2022-2023学年广东省深圳市龙华区八年级(下)期末数学试卷(含解析)
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一、选择题(本大题共10小题,共30.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1. “琴棋书画”的棋是指围棋,围棋起源于中国,至今已有四千多年的历史.下列由黑、白棋子摆成的图案中,是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 若a>b,下列不等式变形,不一定成立的是( )
A. a+1>b+1 B. a−2>b−2 C. −2a<−2b D. ac2>bc2
3. 下列分式中,是最简分式的是( )
A. xyx2 B. 3x+33x−3 C. x+yx−y D. x+1x2−1
4. 如图,A,B两地被池塘隔开,小明通过下面的方法估测出了A,B间的距离:先在AB外选一点C,然后分别步测出AC,BC的中点M,N,并步测出MN的长为3米,由此他就估测出A,B间的距离为( )
A. 3米
B. 4.5米
C. 6米
D. 9米
5. 已知a+b=5,ab=6,则多项式a2b+ab2的值为( )
A. 30 B. 11 C. 1 D. −1
6. 如图,在Rt△ABC中,∠A=50°,点D在斜边AB上.如果△ABC经过旋转后与△EBD重合,则∠CBE的大小是( )
A. 90°
B. 80°
C. 50°
D. 40°
7. 如图,在等边△ABC的三边上分别取点D,E,F,使得AD=BE=CF,若DE⊥BC,则△ABC的周长是△DEF的周长的( )
A. 2倍
B. 3倍
C. 3倍
D. 2 3倍
8. 如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,BD⊥AD,AB=5,BC=3,则以下结论不正确的是( )
A. AD=3 B. OB=2
C. AC=2 13 D. ▱ABCD的面积为6
9. 根据规划设计,某工程队准备修建一条长1120米的盲道.由于情况改变,实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米,结果提前2天完成了这一任务,假设原计划每天修建盲道x米,根据题意可列方程为( )
A. 1120x−1120x+10=2 B. 1120x−1120x−10=2
C. 1120x+10−1120x=2 D. 1120x−10−1120x=2
10. 如图,l1//l2,直线l1与直线l2之间的距离为4,点A是直线l1与l2外一点,点A到直线l1的距离为2,点B,D分别是直线l1与直线l2上的动点,以点B为圆心,AD的长为半径作弧,再以点D为圆心,AB的长为半径作弧,两弧交于点C,则点A与点C之间距离的最小值为( )
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
二、填空题(本大题共7小题,共21.0分)
11. 分解因式:a3+2a2+a= ______ .
12. 由深圳到广州的一条铁路全程约为146千米,高铁全程运行时间为a小时,则高铁的速度是每小时______ 千米.
13. 一个多边形的内角和等于它的外角和,这个多边形是______边形.
14. 一次函数y=kx+b的图象如图所示,则不等式kx+b>0的解集为______ .
15. 某校学生会组织七年级和八年级共30名同学参加环保志愿者活动,七年级学生平均每人收集15个废弃塑料瓶,八年级学生平均每人收集20个废弃塑料瓶.为了保证所收集的塑料瓶总数不少于500个.则七年级学生参加活动的人数至多是______ 名.
16. 我们把顶角为36°的等腰三角形称作“黄金三角形”,“黄金三角形”的底边长是腰长的 5−12倍.如图,△ABC是“黄金三角形”,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,则△BCE与△ABE的面积比为______ .
17. 如图,在四边形ABCD中,AD//BC,∠D=45°,将边AB绕点B顺时针旋转90°后,点A恰好落在边CD上的点E处,已知BC=2,则DE的长度为______ .
三、解答题(本大题共8小题,共69.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
18. (本小题8.0分)
解不等式组:2x−1
19. (本小题8.0分)
先化简,再求值:x−3x2−9÷x−12x+6−1x+1,其中x=2.
20. (本小题7.0分)
解方程:3−xx−2+12−x=1.
21. (本小题6.0分)
如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点A,B,C的坐标分别是(−1,0),(0,3),(−4,−1),若△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′,点A,B,C的对应点分别为点A′,B′,C′,已知点A′的坐标为(1,−2).根据以上条件,请解决下列问题:
(1)请画出平移后的△A′B′C′;
(2)AB′ ______ AC′(填“>”或“=”或“<”);
(3)在平移过程中,边BC扫过的面积为______ .
22. (本小题10.0分)
已知四边形ABCD为平行四边形,点M,N分别是直线AD,BC上的点,且与点A,B,C,D不重合.
(1)请在图1中画出你设计的图形,并添加一个适当的条件:______ ,使得点M,N与▱ABCD的两个顶点组成的四边形是一个平行四边形,并说明理由;
(2)如图2,已知AC=BC=6,∠ABC=30°,若四边形AMCN为平行四边形,且AM=6,则MC的长度为______ .
23. (本小题8.0分)
某服装店老板用4000元购进了一批甲款T恤,用8800元购进了一批乙款T恤,已知所购乙款T恤数量是甲款T恤数量的2倍,购进的乙款T恤单价比甲款T恤单价贵5元.
(1)购进甲、乙两款T恤的单价分别是多少元?
(2)老板把这两种T恤的标价都定为每件100元,甲款T恤打九折销售,乙款T恤按标价销售.经过一段时间的销售,老板发现,销售两种T恤共100件时,利润不低于4200元.那么这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售多少件?
24. (本小题10.0分)
【定义】对于没有公共点的两个图形M,N,点P是图形M上任意一点,点Q是图形N上任意一点,把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离,记为d[M,N].
【理解】如图1,在平面直角坐标系中,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,若点A,B的坐标分别为(4,3),(−4,3),点G是▱ABCD边上任意一点.
(1)当点G在边AD上时,OG的最小值是______ ,因此d[点O,线段AD]= ______ ;
(2)当点G在任意边上时,OG的最小值是______ ,因此d[点O,▱ABCD]= ______ ;
【拓展】如图2,在平面直角坐标系中,ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AC平分∠BAD,点A,B的坐标分别为(4,3),(−94,3),点E(a,n)是对角线AC上与点A,C,O不重合的一点,点F(b,n)是对角线BD上与点B,D,O不重合的一点.
(3)当1
【应用】为庆祝母亲节,某商场在广场举行花卉展览,要在长6米,宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线,要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米,请直接写出所需彩绳的长度.
25. (本小题12.0分)
【问题背景】如图1,在▱ABCD中,AB⊥DB.将△ABD绕点B逆时针旋转至△FBE,记旋转角∠ABF=a(0°<α≤180°),当线段FB与DB不共线时,记△ABE的面积为S1,△FBD的面积为S2.
【特例分析】如图2,当EF恰好过点A,且点F,B,C在同一条直线上时.
(1)α= ______ °;
(2)若AD=4 3,则S1= ______ ,S2= ______ ;
【推广探究】某数学兴趣小组经过交流讨论,猜想:在旋转过程中,S1与S2之间存在一定的等量关系.再经过独立思考,获得了如下一些解决思路:
思路1:如图3,过点A,E分别作直线平行于BE,AB,两直线交于点M,连接BM,可证一组三角形全等,再根据平行四边形的相关性质解决问题:
思路2:如图4,过点E作EH⊥AB于点H,过点D作DG⊥FB,交FB的延长线于点G,可证一组三角形全等,再根据旋转的相关性质解决问题;
…
(3)如图5,请你根据以上思路,并结合你的想法,探究S1与S2之间的等量关系为______ ,并说明理由.
【拓展应用】在旋转过程中,当S1+S2为▱ABCD面积的12时,α的值为______ .
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解:选项A、C、D不都能找到一个点,使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合,所以不是中心对称图形.
选项B能找到一个点,使图形绕某一点旋转180度后与原来的图形重合,所以是中心对称图形.
故选:B.
根据中心对称图形的概念判断.把一个图形绕某一点旋转180度,如果旋转后的图形能够与原来的图形重合,那么这个图形就叫做中心对称图形.
本题考查的是中心对称图形,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后与自身重合.
2.【答案】D
【解析】解:A、∵a>b,
∴a+1>b+1,
故A不符合题意;
B、∵a>b,
∴a−2>b−2,
故B不符合题意;
C、∵a>b,
∴−2a<−2b,
故C不符合题意;
D、∵a>b,c≠0,
∴ac2>bc2,
故D符合题意;
故选:D.
根据不等式的性质进行计算,逐一判断即可解答.
本题考查了不等式的性质,熟练掌握不等式的性质是解题的关键.
3.【答案】C
【解析】解:A、 xyx2=yx,原分式不是最简分式,不符合题意;
B、3x+33x−3=x+1x−1,原分式不是最简分式,不符合题意;
C、x+yx−y是最简分式,符合题意;
D、x+1x2−1=x+1(x+1)(x−1)=1x−1,原分式不是最简分式,不符合题意.
故选:C.
根据最简分式的定义对各选项进行逐一分析即可.
本题考查的是最简分式,熟知一个分式的分子与分母没有公因式时,叫最简分式是解题的关键.
4.【答案】C
【解析】解:∵AC,BC的中点是M,N,
∴MN是△ABC的中位线,
∴MN=12AB,
∵MN≈3米,
∴AB≈6米.
故选:C.
由三角形中位线定理得到MN=12AB,由MN的值,即可求出AB的长.
本题考查三角形中位线定理,掌握三角形中位线定理是解题的关键.
5.【答案】A
【解析】解:由题意,a2b+ab2=ab(a+b).
∵a+b=5,ab=6,
∴a2b+ab2=ab(a+b)=6×5=30.
故选:A.
依据题意,由a2b+ab2=ab(a+b),结合已知条件代入数据即可得解.
本题考查了因式分解的应用,解题时要能将所求问题先进行因式分解,然后代入数据计算是关键.
6.【答案】B
【解析】解:∵△ABC经过旋转后与△EBD重合,
∴∠CBA=∠EBD,
在Rt△ABC中,∠A=50°,
∴∠CBA=∠EBD=90°−50°=40°,
∴∠CBE=80°,
故选:B.
根据旋转的性质得出∠CBA=∠EBD,再根据直角三角形两锐角互余求出∠CBA=∠EBD=90°−50°=40°,即可求解.
本题考查了旋转的性质,明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键.
7.【答案】C
【解析】解:∵△ABC是等边三角形,AD=BE=CF,
∴AB=BC=CA,∠A=∠B=∠C=60°,
∴BD=CE=AF,
∴△ADF≌△BED≌△CFE(SAS),
∴DF=ED=FE,
∴△DEF是等边三角形,
∵∠B=60°,DE⊥BC,
∴∠BDE=30°,∠ADF=∠BED=∠CFE=90°,
设AD=BE=CF=x,则AF=BD=CE=2x,
∴AB=x+2x=3x,DE= 3BE= 3x,
∴△ABC的周长=3AB=9x,
△DEF的面积=3DE=3 3x,
∴△ABC的周长是△DEF的周长 3倍.
故选:C.
先证明△ADF≌△BED≌△CFE,得到等边△DEF,设AD=BE=CF=x,则AF=BD=CE=2x,DE= 3x,进而即可解决问题.
本题考查了全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定和性质,含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,熟练掌握勾股定理,等边三角形的判定,直角三角形的性质是解题的关键.
8.【答案】D
【解析】解:∵四边形ABCD是平行四边形,BC=3,
∴OD=OB,OA=OC,AD=BC=3,故A正确;
∵BD⊥AD,
∴∠ADB=90°,
∵AB=5,
∴BD= AB2−AD2= 52−32=4,
∴OB=OD=2,故B正确;
∴OA= AD2+OD2= 32+22= 13,
∴AC=2OA=2 13,故C正确;
∴平行四边形ABCD的面积为AD×BD=3×4=12,故D错误.
故选:D.
根据平行四边形的性质判断AD=BC=3;根据勾股定理求出BD判断OB=2;根据勾股定理求出AO判断AC的长;根据AD和BD的长计算平行四边形的面积即可解答.
本题考查了平行四边形的性质以及勾股定理,解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质并灵活运用.
9.【答案】A
【解析】解:∵实际每天修建盲道的长度比原计划增加10米,且原计划每天修建盲道x米,
∴实际每天修建盲道(x+10)米.
根据题意得:1120x−1120x+10=2.
故选:A.
根据实际及原计划工作效率间的关系,可得出实际每天修建盲道(x+10)米,利用工作时间=工作总量÷工作效率,结合实际比原计划提前2天完成修建任务,即可列出关于x的分式方程,此题得解.
本题考查了由实际问题抽象出分式方程,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键.
10.【答案】B
【解析】解:过C作CK//l1,过A作AH⊥CK,交l1于M,交l2于N,作CP⊥l2于P,
∵l1//l2,
∴CK//l2,
∴AH⊥l1,AH⊥l2,
∴AM=2,MN=4,
由题意得:BC=AD,CD=AB,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,∠BAM=∠QCD,AB=CD,
∵l1//l2,
∴∠ABM=∠CDQ,
∴△ABM≌△CDQ(ASA),
∴CP=AM=2,
∴HN=CP=2,
∴AH=2+4+2=8,
∵AC≥AH,
∴点A与点C之间距离的最小值是8.
故选:B.
过C作CK//l1,过A作AH⊥CK,交l1于M,交l2于N,作CP⊥l2于P,得到CK//l2,因此AM=2,MN=4,由平行四边形的性质推出,△ABM≌△CDQ(ASA),CP=AM=2,得到HN=2,求出AH=8,由AC≥AH,即可求出AC的最小值.
本题考查平行线之间的距离,点到直线的距离,关键是通过作辅助线,得到AC≥AH,求出HN即可解决问题.
11.【答案】a(a+1)2
【解析】解:a3+2a2+a
=a(a2+2a+1)
=a(a+1)2,
故答案为:a(a+1)2
原式提取公因式,再利用完全平方公式分解即可.
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
12.【答案】146a
【解析】解:∵路程=速度×时间,
∴高铁的速度是每小时146a千米,
故答案为:146a.
根据“路程=速度×时间”进行变式、求解.
此题考查了列代数式表示实际问题的能力,关键是能准确理解并运用实际问题间的数量关系.
13.【答案】四
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的外角和定理以及四边形的内角和定理,比较简单.利用多边形的外角和以及四边形的内角和定理即可解决问题.
【解答】
解:∵多边形的外角和是360度,多边形的内角和等于它的外角和,则内角和是360度,
∴这个多边形是四边形.
故答案为四.
14.【答案】x<6
【解析】解:由图象可得,
函数y=kx+b与x轴的交点为(6,0),y随x的增大而减小,
∴不等式kx+b>0的解集是x<6,
故答案为:x<6.
根据一次函数的性质,可以写出不等式kx+b>0的解集.
本题考查一次函数与一元一次不等式,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
15.【答案】20
【解析】解:设七年级学生参加活动的人数是x名,则八年级学生参加活动的人数是(30−x)名,
根据题意得:15x+20(30−x)≥500,
解得:x≤20,
∴x的最大值为20,
即七年级学生参加活动的人数至多是20名.
故答案为:20.
设七年级学生参加活动的人数是x名,则八年级学生参加活动的人数是(30−x)名,根据七、八年级所收集的塑料瓶总数不少于500个,可列出关于x的一元一次不等式,解之取其中的最大值,即可得出结论.
本题考查了一元一次不等式的应用,根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式是解题的关键.
16.【答案】( 5−1):2
【解析】解:∵DE是AB的垂直平分线,
∴AE=BE,
∵∠A=36°,
∴∠ABE=∠A=36°,
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠C=180°−36°2=72°,
∴∠CBE=72°−36°=36°,
∴∠BEC=180°−36°−72°=72°,
∴∠BEC=∠C,
∴BE=CE=AE,△BCE是“黄金三角形”,
∴CE= 5−12BE= 5−12AE,
∵△BCE中CE边上的高与△ABE中AE边上的高相同,
∴△BCE与△ABE的面积比为CE:AE=( 5−1):2,
故答案为:( 5−1):2.
根据线段垂直平分线的性质及三角形的内角和易得△BCE是“黄金三角形”,然后根据三角形面积公式即可求得答案.
本题考查黄金分割,等腰三角形的性质及判定,线段垂直平分线的性质,结合已知条件证得△BCE是“黄金三角形”是解题的关键.
17.【答案】2 2
【解析】解:过B点作BF⊥BC交DC延长线于点F,连接AC,如图,
根据旋转有:∠ABE=90°,AB=AE,
∵∠D=45°,AD//BC,
∴∠BCF=45°,
∵BF⊥BC,∠CBF=90°,即∠BCF=∠BFC=45°,
∴BF=BC= 22CF,即CF=2 2,
∴∠ABE=90°,∠CBF=90°,
∴∠ABC=∠EBF,
又∵AB=AE,
∴△ABC≌△EBF(SAS),
∴∠BCA=∠BFE=45°,AC=FE,
∴∠ACF=∠BCA+∠BCF=90°,
又∵∠D=45°,
∴△ACD为等腰直角三角形,
∴AC=CD,
∴EF=CD,
∴EC+CF=CE+ED,
∴CF=DE=2 2,
故答案为:2 2
过B点作BF⊥BC交CD延长线于点F,连接AC,先证明BF=BC,再证明△ABC≌△EBF,即可得AC=FE,∠ACF=90°,即有△ACD为等腰直角三角形,即可得EF=CD,进一步解答即可.
本题主要考查了旋转的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质等知识,作出合适的辅助线是解答本题的关键.
18.【答案】解:2x−1
解不等式②得:x≥−2,
∴原不等式组的解集为:−2≤x<2,
该不等式组的解集在数轴上表示如图所示:
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算,即可解答.
本题考查了解一元一次不等式组,在数轴上表示不等式的解集,熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键.
19.【答案】解:x−3x2−9÷x−12x+6−1x+1
=x−3(x+3)(x−3)⋅2(x+3)x−1−1x+1
=2x−1−1x+1
=2(x+1)−(x−1)(x−1)(x+1)
=2x+2−x+1(x−1)(x+1)
=x+3(x−1)(x+1),
当x=2时,原式=2+3(2−1)×(2+1)=53.
【解析】先计算分式的除法,再算分式的减法,然后把x的值代入化简后的式子进行计算,即可解答.
本题考查了分式的化简求值,准确熟练地进行计算是解题的关键.
20.【答案】解:去分母得:3−x−1=x−2,
移项合并得:2x=4,
解得:x=2,
经检验x=2是分式方程的增根.
∴原分式方程无解.
【解析】分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
此题考查了解分式方程,解分式方程的基本思想是“转化思想”,把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根.
21.【答案】= 16
【解析】解:(1)如图所示,△A′B′C′即为所求;
(2)AB′= 12+32= 10,AC′= 12+32= 10,
∴AB′=AC′,
故答案为:=;
(3)由题意知,边BC扫过的四边形是矩形,
∵BC= 42+42=4 2,BB′2= 22+22=2 2,
∴边BC扫过的面积为4 2×2 2=16,
故答案为:16.
(1)根据平移的性质画出图形即可;
(2)根据勾股定理求得AB′,AC′,于是得到结论;
(3)根据勾股定理和矩形的性质即可得到结论.
本题考查了作图−平移变换,勾股定理,矩形的判定和性质,正确地作出图形是解题的关键.
22.【答案】AM=CN(答案不唯一) 6
【解析】解:(1)如图1,可以添加AM=CN,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD//BC,
∴DM=BN,
∴四边形MBND是平行四边形,
故答案为:AM=CN(答案不唯一);
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,四边形AMCN为平行四边形,
∴AM//BM,
∴∠MAB=∠ABC,
∵AC=BC=6,
∴∠CAB=∠CBA=30°,
∴∠MAB=∠CBA=30°,
∴∠MAC=60°,
∵AC=AM=6,
∴△ACM是等边三角形,
∴MC=6.
故答案为:6.
(1)根据平行四边形的判定即可解决问题;
(2)根据平行四边形的性质证明△ACM是等边三角形,即可解决问题.
本题考查了平行四边形的判定和性质,菱形的判定和性质,等边三角形的判定与性质,解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质.
23.【答案】解:(1)设购进甲款T恤的单价是x元,则购进乙款T恤的单价是(x+5)元,
根据题意得:8800x+5=4000x×2,
解得:x=50,
经检验,x=50是所列方程的解,且符合题意,
∴x+5=50+5=55.
答:购进甲款T恤的单价是50元,乙款T恤的单价是55元;
(2)设这段时间按标价销售了y件乙款T恤,则销售了(100−y)件甲款T恤,
根据题意得:(100×0.9−50)(100−y)+(100−55)y≥4200,
解得:y≥40,
∴y的最小值为40.
答:这段时间按标价销售的乙款T恤至少要销售40件.
【解析】(1)设购进甲款T恤的单价是x元,则购进乙款T恤的单价是(x+5)元,利用数量=总价÷单价,结合用8800元购进乙款T恤的数量是用4000元购进甲款T恤数量的2倍,可列出关于x的分式方程,解之经检验后,可得出购进甲款T恤的单价,再将其代入(x+5)中,即可求出购进乙款T恤的单价;
(2)设这段时间按标价销售了y件乙款T恤,则销售了(100−y)件甲款T恤,利用总利润=每件的销售利润×销售数量,结合总利润不低于4200元,可列出关于y的一元一次不等式,解之取其中的最小值,即可得出结论.
本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出分式方程;(2)根据各数量之间的关系,正确列出一元一次不等式.
24.【答案】4 4 3 3 1
∴根据题意可知,当点G在边AD上时,即OG⊥AD时,
∴OG的最小值是4,
因此d[点O,线段AD]=4,
故答案为:4,4;
(2)∵A(4,3),B(−4,3),四边形是平行四边形,
∴根据题意可知,当点G在边任意边上时,即OG⊥AB或OG⊥CD时,
∴OG的最小值是3,因此d[点O,▱ABCD]=3,
故答案为:3,3;
(3)如图,
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD,AB=CD,
∴∠BAC=∠DCA,
∴AC平分∠BAD,
∴∠BAC=∠DAC,
∴∠DAC=∠DCA,
∴AD=CD,
∴四边形ABCD是菱形,
∴BD平分∠ABC和∠ADC,
∴线段EF到四边形ABCD的距离为|3−n|,
d[线段EF,▱ABCD]=|3−n|,
∴1<|3−n|<2,
解得:1
∴FP=FH=3+n,
∴d[线段EF,平行四边形ABCD]d[点F,线段AD]=3−n3+n;
故答案为:3−n3+n;
(4)由题意得,要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米,
则所需彩绳的长度为:2×(4+6)+2 π×0.5=(20+π )(米).
(1)根据定义及垂线段最短即可得出答案;
(2)根据定义及垂线段最短即可得出答案;
(3)画出图形,进行分类讨论即可;
(4)根据定义画出图形,可得出答案.
此题考查了平面直角坐标系中,点与点、点与直线的距离问题,不等式运用和菱形的性质和判定等,理解新定义,运用数形结合思想和分类讨论思想是解题关键.
25.【答案】60 3 3 3 3 S1=S2 60°或120°
【解析】(1)由旋转可得,∠F=∠BAD,BA=BF,
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AD//BC,
∴∠ABF=∠BAD,
∴∠ABF=∠F,
∴BA=AF,
∴BA=AF=BF,
∴△ABF是等边三角形,
∴∠ABF=α=60°,
故答案为:60.
(2)如图,过点F作FM⊥BD交DB延长线于点M,设AD,BE交于点N,
∵AD//BC,
∴∠ANE=∠ANB=∠EBF=90°=∠ABM,∠EAN=∠AFB,
∴∠MBF=∠ABN,
∵BF=BA,
∴△ABN≌△FBM(AAS),
∴AN=FM,
∵BD=BE,
∴S1=S2,
∵△ABF是等边三角形,
∴∠AFB=60°=∠EAN,AB=AF,
∴∠E=30°=∠ABE,
∴AE=AB,
∴AE=AF,
∴S△ABE=12S△EFB,
∵AD=4 3,
∴AB=2 3=BF,BD=6=BE,
∴S△EFB=12×6×2 3=6 3,
∴S△ABE=3 3,
∴S1=S2=3 3,
故答案为:3 3,3 3.
(3)解:S1=S2,理由如下:
思路1:如图,过点A,E分别作直线平行于BE,AB,两直线交于点M,连接BM,
∵AM//BE,ME//AB,
∴四边形ABEM为平行四边形,
∴AM=BE,∠MAB+∠ABE=180°,
∵旋转,
∴AB=BF,BD=BE,∠ABD=∠EBF=90°,
∴BD=AM,
∵∠ABD+∠ABE+∠EBF+∠FBD=360°,
∴∠ABE+∠DBF=180°,
∴∠MAB=∠DBF,
∴△MAB≌△DBF(SAS),
∴S△MAB=S2,
∵ME//AB,
∴S△MAB=S1,
∴S1=S2.
思路2:如图,过点E作EH⊥AB交AB延长线于点H,过点D作DG⊥BF交BF延长线于点C,
∵EH⊥AB,DG⊥BF,
∴∠H=∠G=90°,
∵旋转,
∴BD=BE,AB=BF,∠DBA=∠EBF=90°,
∴∠EBG=90°,
∴∠EBG=∠ABD,
∴∠EBG−∠ABG=∠ABD−∠ABG,
即∠EBH=∠GBD,
∴△EBH≌△DBG(AAS),
∴EH=DG,
∴S1=12AB⋅EH=12BF⋅DG=S2;
拓展应用:∵S1=S2,
∴当S1+S2为ABCD面积的12时,S1=S2=14S平行四边形ABCD′
由(3)思路2得,S1=12AB⋅EH,S平行四边形ABCD=AB⋅BD,EH=DG,
∴12AB⋅EH=14AB⋅BD,
∴BD=2EH,即BD=2DG,
∴∠DBG=30°=∠ABE,
如图3,∠ABF=120°,
如图2,∠DBE=∠ABF=90°−30°=60°,
综上,α的值为60°或120°.
故答案为:60°或120°.
(1)由旋转的性质和平行四边形的性质,等角对等边,可得△ABF是等边三角形,即可求解;
(2)过点F作FM⊥BD交DB延长线于点M,设AD,BE交于点N,通过证明△ABN≌△FBM(AAS),进而得出S1=S2,再证明AE=AF,可得S△ABE=12S△EFB,求解即可;
(3)分别根据思路1和2进行推理证明即可;
拓展应用:先根据面积之间的关系得出BD=2DG,继而得出∠DBG=30°=∠ABE,分别在图3和图2中进行求解即可.
本题考查了三角形的综合应用,旋转的性质,等边三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,平行四边形的性质,直角三角形的性质,熟练掌握以上性质是解题的关键.
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