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2023年广东省广州中学中考数学模拟试卷（6月份）（含解析）
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这是一份2023年广东省广州中学中考数学模拟试卷（6月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了 15的相反数为，04×106B， 下列计算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省广州中学中考数学模拟试卷（6月份）
1. 15的相反数为( )
A. 5 B. −15 C. 15 D. −5
2. 近年来，广东紧紧围绕产业布局优化技能人才结构，推动广东技工与广东制造共同成长，加快建设一支宏大的知识型、技能型、创新型产业工人大军.目前，全省技能人才约18040000人，将数据18040000用科学记数法表示为( )
A. 18.04×106 B. 1.804×106 C. 0.1804×107 D. 1.804×107
3. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 有一组数据为88，96，109，109，122，141，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 122，109 B. 109，122 C. 109，109 D. 141，109
5. 下列计算正确的是( )
A. a2⋅a4=a8 B. (a2)2=a4 C. (2a)3=2a3 D. a10÷a2=a5
6. 如图，直线AB//CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于( )
A. 70°
B. 80°
C. 90°
D. 100°
7. 某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是( )
A. 100(1+x) B. 100(1+x)2 C. 100(1+x2) D. 100(1+2x)
8. 二次函数y=(x+m)2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象不经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点．若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于( )
A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D. 2
10. 如图，在直径为AB的半圆O上有一动点P从A点出发，按顺时针方向绕半圆匀速运动到B点，然后再以相同的速度沿着直径回到A点停止，线段OP的长度d与运动时间t之间的函数关系用图象描述大致是( )
A. B. C. D.
11. tan45°= ______ ．
12. 分解因式：3a2b+6a= ______ ．
13. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC=38°，则∠ACB= ______ °.
14. 若菱形两条对角线的长度是方程x2−9x+20=0的两根，则该菱形的面积为______ ．
15. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB的中点，E在线段AC上，且ADAB=DEBC，则AEAC= ______ ．
16. 观察按一定规律排列的一组数：2，12，27，…，其中第n个数记为an；第n+1个数记为an+1，第n+2个数记为an+2，且满足1an+1an+2=2an+1，则a4= ______ ，a2023= ______ ．
17. 解方程组：x+2y=4x+3y=5．
18. 如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
求证：△ABC≌△ADC．
19. 一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．(请用画树状图或列表等方法说明理由)
20. 已知T=a(a−2)+(a+3)2．
(1)化简T；
(2)若a是一元二次方程x2+2x−2=0的解，求T的值．
21. “双减”政策背景下，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子，已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的键子数量相同．
(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
(2)如果学校计划购买跳绳和毽子共80个，总费用不超过460元，那么最多能买多少个跳绳？
22. 如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OC在y轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A和点B(2,6)，且点B为AC的中点．
(1)求k的值；
(2)求△AOB的面积．
23. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．
(1)作∠AOC的角平分线OM，交弧AC于点P(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法)．
(2)在(1)的条件下，连接AP，AC，若AP= 10，AC=6，求P到AC的距离及cos∠BAC的值．
24. 已知直线d：y=kx+b经过点(0,−7)和点(8,1)．
(1)求直线d的解析式；
(2)若点P(m,n)是直线d上的一点，以点P为顶点的抛物线G经过点(0,3)，且开口向上．
①试求n的取值范围；
②设抛物线G与直线d的另一个交点为Q，当点Q向左平移一个单位长度后所得到的点Q′也在图象G上，且m<0，试求G在2m≤x≤2m3+1的图象的最高点的坐标．
25. 如图①，正方形ABCD中，AB=5，点E是边AB上的动点，点F、G是边BC上的动点，且AE=BF=FG，连接EF、AC．
(1)如图①，作EO//AD，交AC点O，连接GO，求证：四边形EFGO是平行四边形；
(2)如图②，延长EF、DG相交于点P，试求∠DPE的度数；
(3)如图③，连接EG、DF，记y= 5DF+EG，试求y的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：15的相反数为−15．
故选：B．
依据相反数的定义求解即可．
本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：18040000=1.804×107．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度与自身重合．
4.【答案】C
【解析】解：109出现了2次，出现次数最多，所以这组数据的众数为109；
最中间两个数为109，109，它们的平均数为109，所以这组数据的中位数是109．
故选C．
根据众数和中位数的定义求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．也考查了中位数．
5.【答案】B
【解析】解：A、a2⋅a4=a6，故A不符合题意；
B、(a2)2=a4，故B符合题意；
C、(2a)3=8a3，故C不符合题意；
D、a10÷a2=a8，故D不符合题意；
故选：B．
利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的除法法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠1=∠B=50°，
∵∠C=40°，
∴∠E=180°−∠B−∠1=90°，
故选：C．
根据平行线的性质得到∠1=∠B=50°，由三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×(1±x)，再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．
设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是100(1+x)，五月份的产量是100(1+x)2，据此列方程即可．
【解答】
解：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100(1+x)2，
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴−m>0，n<0，
∴m<0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，
∴不经过第一象限．
故选：A．
根据抛物线的顶点在第四象限，得出n<0，m<0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，即可得出结论．
此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．
9.【答案】C
【解析】解：连接AA′，如图，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，
∴AC= 3BC=2 3，∠B=60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，
∴CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′，
∵CB=CB′，∠B=60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴∠BCB′=60°，
∴∠ACA′=60°，
∴△CAA′为等边三角形，
过点A作AD⊥A′C于点D，
∴CD=12AC= 3，
∴AD= 3CD= 3× 3=3，
∴点A到直线A′C的距离为3，
故选：C．
由直角三角形的性质求出AC=2 3，∠B=60°，由旋转的性质得出CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′，证出△CBB′和△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A′C于点D，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形的性质及等边三角形的判定与性质．
10.【答案】A
【解析】解：∵圆的半径为定值，
∴在当点P从点A到点B的过程中OP的长度为定值，当点P从点B到点O的过程中OP逐渐缩小，从点O到点A的过程中OP逐渐增大．
故选：A．
先根据圆的半径为定值可知，在当点P从点A到点B的过程中OP的长度为定值，当点P从点B到点O的过程中OP逐渐缩小，从点O到点A的过程中OP逐渐增大，由此即可得出结论．
本题考查的是定点问题的函数图象，熟知圆的特点是解答此题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：tan45°=1，
故答案为：1．
根据45°的正切值是1解答．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记45°的正切值是1是解题的关键．
12.【答案】3a(ab+2)
【解析】解：原式=3a(ab+2)．
故答案为：3a(ab+2)．
直接提公因式3a即可．
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
13.【答案】52
【解析】解：∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=90°−∠BAC=90°−38°=52°．
故答案为：52．
先根据切线的性质得到∠ABC=90°，然后利用直角三角形两锐角互余计算出∠ACB的度数．
本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解决问题的关键．
14.【答案】10
【解析】解：解方程x2−9x+20=0得到x=4或5，
∴菱形的对角线长分别为4和5，
∴菱形的面积=12×4×5=10，
故答案为：10．
解方程可得菱形的对角线长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
本题考查菱形的性质、一元二次方程的解等知识，记住菱形的面积公式是解题的关键，属于基础题．
15.【答案】14或12
【解析】解：∵D为AB中点，
∴ADAB=DEBC=12，即DE=12BC，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时D//BC，DE1=12BC，
∴AE1AC=ADAB=12，
在C上取一点E2，使得DE1=DE2，则DE2E=12BC，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC=12AC，
∴DE1//BC，
∴∠DE1E2=60°，
∴△DE1E2是等边三角形，
∴DE1=DE2=E1E2=12BC，
∴E1E2=14AC，即AE2AC=14，综上，AEAC的值为：12或14，
故答案为：12或14．
由题意可求出DE=12BC，取CA中点E1，连接DE1，则DE1是BC的中位线，满足DE1=12BC，进而可求此时AE1AC=12，后在4C上取一点E2，使得
DE1=DE2，则DE2=12BC，证明ADE1E2，是等边三角形，求出E1E2=14AC，即可得到AE2AC=14题得解．
本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30角的直角三角形的性质等，根：DE=BC进行分情况求解是解题的关键
16.【答案】15 26067
【解析】解：由题意得：a1=2，a2=12，a3=27，
∵1an+1an+2=2an+1，
∴当n=2时，1a2+1a4=2a3，
即112+1a4=227，
解得：a4=15，
当n=3时，可求得a5=213，
则这列数为：21,24,27,210,213，…，
可看出，分子为2，分母为3n−2，
∴第n个数为：23n−2，
∴a2023=23×2023−2=26067．
故答案为：15，26067．
把相应的数字代入，从而可求得a4，a5，再分析其中的规律进行求解即可．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．
17.【答案】解：x+2y=4①x+3y=5②，
②−①得：y=1，
把y=1代入①得：x=2，
∴原方程组的解为x=2y=1．
【解析】通过加减消元法消去x求出y的值，代入第一个方程求出x的值即可得出答案．
本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
∠BAC=∠DAC∠B=∠DAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(AAS)．
【解析】由角平分线定义得到∠BAC=∠DAC，由垂直的定义得到∠B=∠D=90°，又AC=AC，即可证明△ABC≌△ADC(AAS)．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
19.【答案】解：(1)14；
(2)画树状图如图所示：
共有16种等可能的结果数，其中2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的有6种，
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为616=38．
【解析】
【分析】
本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
(1)直接利用概率公式求解即可求得答案；
(2)用画树状图法求出所有等可能出现的情况，从中找出1个白球和1个红球的结果数，进而求出概率．
【解答】
解：(1)∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为：11+3=14．
故答案为：14；
(2)见答案．
20.【答案】解：(1)T=a2−2a+a2+6a+9=2a2+4a+9；
(2)∵a是一元二次方程x2+2x−2=0的解，
∴a2+2a−2=0，
∴a2+2a=2，
∴T=2(a2+2a)+9=2×2+9=13．
【解析】(1)先利用整式的乘法运算展开，然后合并即可；
(2)先根据一元二次方程根的定义得到a2+2a=2，再把T变形为2(a2+2a)+9，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
21.【答案】解：(1)设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为(x+3)元，
依题意，得：800x+3=500x，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
∴x+3=8．
答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元；
(2)设跳绳能买y根，则毽子能买(80−y)个，
依题意，得：8y+5(80−y)≤460，
解得：y≤20，
答：最多可购买20根跳绳．
【解析】(1)设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为(x+5)元，由题意列出方程，解方程即可；
(2)设跳绳能买y个，则毽子能买(120−y)根，由题意列出不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用；解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)把点B(2,6)代入反比例函数y=kx得，
k=2×6=12；
(2)∵C在y轴上，
∴点C的横坐标为0，
∵B是AC的中点，
∴点A的横坐标为4，
∴4y=12，
∴y=3，
∴A(4,3)，
∴C(0,9)，
∴△AOB的面积=△AOC的面积−△BOC的面积
=12×9×xA−12×9×xB
=12×9×4−12×9×2
=18−9
=9．
【解析】(1)把点B(2,6)代入反比例函数的关系式可求出k的值；
(2)计算A和C的坐标，根据面积差可得△AOB的面积．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
23.【答案】解：(1)如图所示，射线OM即为所求；
(2)设AC与OM交于Q，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM=∠COM，
∴AP=CP，
∴OP⊥AC．AQ=CQ=12AC=3，
∵AP= 10，
∴PQ= AP2−AQ2= 10−9=1，
设OA=OP=x，则OQ=x−1，
∵AQ2+OQ2=OA2，
∴32+(x−1)2=x2，
∴x=5，
∴AO=5，
∴cos∠BAC=AQAO=35．
【解析】(1)根据角平分线的作法作出图形即可；(2)设AC与OM交于Q，根据角平分线的定义得到∠AOM=∠COM，求得AP=CP，根据勾股定理得到PQ= AP2−AQ2= 10−9=1，设OA=OP=x，则OQ=x−1，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的定义，垂径定理，勾股定理，三角函数的定义，正确地作出图形是解题的关键．
24.【答案】解：(1)将点(0,−7)和点(8,1)代入y=kx+b，
∴b=−78k+b=1，
解得k=1b=−7，
∴直线d的解析式为y=x−7；
(2)①∵点P(m,n)在直线d上，
∴n=m−7，
设抛物线的解析式为y=a(x−m)2+m−7，
∵抛物线经过点(0,3)，
∴am2+m−7=3，
∴a=10−mm2，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴a=10−mm2>0，
∴m<10且m≠0，
∴n+7<10且n+7≠0，
∴n<3且n≠−7；
②∵抛物线的对称轴为直线x=m，
∴Q点与Q′关于x=m对称，
∴Q点的横坐标为m+12，
联立方程组y=x−7y=a(x−m)2+m−7，
整理得ax2+(−1−2ma)x+am2+m=0，
∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，
∴m+m+12=2m+1a，
∴a=2，
∴y=2(x−m)2+m−7，
∴2m2+m−7=3，
解得m=−52且m=2(舍去)
∴y=2(x+52)2−192，
此时抛物线的对称轴为直线x=−52，
图象在−5≤x≤−23上的最高点坐标为(−5,3)．
【解析】(1)用待定系数法求解析式即可；
(2)①设抛物线的解析式为y=a(x−m)2+m−7，将点(0,3)代入可得am2+m−7=3，再由a=10−mm2>0，求m的取值即可，进一步求得n的取值；
②由题意求出Q点的横坐标为m+12，联立方程组y=x−7y=a(x−m)2+m−7，整理得ax2+(−1−2ma)x+am2+m=0，根据根与系数的关系可得m+m+12=2m+1a，可求a=2，从而可求m=−52，确定抛物线的解析式后即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：由正方形的性质可得∠BAC=45°，∠BAD=90°，
∵EO//AD，
∴∠AEO=90°，EO//FG，
∴∠EOA=45°，
∴EO=AE=FG，
又∵EO//FG，
∴四边形EFGO是平行四边形；
(2)解：如图②，连接BD交AC于O，连接FO，EO，
由正方形的性质可知，O为BD中点，AO=BO，∠EAO=∠FBO=45°，∠AOB=90°，
又∵AE=BF，
∴△EAO≌△FBO(SAS)，
∴OE=OF，∠BOF=∠AOE，
∴∠BOF+∠EOB=∠AOE+∠EOB=∠AOB=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠EFO=45°，
∵O为BD中点，F为BG中点，
∴OF是△BGD的中位线，
∴OF//DG，
∴∠DPE=∠EFO=45°，
∴∠DPE的度数为45°；
(3)解：如图③，连接EC，
由正方形的性质可知4B=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∵AE=BF，
∴BE=CF，
∵BE=CF，∠EBC=∠FCD=90°，BC=CD，
∴△EBC≌△FCD(SAS)，
∴EC=DF，
如图③，作EC关于AB对称的线段EH，交CB延长线于H，
∴EH=CE=DF，
如图③，在AB上截取AM=1，过M作MP⊥AB于M，使MP=2，连接AP、BP，
∴AP= AM2+MP2= 5，BP= BM2+MP2=2 5，AP2+BP2=25=AB2，
∴∠APB=90°，
如图③，过P作PN⊥BC于N，则四边形BNPM是矩形，
设AE=a，则BE=5−a，BG=2a，NG=2a−2，PN=BM=4，
由勾股定理得PE2=ME2+MP2=(a−1)2+22，PG2=NG2+PN2=(2a−2)2+42，EG2=BE2+BG2=(5−a)2+(2a)2，
∵(a−1)2+22+(2a−2)2+42=5a2−10a+25=(5−a)2+(2a)2，
∴PE2+PG2=EG2，
∴∠EPG=90°，
∴PEEG= 55=sin∠EGP，
由题意知，y= 5DF+EG= 5(DF+ 55EG)，
∵PE= 55EG，DF=EH，
∴DF+ 55EG=EH+PE，
∴当H、E、P三点共线时，DF+号EDF+ 55EG最小，
如图③，连接HP，则HN=7，PN=4，
在Rt△PHN中，由勾股定理得PH= NH2+PN2= 65，
∴DF+ 55EG最小值为 65，
∴′y= 5DF+EG= 5× 65=5 13，
∴y的最小值为5 13．
【解析】(1)由正方形的性质可得∠BAC=45°，∠BAD=90°，由EO//AD，可知∠AEO=90°，EO//FG，则∠EOA=45°，EO=AE=FG，进而可证四边形EFGO是平行四边形；
(2)如图②，连接BD交AC于O，连接FO，EO，由正方形的性质可知，O为BD中点，AO=BO，∠EAO=∠FBO=45°，∠AOB=90°，证明△EAO≌△FBO(SAS)，则OE=OF，∠BOF=∠AOE，∠BOF+∠EOB=∠AOE+∠EOB=∠AOB=90°，可得△EOF是等腰直角三角形，∠EFO=45°，由OF是A BG的中位线，可得OF//DG，则∠DPE=∠EFO，求解即可；
(3)如图③，连接EC，由正方形的性质可知AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，证明△EBC≌△FCD(SAS)，则EC=DF，如图③，作EC关于AB对称的线段EH，交CB延长线于H，则EH=CE=DF，如图③，在AB上截取AM=1，过M作MP⊥AB于M.使MP=2，连接AP、BP，由勾股定理得AP= 5，BP=2 5，AP2+BP2=25=AB2，则∠APB=90°，如图③，过P作PN⊥BC于N，则四边形BNPM是矩形，设AE=a，则BE=5−a，BG=2a，NG=2a−2，PN−BM=4，由勾股定理得PE2=ME2+MP2=(a−1)2+22，PG2=NG2+PN2=(2a−2)2+42，EG2=BE2+BG2=(5−a)2+(2a)2，可求PE2+PG2=EG2，则∠EPG−90°，PEEG= 55=sin∠EGP，由题意知y= 5DF+EG= 5(DF+ 55EG)，由pE= 55EG，DF=EH，可得DF+ 55EG=EH+PE，当H、E、P三点共线时，DF+ 55EG最小，如图③，连接HP，则HN=7，PN=4，Rt△PHN中，由勾股定理得PH= HN2+PN2= 65，则DF+ 55EG最小值为 65，根据y= 5(DF+ 55EG)，计算求解，可得y的最小值．
本题考查了正方形的性质，等角对等边，平行四边形的判定，中位线，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称，正弦，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2023年广东省广州中学中考数学模拟试卷（6月份）
1. 15的相反数为( )
A. 5 B. −15 C. 15 D. −5
2. 近年来，广东紧紧围绕产业布局优化技能人才结构，推动广东技工与广东制造共同成长，加快建设一支宏大的知识型、技能型、创新型产业工人大军.目前，全省技能人才约18040000人，将数据18040000用科学记数法表示为( )
A. 18.04×106 B. 1.804×106 C. 0.1804×107 D. 1.804×107
3. 下列图形是轴对称图形而不是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 有一组数据为88，96，109，109，122，141，则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 122，109 B. 109，122 C. 109，109 D. 141，109
5. 下列计算正确的是( )
A. a2⋅a4=a8 B. (a2)2=a4 C. (2a)3=2a3 D. a10÷a2=a5
6. 如图，直线AB//CD，∠B=50°，∠C=40°，则∠E等于( )
A. 70°
B. 80°
C. 90°
D. 100°
7. 某文具店三月份销售铅笔100支，四、五两个月销售量连续增长．若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是( )
A. 100(1+x) B. 100(1+x)2 C. 100(1+x2) D. 100(1+2x)
8. 二次函数y=(x+m)2+n的图象如图所示，则一次函数y=mx+n的图象不经过( )
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
9. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，其中点A′与点A是对应点，点B′与点B是对应点．若点B′恰好落在AB边上，则点A到直线A′C的距离等于( )
A. 3 3 B. 2 3 C. 3 D. 2
10. 如图，在直径为AB的半圆O上有一动点P从A点出发，按顺时针方向绕半圆匀速运动到B点，然后再以相同的速度沿着直径回到A点停止，线段OP的长度d与运动时间t之间的函数关系用图象描述大致是( )
A. B. C. D.
11. tan45°= ______ ．
12. 分解因式：3a2b+6a= ______ ．
13. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC=38°，则∠ACB= ______ °.
14. 若菱形两条对角线的长度是方程x2−9x+20=0的两根，则该菱形的面积为______ ．
15. 如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，D为AB的中点，E在线段AC上，且ADAB=DEBC，则AEAC= ______ ．
16. 观察按一定规律排列的一组数：2，12，27，…，其中第n个数记为an；第n+1个数记为an+1，第n+2个数记为an+2，且满足1an+1an+2=2an+1，则a4= ______ ，a2023= ______ ．
17. 解方程组：x+2y=4x+3y=5．
18. 如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为B，D．
求证：△ABC≌△ADC．
19. 一只不透明的袋子中装有1个白球，3个红球，这些球除颜色外都相同．
(1)搅匀后从中任意摸出1个球，这个球是白球的概率为______；
(2)搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回，搅匀，再从中任意摸出1个球，求2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率．(请用画树状图或列表等方法说明理由)
20. 已知T=a(a−2)+(a+3)2．
(1)化简T；
(2)若a是一元二次方程x2+2x−2=0的解，求T的值．
21. “双减”政策背景下，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子，已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的键子数量相同．
(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元？
(2)如果学校计划购买跳绳和毽子共80个，总费用不超过460元，那么最多能买多少个跳绳？
22. 如图，在平面直角坐标系中，△AOC的边OC在y轴上，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A和点B(2,6)，且点B为AC的中点．
(1)求k的值；
(2)求△AOB的面积．
23. 如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点．
(1)作∠AOC的角平分线OM，交弧AC于点P(要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法)．
(2)在(1)的条件下，连接AP，AC，若AP= 10，AC=6，求P到AC的距离及cos∠BAC的值．
24. 已知直线d：y=kx+b经过点(0,−7)和点(8,1)．
(1)求直线d的解析式；
(2)若点P(m,n)是直线d上的一点，以点P为顶点的抛物线G经过点(0,3)，且开口向上．
①试求n的取值范围；
②设抛物线G与直线d的另一个交点为Q，当点Q向左平移一个单位长度后所得到的点Q′也在图象G上，且m<0，试求G在2m≤x≤2m3+1的图象的最高点的坐标．
25. 如图①，正方形ABCD中，AB=5，点E是边AB上的动点，点F、G是边BC上的动点，且AE=BF=FG，连接EF、AC．
(1)如图①，作EO//AD，交AC点O，连接GO，求证：四边形EFGO是平行四边形；
(2)如图②，延长EF、DG相交于点P，试求∠DPE的度数；
(3)如图③，连接EG、DF，记y= 5DF+EG，试求y的最小值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：15的相反数为−15．
故选：B．
依据相反数的定义求解即可．
本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：18040000=1.804×107．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
3.【答案】C
【解析】解：A.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意；
D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度与自身重合．
4.【答案】C
【解析】解：109出现了2次，出现次数最多，所以这组数据的众数为109；
最中间两个数为109，109，它们的平均数为109，所以这组数据的中位数是109．
故选C．
根据众数和中位数的定义求解．
本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．求一组数据的众数的方法：找出频数最多的那个数据，若几个数据频数都是最多且相同，此时众数就是这多个数据．也考查了中位数．
5.【答案】B
【解析】解：A、a2⋅a4=a6，故A不符合题意；
B、(a2)2=a4，故B符合题意；
C、(2a)3=8a3，故C不符合题意；
D、a10÷a2=a8，故D不符合题意；
故选：B．
利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则，同底数幂的除法法则对各项进行运算即可．
本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
6.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD，
∴∠1=∠B=50°，
∵∠C=40°，
∴∠E=180°−∠B−∠1=90°，
故选：C．
根据平行线的性质得到∠1=∠B=50°，由三角形的内角和即可得到结论．
本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质的应用，注意：两直线平行，同旁内角互补，题目比较好，难度适中．
7.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程．原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a×(1±x)，再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．
设出四、五月份的平均增长率，则四月份的市场需求量是100(1+x)，五月份的产量是100(1+x)2，据此列方程即可．
【解答】
解：若月平均增长率为x，则该文具店五月份销售铅笔的支数是：100(1+x)2，
故选：B．
8.【答案】A
【解析】解：∵抛物线的顶点在第四象限，
∴−m>0，n<0，
∴m<0，
∴一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，
∴不经过第一象限．
故选：A．
根据抛物线的顶点在第四象限，得出n<0，m<0，即可得出一次函数y=mx+n的图象经过二、三、四象限，即可得出结论．
此题考查了二次函数的图象，用到的知识点是二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质，关键是根据抛物线的顶点在第四象限，得出n、m的符号．
9.【答案】C
【解析】解：连接AA′，如图，
∵∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=2，
∴AC= 3BC=2 3，∠B=60°，
∵将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，
∴CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′，
∵CB=CB′，∠B=60°，
∴△CBB′为等边三角形，
∴∠BCB′=60°，
∴∠ACA′=60°，
∴△CAA′为等边三角形，
过点A作AD⊥A′C于点D，
∴CD=12AC= 3，
∴AD= 3CD= 3× 3=3，
∴点A到直线A′C的距离为3，
故选：C．
由直角三角形的性质求出AC=2 3，∠B=60°，由旋转的性质得出CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′，证出△CBB′和△CAA′为等边三角形，过点A作AD⊥A′C于点D，由等边三角形的性质及直角三角形的性质可得出答案．
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了直角三角形的性质及等边三角形的判定与性质．
10.【答案】A
【解析】解：∵圆的半径为定值，
∴在当点P从点A到点B的过程中OP的长度为定值，当点P从点B到点O的过程中OP逐渐缩小，从点O到点A的过程中OP逐渐增大．
故选：A．
先根据圆的半径为定值可知，在当点P从点A到点B的过程中OP的长度为定值，当点P从点B到点O的过程中OP逐渐缩小，从点O到点A的过程中OP逐渐增大，由此即可得出结论．
本题考查的是定点问题的函数图象，熟知圆的特点是解答此题的关键．
11.【答案】1
【解析】解：tan45°=1，
故答案为：1．
根据45°的正切值是1解答．
本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记45°的正切值是1是解题的关键．
12.【答案】3a(ab+2)
【解析】解：原式=3a(ab+2)．
故答案为：3a(ab+2)．
直接提公因式3a即可．
此题主要考查了提公因式法分解因式，关键是正确确定公因式．
13.【答案】52
【解析】解：∵BC是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴AB⊥BC，
∴∠ABC=90°，
∴∠ACB=90°−∠BAC=90°−38°=52°．
故答案为：52．
先根据切线的性质得到∠ABC=90°，然后利用直角三角形两锐角互余计算出∠ACB的度数．
本题考查了切线的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解决问题的关键．
14.【答案】10
【解析】解：解方程x2−9x+20=0得到x=4或5，
∴菱形的对角线长分别为4和5，
∴菱形的面积=12×4×5=10，
故答案为：10．
解方程可得菱形的对角线长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
本题考查菱形的性质、一元二次方程的解等知识，记住菱形的面积公式是解题的关键，属于基础题．
15.【答案】14或12
【解析】解：∵D为AB中点，
∴ADAB=DEBC=12，即DE=12BC，取AC中点E1，连接DE1，则DE1是△ABC的中位线，此时D//BC，DE1=12BC，
∴AE1AC=ADAB=12，
在C上取一点E2，使得DE1=DE2，则DE2E=12BC，
∵∠A=30°，∠B=90°，
∴∠C=60°，BC=12AC，
∴DE1//BC，
∴∠DE1E2=60°，
∴△DE1E2是等边三角形，
∴DE1=DE2=E1E2=12BC，
∴E1E2=14AC，即AE2AC=14，综上，AEAC的值为：12或14，
故答案为：12或14．
由题意可求出DE=12BC，取CA中点E1，连接DE1，则DE1是BC的中位线，满足DE1=12BC，进而可求此时AE1AC=12，后在4C上取一点E2，使得
DE1=DE2，则DE2=12BC，证明ADE1E2，是等边三角形，求出E1E2=14AC，即可得到AE2AC=14题得解．
本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例，等边三角形的判定和性质以及含30角的直角三角形的性质等，根：DE=BC进行分情况求解是解题的关键
16.【答案】15 26067
【解析】解：由题意得：a1=2，a2=12，a3=27，
∵1an+1an+2=2an+1，
∴当n=2时，1a2+1a4=2a3，
即112+1a4=227，
解得：a4=15，
当n=3时，可求得a5=213，
则这列数为：21,24,27,210,213，…，
可看出，分子为2，分母为3n−2，
∴第n个数为：23n−2，
∴a2023=23×2023−2=26067．
故答案为：15，26067．
把相应的数字代入，从而可求得a4，a5，再分析其中的规律进行求解即可．
本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律．
17.【答案】解：x+2y=4①x+3y=5②，
②−①得：y=1，
把y=1代入①得：x=2，
∴原方程组的解为x=2y=1．
【解析】通过加减消元法消去x求出y的值，代入第一个方程求出x的值即可得出答案．
本题考查了解二元一次方程组，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC=∠DAC，
∵CB⊥AB，CD⊥AD，
∴∠B=∠D=90°，
在△ABC和△ADC中，
∠BAC=∠DAC∠B=∠DAC=AC，
∴△ABC≌△ADC(AAS)．
【解析】由角平分线定义得到∠BAC=∠DAC，由垂直的定义得到∠B=∠D=90°，又AC=AC，即可证明△ABC≌△ADC(AAS)．
本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法．
19.【答案】解：(1)14；
(2)画树状图如图所示：
共有16种等可能的结果数，其中2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的有6种，
∴2次摸到的球恰好是1个白球和1个红球的概率为616=38．
【解析】
【分析】
本题考查列表法或树状图法求等可能事件发生的概率，使用此方法一定注意每一种结果出现的可能性是均等的，即为等可能事件．
(1)直接利用概率公式求解即可求得答案；
(2)用画树状图法求出所有等可能出现的情况，从中找出1个白球和1个红球的结果数，进而求出概率．
【解答】
解：(1)∵一只不透明的袋子中装有1个白球和3个红球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中任意摸出1个球，则摸出白球的概率为：11+3=14．
故答案为：14；
(2)见答案．
20.【答案】解：(1)T=a2−2a+a2+6a+9=2a2+4a+9；
(2)∵a是一元二次方程x2+2x−2=0的解，
∴a2+2a−2=0，
∴a2+2a=2，
∴T=2(a2+2a)+9=2×2+9=13．
【解析】(1)先利用整式的乘法运算展开，然后合并即可；
(2)先根据一元二次方程根的定义得到a2+2a=2，再把T变形为2(a2+2a)+9，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
21.【答案】解：(1)设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为(x+3)元，
依题意，得：800x+3=500x，
解得：x=5，
经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，
∴x+3=8．
答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元；
(2)设跳绳能买y根，则毽子能买(80−y)个，
依题意，得：8y+5(80−y)≤460，
解得：y≤20，
答：最多可购买20根跳绳．
【解析】(1)设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为(x+5)元，由题意列出方程，解方程即可；
(2)设跳绳能买y个，则毽子能买(120−y)根，由题意列出不等式，解不等式即可．
本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用；解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)把点B(2,6)代入反比例函数y=kx得，
k=2×6=12；
(2)∵C在y轴上，
∴点C的横坐标为0，
∵B是AC的中点，
∴点A的横坐标为4，
∴4y=12，
∴y=3，
∴A(4,3)，
∴C(0,9)，
∴△AOB的面积=△AOC的面积−△BOC的面积
=12×9×xA−12×9×xB
=12×9×4−12×9×2
=18−9
=9．
【解析】(1)把点B(2,6)代入反比例函数的关系式可求出k的值；
(2)计算A和C的坐标，根据面积差可得△AOB的面积．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，三角形的面积，线段中点坐标公式，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是正确解答的前提．
23.【答案】解：(1)如图所示，射线OM即为所求；
(2)设AC与OM交于Q，
∵OM平分∠AOC，
∴∠AOM=∠COM，
∴AP=CP，
∴OP⊥AC．AQ=CQ=12AC=3，
∵AP= 10，
∴PQ= AP2−AQ2= 10−9=1，
设OA=OP=x，则OQ=x−1，
∵AQ2+OQ2=OA2，
∴32+(x−1)2=x2，
∴x=5，
∴AO=5，
∴cos∠BAC=AQAO=35．
【解析】(1)根据角平分线的作法作出图形即可；(2)设AC与OM交于Q，根据角平分线的定义得到∠AOM=∠COM，求得AP=CP，根据勾股定理得到PQ= AP2−AQ2= 10−9=1，设OA=OP=x，则OQ=x−1，解直角三角形即可得到结论．
本题考查了作图−基本作图，角平分线的定义，垂径定理，勾股定理，三角函数的定义，正确地作出图形是解题的关键．
24.【答案】解：(1)将点(0,−7)和点(8,1)代入y=kx+b，
∴b=−78k+b=1，
解得k=1b=−7，
∴直线d的解析式为y=x−7；
(2)①∵点P(m,n)在直线d上，
∴n=m−7，
设抛物线的解析式为y=a(x−m)2+m−7，
∵抛物线经过点(0,3)，
∴am2+m−7=3，
∴a=10−mm2，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
∴a=10−mm2>0，
∴m<10且m≠0，
∴n+7<10且n+7≠0，
∴n<3且n≠−7；
②∵抛物线的对称轴为直线x=m，
∴Q点与Q′关于x=m对称，
∴Q点的横坐标为m+12，
联立方程组y=x−7y=a(x−m)2+m−7，
整理得ax2+(−1−2ma)x+am2+m=0，
∵P点和Q点是直线l与抛物线G的交点，
∴m+m+12=2m+1a，
∴a=2，
∴y=2(x−m)2+m−7，
∴2m2+m−7=3，
解得m=−52且m=2(舍去)
∴y=2(x+52)2−192，
此时抛物线的对称轴为直线x=−52，
图象在−5≤x≤−23上的最高点坐标为(−5,3)．
【解析】(1)用待定系数法求解析式即可；
(2)①设抛物线的解析式为y=a(x−m)2+m−7，将点(0,3)代入可得am2+m−7=3，再由a=10−mm2>0，求m的取值即可，进一步求得n的取值；
②由题意求出Q点的横坐标为m+12，联立方程组y=x−7y=a(x−m)2+m−7，整理得ax2+(−1−2ma)x+am2+m=0，根据根与系数的关系可得m+m+12=2m+1a，可求a=2，从而可求m=−52，确定抛物线的解析式后即可求解．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，会用待定系数法求函数的解析式，分类讨论是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：由正方形的性质可得∠BAC=45°，∠BAD=90°，
∵EO//AD，
∴∠AEO=90°，EO//FG，
∴∠EOA=45°，
∴EO=AE=FG，
又∵EO//FG，
∴四边形EFGO是平行四边形；
(2)解：如图②，连接BD交AC于O，连接FO，EO，
由正方形的性质可知，O为BD中点，AO=BO，∠EAO=∠FBO=45°，∠AOB=90°，
又∵AE=BF，
∴△EAO≌△FBO(SAS)，
∴OE=OF，∠BOF=∠AOE，
∴∠BOF+∠EOB=∠AOE+∠EOB=∠AOB=90°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴∠EFO=45°，
∵O为BD中点，F为BG中点，
∴OF是△BGD的中位线，
∴OF//DG，
∴∠DPE=∠EFO=45°，
∴∠DPE的度数为45°；
(3)解：如图③，连接EC，
由正方形的性质可知4B=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，
∵AE=BF，
∴BE=CF，
∵BE=CF，∠EBC=∠FCD=90°，BC=CD，
∴△EBC≌△FCD(SAS)，
∴EC=DF，
如图③，作EC关于AB对称的线段EH，交CB延长线于H，
∴EH=CE=DF，
如图③，在AB上截取AM=1，过M作MP⊥AB于M，使MP=2，连接AP、BP，
∴AP= AM2+MP2= 5，BP= BM2+MP2=2 5，AP2+BP2=25=AB2，
∴∠APB=90°，
如图③，过P作PN⊥BC于N，则四边形BNPM是矩形，
设AE=a，则BE=5−a，BG=2a，NG=2a−2，PN=BM=4，
由勾股定理得PE2=ME2+MP2=(a−1)2+22，PG2=NG2+PN2=(2a−2)2+42，EG2=BE2+BG2=(5−a)2+(2a)2，
∵(a−1)2+22+(2a−2)2+42=5a2−10a+25=(5−a)2+(2a)2，
∴PE2+PG2=EG2，
∴∠EPG=90°，
∴PEEG= 55=sin∠EGP，
由题意知，y= 5DF+EG= 5(DF+ 55EG)，
∵PE= 55EG，DF=EH，
∴DF+ 55EG=EH+PE，
∴当H、E、P三点共线时，DF+号EDF+ 55EG最小，
如图③，连接HP，则HN=7，PN=4，
在Rt△PHN中，由勾股定理得PH= NH2+PN2= 65，
∴DF+ 55EG最小值为 65，
∴′y= 5DF+EG= 5× 65=5 13，
∴y的最小值为5 13．
【解析】(1)由正方形的性质可得∠BAC=45°，∠BAD=90°，由EO//AD，可知∠AEO=90°，EO//FG，则∠EOA=45°，EO=AE=FG，进而可证四边形EFGO是平行四边形；
(2)如图②，连接BD交AC于O，连接FO，EO，由正方形的性质可知，O为BD中点，AO=BO，∠EAO=∠FBO=45°，∠AOB=90°，证明△EAO≌△FBO(SAS)，则OE=OF，∠BOF=∠AOE，∠BOF+∠EOB=∠AOE+∠EOB=∠AOB=90°，可得△EOF是等腰直角三角形，∠EFO=45°，由OF是A BG的中位线，可得OF//DG，则∠DPE=∠EFO，求解即可；
(3)如图③，连接EC，由正方形的性质可知AB=BC=CD，∠ABC=∠BCD=90°，证明△EBC≌△FCD(SAS)，则EC=DF，如图③，作EC关于AB对称的线段EH，交CB延长线于H，则EH=CE=DF，如图③，在AB上截取AM=1，过M作MP⊥AB于M.使MP=2，连接AP、BP，由勾股定理得AP= 5，BP=2 5，AP2+BP2=25=AB2，则∠APB=90°，如图③，过P作PN⊥BC于N，则四边形BNPM是矩形，设AE=a，则BE=5−a，BG=2a，NG=2a−2，PN−BM=4，由勾股定理得PE2=ME2+MP2=(a−1)2+22，PG2=NG2+PN2=(2a−2)2+42，EG2=BE2+BG2=(5−a)2+(2a)2，可求PE2+PG2=EG2，则∠EPG−90°，PEEG= 55=sin∠EGP，由题意知y= 5DF+EG= 5(DF+ 55EG)，由pE= 55EG，DF=EH，可得DF+ 55EG=EH+PE，当H、E、P三点共线时，DF+ 55EG最小，如图③，连接HP，则HN=7，PN=4，Rt△PHN中，由勾股定理得PH= HN2+PN2= 65，则DF+ 55EG最小值为 65，根据y= 5(DF+ 55EG)，计算求解，可得y的最小值．
本题考查了正方形的性质，等角对等边，平行四边形的判定，中位线，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，轴对称，正弦，勾股定理，勾股定理逆定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
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