2022-2023学年江苏省南京市联合体九年级（上）期末数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省南京市联合体九年级（上）期末数学试卷，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南京市联合体九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列函数是二次函数的是　　
A． B． C． D．
2．掷一枚质地均匀的硬币一次，反面朝上的概率是　　
A．1 B． C． D．
3．一组数据5，8，8，10，1中，最后一个两位数的个位数字被墨迹覆盖，则这组数据不受影响的统计量是　　
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．极差
4．如图，，则下列比例式成立的是　　

A． B． C． D．
5．如图是二次函数的图像，则不等式的解集是　　

A． B．或 C． D．或
6．如图，，分别是的内接正十边形和正五边形的边，，交于点，则的度数为　　

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7．方程的解是 　　．
8．若，则　　．
9．二次函数图像的顶点坐标为　　．
10．若点是线段的黄金分割点，，则的长为 　　．
11．设，是关于的方程的两个根，且，则的值为 　　．
12．已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则此圆锥侧面展开图的圆心角是　 　．
13．如图，切于点，交于点，若，，则的半径为 　　．

14．如图，在平面直角坐标系中，的边，的中点，的横坐标分别是1，4，则点的横坐标是 　　．

15．平面内有一点和线段，连接，，若，，则点到的最大距离为 　　．
16．如图，在中，，，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着的路线运动，则以为圆心，2为半径的与三边都有公共点的时间共 　　秒．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
18．（8分）小明、小红两位同学邀请数学老师合影，3人随机站成一排．
（1）数学老师站在中间的概率是 　　；
（2）求小明与数学老师相邻的概率．
19．（7分）甲、乙两名同学本学期五次某项测试的成绩（单位：分）如图所示．

（1）甲、乙两名同学五次测试成绩的平均数分别是 　　分、　　分；
（2）利用方差判断这两名同学该项测试成绩的稳定性；
（3）结合数据，请再写出一条与（1）（2）不同角度的结论．
20．（8分）如图，的弦，的延长线交于点，连接，．
（1）求证；
（2）若，，．求的长．

21．（8分）已知二次函数的图像经过，，三点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当时，的取值范围是 　　．
（3）将该函数的图像沿直线翻折，直接写出翻折后的图像所对应的函数表达式．
22．（7分）如图，在矩形中，点，分别在边，上，，交于点．
（1）若，求证；
（2）若，分别是，的中点，则的值为 　　．

23．（8分）如图，用长度均为的两根绳子分别围成矩形和扇形，设的长为，半径为，矩形和扇形的面积分别为，．

（1）的长为 　　，的长为 　　；（用含或的代数式表示）
（2）求，的最大值，并比较大小．
24．（8分）在同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．
（1）如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为 　　．
（2）如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．

25．（8分）如图，在中，，点，分别在边，上，，以为直径的与相切于点，连接，，．
（1）求证：①；
②．
（2）若，，则的长为 　　．

26．（8分）已知二次函数．
（1）求证：该二次函数图像与轴总有两个公共点；
（2）当时，该二次函数图像顶点的纵坐标的最小值是 　　．
（3）若该二次函数图像的对称轴为直线，当时，结合图像，直接写出的取值范围．
27．（10分）“关联”是解决数学问题的重要思维方式．角平分线的有关联想就有很多
【问题提出】
（1）如图①，是的角平分线，求证．
小明思路：关联“平行线、等腰三角形”，利用“三角形相似”．
小红思路：关联“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，利用“等面积法”．
请根据小明或小红的思路，选择一种并完成证明．
【作图应用】
（2）如图②，是的弦，在上作出点，使得．
要求：（1）用直尺和圆规作图；（2）保留作图的痕迹，写出必要的文字说明．
【深度思考】
（3）如图③，是的角平分线，若，，则的面积最大值是 　　．


参考答案与解析
选择、填空题答案
1
2
3
4
5
6
C
B
B
B
D
A
7.， 8.2 9. 10. 11.0 12.180° 13.1.5 14.6 15. 16.
17.解：（1），
，
，
，
，.
（2），
，
，．
18.解：（1）
（2）3人随机站成一排，共有6种等可能性结果：（小明，小红，老师）、（小明，老师、小红）、（小红，小明，老师）、（小红，老师，小明）、（老师，小明，小红）、（老师，小红，小明），其中满足“小明与数学老师相邻而站”（记为事件的结果有4种，
所以（A）．
19.解：（1）80 80
（2），
，
，所以甲同学的成绩更加稳定.
（3）甲同学的成绩在70，80，90间上下波动，而乙的成绩从60分到100分，呈现上升趋势，越来越好，进步明显．
20.（1）证明：四边形是的内接四边形，
．
，．
又，.
（2），
，，．
．
21.解：（1）根据题意，可得图像顶点坐标为，
设二次函数的表达式为，
将代入表达式，得，解得，
二次函数的表达式为.
（2）
（3）图像翻折后，到，故，
如图所示：

，新对称轴为直线，，
新二次函数表达式为．
22.（1）证明：四边形是矩形，.
，，.
．
，
，即.
（2）解：4
23.解：（1）
（2），
，当时，有最大值9．
，
，当时，有最大值9．
的最大值的最大值．
24.解：（1）
（2）如图，过点作，，垂足分别为、．
，
，．

25.（1）①证明：连接，如图，

与边相切于点，，
，，
，.
②证明：，
，．
，，
，．
.
（2）解：
26.解：（1）根据题意，当时，，
，
方程有两个不相等的实数根，
该二次函数图像与轴总有两个公共点.
（2）2
（3）二次函数，
抛物线的对称轴为直线，，
，
，解得或．
27.（1）证明：如图1，作于，作于.

是的平分线，.
，.
（2）解：如图2，

①作的垂直平分线，交于，交于，
②作的垂直平分线，交于，作射线，交圆于，
则点就是求作的图形，
连接，交于点，点也是求作的图形.
（3）解：3