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四川省成都市2022-2023学年高二下学期期末文科数学试卷
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这是一份四川省成都市2022-2023学年高二下学期期末文科数学试卷，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1} D．{1，2}
2．（5分）命题“∃m∈N，∈N”的否定是（ ）
A．∀m∉N，∈N B．∀m∈N，∉N
C．∃m∈N，∉N D．∃m∉N，∈N
3．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是（ ）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x
4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出S的值为4，则输入的x的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．16
5．（5分）若实数x，y满足，则3x+2y的最大值为（ ）
A．0 B．6 C．7 D．9
6．（5分）全国文明典范城市是以全国文明城市为基础的文明城市范例，是城市治理“桂冠上的明珠”．为争创全国文明典范城市，某城市特邀请甲、乙两组评委分别从公共服务、文化，建设社会治理等10个不同维度对城市建设进行评分，每个维度满分为10分．现将两组评委的评分制成如下的茎叶图，其中茎叶图中茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲组评分的平均数小于乙组评分的平均数
B．甲、乙两组评分的中位数不相同
C．甲组评分的极差大于乙组评分的极差
D．甲组评分的众数小于乙组评分的众数
7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．C，G，A1，F四点共面
B．直线EF∥平面BDD1B1
C．平面HCG∥平面BDD1B1
D．直线EF和HG所成角的正切值为
8．（5分）函数f（x）＝ex﹣2023|x﹣2|的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（5分）已知直线l：mx+y﹣m＝0（m∈R）和圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0，则“m＝0”是“直线l与圆C相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（5分）七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具．据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名．明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅．其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余．近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形）．现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）记函数f（x）的导函数为f′（x）．若f（x）为奇函数，且当时恒有f（x）cosx+f′（x）sinx＞0成立，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（5分）如图①，已知四边形ABCD所有边长均为2，对角线．现以BD为折痕将四边形ABCD折起为四面体A′﹣BCD，使得A′D⊥BC，如图②．则四面体A′﹣BCD的外接球的表面积为（ ）
A． B． C．6π D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13．（5分）已知复数z＝（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|＝ ．
14．（5分）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日—8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目，共18个大项，269个小项．小张、小王、小李三位大学生在谈论自己是否会武术、赛艇、射击3个自选项目时，小张说：我和小王都不会赛艇；小王说：我会的自选项目比小张多一个；小李说：三个自选项目中我们都会的项目只有一项，但我不会射击．假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是 （填写具体项目名称）．
15．（5分）已知P为抛物线y2＝4x上的动点，F为抛物线的焦点，点Q（3，），则△PQF周长的最小值为 ．
16．（5分）一条直线与函数y＝lnx和y＝ex的图象分别相切于点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），则的值为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）记函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（x）＝x3+ax+10，f′（2）＝0．
（1）求实数a的值；
（2）求f（x）在[﹣3，4]的值域．
18．（12分）某种产品的价格x（单位：万元/吨）与需求量y（单位：吨）之间的对应数据如表所示．
x
12
11
10
9
8
y
5
6
8
10
11
（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）请预测当该产品定价为6万元时需求量能否超过15吨？并说明理由．
参考公式：，．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝AC＝4，AA1＝2，D，E分别为棱AB，AC上的动点，F为BC中点，且BD＝AE．
（Ⅰ）求三棱锥A﹣A1DE体积的最大值；
（Ⅱ）当三棱锥A﹣A1DE的体积最大时，求证：B1D⊥平面A1DF．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到其左、右焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足，求四边形AOBN面积的最小值及此时λ的值．
21．（12分）已知函数，其中a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，若f（x）＞﹣2恒成立，求整数a的最大值．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝5．设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点．
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知点P（2，3），求的值．
2022-2023学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1} D．{1，2}
【分析】先求出集合A，再求两集合的交集即可．
【解答】解：由x2﹣x﹣2＜0，得（x+1）（x﹣2）＜0，解得﹣1＜x＜2，
所以A＝{x|﹣1＜x＜2}，
因为B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，所以A⋂B＝{0，1}．
故选：C．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）命题“∃m∈N，∈N”的否定是（ ）
A．∀m∉N，∈N B．∀m∈N，∉N
C．∃m∈N，∉N D．∃m∉N，∈N
【分析】直接利用含有一个量词的命题的否定求解即可．
【解答】解：命题“∃m∈N，∈N”的否定是“∀m∈N，∉N”．
故选：B．
【点评】本题考查了命题的否定，涉及了含有一个量词的命题的否定，要掌握含有一个量词的命题的否定方法：改变量词，然后再否定结论．
3．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是（ ）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x
【分析】求出双曲线﹣y2＝1的a，b，由双曲线﹣＝1的渐近线方程为y＝x，即可得到．
【解答】解：双曲线﹣y2＝1的a＝，b＝1，
由双曲线﹣＝1的渐近线方程为y＝x，
则所求渐近线方程为y＝±x．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出S的值为4，则输入的x的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．16
【分析】根据程序框图，分类讨论求解．
【解答】解：若2x＝4，则x＝2，此时不满足x≤0，不符合要求，故舍去，
若log2x＝4⇒x＝16，此时不满足x≤0，符合要求，故x＝16．
故选：D．
【点评】本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．
5．（5分）若实数x，y满足，则3x+2y的最大值为（ ）
A．0 B．6 C．7 D．9
【分析】先作可行域，再作直线l0：3x+2y＝0，平移直线l0确定最优解，然后可得．
【解答】解：根据题意作可行域如图，
作直线l0：3x+2y＝0，由图可知，平移直线l0到l位置，即过点B时，z取得最大值．
解方程组得B（3，0），
代入z＝3x+2y＝9．
故选：D．
【点评】本题主要考查简单线性规划，考查转化能力，属于基础题．
6．（5分）全国文明典范城市是以全国文明城市为基础的文明城市范例，是城市治理“桂冠上的明珠”．为争创全国文明典范城市，某城市特邀请甲、乙两组评委分别从公共服务、文化，建设社会治理等10个不同维度对城市建设进行评分，每个维度满分为10分．现将两组评委的评分制成如下的茎叶图，其中茎叶图中茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲组评分的平均数小于乙组评分的平均数
B．甲、乙两组评分的中位数不相同
C．甲组评分的极差大于乙组评分的极差
D．甲组评分的众数小于乙组评分的众数
【分析】根据茎叶图先写出甲乙两组数据，然后分别计算这两组数据的中位数，众数，极差，平均数．
【解答】解：甲的数据为7.5，7.6，7.8，7.9，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.6，乙组数据为7.5，7.6，7.8，7.8，8.0，8.1，8.2，8.3，8.5，9.8．
A选项，甲的平均数为：，乙的平均数为：，
甲的平均数小，A选项正确；
B选项，甲的中位数为：，乙的中位数为：，甲乙中位数一样，B选项错误；
C选项，甲的极差为1.1，乙的极差为2.3，甲的极差更小，C选项错误；
D选项，甲的众数为8.3，乙的众数为7.8，甲的众数更大，D选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，考查转化能力，属于中档题．
7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．C，G，A1，F四点共面
B．直线EF∥平面BDD1B1
C．平面HCG∥平面BDD1B1
D．直线EF和HG所成角的正切值为
【分析】根据线线平行即可判断A，根据面面平行得线面平行即可判断B，根据面面平行的性质即可得矛盾判断C，根据异面直线的几何法找到其角，即可由三角形边角关系求解D．
【解答】解：取BC中点M，连接B1M，FM，
由于F是AD的中点，在正方体中可知A1F∥B1M，
又B1G＝CM，B1G∥CM，所以四边形B1GCM为平行四边形，故B1M∥CG，
因此CG∥A1F，故C，G，A1，F四点共面，故A正确，
取AB中点N，连接FN，EN，
由于N，E，F均为中点，所以FN∥BD，EN∥BB1，
又因为FN⊄平面DBB1D1，BD平面DBB1D1，所以FN∥平面DBB1D1，
同理EN∥平面DBB1D1，EN∩FN＝N，EN，FN⊂平面EFN，
所以平面EFN∥平面DBB1D1，EF⊂平面EFN，故直线EF∥平面BDD1B1，B正确，
假设平面HCG∥平面BDD1B1，则平面HCG∩平面BCC1B1＝GC，平面BDD1B1⋂平面BCC1B1＝BB1，根据面面平行的性质可得平面BB1∥GC，显然这与BB1与GC相交矛盾，故C错误，
由于GH∥B1D1，BD∥B1D1，FN∥BD，所以GH∥FN，
故∠EFN为直线EF和HG所成角或其补角，
不妨设正方体的棱长为a，则，
由于EN⊥底面ABCD，FN⊂平面ABCD，所以EN⊥FN，
故，
直线EF和HG所成角的正切值为，D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线面平行和面面平行的判定，考查了求异面直线所成的角，属于中档题．
8．（5分）函数f（x）＝ex﹣2023|x﹣2|的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先对函数化简得，然后分x≥2和x＜2两种情况，利用导数和零点存在性定理讨论函数的零点即可．
【解答】解：，
①当x≥2时，f（x）＝ex﹣2023x+4046，则f′（x）＝ex﹣2023，
由f′（x）＞0，得x＞ln2023，由f′（x）＜0，得2≤x＜ln2023，
所以f（x）在[2，ln2023）上递减，在（ln2023，+∞）上递增，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值为f（ln2023）＝eln2023﹣2023ln2023+4046＝2023（3﹣ln2023）＜0，
因为f（2）＝e2﹣2023×2+4046＝e2＞0，
，
所以f（x）在[2，ln2023）和（ln2023，+∞）上各有一个零点，
②当x＜2时，f（x）＝ex+2023x﹣4046，则f′（x）＝ex+2023＞0，
所以f（x）在（﹣∞，2）上递增，
因为f（2）＝e2﹣2023×2+4046＝e2＞0，f（0）＝e0﹣4046＝﹣4045＜0，
所以f（x）在（﹣∞，2）上有一个零点，
综上，f（x）共有3个零点．
故选：D．
【点评】此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的应用，考查零点存在性定理的应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后结合零点存在性定理确定函数的零点，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题．
9．（5分）已知直线l：mx+y﹣m＝0（m∈R）和圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0，则“m＝0”是“直线l与圆C相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0的方程可化为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，
其圆心坐标为（1，﹣2），半径为r＝2，
当m＝0时，直线l：y＝0，圆心到直线的距离d＝2＝r，此时直线l与圆C相切，故充分性成立；
当直线l与圆C相切时，圆心到直线的距离，所以m＝0，故必要性成立，
所以“m＝0”是“直线l与圆C相切”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
10．（5分）七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具．据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名．明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅．其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余．近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形）．现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】数形结合，通过对图形的各点标记，以及各块几何图的性质，进行边长运算即可得出结论．
【解答】解：如图，
△ABC为等腰直角三角形，连接AD，EF，
由题可知，D，E，F，H，I 分别为BC，AB，AC，EF，FD的中点，
设BC＝8，则AD＝BD＝4，AH＝2，，GH＝1，
则，
阴影部分②的面积为，
阴影部分⑦的面积为AH×GH＝2×1＝2
则从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概型的应用，属于中档题．
11．（5分）记函数f（x）的导函数为f′（x）．若f（x）为奇函数，且当时恒有f（x）cosx+f′（x）sinx＞0成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【分析】令F（x）＝f（x）sinx，求导F（x）的单调性，由奇偶性的定义，逐项分析，即可得出答案．
【解答】解：令F（x）＝f（x）sinx，
所以F′（x）＝f（x）cosx+f′（x）sinx，
因为在（﹣，0）上，恒有f（x）cosx+f′（x）sinx＞0成立，
所以任意x∈（﹣，0），F′（x）＞0恒成立，
所以F（x）在（﹣，0）上单调递增，
因为f（x）为奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
所以F（﹣x）＝f（﹣x）sin（﹣x）＝﹣f（x）•（﹣sinx）＝f（x）sinx＝F（x），
所以F（x）为偶函数，
所以F（x）在（0，）上单调递减
对于A：因为﹣＞﹣＞﹣＞0，
所以F（﹣）＞F（﹣），
所以f（﹣）sin（﹣）＞f（﹣）sin（﹣），
所以﹣f（﹣）＞﹣f（﹣），
所以f（﹣）＜f（﹣），故A错误；
对于B：因为F（x）为偶函数，
所以F（）＝F（﹣），
因为﹣＞﹣＞﹣＞0，
所以F（﹣）＞F（﹣），
所以f（﹣）sin（﹣）＞f（﹣）sin（﹣），
所以﹣f（﹣）＞﹣f（﹣），
所以f（﹣）＜f（﹣），
所以﹣f（）＜f（﹣），
所以f（）＞﹣f（﹣），故B正确；
对于C：因为0＜＜＜，
所以F（）＞F（），
所以f（）sin（）＞f（）sin（），
所以f（）＞f（），
所以f（）＞f（），故C错误；
对于D：由C知f（）＞f（），
所以﹣f（﹣）＞f（），
所以f（﹣）＜﹣f（），故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题关键是分析函数的单调性，属于中档题．
12．（5分）如图①，已知四边形ABCD所有边长均为2，对角线．现以BD为折痕将四边形ABCD折起为四面体A′﹣BCD，使得A′D⊥BC，如图②．则四面体A′﹣BCD的外接球的表面积为（ ）
A． B． C．6π D．
【分析】根据边长可判断为四边形ABCD为菱形，进而根据线线垂直得线面垂直，可证得四面体A′﹣BCD为棱长为2的正四面体，将其放入正方体中，借助正方体的外接球即可求解．
【解答】解：由题意可知，由余弦定理可得，
所以∠ABC＝120°，故四边形ABCD为∠BCD＝60°的菱形，
取BC中点为O，连接OD，OA′，
由于三角形BCD为等边三角形，所以BC⊥OD，
又A′D⊥BC，A′D∩OD＝D，A′D，OD⊂平面A′OD，
所以BC⊥平面A′OD，A′O⊂平面A′OD，所以BC⊥A′O，
由于O为BC中点，所以A′B＝A′C＝2，故三角形A′BC为边长为2的等边三角形，
故A′B＝A′C＝A′D＝BD＝BC＝CD＝2，故四面体A′﹣BCD为棱长为2的正四面体，
不妨将其放入正方体中，则正方体的棱长为，其正方体的外接球即为四面体的外接球，
则正方体的体对角线长为其外接球的一条直径，故，
故外接球的表面积为4πR2＝6π．
故选：C．
【点评】本题主要考查球的表面积的求解，考查转化能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13．（5分）已知复数z＝（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|＝ ．
【分析】利用复数模的计算公式即可求得复数z的模．
【解答】解：z＝（1﹣i）i＝1+i，
∴|z|＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查复数求模，属于基础题．
14．（5分）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日—8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目，共18个大项，269个小项．小张、小王、小李三位大学生在谈论自己是否会武术、赛艇、射击3个自选项目时，小张说：我和小王都不会赛艇；小王说：我会的自选项目比小张多一个；小李说：三个自选项目中我们都会的项目只有一项，但我不会射击．假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是 武术 （填写具体项目名称）．
【分析】根据题意，结合三人都说的是真话，利用表格的形式，即可求解．
【解答】解：由题意，如图下表所示：
武术
赛艇
射击
小张
会
不会
小王
会
不会
会
小李
会
不会
若他们三人都说的是真话，可得小张会武术，小王会武术和射击，小李会武术．
故答案为：武术．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，属于基础题．
15．（5分）已知P为抛物线y2＝4x上的动点，F为抛物线的焦点，点Q（3，），则△PQF周长的最小值为 7 ．
【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|进而把问题转化为求|PQ|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，Q三点共线时|PQ|+|PD|最小，答案可得．
【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
∴要求三角形周长的最小值，就是求解|PQ|+|PF|取得最小值，即求|PQ|+|PD|取得最小值．
当D，P，Q三点共线时|PQ|+|PD|最小，点Q（3，），|PQ|+|PF|的最小值为3﹣（﹣1）＝4．
|QF|＝＝3，
则△PQF周长的最小值为：7．
故答案为：7．
【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，Q三点共线时|PQ|+|PD|最小，是解题的关键．
16．（5分）一条直线与函数y＝lnx和y＝ex的图象分别相切于点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），则的值为 ﹣1 ．
【分析】分别求得函数y＝lnx和y＝ex在点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）处的切线方程，再由切线相同求解．
【解答】解：因为f（x）＝lnx，g（x）＝ex，所以，
则y＝lnx在点P（x1，y1）处的切线方程为：，即；
y＝ex在点Q（x2，y2）处的切线方程为：，即，
因为一条直线与函数y＝lnx和y＝ex的图象分别相切于点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），
所以，则 ，解得，
所以．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，考查转化能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）记函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（x）＝x3+ax+10，f′（2）＝0．
（1）求实数a的值；
（2）求f（x）在[﹣3，4]的值域．
【分析】（1）求得f′（x）＝3x2+a，根据f′（2）＝0，列出方程，即可求解；
（2）由（1）得f′（x）＝3（x+2）（x﹣2），求得f（x）的单调区间和最值，即可求得函数f（x）的值域．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝x3+ax+10，可得f′（x）＝3x2+a，
因为f′（2）＝0，可得3×22+a＝0，解得a＝﹣12；
（2）由（1）得f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2），
令f′（x）＞0，解得x＜﹣2或x＞2；令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜2，
所以函数f（x）在[﹣3，﹣2]，[2，4]单调递增；在[﹣2，2]单调递减，
又由f（﹣3）＝19，f（﹣2）＝26，f（2）＝﹣6，f（﹣3）＝19，f（﹣2）＝26，f（2）＝﹣6，f（4）＝26，
所以f（x）min＝f（2）＝﹣6，f（x）max＝f（﹣2）＝f（4）＝26，
所以函数f（x）在[﹣3，4]的值域为[﹣6，26]．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
18．（12分）某种产品的价格x（单位：万元/吨）与需求量y（单位：吨）之间的对应数据如表所示．
x
12
11
10
9
8
y
5
6
8
10
11
（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）请预测当该产品定价为6万元时需求量能否超过15吨？并说明理由．
参考公式：，．
【分析】（1）根据所给的数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式中，求得结果，再把样本中心点代入公式，求出a的值，即可得到线性回归方程；
（2）根据（1）所求的线性回归方程，把x＝6代入线性回归方程，即可解．
【解答】解：（1）由题意得，；
因为，
，
所以，，
所以y关于x的线性回归方程为；
（2）当x＝6时，；
所以当该产品定价为6万元时需求量不超过15吨．
【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于中档题．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝AC＝4，AA1＝2，D，E分别为棱AB，AC上的动点，F为BC中点，且BD＝AE．
（Ⅰ）求三棱锥A﹣A1DE体积的最大值；
（Ⅱ）当三棱锥A﹣A1DE的体积最大时，求证：B1D⊥平面A1DF．
【分析】（Ⅰ）设BD＝AE＝t，t∈（0，4），由此写出三棱锥A﹣A1DE的体积，利用函数的性质求出体积的最大值；
（Ⅱ）求出三棱锥A﹣A1DE的体积最大时AD＝AE＝2，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，利用向量证明B1D⊥DF，B1D⊥DA1，即可证明B1D⊥平面A1DF．
【解答】（Ⅰ）解：设BD＝AE＝t，t∈（0，4），则AD＝4﹣t，
所以三棱锥A﹣A1DE的体积为V＝S△ADE•A1A＝×（4﹣t）t×2＝t（4﹣t），
当t＝2时三棱锥A﹣A1DE的体积取得最大值为×2×2＝；
（Ⅱ）证明：当三棱锥A﹣A1DE的体积最大时，AD＝AE＝2，
分别以AB、AC和AA1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则B1（4，0，2），D（2，0，0），F（2，2，0），A1（0，0，2），
所以＝（﹣2，0，﹣2），＝（0，2，0），＝（﹣2，0，2），
计算•＝0，•＝0，所以⊥，⊥，
即B1D⊥DF，B1D⊥DA1，且DF∩DA1＝D，DF⊂平面A1DF，DA1⊂平面A1DF，
所以B1D⊥平面A1DF．
【点评】本题考查了三棱锥体积计算问题，也考查了线面垂直的证明问题，是中档题．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到其左、右焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足，求四边形AOBN面积的最小值及此时λ的值．
【分析】（1）利用椭圆离心率公式与定义求得a，b，c，从而得解；
（2）联立直线l与椭圆方程得到y1+y2，y1y2，从而求得S△AOB关于m的表达式，再利用得到SAOBN＝λS△AOB，从而得解．
【解答】解：（1）∵椭圆E的离心率为，且椭圆E上的点到其左、右焦点距离之和为4，
∴且2a＝4，解得a＝2，c＝1，
∴a2＝4，b2＝a2﹣c2＝3，
∴椭圆E的标准方程为．
（2）由题意知F（﹣1，0），直线l的斜率为0时显然不成立，
设直线l的方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去x，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
Δ＝144（m2+1）＞0，则，，
∴，∴，
∵M为AB的中点，∴，
∵，∵，∴，
又点N在椭圆E上，则，解得3m2+4＝λ2，
∴，
∵，
∴四边形AOBN的面积，
∵λ2＝3m2+4≥4，
∴（当且仅当λ＝2时取等号），
∴当λ＝2时，四边形AOBN面积最小值为3．
【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于难题．
21．（12分）已知函数，其中a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，若f（x）＞﹣2恒成立，求整数a的最大值．
【分析】（1）求得函数f（x）的定义域为（0，+∞），求得，分别解不等式f′（x）＜0、f′（x）＞0可得出函数f（x）的单调递减区间和递增区间；
（2）分析可知不等式在x∈（1，+∞）时恒成立，利用导数求出函数在x∈（1，+∞）时的最小值，即可得出整数a的最大值．
【解答】解：（1）当a＝1时，函数的定义域为（0，+∞），
．
由f′（x）＞0解得x＞1；由f′（x）＜0解得0＜x＜1．
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．
（2）由题意当x＞1时，f（x）＞﹣2，即．
整理得．
令函数．
则．
令h（x）＝x﹣lnx﹣3（x＞1）．则．
当x＞1时，h′（x）＞0恒成立．
∴h（x）在（1，+∞）单调递增．
又h（4）＝1﹣ln4＜0，h（4）＝1﹣ln4＜0，h（5）＝2﹣ln5＞0，
∴∃x0∈（4，5），使得h（x0）＝0，即lnx0＝x0﹣3．
∴x∈（1，x0）时，h（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0．
∴g（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，
则．
由a＜g（x）恒成立，则a＜gmin（x）＝g（x0）＝x0∈（4，5）．
∴整数a的最大值为4．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝5．设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点．
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知点P（2，3），求的值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程消去参数t，得曲线C1的的普通方程为x2＝4y．
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
化简得曲线C2的直角坐标方程为x+y﹣5＝0．
（2）由题意得曲线C2的参数方程为（m为参数）．
将其代入x2＝4y，得．
．
设A，B两点对应的参数分别为m1，m2．
则，．
则m1，m2为一正一负，
∴．
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
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2022-2023学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1} D．{1，2}
2．（5分）命题“∃m∈N，∈N”的否定是（ ）
A．∀m∉N，∈N B．∀m∈N，∉N
C．∃m∈N，∉N D．∃m∉N，∈N
3．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是（ ）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x
4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出S的值为4，则输入的x的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．16
5．（5分）若实数x，y满足，则3x+2y的最大值为（ ）
A．0 B．6 C．7 D．9
6．（5分）全国文明典范城市是以全国文明城市为基础的文明城市范例，是城市治理“桂冠上的明珠”．为争创全国文明典范城市，某城市特邀请甲、乙两组评委分别从公共服务、文化，建设社会治理等10个不同维度对城市建设进行评分，每个维度满分为10分．现将两组评委的评分制成如下的茎叶图，其中茎叶图中茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲组评分的平均数小于乙组评分的平均数
B．甲、乙两组评分的中位数不相同
C．甲组评分的极差大于乙组评分的极差
D．甲组评分的众数小于乙组评分的众数
7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．C，G，A1，F四点共面
B．直线EF∥平面BDD1B1
C．平面HCG∥平面BDD1B1
D．直线EF和HG所成角的正切值为
8．（5分）函数f（x）＝ex﹣2023|x﹣2|的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（5分）已知直线l：mx+y﹣m＝0（m∈R）和圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0，则“m＝0”是“直线l与圆C相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
10．（5分）七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具．据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名．明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅．其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余．近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形）．现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）记函数f（x）的导函数为f′（x）．若f（x）为奇函数，且当时恒有f（x）cosx+f′（x）sinx＞0成立，则（ ）
A． B．
C． D．
12．（5分）如图①，已知四边形ABCD所有边长均为2，对角线．现以BD为折痕将四边形ABCD折起为四面体A′﹣BCD，使得A′D⊥BC，如图②．则四面体A′﹣BCD的外接球的表面积为（ ）
A． B． C．6π D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13．（5分）已知复数z＝（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|＝ ．
14．（5分）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日—8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目，共18个大项，269个小项．小张、小王、小李三位大学生在谈论自己是否会武术、赛艇、射击3个自选项目时，小张说：我和小王都不会赛艇；小王说：我会的自选项目比小张多一个；小李说：三个自选项目中我们都会的项目只有一项，但我不会射击．假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是 （填写具体项目名称）．
15．（5分）已知P为抛物线y2＝4x上的动点，F为抛物线的焦点，点Q（3，），则△PQF周长的最小值为 ．
16．（5分）一条直线与函数y＝lnx和y＝ex的图象分别相切于点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），则的值为 ．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）记函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（x）＝x3+ax+10，f′（2）＝0．
（1）求实数a的值；
（2）求f（x）在[﹣3，4]的值域．
18．（12分）某种产品的价格x（单位：万元/吨）与需求量y（单位：吨）之间的对应数据如表所示．
x
12
11
10
9
8
y
5
6
8
10
11
（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）请预测当该产品定价为6万元时需求量能否超过15吨？并说明理由．
参考公式：，．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝AC＝4，AA1＝2，D，E分别为棱AB，AC上的动点，F为BC中点，且BD＝AE．
（Ⅰ）求三棱锥A﹣A1DE体积的最大值；
（Ⅱ）当三棱锥A﹣A1DE的体积最大时，求证：B1D⊥平面A1DF．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到其左、右焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足，求四边形AOBN面积的最小值及此时λ的值．
21．（12分）已知函数，其中a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，若f（x）＞﹣2恒成立，求整数a的最大值．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝5．设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点．
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知点P（2，3），求的值．
2022-2023学年四川省成都市高二（下）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）设集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣2，0，1} B．{﹣1，0，1，2} C．{0，1} D．{1，2}
【分析】先求出集合A，再求两集合的交集即可．
【解答】解：由x2﹣x﹣2＜0，得（x+1）（x﹣2）＜0，解得﹣1＜x＜2，
所以A＝{x|﹣1＜x＜2}，
因为B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}，所以A⋂B＝{0，1}．
故选：C．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2．（5分）命题“∃m∈N，∈N”的否定是（ ）
A．∀m∉N，∈N B．∀m∈N，∉N
C．∃m∈N，∉N D．∃m∉N，∈N
【分析】直接利用含有一个量词的命题的否定求解即可．
【解答】解：命题“∃m∈N，∈N”的否定是“∀m∈N，∉N”．
故选：B．
【点评】本题考查了命题的否定，涉及了含有一个量词的命题的否定，要掌握含有一个量词的命题的否定方法：改变量词，然后再否定结论．
3．（5分）双曲线＝1的渐近线方程是（ ）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±2x D．y＝±x
【分析】求出双曲线﹣y2＝1的a，b，由双曲线﹣＝1的渐近线方程为y＝x，即可得到．
【解答】解：双曲线﹣y2＝1的a＝，b＝1，
由双曲线﹣＝1的渐近线方程为y＝x，
则所求渐近线方程为y＝±x．
故选：B．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查运算能力，属于基础题．
4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出S的值为4，则输入的x的值为（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．16
【分析】根据程序框图，分类讨论求解．
【解答】解：若2x＝4，则x＝2，此时不满足x≤0，不符合要求，故舍去，
若log2x＝4⇒x＝16，此时不满足x≤0，符合要求，故x＝16．
故选：D．
【点评】本题主要考查程序框图的应用，属于基础题．
5．（5分）若实数x，y满足，则3x+2y的最大值为（ ）
A．0 B．6 C．7 D．9
【分析】先作可行域，再作直线l0：3x+2y＝0，平移直线l0确定最优解，然后可得．
【解答】解：根据题意作可行域如图，
作直线l0：3x+2y＝0，由图可知，平移直线l0到l位置，即过点B时，z取得最大值．
解方程组得B（3，0），
代入z＝3x+2y＝9．
故选：D．
【点评】本题主要考查简单线性规划，考查转化能力，属于基础题．
6．（5分）全国文明典范城市是以全国文明城市为基础的文明城市范例，是城市治理“桂冠上的明珠”．为争创全国文明典范城市，某城市特邀请甲、乙两组评委分别从公共服务、文化，建设社会治理等10个不同维度对城市建设进行评分，每个维度满分为10分．现将两组评委的评分制成如下的茎叶图，其中茎叶图中茎部分是得分的个位数，叶部分是得分的小数，则下列结论中正确的是（ ）
A．甲组评分的平均数小于乙组评分的平均数
B．甲、乙两组评分的中位数不相同
C．甲组评分的极差大于乙组评分的极差
D．甲组评分的众数小于乙组评分的众数
【分析】根据茎叶图先写出甲乙两组数据，然后分别计算这两组数据的中位数，众数，极差，平均数．
【解答】解：甲的数据为7.5，7.6，7.8，7.9，8.0，8.1，8.3，8.3，8.5，8.6，乙组数据为7.5，7.6，7.8，7.8，8.0，8.1，8.2，8.3，8.5，9.8．
A选项，甲的平均数为：，乙的平均数为：，
甲的平均数小，A选项正确；
B选项，甲的中位数为：，乙的中位数为：，甲乙中位数一样，B选项错误；
C选项，甲的极差为1.1，乙的极差为2.3，甲的极差更小，C选项错误；
D选项，甲的众数为8.3，乙的众数为7.8，甲的众数更大，D选项错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，考查转化能力，属于中档题．
7．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知E，F，G，H分别是A1B1，AD，B1C1，C1D1的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A．C，G，A1，F四点共面
B．直线EF∥平面BDD1B1
C．平面HCG∥平面BDD1B1
D．直线EF和HG所成角的正切值为
【分析】根据线线平行即可判断A，根据面面平行得线面平行即可判断B，根据面面平行的性质即可得矛盾判断C，根据异面直线的几何法找到其角，即可由三角形边角关系求解D．
【解答】解：取BC中点M，连接B1M，FM，
由于F是AD的中点，在正方体中可知A1F∥B1M，
又B1G＝CM，B1G∥CM，所以四边形B1GCM为平行四边形，故B1M∥CG，
因此CG∥A1F，故C，G，A1，F四点共面，故A正确，
取AB中点N，连接FN，EN，
由于N，E，F均为中点，所以FN∥BD，EN∥BB1，
又因为FN⊄平面DBB1D1，BD平面DBB1D1，所以FN∥平面DBB1D1，
同理EN∥平面DBB1D1，EN∩FN＝N，EN，FN⊂平面EFN，
所以平面EFN∥平面DBB1D1，EF⊂平面EFN，故直线EF∥平面BDD1B1，B正确，
假设平面HCG∥平面BDD1B1，则平面HCG∩平面BCC1B1＝GC，平面BDD1B1⋂平面BCC1B1＝BB1，根据面面平行的性质可得平面BB1∥GC，显然这与BB1与GC相交矛盾，故C错误，
由于GH∥B1D1，BD∥B1D1，FN∥BD，所以GH∥FN，
故∠EFN为直线EF和HG所成角或其补角，
不妨设正方体的棱长为a，则，
由于EN⊥底面ABCD，FN⊂平面ABCD，所以EN⊥FN，
故，
直线EF和HG所成角的正切值为，D正确．
故选：C．
【点评】本题主要考查了线面平行和面面平行的判定，考查了求异面直线所成的角，属于中档题．
8．（5分）函数f（x）＝ex﹣2023|x﹣2|的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】先对函数化简得，然后分x≥2和x＜2两种情况，利用导数和零点存在性定理讨论函数的零点即可．
【解答】解：，
①当x≥2时，f（x）＝ex﹣2023x+4046，则f′（x）＝ex﹣2023，
由f′（x）＞0，得x＞ln2023，由f′（x）＜0，得2≤x＜ln2023，
所以f（x）在[2，ln2023）上递减，在（ln2023，+∞）上递增，
所以f（x）在[2，+∞）上的最小值为f（ln2023）＝eln2023﹣2023ln2023+4046＝2023（3﹣ln2023）＜0，
因为f（2）＝e2﹣2023×2+4046＝e2＞0，
，
所以f（x）在[2，ln2023）和（ln2023，+∞）上各有一个零点，
②当x＜2时，f（x）＝ex+2023x﹣4046，则f′（x）＝ex+2023＞0，
所以f（x）在（﹣∞，2）上递增，
因为f（2）＝e2﹣2023×2+4046＝e2＞0，f（0）＝e0﹣4046＝﹣4045＜0，
所以f（x）在（﹣∞，2）上有一个零点，
综上，f（x）共有3个零点．
故选：D．
【点评】此题考查函数与方程的综合问题，考查导数的应用，考查零点存在性定理的应用，解题的关键是利用导数求出函数的单调区间，然后结合零点存在性定理确定函数的零点，考查数学转化思想和计算能力，属于中档题．
9．（5分）已知直线l：mx+y﹣m＝0（m∈R）和圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0，则“m＝0”是“直线l与圆C相切”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】根据充分条件和必要条件的判断方法，结合直线与圆的位置关系即可求解．
【解答】解：圆C：x2+y2﹣2x+4y+1＝0的方程可化为（x﹣1）2+（y+2）2＝4，
其圆心坐标为（1，﹣2），半径为r＝2，
当m＝0时，直线l：y＝0，圆心到直线的距离d＝2＝r，此时直线l与圆C相切，故充分性成立；
当直线l与圆C相切时，圆心到直线的距离，所以m＝0，故必要性成立，
所以“m＝0”是“直线l与圆C相切”的充要条件．
故选：C．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
10．（5分）七巧板又称七巧图，智慧板，是一种古老的中国传统智力玩具．据清代陆以湉《冷庐杂识》说：“宋黄伯思宴几图，以方几七，长段相参，衍为二十五体，变为六十八名．明严澈蝶几图，则又变通其制，以勾股之形，作三角相错形，如蝶翅．其式三，其制六，其数十有三，其变化之式，凡一百有余．近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余．体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．”如图是一个用七巧板拼成的三角形（其中①②为两块全等的小型等腰直角三角形；③为一块中型等腰直角三角形；④⑤为两块全等的大型等腰直角三角形；⑥为一块正方形；⑦为一块平行四边形）．现从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】数形结合，通过对图形的各点标记，以及各块几何图的性质，进行边长运算即可得出结论．
【解答】解：如图，
△ABC为等腰直角三角形，连接AD，EF，
由题可知，D，E，F，H，I 分别为BC，AB，AC，EF，FD的中点，
设BC＝8，则AD＝BD＝4，AH＝2，，GH＝1，
则，
阴影部分②的面积为，
阴影部分⑦的面积为AH×GH＝2×1＝2
则从该三角形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为．
故选：B．
【点评】本题主要考查几何概型的应用，属于中档题．
11．（5分）记函数f（x）的导函数为f′（x）．若f（x）为奇函数，且当时恒有f（x）cosx+f′（x）sinx＞0成立，则（ ）
A． B．
C． D．
【分析】令F（x）＝f（x）sinx，求导F（x）的单调性，由奇偶性的定义，逐项分析，即可得出答案．
【解答】解：令F（x）＝f（x）sinx，
所以F′（x）＝f（x）cosx+f′（x）sinx，
因为在（﹣，0）上，恒有f（x）cosx+f′（x）sinx＞0成立，
所以任意x∈（﹣，0），F′（x）＞0恒成立，
所以F（x）在（﹣，0）上单调递增，
因为f（x）为奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x），
所以F（﹣x）＝f（﹣x）sin（﹣x）＝﹣f（x）•（﹣sinx）＝f（x）sinx＝F（x），
所以F（x）为偶函数，
所以F（x）在（0，）上单调递减
对于A：因为﹣＞﹣＞﹣＞0，
所以F（﹣）＞F（﹣），
所以f（﹣）sin（﹣）＞f（﹣）sin（﹣），
所以﹣f（﹣）＞﹣f（﹣），
所以f（﹣）＜f（﹣），故A错误；
对于B：因为F（x）为偶函数，
所以F（）＝F（﹣），
因为﹣＞﹣＞﹣＞0，
所以F（﹣）＞F（﹣），
所以f（﹣）sin（﹣）＞f（﹣）sin（﹣），
所以﹣f（﹣）＞﹣f（﹣），
所以f（﹣）＜f（﹣），
所以﹣f（）＜f（﹣），
所以f（）＞﹣f（﹣），故B正确；
对于C：因为0＜＜＜，
所以F（）＞F（），
所以f（）sin（）＞f（）sin（），
所以f（）＞f（），
所以f（）＞f（），故C错误；
对于D：由C知f（）＞f（），
所以﹣f（﹣）＞f（），
所以f（﹣）＜﹣f（），故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题关键是分析函数的单调性，属于中档题．
12．（5分）如图①，已知四边形ABCD所有边长均为2，对角线．现以BD为折痕将四边形ABCD折起为四面体A′﹣BCD，使得A′D⊥BC，如图②．则四面体A′﹣BCD的外接球的表面积为（ ）
A． B． C．6π D．
【分析】根据边长可判断为四边形ABCD为菱形，进而根据线线垂直得线面垂直，可证得四面体A′﹣BCD为棱长为2的正四面体，将其放入正方体中，借助正方体的外接球即可求解．
【解答】解：由题意可知，由余弦定理可得，
所以∠ABC＝120°，故四边形ABCD为∠BCD＝60°的菱形，
取BC中点为O，连接OD，OA′，
由于三角形BCD为等边三角形，所以BC⊥OD，
又A′D⊥BC，A′D∩OD＝D，A′D，OD⊂平面A′OD，
所以BC⊥平面A′OD，A′O⊂平面A′OD，所以BC⊥A′O，
由于O为BC中点，所以A′B＝A′C＝2，故三角形A′BC为边长为2的等边三角形，
故A′B＝A′C＝A′D＝BD＝BC＝CD＝2，故四面体A′﹣BCD为棱长为2的正四面体，
不妨将其放入正方体中，则正方体的棱长为，其正方体的外接球即为四面体的外接球，
则正方体的体对角线长为其外接球的一条直径，故，
故外接球的表面积为4πR2＝6π．
故选：C．
【点评】本题主要考查球的表面积的求解，考查转化能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.
13．（5分）已知复数z＝（1﹣i）i（i为虚数单位），则|z|＝ ．
【分析】利用复数模的计算公式即可求得复数z的模．
【解答】解：z＝（1﹣i）i＝1+i，
∴|z|＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查复数求模，属于基础题．
14．（5分）第31届世界大学生夏季运动会将于2023年7月28日—8月8日在成都举行，比赛项目包括15个必选项目和武术、赛艇、射击3个自选项目，共18个大项，269个小项．小张、小王、小李三位大学生在谈论自己是否会武术、赛艇、射击3个自选项目时，小张说：我和小王都不会赛艇；小王说：我会的自选项目比小张多一个；小李说：三个自选项目中我们都会的项目只有一项，但我不会射击．假如他们三人都说的是真话，则由此可判断小张会的自选项目是 武术 （填写具体项目名称）．
【分析】根据题意，结合三人都说的是真话，利用表格的形式，即可求解．
【解答】解：由题意，如图下表所示：
武术
赛艇
射击
小张
会
不会
小王
会
不会
会
小李
会
不会
若他们三人都说的是真话，可得小张会武术，小王会武术和射击，小李会武术．
故答案为：武术．
【点评】本题主要考查简单的合情推理，属于基础题．
15．（5分）已知P为抛物线y2＝4x上的动点，F为抛物线的焦点，点Q（3，），则△PQF周长的最小值为 7 ．
【分析】设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|进而把问题转化为求|PQ|+|PD|取得最小，进而可推断出当D，P，Q三点共线时|PQ|+|PD|最小，答案可得．
【解答】解：设点P在准线上的射影为D，则根据抛物线的定义可知|PF|＝|PD|，
∴要求三角形周长的最小值，就是求解|PQ|+|PF|取得最小值，即求|PQ|+|PD|取得最小值．
当D，P，Q三点共线时|PQ|+|PD|最小，点Q（3，），|PQ|+|PF|的最小值为3﹣（﹣1）＝4．
|QF|＝＝3，
则△PQF周长的最小值为：7．
故答案为：7．
【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，判断当D，P，Q三点共线时|PQ|+|PD|最小，是解题的关键．
16．（5分）一条直线与函数y＝lnx和y＝ex的图象分别相切于点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），则的值为 ﹣1 ．
【分析】分别求得函数y＝lnx和y＝ex在点P（x1，y1）和点Q（x2，y2）处的切线方程，再由切线相同求解．
【解答】解：因为f（x）＝lnx，g（x）＝ex，所以，
则y＝lnx在点P（x1，y1）处的切线方程为：，即；
y＝ex在点Q（x2，y2）处的切线方程为：，即，
因为一条直线与函数y＝lnx和y＝ex的图象分别相切于点P（x1，y1）和点Q（x2，y2），
所以，则 ，解得，
所以．
故答案为：﹣1．
【点评】本题主要考查利用导数研究曲线上某点切线的方程，考查转化能力，属于中档题．
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（12分）记函数f（x）的导函数为f′（x），已知f（x）＝x3+ax+10，f′（2）＝0．
（1）求实数a的值；
（2）求f（x）在[﹣3，4]的值域．
【分析】（1）求得f′（x）＝3x2+a，根据f′（2）＝0，列出方程，即可求解；
（2）由（1）得f′（x）＝3（x+2）（x﹣2），求得f（x）的单调区间和最值，即可求得函数f（x）的值域．
【解答】解：（1）由函数f（x）＝x3+ax+10，可得f′（x）＝3x2+a，
因为f′（2）＝0，可得3×22+a＝0，解得a＝﹣12；
（2）由（1）得f′（x）＝3x2﹣12＝3（x+2）（x﹣2），
令f′（x）＞0，解得x＜﹣2或x＞2；令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜2，
所以函数f（x）在[﹣3，﹣2]，[2，4]单调递增；在[﹣2，2]单调递减，
又由f（﹣3）＝19，f（﹣2）＝26，f（2）＝﹣6，f（﹣3）＝19，f（﹣2）＝26，f（2）＝﹣6，f（4）＝26，
所以f（x）min＝f（2）＝﹣6，f（x）max＝f（﹣2）＝f（4）＝26，
所以函数f（x）在[﹣3，4]的值域为[﹣6，26]．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．
18．（12分）某种产品的价格x（单位：万元/吨）与需求量y（单位：吨）之间的对应数据如表所示．
x
12
11
10
9
8
y
5
6
8
10
11
（1）已知可用线性回归模型拟合y与x的关系，求y关于x的线性回归方程；
（2）请预测当该产品定价为6万元时需求量能否超过15吨？并说明理由．
参考公式：，．
【分析】（1）根据所给的数据求出利用最小二乘法所需要的几个数据，代入求系数b的公式中，求得结果，再把样本中心点代入公式，求出a的值，即可得到线性回归方程；
（2）根据（1）所求的线性回归方程，把x＝6代入线性回归方程，即可解．
【解答】解：（1）由题意得，；
因为，
，
所以，，
所以y关于x的线性回归方程为；
（2）当x＝6时，；
所以当该产品定价为6万元时需求量不超过15吨．
【点评】本题主要考查线性回归方程的应用，属于中档题．
19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB⊥AC，AB＝AC＝4，AA1＝2，D，E分别为棱AB，AC上的动点，F为BC中点，且BD＝AE．
（Ⅰ）求三棱锥A﹣A1DE体积的最大值；
（Ⅱ）当三棱锥A﹣A1DE的体积最大时，求证：B1D⊥平面A1DF．
【分析】（Ⅰ）设BD＝AE＝t，t∈（0，4），由此写出三棱锥A﹣A1DE的体积，利用函数的性质求出体积的最大值；
（Ⅱ）求出三棱锥A﹣A1DE的体积最大时AD＝AE＝2，建立空间直角坐标系，利用坐标表示向量，利用向量证明B1D⊥DF，B1D⊥DA1，即可证明B1D⊥平面A1DF．
【解答】（Ⅰ）解：设BD＝AE＝t，t∈（0，4），则AD＝4﹣t，
所以三棱锥A﹣A1DE的体积为V＝S△ADE•A1A＝×（4﹣t）t×2＝t（4﹣t），
当t＝2时三棱锥A﹣A1DE的体积取得最大值为×2×2＝；
（Ⅱ）证明：当三棱锥A﹣A1DE的体积最大时，AD＝AE＝2，
分别以AB、AC和AA1为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则B1（4，0，2），D（2，0，0），F（2，2，0），A1（0，0，2），
所以＝（﹣2，0，﹣2），＝（0，2，0），＝（﹣2，0，2），
计算•＝0，•＝0，所以⊥，⊥，
即B1D⊥DF，B1D⊥DA1，且DF∩DA1＝D，DF⊂平面A1DF，DA1⊂平面A1DF，
所以B1D⊥平面A1DF．
【点评】本题考查了三棱锥体积计算问题，也考查了线面垂直的证明问题，是中档题．
20．（12分）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到其左、右焦点的距离之和为4．
（1）求椭圆E的方程；
（2）设过左焦点F的直线l与椭圆E相交于A，B两点，M为AB的中点，O为坐标原点，若椭圆E上存在点N满足，求四边形AOBN面积的最小值及此时λ的值．
【分析】（1）利用椭圆离心率公式与定义求得a，b，c，从而得解；
（2）联立直线l与椭圆方程得到y1+y2，y1y2，从而求得S△AOB关于m的表达式，再利用得到SAOBN＝λS△AOB，从而得解．
【解答】解：（1）∵椭圆E的离心率为，且椭圆E上的点到其左、右焦点距离之和为4，
∴且2a＝4，解得a＝2，c＝1，
∴a2＝4，b2＝a2﹣c2＝3，
∴椭圆E的标准方程为．
（2）由题意知F（﹣1，0），直线l的斜率为0时显然不成立，
设直线l的方程为x＝my﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由消去x，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，
Δ＝144（m2+1）＞0，则，，
∴，∴，
∵M为AB的中点，∴，
∵，∵，∴，
又点N在椭圆E上，则，解得3m2+4＝λ2，
∴，
∵，
∴四边形AOBN的面积，
∵λ2＝3m2+4≥4，
∴（当且仅当λ＝2时取等号），
∴当λ＝2时，四边形AOBN面积最小值为3．
【点评】本题主要考查直线与椭圆的综合，考查转化能力，属于难题．
21．（12分）已知函数，其中a∈R．
（1）当a＝1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，若f（x）＞﹣2恒成立，求整数a的最大值．
【分析】（1）求得函数f（x）的定义域为（0，+∞），求得，分别解不等式f′（x）＜0、f′（x）＞0可得出函数f（x）的单调递减区间和递增区间；
（2）分析可知不等式在x∈（1，+∞）时恒成立，利用导数求出函数在x∈（1，+∞）时的最小值，即可得出整数a的最大值．
【解答】解：（1）当a＝1时，函数的定义域为（0，+∞），
．
由f′（x）＞0解得x＞1；由f′（x）＜0解得0＜x＜1．
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞），单调递减区间为（0，1）．
（2）由题意当x＞1时，f（x）＞﹣2，即．
整理得．
令函数．
则．
令h（x）＝x﹣lnx﹣3（x＞1）．则．
当x＞1时，h′（x）＞0恒成立．
∴h（x）在（1，+∞）单调递增．
又h（4）＝1﹣ln4＜0，h（4）＝1﹣ln4＜0，h（5）＝2﹣ln5＞0，
∴∃x0∈（4，5），使得h（x0）＝0，即lnx0＝x0﹣3．
∴x∈（1，x0）时，h（x）＜0；x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0．
∴g（x）在（1，x0）单调递减，在（x0，+∞）单调递增，
则．
由a＜g（x）恒成立，则a＜gmin（x）＝g（x0）＝x0∈（4，5）．
∴整数a的最大值为4．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化能力，属于中档题．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθ+ρcosθ＝5．设曲线C1与曲线C2相交于A，B两点．
（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；
（2）已知点P（2，3），求的值．
【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．
（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．
【解答】解：（1）由曲线C1的参数方程消去参数t，得曲线C1的的普通方程为x2＝4y．
∵x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
化简得曲线C2的直角坐标方程为x+y﹣5＝0．
（2）由题意得曲线C2的参数方程为（m为参数）．
将其代入x2＝4y，得．
．
设A，B两点对应的参数分别为m1，m2．
则，．
则m1，m2为一正一负，
∴．
【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．
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