2022-2023学年广东省深圳市龙岗区重点学校七年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳市龙岗区重点学校七年级（下）期中数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  下列各图中和为对顶角的是(    )

A.  B.
C.  D.

2.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  年，科学家分离出了第一株人的冠状病毒．由于在电子显微镜下可观察到其外膜上有明显的棒状粒子突起，使其形态看上去像中世纪欧洲帝王的皇冠，因此命名为“冠状病毒”该病毒的直径很小，经测定，它的直径约为数据“”用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列算式可用平方差公式的是(    )

A.  B.
C.  D.

5.  在科学课上，老师讲到温度计的使用方法及液体的沸点时，好奇的王红同学准备测量食用油的沸点，已知食用油的沸点温度高于水的沸点温度，王红家只有刻度不超过的温度计，她的方法是在锅中倒入一些食用油，用煤气灶均匀加热，并每隔测量一次锅中油温，测量得到的数据如表：

王红发现，烧了时，油沸腾了，则下列说法不正确的是(    )

A. 没有加热时，油的温度是 B. 加热，油的温度是
C. 估计这种食用油的沸点温度约是 D. 加热，油的温度是

6.  如图，下列条件中，能判断的是(    )

A.
B.
C.
D.

7.  下列说法中正确的是(    )

A. 过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直
B. 过一点有且仅有一条直线与已知直线平行
C. 两条直线被第三条直线所截，同位角相等
D. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

8.  如图，在中，，分别是边，上的点，将沿折叠；使点落在点处，若，，则的度数为(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，阴影部分是边长为的大正方形中剪去一个边长为的小正方形后得到的图形，小佳将阴影部分通过剪拼，拼成了图、图、图三种新的图形，其中能够验证平方差公式的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，，则下列各式中正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  计算 ______ ．

12.  若是完全平方式，则______．

13.  如图，直线，三角板的直角顶点放在直线上，若，则          ．

14.  某登山队从大本营出发，在向上攀登的过程中，测得所在位置的气温与向上攀登的高度的几组对应值如表：

若每向上攀登，所在位置的气温下降幅度基本一致，则向上攀登的海拔高度为时，登山队所在位置的气温约为______

15.  阅读材料后解决问题：
小明遇到下面一个问题：计算．
经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：．
请你仿照小明解决问题的方法，尝试计算：______．

三、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：
；
；
；
．

17.  本小题分
化简求值：
，其中，．

18.  本小题分
如图，利用尺规作图：过点作要求：不写作法保留作图痕迹；
若直线，设与交于点试说明：．

19.  本小题分
把下列每步推理的依据填在每步后面的括号里．
如图，已知，．
因为，
所以______ ，
因为，
所以______ ，
所以______ ；
如图，已知，．
因为，
所以______ ，
所以______ ，
又因为，
所以______ ，
所以______

20.  本小题分
巴蜀中学的小明和朱老师一起到一条笔直的跑道上锻炼身体，到达起点后小明做了一会准备活动，朱老师先跑．当小明出发时，朱老师已经距起点米了．他们距起点的距离米与小明出发的时间秒之间的关系如图所示不完整据图中给出的信息，解答下列问题：

在上述变化过程中，自变量是________，因变量是________；
朱老师的速度为________米秒，小明的速度为________米秒；
当小明第一次追上朱老师时，求小明距起点的距离是多少米？

21.  本小题分
如图所示，边长为的大正方形中有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个如图所示的长方形．
通过观察比较图与图中的阴影部分面积，可以得到乘法公式______ 用含，的等式表示
应用请应用这个公式完成下列各题：
若，，则的值为______ ；
若，，则的值为______ ．
拓展计算：．

22.  本小题分
【阅读探究】如图，已知，、分别是、上的点，点在、两平行线之间，，，求的度数．
解：过点作，
，
．
，．
．
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将和“凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．进一步研究，我们可以发现图中、和之间存在一定的数量关系，请直接写出它们之间的数量关系：______．
【方法运用】如图，已知，点、分别在直线、上，点在、两平行线之间，求、和之间的数量关系．
【应用拓展】如图，在图的条件下，作和的平分线、，交于点交点在两平行线、之间若，求的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：根据对顶角的定义：
中和不是对顶角；
中和不是对顶角；
中和是对顶角；
中和不是对顶角；
故选：．
根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形分析判断后进行解答．
本题考查了对顶角的定义．解题的关键是掌握对顶角的定义，对正确识图有一定要求．有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．
 

2.【答案】 

【解析】解：、无法合并，故此选项错误；
B、，故此选项正确；
C、，故此选项错误；
D、，故此选项错误；
故选：．
直接利用同底数幂的乘除运算法则、合并同类项法则、幂的乘方运算法则分别判断得出答案．
此题主要考查了同底数幂的乘除运算、合并同类项、幂的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值．
 

4.【答案】 

【解析】解：，
故选：．
由平方差公式的结构即可求出答案．
本题考查平方差公式，解题的关键是正确理解平方差公式，本题属于基础题型．
 

5.【答案】 

【解析】解：从表格可知：时，，
即没有加热时，油的温度为，
不符合题意．
观察表格可发现：每增加秒，温度上升，
当时，油温度，
不符合题意．
当时，温度，
不符合题意，符合题意．
故选：．
分析表格即可得出结论．
本题考查函数的表示方法；能够通过表格确定自变量与因变量的变化关系是解题的关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：、根据，不能判断，不符合题意；
B、根据，可得，符合题意；
C、根据，可得，不符合题意；
D、根据，可得，不符合题意．
故选：．
根据平行线的判定方法进行判断：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
 

7.【答案】 

【解析】解：、在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直，则此项错误，不符合题意；
B、经过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，则此项错误，不符合题意；
C、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，则此项错误，不符合题意；
D、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，则此项正确，符合题意；
故选：．
根据垂线的性质、平行公理、平行线的性质、垂线段最短逐项判断即可得．
本题考查了垂线的性质、平行公理、平行线的性质、垂线段最短，熟练掌握相关的性质和公理是解题关键．
 

8.【答案】 

【解析】解：沿折叠，使点落在点处，
≌，
，
，，
，，
，
故选：．
由折叠的性质，得≌，得，再求出，的度数，即可得答案．
本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和，外角的性质，解题的关键是证明≌．
 

9.【答案】 

【解析】

解：如图，

左图的阴影部分的面积为，裁剪后拼接成右图的长为，宽为的长方形，因此面积为，
因此有，
所以符合题意；
如图，

左图的阴影部分的面积为，裁剪后拼接成右图的底为，高为的平行四边形，因此面积为，
因此有，
所以符合题意；
如图，

左图的阴影部分的面积为，裁剪后拼接成右图的上底为，下底为，，高为的梯形，因此面积为，
因此有，
所以符合题意；
综上所述，都符合题意，
故选：．
【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示拼接前、后阴影部分的面积是得出正确答案的关键．
按照不同的裁剪方式，拼接成不同的图形，用不同的方法表示拼接前、后阴影部分的面积，即可得出答案．  

10.【答案】 

【解析】解：，
，即，
，
，即，
，即，
故选：．
根据平行线的性质可得到，，从而可找到、、之间的关系．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的性质和判定是解题的关键，即两直线平行同位角相等，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补．
 

11.【答案】 

【解析】解：原式
．
故答案为：．
根据零指数幂及有理数的加减法则进行计算即可．
本题考查的是零指数幂及有理数的加减法，熟知以上知识是解题的关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：由于，
，
，
．
故答案为：．
本题考查完全平方公式，这里根据首末两项是和的平方可得，中间一项为加上或减去它们乘积的倍，即：，由此得．
本题是根据完全平方公式的结构特征进行分析，对此类题要真正理解完全平方公式，并熟记公式，这样才能灵活应用，本题易错点在于：是加上或减去两数乘积的倍，在此有正负两种情况，要全面分析，避免漏解．
 

13.【答案】 

【解析】

解：已知直线，
两直线平行，同位角相等，
已知，
已知直线，
．
故答案为：．
【分析】此题考查了学生对平行线性质的应用，关键是由平行线性质得出同位角相等求出．
先由直线，根据平行线的性质，得出，再由已知直角三角板得，然后由求出．  

14.【答案】 

【解析】解：根据表格中的数据得：向上攀登，温度下降，
则有，
故答案为：
根据表格中的数据得到向上攀登，温度下降，进而求出所求．
此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
 

15.【答案】 

【解析】解：根据题意得：原式




．
故答案为：
原式变形后，利用平方差公式计算即可求出值．
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
 

16.【答案】解：

；


；



；




． 

【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答；
先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答；
利用平方差公式，完全平方公式，进行计算即可解答；
利用平方差公式，进行计算即可解答．
本题考查了整式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．
 

17.【答案】解：，
，
，
，
，
当，时，
原式． 

【解析】本题考查了整式的化简．整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．先根据完全平方公式，平方差公式，多项式除单项式的法则去括号，合并同类项，将整式化为最简式，然后把、的值代入即可．
 

18.【答案】解：如图，即为所求；


由知，
，
，
． 

【解析】以点为顶点，在左侧作即可得；
由、可得答案．
本题主要考查作图复杂作图，解题的关键是掌握作一个角等于已知角的尺规作图及平行线的判定与性质．
 

19.【答案】两直线平行，内错角相等  两直线平行，同位角相等  等量代换  内错角相等，两直线平行  两直线平行，内错角相等  等量代换  同位角相等，两直线平行 

【解析】解：如图，已知，．
因为，
所以两直线平行，内错角相等，
因为，
所以两直线平行，同位角相等，
所以等量代换；
故答案为：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；等量代换；

如图，已知，．
因为，
所以内错角相等，两直线平行，
所以两直线平行，内错角相等，
又因为，
所以等量代换，
所以同位角相等，两直线平行．
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．
根据平行线的性质、等量代换即可求解；
根据平行线的判定、等量代换及平行线的判定即可求得结论．
本题考查的是平行线的判定与性质，解题的关键是掌握平行线的性质及平行线的判定定理．
 

20.【答案】解：；；
；；
设秒时，小明第一次追上朱老师，
根据题意得，解得，
则米，
所以当小明第一次追上朱老师时，小明距起点的距离为米． 

【解析】

【分析】
本题考查了变量之间的关系，函数的图象，属于中档题．
利用变量的定义求解；
根据图象，得到朱老师在秒跑了米，小明秒跑了米，然后根据速度公式分别计算他们的速度；
设秒时，小明第一次追上朱老师，利用路程相等得到，解方程求出，然后计算即可．
【解答】
解：在上述变化过程中，自变量是，因变量是；
朱老师的速度米秒，小明的速度为米秒；
故答案为，；，；
见答案．  

21.【答案】     

【解析】解：图的阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图是成为，宽为的长方形，因此面积为，
所以，
故答案为：；
，，



，
故答案为：；
 ，即，
，
又，
，
故答案为：；



．
用代数式分别表示图，图中阴影部分的面积即可；
利用平方差公式将原式化为即可；
利用平方差公式进行计算即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
 

22.【答案】 

【解析】解：【阅读探究】
过点作，如图所示：
，
，
，，
，
故答案为：；
【方法运用】
过点作，如图所示：
，
，
，，
，，
，
、和之间的数量关系为：；
【应用拓展】
、分别是和的平分线，
，，
过点作，如图所示：
，
，
，，
，
由【方法运用】得：，
，
，
．
【阅读探究】过点作，由平行线的性质等，，则；
【方法运用】过点作，由平行线的性质等，，再由平角的定义即可求解；
【应用拓展】过点作，由平行线的性质得，，则，再由【方法运用】得，则，进而求解即可．
本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质以及平角的定义等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．