∠F=∠AEF
∵∠AEF=∠B＋∠DAB
∵AC=CD
∴弧AC=弧CD
∴∠B=∠CAD
∴∠AEF=∠CAD+∠DAB
∴∠CAD+∠DAB+∠CAF=90°
∴∠FAB=90°
∴AF是⊙O的切线。 4分
（3） ∵∠FAB=∠ACB=90°
∠B公用
∴△ABC∽△FBA 5分
∴BC：AB=AB：BF
∵
∴设AC=3x，AB=5x，
在Rt△ABC中BC=4x
∵AF=AE，∠ACB=90°,EF=12
∴FC=CE=6
∴ 7分

∴
∴半径= 8分




M
24.解：过点B作BM⊥AD于M
∵AB=13米，坡度
∴BM=5米
FD=BM=5米 2分
设EF=x米，
∵，∠CFE=90°
∴CF=
∵，∠CFE=90°
∴BF=CF
∴
米 6分
∴CF=（）米
∴CD=CF+FD=（）米 8分
答:CD的高度是（）米。

H
25. 解：（1） 3分
（2）∵OB=2OA
∴CO将△ABC的面积分成2:1两部分，此时，点P与点C
重合，不符合题意；
如图1，当BH=AB=2时，CH将△ABC的面积分成2：1
的两部分，即点H的坐标为（2,0)
则CH和抛物线的交点即为P点。
由C（0,4）H（2,0）得
E
M
F
联立解得 （舍)
因此点P的坐标为（6，-8） 6分
（3）如图2，在OB上截取点E（2,0）则∠OCA=∠OCE
∵∠OCA=∠OCB -∠OMA，
∴∠OMA=∠ECB
过点E作EF⊥BC于点F
由OB=OC知∠OBC=45°
在△BCE中，EF=BF=BE×sin∠OBC=BE=
∵BC=
∴CF=BC-BF=
∵tan∠EDB=
∴tan∠OMA=
∴OM=6 8分
当点M沿y轴正方向移动时，MC=OM-OC=2，即t=2
当点M沿y轴负方向移动时，MC=OC+OM=10，即t=10
10分

N
M


证明：①∵在矩形ABCD中，
∠BAD=∠ABC=90°，AD∥BC，AD=BC
∵AF平分∠BAD
∴∠BAF=∠DAF=45°
∴∠BFA=∠DAF=45°
∴AB=BF
∵BE=FC
∴AB+BE=BF+FC
∴AE=BC=AD
∵AF公用
∴△AEG≌△ADG
∴GE=GD 4分
②连接CG,过点G作GM⊥CD于M 5分
∵在矩形ABCD中，∠ADC=∠BCD=90°
∴GM∥AD
∵G为AF的中点
∴DM=CM
∴GC=GD
∴∠GDC=∠GCD

∴∠ADG=∠BCG
∵△AEG≌△ADG 6分
∴∠ADG=∠E
∴∠E=∠BCG
∵∠BOE=∠GOC
∴△BOE∽△GOC
∴
∵GC=GD，BE=FC
∴
∴ 7分

（2） 过点D作DN⊥BC于点N连接GN
由 ②可知GD=GN
∴∠GND=∠GDN
∴∠DNB-∠GND=∠ADN-∠GDN
∴∠GNB=∠GDA
由①可知△AEG≌△ADG
∴∠ADG=∠E
∴∠E=∠BNG
∵∠BOE=∠GON
∴△BOE∽△GON
∴
∵BE=CF，GN=GD
∴
∴ 10分