2022-2023学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年天津市和平区高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知全集U={x∈Z|x2−5x−6≤0}，集合A={x∈Z|x(2−x)≥0}，集合B={1,2,3}，则集合∁U(A∪B)=(    )
A. {1,2} B. {0,1,2,3} C. {−1,0,3,4,5,6} D. {−1,4,5,6}
2. 已知a为非零实数，则“a>1”是“a>1a”的(    )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 设某中学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(xi,yi)(i=1,2,⋯,n)，用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x−85.71，则下列结论中不正确的是(    )
A. y与x具有正线性相关关系
B. 回归直线过样本点的中心(x−,y−)
C. 若该中学某女生身高为160cm，则可断定其体重必为50.29kg
D. 若该中学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kg
4. 为考察一种新药预防疾病的效果，某科研小组进行动物实验，收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中．由列联表中的数据计算得x2≈10.921.参照附表，下列结论正确的是(    )
P(x2≥x0)
0.025
0.010
0.005
0.001
x0
5.02
6.635
7.879
10.828

A. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”
B. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物无效”
C. 有99.99%以上的把握认为“药物有效”
D. 有99.99%以上的把握认为“药物无效”
5. 函数f(x)=3x2−1x3的大致图像为(    )
A. B.
C. D.
6. 已知a=212，b=(ln2)−12，c=ln2，则a，b，c的大小关系为(    )
A. c 7. 五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛.某班有甲、乙、丙等6名同学参加，抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的条件下，学生甲、乙相邻出场的概率为(    )
A. 16 B. 13 C. 12 D. 23
8. 若函数h(x)=lnx−12ax2−2x在[1,4]上存在单调递减区间，则实数a的取值范围为(    )
A. [−716,+∞) B. (−1,+∞) C. [−1,+∞) D. (−716,+∞)
9. 已知函数f(x)=x−lnx,x>0x+1x,x<0，若y=f(x)−kx恰有两个零点，则k的取值范围为(    )
A. (1−1e,1) B. (1,1+1e)
C. (1,1+1e)∪(1+1e,+∞) D. (1−1e,1)∪(1,+∞)
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
10. 已知f′(x)是函数f(x)的导函数，若f(x)=f′(1)ln(x+1)+ex，则f′(0)= ______ ．
11. 设随机变量X服从正态分布N(1,σ2)，若P(X>2)=0.3，则P(X≥0)= ______ ．
12. 若随机变量X～B(n,13)，E(X)=53，则D(X)= ______ ．
13. 二项式( x−2x2)10展开式中的常数项是______ ．
14. 已知x2y2+y4=1(x,y∈R)，则x2+3y2的最小值是______ ．
15. 用数字1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有______ 个.(用数字作答)
三、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题12.0分)
化简求值：
(1)6423+(−14)0−270.25×43−(12)−2；
(2)lg 5−212log23−12 (lg2)2−lg2+lg5．
17. (本小题12.0分)
宿州号称“中国云都”，拥有华东最大的云计算数据中心、CG动画集群渲染基地，是继北京、上海、合肥、济南之后的全国第5家量子通信节点城市.为了统计智算中心的算力，先从全市n个大型机房和5个小型机房中随机抽取若干机房进行算力分析，若一次抽取2个机房，全是小型机房的概率为29．
(1)求n的值；
(2)若一次抽取3个机房，假设抽取的小型机房的个数为X，求X的分布列和数学期望．
18. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=x3−ax2−bx+c在点P(1,y0)处的切线斜率为4，且在x=−1处取得极大值2．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求函数f(x)在[−2,1]上的最大值和最小值，以及相应x的值．
19. (本小题12.0分)
函数f(x)=ax−b9−x2是定义在(−3,3)上的奇函数，且f(1)=18．
(1)确定f(x)的解析式；
(2)判断f(x)在(−3,3)上的单调性，并证明你的结论；
(3)解关于t的不等式f(t−1)+f(t)<0．
20. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=tx−(t−1)lnx−t；
(1)当t=2时，求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)证明：当t≤0，且x>1时，f(x) 答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：因为U={x∈Z|x2−5x−6≤0}={x∈Z|−1≤x≤6}={−1,0,1,2,3,4,5,6}，
A={x∈Z|x(2−x)≥0}={x∈Z|0≤x≤2}={0,1,2}，
又因为B={1,2,3}，
所以A∪B={0,1,2,3}，
所以∁U(A⋃B)={−1,4,5,6}．
故选：D．
求出集合U、A，利用并集和补集的定义可求得集合∁U(A⋃B)．
本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：由a>1a，即a2−1a>0，即(a−1)(a+1)a>0，
解得a>1或−1 所以由a>1可以推出a>1a，故充分性成立，
由a>1a推不出a>1，故必要性不成立，
所以“a>1”是“a>1a”的充分不必要条件．
故选：A．
首先解分式不等式，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可．
本题主要考查了充分条件和必要条件的定义，属于基础题．

3.【答案】C 
【解析】解：因为回归直线方程为y =0.85x−85.71，所以y与x具有正线性相关关系，故A正确；
又回归直线必过样本点的中心(x−,y−)，故B正确；
当x=160时y =0.85×160−85.71=50.29，
即若该中学某女生身高为160cm，则其体重约为50.29kg，故C错误；
因为回归直线方程为y =0.85x−85.71，所以若该中学某女生身高增加1cm，
则其体重约增加0.85kg，故D正确．
故选：C．
根据回归直线方程一一判断即可．
本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题．

4.【答案】A 
【解析】解：x2≈10.921>10.828，
则在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“药物有效”．
故选：A．
根据已知条件，结合独立性检验的定义，即可求解．
本题主要考查独立性检验的定义，属于基础题．

5.【答案】B 
【解析】解：函数f(x)=3x2−1x3的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，f(−x)=3(−x)2−1(−x)3=−f(x)，
即f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A；
当00，即f(x)<0，当x> 33时，3x2−1>0，x3>0，即f(x)>0，排除C；
而当x>3时，0<3x2−1x3<3x2x3=3x，函数y=3x在(3,+∞)上单调递减，趋近于0，排除D，选项B符合题意．
故选：B．
求出函数f(x)的定义域，由函数的奇偶性及在部分区间上函数值的正负、变化情况判断作答．
本题主要考查了函数图象的变换，考查了函数的奇偶性，属于基础题．

6.【答案】B 
【解析】解：因为a=212=(12)−12>1，又1>ln2>ln e=lne12=12，y=x−12在(0,+∞)上单调递减，
所以(12)−12>(ln2)−12>1−12=1，
所以a>b>1>c．
故选：B．
根据幂函数与对数函数的性质判断即可．
本题主要考查了幂函数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．

7.【答案】B 
【解析】解：设“学生甲、乙相邻出场”为事件A，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件B，
依题意共有A66种情况，学生甲必须在学生乙的前面出场的情况有A66A22种，
所以P(B)=A66A22A66=12，
甲乙同学按出场顺序一定，且相邻出场的情况共有A55种，
所以P(AB)=A55A66=16，
则P(A|B)=P(AB)P(B)=1612=13．
故选：B．
设“学生甲、乙相邻出场”为事件A，“学生甲必须在学生乙的前面出场”为事件B，根据倍缩法求出学生甲必须在学生乙的前面出场的种数，得出P(B)，再根据捆绑法求出学生甲必须在学生乙的前面出场且甲、乙相邻出场的种数，求出P(AB)，根据条件概率公式计算即可．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．

8.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查利用导数由函数的单调性求参，属于基础题．
根据题意，可得存在x∈[1,4]，h′(x)=1x−ax−2<0，即存在x∈[1,4]，a>1x2−2x，令G(x)=1x2−2x，x∈[1,4]，只需a>G(x)min，进而可得答案．
【解答】
解：因为函数h(x)=lnx−12ax2−2x在[1,4]上存在单调递减区间，
所以存在x∈[1,4]，h′(x)=1x−ax−2<0，
即存在x∈[1,4]，a>1x2−2x，
令G(x)=1x2−2x，x∈[1,4]，
则由题意可知，只需a>G(x)min，
而G(x)=(1x−1)2−1，
因为x∈[1,4]，所以1x∈[14,1]，
所以G(x)min=−1(此时x=1)，
所以a>−1，
所以a的取值范围是(−1,+∞)，
故选：B．
  
9.【答案】D 
【解析】解：y=f(x)−kx恰有两个零点，即f(x)−kx=0恰有两个实数根，由于x≠0，
所以f(x)−kx=0恰有两个实数根等价于f(x)x=k恰有两个实数根，
令g(x)=f(x)x，则g(x)=1−lnxx,x>01+1x2,x<0，
当x>0时，g(x)=1−lnxx,g′(x)=lnx−1x2，故当x>e，g′(x)>0，此时g(x)单调递增，
当0 且当x>1时，lnxx>0，∴g(x)=1−lnxx<1，
当x<0时，g(x)=1+1x2>1，且g(x)单调递增，
在直角坐标系中画出g(x)的大致图象如图：

要使g(x)=k有两个交点，则k∈(1−1e,1)∪(1,+∞)，
故选：D．
将问题转化为f(x)x=k恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定k的取值．
本题主要考查函数的零点与方程根的关系，考查数形结合思想与运算求解能力，属于中档题．

10.【答案】2e+1 
【解析】解：由题得f′(x)=1x+1f′(1)+ex
令x=1得f′(1)=11+1f′(1)+e=12f′(1)+e，
∴f′(1)=2e，f′(x)=2ex+1+ex
所以f′(0)=2e0+1+e0=2e+1．
故答案为：2e+1．
先求出导函数，再求f′(1)的值，最后求f′(0)的值．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．

11.【答案】0.7 
【解析】解：因为X～N(1,σ2)且P(X>2)=0.3，
所以P(X<0)=P(X>2)=0.3，
所以P(X≥0)=1−P(X<0)=1−0.3=0.7．
故答案为：0.7．
根据正态分布的性质计算可得．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．

12.【答案】109 
【解析】解：因为随机变量X～B(n,13)，
所以E(X)=n3=53，解得n=5，
所以D(X)=5×13×(1−13)=109．
故答案为：109．
根据二项分布的期望公式求出n，再根据二项分布的方差公式即可得解．
本题主要考查二项分布的期望与方差公式，属于基础题．

13.【答案】180 
【解析】解：二项式( x−2x2)10展开式的通项Tr+1=C10r⋅(−2)r⋅x5−52r，
令5−52r=0，可得r=2，
∴二项式( x−2x2)10展开式中的常数项是C102⋅(−2)2=180．
故答案为：180．
求出二项式( x−2x2)10展开式的通项，令x的系数为0，即可求出二项式( x−2x2)10展开式中的常数项．
本题考查二项式定理的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．

14.【答案】2 2 
【解析】解：∵x2y2+y4=1，
∴y≠0且x2=1−y4y2，
∴x2+3y2=1−y4y2+3y2=1y2+2y2≥2 1y2×2y2=2 2，
当且仅当1y2=2y2，即x2= 22，y2= 22时取等号，
∴x2+3y2的最小值为2 2．
故答案为：2 2．
依题意可得x2=1−y4y2，代入x2+3y2利用基本不等式计算可得．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于基础题．

15.【答案】408 
【解析】解：根据题意，分成两类情况：
①四位数中没有偶数，即在1，3，5，7中任选4个，共有A44=24种，
②四位数中只有一个偶数，即在1，3，5，7中任选3个，在2，4，6，8种选一个，共有C43C41A44=384种，
故共有24+384=408．
故答案为：408．
根据题意，分成两类情况：①四位数中没有偶数，即在1，3，5，7中任选4个，②四位数中只有一个偶数，即在1，3，5，7中任选3个，在2，4，6，8种选一个，然后结合排列组合即可求解．
本题主要考查了分类与分步计数原理，还考查了排列组合知识的应用，属于基础题．

16.【答案】解：(1)6423+(−14)0−270.25×43−(12)−2
=(43)23+1−(33)0.25×314−22
=43×23+1−334×314−4
=42+1−3−4
=16+1−3−4
=10；
(2)lg 5−212log23−12 (lg2)2−lg2+lg5
=lg512−2log2312−12 (lg2)2−lg2+lg(102)
=12lg5−312−12 (lg2)2−2lg2+1
=12lg5−312−12 (lg2−1)2
=12lg5−312−12(1−lg2)
=12(lg5+lg2)−312−12
=12lg(5×2)−312−12=−312=− 3． 
【解析】(1)根据指数幂的运算法则计算可得；
(2)根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得．
本题主要考查了有理数指数幂的运算性质，以及对数的运算性质，属于基础题．

17.【答案】解：(1)设A为“一次抽取2个机房，全是小型机房”，则P(A)=C52Cn+52=20(n+5)(n+4)=29，
故n=5或n=−14(舍)．
(2)X可取0，1，2，3，
P(X=0)=C53C103=112，P(X=1)=C52C51C103=512，P(X=2)=C51C52C103=512，
P(X=3)=C53C103=112，
故X的分布列如下：
X
0
1
2
3
P
112
512
512
112
故E(X)=0×112+1×512+2×512+3×112=1812=32． 
【解析】(1)利用古典概型的概率公式可得关于n的方程，求出其解可得n的值．
(2)利用超几何分布可求X的分布列和数学期望．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．

18.【答案】解：(1)因为f(x)=x3−ax2−bx+c，所以f′(x)=3x2−2ax−b，
依题意f′(1)=4f′(−1)=0f(−1)=2，即3−2a−b=43+2a−b=0−1−a+b+c=2，解得b=1a=−1c=1，
所以f(x)=x3+x2−x+1，经检验符合题意．
(2)由(1)可得f(x)=x3+x2−x+1，x∈[−2,1]，
则f′(x)=3x2+2x−1=(3x−1)(x+1)，
所以当−2≤x<−1或130，
当−1 所以f(x)在[−2,−1)，(13,1]上单调递增，在(−1,13)上单调递减，
所以f(x)在x=−1处取得极大值，在x=13处取得极小值，
又f(−2)=−1，f(−1)=2，f(13)=2227，f(1)=2，
所以当x=−1或x=1时f(x)max=2，当x=−2时f(x)min=−1． 
【解析】(1)求出函数的导函数，依题意可得f′(1)=4f′(−1)=0f(−1)=2，即可得到方程组，解得即可；
(2)求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的极值，再计算区间端点的函数值，即可得解．
本题主要考查导数研究函数的最值，考查转化能力，属于中档题．

19.【答案】解：(1)因为f(x)=ax−b9−x2是定义在(−3,3)上的奇函数，且f(1)=18，
所以f(0)=−b9=0，f(1)=a−b8=18，
所以b=0，a=1，f(x)=x9−x2；
(2)f(x)在(−3,3)上的单调递增，
理由如下：设−3 则f(x1)−f(x2)=x19−x12−x29−x22=(9−x1x2)(x1−x2)(9−x12)(9−x22)<0，
所以f(x1) 所以f(x)在(−3,3)上的单调递增；
(3)由f(t−1)+f(t)<0得f(t−1) 故−3 解得−2 故t的取值范围为(−2,3)． 
【解析】(1)由已知结合奇函数的性质及f(1)=18代入即可求解a，b，进而可求函数解析式；
(2)结合函数的单调性的定义即可判断；
(3)结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数解析式的求解，还考查了函数单调性的判断及利用单调性求解不等式，属于中档题．

20.【答案】解：(1)当t=2时f(x)=2x−lnx−2，则f(1)=0，f′(x)=2−1x，所以f′(1)=1，
所以切线方程为y=x−1．
(2)因为f(x)=tx−(t−1)lnx−t的定义域为(0,+∞)，
则f′(x)=t−t−1x=tx−(t−1)x，
当t>01−t≥0，即00恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当t>01−t<0，即t>1时，当x>t−1t时，f′(x)>0，当0 所以f(x)在(t−1t,+∞)上单调递增，在(0,t−1t)上单调递减；
当t=0时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，
当t<0时，当00，当x>t−1t时f′(x)<0，
所以f(x)在(0,t−1t)上单调递增，在(t−1t,+∞)上单调递减；
综上可得：当0≤t≤1时，f(x)在(0,+∞)上单调递增；
当t>1时，f(x)在(t−1t,+∞)上单调递增，在(0,t−1t)上单调递减；
当t<0时，f(x)在(0,t−1t)上单调递增，在(t−1t,+∞)上单调递减；
(3)证明：要证f(x) 即证x−(t−1)lnx 即证elnx−(t−1)lnx 令g(x)=x−1−lnx，x≥1，则g′(x)=1−1x=x−1x≥0，
所以g(x)在区间(1,+∞)单调递增，所以当x>1时，g(x)>g(1)=0，
即当x>1时，x−1>lnx．
令h(x)=ex−(t−1)x，x>0，则h′(x)=ex−(t−1)>0在t≤0时恒成立，
所以当t≤0，且x>0时，h(x)单调递增，
因为x>1时，x−1>0，lnx>0，且x−1>lnx，
所以当t≤0，且x>1时，h(x−1)>h(lnx)，即elnx−(t−1)lnx 所以当t≤0，且x>1时，f(x) 【解析】(1)求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而求出切线方程；
(2)求出函数的定义域与导函数，分01、t=0、t<0四种情况讨论，分别求出函数的单调区间；
(3)根据题意，将问题转化为elnx−(t−1)lnx 本题主要考查了用导数研究函数的单调性，以及用导数证明不等式问题，解决本题的关键在于构造函数g(x)=x−1−lnx，用其单调性去证明不等式．