2022-2023学年江苏省南京市联合体九年级（上）期中数学试卷

这是一份2022-2023学年江苏省南京市联合体九年级（上）期中数学试卷，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省南京市联合体九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是　　
A． B． C． D．
2．若关于的方程有一个根是1，则的值为　　
A．3 B．2 C．1 D．
3．用配方法解方程，下列变形正确的是　　
A． B． C． D．
4．如图，在中，，．若以点为圆心，长为半径的圆与交于点，则的度数为　　

A． B． C． D．
5．如图，是的中点，弦，，且，则所在圆的半径为　　

A．4 B．5 C．6 D．10
6．如图，点，，在上，，，，则的半径为　　

A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写答题卡相应位置上）
7．方程的根是 　　．
8．已知的半径为，线段的长为，则点在　　（填“内”、“外”或“上” ．
9．若关于的方程没有实数根，则的值可以是 　　（写出一个符合条件的值即可）．
10．如图，是的直径，弦．若，则　 　度．

11．如图，，是的弦，，是的切线．若，则　　．

12．某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到64万只．设七、八月份口罩产量的月平均减少率为，则可列方程为 　　．
13．已知，是方程的两个根，则的值是 　　．
14．用半径为，圆心角为的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆半径为 　　．
15．若关于的一元二次方程的两根分别为、2，则方程的根为 　　．
16．如图，是的弦，点在内，，，连接，若的半径是4，则长的最小值为 　　．

三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
18．（8分）关于的方程．
（1）求证：不论取何值，方程总有两个实数根；
（2）若方程有两个相等的实数根，请求出的值并求此时方程的根．
19．（7分）如图，的弦、相交于点，，求证：．

20．（7分）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．
已知：如图，是的直径，是的弦，　　．
求证：　　．
证明：

21．（7分）某小区有一块长方形绿地，长为，宽为．为美化小区环境，现进行如下改造，将绿地的长减少米，宽增加米，使改造后的面积比原来增加．求的值．
22．（7分）如图，在中，，与相切，且与相切于点．
（1）用直尺和圆规作出（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若，，则的半径为 　　．

23．（7分）如图，在中，平分，平分，的延长线交的外接圆于点，连接．求证：．

24．（8分）如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根是另一个根的3倍，那么称这样的方程为“三倍根方程”．例如，方程的两个根是1和3，则这个方程就是“三倍根方程”．
（1）下列方程是三倍根方程的是 　　；
①；
②；
③．
（2）若关于的方程是“三倍根方程”，则　　；
（3）若是关于的“三倍根方程”，求代数式的值．
25．（9分）某商场销售一批球鞋，其进价为每双200元．经市场调查发现，按每双300元出售，平均每天可售出20双．假设球鞋的单价每降5元，商场平均每天可多售出10双．该商场若要达到平均每天盈利4800元，则每双球鞋的定价为多少元？
26．（9分）在四边形中，，是上一点，以为直径的经过，两点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．

27．（11分）为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．

已知四边形是的内接四边形，对角线与相交于点．
【特殊情形】
（1）如图①，，过圆心作，垂足为，当是的直径时，求证：．
【一般情形】
（2）如图②，，过圆心作，垂足为，当不是的直径时，求证：．
【经验迁移】
（3）如图③，，，为上的一点，，若为的中点，连接，则长的最小值为 　　．

参考答案与解析
选择、填空题答案
1
2
3
4
5
6
D
A
D
B
B
C
7.， 8.内 9.2（答案不唯一） 10.25 11.80 12. 13.2019 14.10 15.，
16.
17.解：（1），
移项，得，
，
，∴，
∴，.
（2），
，
，
，
或，
∴，．
18.（1）证明：，
无论取任何实数，，
原方程总有两个实数根．
（2）解：方程有两个相等的实数根，
∴，解得.
当时，方程为，
解得．
19.证明：如图，连接，，，

，，
，即，
，．
20.解：已知：如图，是的直径，是的弦，．
求证：，，．
证明：如图，连接，，

在中，，，
，，
，，．
21.解：依题意，得，
整理，得，解得，．
答：的值为3或9．
22.解：（1）如图，即所求.

（2）
23.证明：平分，平分，
，，
和所对的圆心角相等，，
，.
，，
，．
24.解：（1）③
（2）
（3）设方程的两根为，，
根据根与系数的关系得，，
即，，
所以．
25.解：设每双鞋子应降价元.
根据题意，得，
整理，得，解得，，
每双球鞋的定价为或，
答：每双球鞋的定价为280元或230元．
26.（1）证明：如图，连接并延长交于，连接，.
，.
，，都在的垂直平分线上，
是的垂直平分线，
，.
是的直径，.
，四边形是矩形，.
点在上，是的切线.

（2）解：∵，，
是的中位线，.
设的半径为，
在中，，
在中，，
，
解得，（舍去），．
27.（1）证明：在中，，.
，是的中线，.
是的直径，，，，.
（2）证明：如图，作直径交于点，连接.
在中，，.
，是的中位线，.
是直径，，.
，.
，，，
，.
，.

（3）解：