江苏省无锡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编

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江苏省无锡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
一．平方差公式（共1小题）
1．（2023•无锡）（1）计算：（﹣3）2﹣+|﹣4|；
（2）化简：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．
二．解一元二次方程-公式法（共1小题）
2．（2023•无锡）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；
（2）解不等式组：．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2023•无锡）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】

四．二次函数综合题（共2小题）
4．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．

5．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C（﹣1，）．
（1）请直接写出b，c的值；
（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．
①求EF的最大值；
②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．
五．四边形综合题（共1小题）
6．（2021•无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF，
①当m＝时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
六．作图—复杂作图（共3小题）
7．（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 　 　．

8．（2022•无锡）如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为 　 　．


9．（2021•无锡）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝　 　．（如需画草图，请使用图2）
七．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
10．（2023•无锡）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A＝60°，点Q为CD的中点，P为线段A上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q．
（1）当∠QPB＝45°时，求四边形BB'C'C的面积；
（2）当点P在线段AB上移动时，设BP＝x，四边形BB'C'C的面积为S，求S关于x的函数表达式．

八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2022•无锡）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：△CED∽△BAD；
（2）当DC＝2AD时，求CE的长．

九．众数（共1小题）
12．（2023•无锡）2023年5月30日，神州十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某初中在全校开展航天知识竞赛活动．现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析，绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题．
学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表
竞赛成绩x
x＜75（A）
75≤x＜80（B）
80≤x＜85（C）
85≤x＜90（D）
90≤x＜95（E）
95≤x≤100（F）
频数
21
96
a
57
b
6
学生参加航天知识竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
七年级
82.73
82
81
八年级
81.84
82
82
九年级
81.31
83
80

（1）a＝　 　；m＝　 　%；
（2）请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞赛中3个级的总体情况做出评价，并说明理由．
一十．列表法与树状图法（共3小题）
13．（2023•无锡）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．
（1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是 　 　．
（2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．
14．（2022•无锡）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 　 　；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
15．（2021•无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．

江苏省无锡市2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（提升题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．平方差公式（共1小题）
1．（2023•无锡）（1）计算：（﹣3）2﹣+|﹣4|；
（2）化简：（x+2y）（x﹣2y）﹣x（x﹣y）．
【答案】（1）8；
（2）﹣4y2+xy．
【解答】解：（1）原式＝9﹣5+4＝8；
（2）原式＝x2﹣4y2﹣x2+xy＝﹣4y2+xy．
二．解一元二次方程-公式法（共1小题）
2．（2023•无锡）（1）解方程：2x2+x﹣2＝0；
（2）解不等式组：．
【答案】（1），；
（2）﹣1＜x＜3．
【解答】解：（1）2x2+x﹣2＝0，
∵a＝2，b＝1，c＝﹣2，
∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣2）＝17，
∴x＝＝，
∴，；
（2），
解不等式①得x＞﹣1，
解不等式②得：x＜3，
∴不等式组的解集为：﹣1＜x＜3．
三．二次函数的应用（共1小题）
3．（2023•无锡）某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg．经市场调查发现每天的销售量y（kg）与销售价格x（元/kg）之间的函数关系如图所示．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？【销售利润＝（销售价格﹣采购价格）×销售量】

【答案】（1）y＝；
（2）当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
【解答】解：（1）当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx+b，
将（22，48），（30，40）代入解析式得，，
解得，
∴函数表达式为：y＝﹣x+70；
当30＜x≤45时，设函数表达式为：y＝mx+n，
将（30，40），（45，10）代入解析式得，，
解得，
∴函数表达式为：y＝﹣2x+100，
综上，y与x的函数表达式为：y＝；
（2）设利润为w元，当22≤x≤30时，w＝（x﹣20）（﹣x+70）＝﹣x2+90x﹣1400＝﹣（x﹣45）2+625，
∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，
∴当x＝30时，w取得最大值为400；
当30＜x≤45时，w＝（x﹣20）（﹣2x+100）＝﹣2x2+140x﹣2000＝﹣2（x﹣35）2+450，
当x＝35时，w取得最大值为450；
∵450＞400，
∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元．
四．二次函数综合题（共2小题）
4．（2021•无锡）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，二次函数y＝ax2+2x+c的图象过B、C两点，且与x轴交于另一点A，点M为线段OB上的一个动点，过点M作直线l平行于y轴交BC于点F，交二次函数y＝ax2+2x+c的图象于点E．
（1）求二次函数的表达式；
（2）当以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似时，求线段EF的长度；
（3）已知点N是y轴上的点，若点N、F关于直线EC对称，求点N的坐标．

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；
（2）EF＝或；
（3）N（0，3+1）．
【解答】解：（1）在y＝﹣x+3中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝3，
∴B（3，0），C（0，3），
把B（3，0），C（0，3）代入y＝ax2+2x+c得：
，解得，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图：

在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝0得x＝3或x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC，AB＝4，BC＝3，
∴∠ABC＝∠MFB＝∠CFE＝45°，
∴以C、E、F为顶点的三角形与△ABC相似，B和F为对应点，
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），
∴EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
①△ABC∽△CFE时，＝，
∴＝，
解得m＝或m＝0（舍去），
∴EF＝，
②△ABC∽△EFC时，＝，
∴＝，
解得m＝0（舍去）或m＝，
∴EF＝，
综上所述，EF＝或．
（3）连接NE，如图：

∵点N、F关于直线EC对称，
∴∠NCE＝∠FCE，CF＝CN，
∵EF∥y轴，
∴∠NCE＝∠CEF，
∴∠FCE＝∠CEF，
∴CF＝EF＝CN，
由（2）知：
设E（m，﹣m2+2m+3），则F（m，﹣m+3），EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，CF＝＝m，
∴﹣m2+3m＝m，解得m＝0（舍去）或m＝3﹣，
∴CN＝CF＝m＝3﹣2，
∴N（0，3+1）．
5．（2023•无锡）已知二次函数y＝（x2+bx+c）的图象与y轴交于点A，且经过点B（4，）和点C（﹣1，）．
（1）请直接写出b，c的值；
（2）直线BC交y轴于点D，点E是二次函数y＝（x2+bx+c）图象上位于直线AB下方的动点，过点E作直线AB的垂线，垂足为F．
①求EF的最大值；
②若△AEF中有一个内角是∠ABC的两倍，求点E的横坐标．
【答案】（1）b的值为﹣3，c的值为﹣2．
（2）①EF的最大值为．
②点E的横坐标为2或．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝（x2+bx+c）的图象经过点B（4，）和点C（﹣1，），
∴，
解得b＝﹣3，c＝﹣2，
∴二次函数解析式为y＝（x2﹣3x﹣2）．
答：b的值为﹣3，c的值为﹣2．
（2）①如图1，过点E作y轴平行线分别交AB、BD于G、H，
∵y＝（x2﹣3x﹣2），
∴A（0，﹣），
∴AD＝2，BD＝4，
∴AB＝2，
∴cos，
∴cos，
∴，
∴，
∵A（0，﹣），B（4，）
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∴，
解得
∴直线AB的解析式为y＝，
设E（m，），则G（m，），
∴，
∴当m＝2时，EG取得最大值，
∴EF的最大值为．
答：EF的最大值为．
②如图2，已知，令AC＝2，AB＝2，在BC上截取AD＝BD，
∴∠ADC＝2∠ABC，
设CD＝x，则AD＝BD＝2﹣x，
则，
解得x＝，
∴tan∠ADC＝，即tan（2∠ABC）＝2，
如图3，构造△AMF∽△FNE，相似比为AF：EF，
∵tan∠MFA＝tan∠CBA＝tan∠FEN＝，
设AM＝，MF＝2a，
1°当∠FAE＝2∠ABC时，，
∴，
∴，
∴E（6a，），
代入抛物线得（舍去），
∴E点的横坐标为6a＝2，
2°当∠FEA＝2∠ABC时，，
∴，
∴，
∴，
代入抛物线得（舍去），
∴E点的横坐标为，
综上，点E的横坐标为2或．

五．四边形综合题（共1小题）
6．（2021•无锡）已知四边形ABCD是边长为1的正方形，点E是射线BC上的动点，以AE为直角边在直线BC的上方作等腰直角三角形AEF，∠AEF＝90°，设BE＝m．

（1）如图，若点E在线段BC上运动，EF交CD于点P，AF交CD于点Q，连接CF，
①当m＝时，求线段CF的长；
②在△PQE中，设边QE上的高为h，请用含m的代数式表示h，并求h的最大值；
（2）设过BC的中点且垂直于BC的直线被等腰直角三角形AEF截得的线段长为y，请直接写出y与m的关系式．
【答案】（1）①；
②h＝﹣m2+m，h最大值是；
（2）y＝．
【解答】解：（1）①过F作FG⊥BC于G，连接CF，如图：

∵四边形ABCD是正方形，∠AEF＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠FEG，∠B＝∠G＝90°，
∵等腰直角三角形AEF，
∴AE＝EF，
在△ABE和△EGF中，
，
∴△ABE≌△EGF（AAS），
∴FG＝BE＝，EG＝AB＝BC，
∴EG﹣EC＝BC﹣EC，即CG＝BE＝，
在Rt△CGF中，CF＝＝；
②△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，过P作PH⊥EQ于H，如图：

∵△ABE绕A逆时针旋转90°，得△ADE'，
∴△ABE≌△ADE'，∠B＝∠ADE'＝90°，∠BAE＝∠DAE'，∠AEB＝∠E'，AE＝AE'，BE＝DE'，
∴∠ADC+∠ADE'＝180°，
∴C、D、E'共线，
∵∠BAE+∠EAD＝90°，
∴∠DAE'+∠EAD＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠EAF＝∠E'AF＝45°，
在△EAQ和△E'AQ中，
，
∴△EAQ≌△E'AQ（SAS），
∴∠E'＝∠AEQ，EQ＝E'Q，
∴∠AEB＝∠AEQ，EQ＝DQ+DE'＝DQ+BE，
∴∠QEP＝90°﹣∠AEQ＝90°﹣∠AEB＝∠CEP，即EF是∠QEC的平分线，
又∠C＝90°，PH⊥EQ，
∴PH＝PC，
∵∠BAE＝∠CEP，∠B＝∠C＝90°，
∴△ABE∽△ECP，
∴＝，即＝，
∴CP＝m（1﹣m），
∴PH＝h＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，
∴m＝时，h最大值是；
（2）①当0≤m≤时，如图：

∵∠BAE＝90°﹣∠AEB＝∠HEG，∠B＝∠HGE＝90°，
∴△ABE∽△EGH，
∴＝，即＝，
∴HG＝﹣m2+m，
∵MG∥CD，G为BC中点，
∴MN为△ADQ的中位线，
∴MN＝DQ，
由（1）知：EQ＝DQ+BE，
设DQ＝x，则EQ＝x+m，CQ＝1﹣x，
Rt△EQC中，EC2+CQ2＝EQ2，
∴（1﹣m）2+（1﹣x）2＝（x+m）2，
解得x＝，
∴MN＝，
∴y＝NH＝MG﹣HG﹣MN
＝1﹣（﹣m2+m）﹣
＝1﹣m﹣+m2，
②当m＞时，如图：

∵MG∥AB，
∴＝，即＝，
∴HG＝，
同①可得MN＝DQ＝，
∴HN＝MG﹣HG﹣MN
＝1﹣﹣
＝，
∴y＝，
综上所述，y＝．
六．作图—复杂作图（共3小题）
7．（2023•无锡）如图，已知∠APB，点M是PB上的一个定点．
（1）尺规作图：请在图1中作⊙O，使得⊙O与射线PB相切于点M，同时与PA相切，切点记为N；
（2）在（1）的条件下，若∠APB＝60°，PM＝3，则所作的⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积是 　3﹣π　．

【答案】（1）见解答；
（2）3﹣π．
【解答】解：（1）如图，⊙O为所作；

（2）∵PM和PN为⊙O的切线，
∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，
∴∠OMP＝∠ONP＝90°，
∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，
在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，
∴OM＝PM＝×3＝，
∴⊙O的劣弧与PM、PN所围成图形的面积
＝S四边形PMON﹣S扇形MON
＝2××3×﹣
＝3﹣π．
故答案为：3﹣π．
8．（2022•无锡）如图，△ABC为锐角三角形．
（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：在AC右上方确定点D，使∠DAC＝∠ACB，且CD⊥AD；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠B＝60°，AB＝2，BC＝3，则四边形ABCD的面积为 　　．


【答案】（1）作图见解析部分；
（2）．
【解答】解：（1）如图1中，点D即为所求；

（2）过点A作AH⊥BC于点H．
在Rt△ABH中，AB＝2，∠B＝60°，
∴BH＝AB•cos60°＝1，AH＝AB•sin60°＝，
∴CH＝BC﹣BH＝2，
∵∠DAC＝∠ACB，
∴AD∥BC，
∵AH⊥CB，CD⊥AD，
∴∠AHC＝∠ADC＝∠DCH＝90°，
∴四边形AHCD是矩形，
∴AD＝CH＝2，
∴S四边形ABCD＝×（2+3）×＝，
故答案为：．
9．（2021•无锡）如图，已知锐角△ABC中，AC＝BC．

（1）请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作∠ACB的平分线CD；作△ABC的外接圆⊙O；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若AB＝，⊙O的半径为5，则sinB＝　　．（如需画草图，请使用图2）
【答案】（1）作图见解析部分．
（2）．
【解答】解：（1）如图，射线CD，⊙O即为所求．

（2）连接OA，设射线CD交AB于E．
∵CA＝CB，CD平分∠ACB，
∴CD⊥AB，AE＝EB＝，
∴OE＝＝＝，
∴CE＝OC+OE＝5+＝，
∴AC＝BC＝＝＝8，
∴sinB＝＝＝．
故答案为：．
七．翻折变换（折叠问题）（共1小题）
10．（2023•无锡）如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，∠A＝60°，点Q为CD的中点，P为线段A上的动点，现将四边形PBCQ沿PQ翻折得到四边形PB'C'Q．
（1）当∠QPB＝45°时，求四边形BB'C'C的面积；
（2）当点P在线段AB上移动时，设BP＝x，四边形BB'C'C的面积为S，求S关于x的函数表达式．

【答案】（1）四边形BB'C'C的面积为4．
（2）S关于x的函数表达式为．
【解答】解：（1）连接BD、BQ，

∵菱形ABCD，
∴CB＝CD＝4，∠A＝∠C＝60°，
∴△BDC为等边三角形，
∵Q为CD中点，
∴CQ＝2，BQ⊥CD，
∴BQ＝2，QB⊥PB，
∵∠QPB＝45°，
∴△PBQ为等腰直角三角形，
∴PB＝2，PQ＝2，
由翻折的性质可得，∠BPB′＝90°，PB＝PB′，
∴，
同理CQ＝2，
∴，
∴S四边形BB′C′C＝2S梯形PBCQ﹣S△PBB′+S△CQC′＝＝4，
答：四边形BB'C'C的面积为4．
（2）如图，连接BQ、B′Q，延长PQ交CC′于点F，

∵PB＝x，BQ＝2，∠PBQ＝90°，
∴，
∵S△PBQ＝
∴BE＝＝，
∴QE＝，
∴S△QEB＝，
∵∠BEQ＝BQC＝∠QFC＝90°，
则∠EQB＝90°﹣∠CQF＝∠FCQ，
∴△BEQ∽△QFC，
∴，
∴，
∵S△BQC＝，
∴S＝2（S△QEB+S△BQC+S△QFC）＝2（）＝．
答：S关于x的函数表达式为．
八．相似三角形的判定与性质（共1小题）
11．（2022•无锡）如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE．
（1）求证：△CED∽△BAD；
（2）当DC＝2AD时，求CE的长．

【答案】（1）见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：如图1，

∵∠CDE＝∠BDA，∠A＝∠E，
∴△CED∽△BAD；
（2）解：如图2，过点D作DF⊥EC于点F，

∵△ABC是边长为6等边三角形，
∴∠A＝60°，AC＝AB＝6，
∵DC＝2AD，
∴AD＝2，DC＝4，
∵△CED∽△BAD，
∴，
∴EC＝3DE，
∵∠E＝∠A＝60°，DF⊥EC，
∴∠EDF＝90°﹣60°＝30°，
∴DE＝2EF，
设EF＝x，则DE＝2x，DF＝x，EC＝6x，
∴FC＝5x，
在Rt△DFC中，DF2+FC2＝DC2，
∴（x）2+（5x）2＝42，
解得：x＝或﹣（不符合题意，舍去），
∴EC＝6x＝．
九．众数（共1小题）
12．（2023•无锡）2023年5月30日，神州十六号载人飞船成功发射，为大力弘扬航天精神，普及航天知识，激发学生探索和创新热情，某初中在全校开展航天知识竞赛活动．现采用简单随机抽样的方法从每个年级抽取相同数量的学生答题成绩进行分析，绘制成下列图表，请根据图表提供的信息，解答下列问题．
学生参加航天知识竞赛成绩频数分布表
竞赛成绩x
x＜75（A）
75≤x＜80（B）
80≤x＜85（C）
85≤x＜90（D）
90≤x＜95（E）
95≤x≤100（F）
频数
21
96
a
57
b
6
学生参加航天知识竞赛成绩统计表
年级
平均数
众数
中位数
七年级
82.73
82
81
八年级
81.84
82
82
九年级
81.31
83
80

（1）a＝　90　；m＝　10　%；
（2）请根据“学生参加航天知识竞赛成绩统计表”对本次竞赛中3个级的总体情况做出评价，并说明理由．
【答案】（1）90，10；
（2）见解答．
【解答】解：（1）∵抽取的总人数为21÷7%＝300（人），
∴C组的人数为a＝300×30%＝90（人），
m＝100%﹣7%﹣32%﹣30%﹣19%﹣2%＝10%；
故答案为：90，10；
（2）七年级的成绩好一些，因为七年级成绩的平均数最高、中位数都高于乙校较高，所以七年级的成绩要好一些．（答案不唯一）．
一十．列表法与树状图法（共3小题）
13．（2023•无锡）为了深入推动大众旅游，满足人民群众美好生活需要，我市举办中国旅游日惠民周活动，活动主办方在活动现场提供免费门票抽奖箱，里面放有4张相同的卡片，分别写有景区：A．宜兴竹海，B．宜兴善卷洞，C．阖闾城遗址博物馆，D．锡惠公园．抽奖规则如下：搅匀后从抽奖箱中任意抽取一张卡片，记录后放回，根据抽奖的结果获得相应的景区免费门票．
（1）小明获得一次抽奖机会，他恰好抽到景区A门票的概率是 　　．
（2）小亮获得两次抽奖机会，求他恰好抽到景区A和景区B门票的概率．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）一共有4种情况，恰好抽到景区A门票的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

∴一共有16种等可能得情况，恰好抽到景区A和景区B门票的情况有2种，
∴他恰好抽到景区A和景区B门票的概率为＝．
14．（2022•无锡）建国中学有7位学生的生日是10月1日，其中男生分别记为A1，A2，A3，A4，女生分别记为B1，B2，B3．学校准备召开国庆联欢会，计划从这7位学生中抽取学生参与联欢会的访谈活动．
（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是 　　；
（2）若先从男生中任意抽取1位，再从女生中任意抽取1位，求抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）若任意抽取1位学生，且抽取的学生为女生的概率是，
故答案为：；
（2）画树状图如下：

共有12种等可能的结果，其中抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的结果有6种，
∴抽得的2位学生中至少有1位是A1或B1的概率为＝．
15．（2021•无锡）将4张分别写有数字1、2、3、4的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）放在盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．求下列事件发生的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
（1）取出的2张卡片数字相同；
（2）取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”．
【答案】（1）；
（2）．
【解答】解：（1）画树状图如图：

共有16种等可能的结果，取出的2张卡片数字相同的结果有4种，
∴取出的2张卡片数字相同的概率为＝；
（2）由（1）可知，共有16种等可能的结果，取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的结果有7种，
∴取出的2张卡片中，至少有1张卡片的数字为“3”的概率为．