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2023年吉林省延边州中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年吉林省延边州中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年吉林省延边州中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则绝对值最小的数是( )
A. a B. b C. c D. d
2. 2023年一季度我国生产总值达到了28.5亿元，将2850000000用科学记数法表示为( )
A. 2.85×109 B. 2.85×1010 C. 28.5×108 D. 28.5×109
3. 墨迹覆盖了等式a6÷=a2的一部分，则覆盖的部分是( )
A. a2 B. a4 C. a8 D. a12
4. 把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为( )
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 180°
5. 如图，AB是⊙O的直径，AC=3BC，则∠BAC的度数为( )
A. 22.5°
B. 30°
C. 45°
D. 67.5°
6. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有个问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．这道题的意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果我们设快马x天可以追上慢马，则可列方程( )
A. 240x=150x+12 B. 240x=150x−12
C. 240x=150(x+12) D. 240x=150(x−12)
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 若向北方向记作正数，则先向北走200m，再向南走150m，可以用算式表示为______ ．
8. 计算： 18− 2=______．
9. 方程4x+2=3x+1的解是______ ．
10. 若正n边形一个外角的度数为10°，则n的值为______ ．
11. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中两斜边互相平行，则∠1的大小为______ °.
12. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，线段AC与⊙O交于点D.点E是BD上的动点(不与点B、D重合).若∠C=50°，则∠BOE的度数可能是______ °.(写一个即可)
13. 如图，矩形ABCD中，以B，D为圆心，BC，AD长为半径画弧，分别交对角线BD于点E，F.若AB=4，AD=4 3，则图中阴影部分的面积为______ .(结果保留π)
14. 平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=1.若点P(4,y1)、Q(m,y2)是抛物线上的两点，且y1>y2，则m的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
先化简，再求值：a−1a⋅a2+2a+1a2−1，其中a=−2．
16. (本小题5.0分)
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分，这个队胜负场数分别是多少？
17. (本小题5.0分)
一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同.搅匀后从中随机取出1个球，记录颜色后放回.再次搅匀后，从中随机取出1个球.用画树状图(或列表)的方法，求两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的概率．
18. (本小题5.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：BE=CE (要求：不用三角形全等的方法)
19. (本小题7.0分)
如图是由边长为1的小正方形组成的6×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，在给定的网络中，只用无刻度直尺，按要求作图，不要求写画法．
(1)在图①中，作△DEF，使△DEF≌△ABC，且点D、E、F均在格点上．
(2)在图②中，作△CGH，使△CGH∽△ABC，点G、H均在格点上，且相似比不为1．
(3)在图③中，作∠AMB，使∠AMB=2∠C．
20. (本小题7.0分)
如图，直线y1=kx+b与x轴、y轴交于点A、B，与函数y2=mx(x>0)的图象交于点C、D.点C、D恰好是线段AB的三等分点，且点C的坐标为(2,2)．
(1)求m、k、b的值．
(2)当y1>y2时，直接写出x的取值范围．
21. (本小题7.0分)
如图，斜坡AB与地面AM的夹角为37°，在斜坡的顶端有一棵竖直的小树BC，当太阳光线CD与水平线成45°角照射时，在斜坡上形成树影BD.已知树影BD的长度为7m，求小树BC的高.(结果精确到1m)(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
22. (本小题7.0分)
我国男性的体质系数计算公式是：m=WH−105×100%，其中W表示体重(单位：kg)，H表示身高(单位：cm).通过计算出的体质系数m对体质进行评价.具体评价如表：
m
<80%
80%～90%
90%～110%
110%～120%
>120%
评价结果
明显消瘦
消瘦
正常
过重
肥胖
(1)某男生的身高是175cm，体重是80kg，他的体质评价结果是______ ．
(2)现从某校九年级学生中随机抽取n名男生进行体质评价，评价结果统计如下：
①抽查的学生数n= ______ ；图②中a的值为______ ．
②图①中，体质评价结果为“正常”的扇形圆心角为______ °.
(3)若该校九年级共有男生450人，试估计该校九年级体质评价结果为“过重”或“肥胖”男生人数的和．
23. (本小题8.0分)
为增强民众生活幸福感，延吉市政府大力推进城市园林绿化提升工程.计划在2000m2的绿化带上新栽乔木和花卉.市场调查发现：花卉的种植费用为150元/m2，乔木的种植费用y(元/m2)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示．
(1)结合图象直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)当乔木的种植面积不少于300m2，且花卉的种植面积不低于乔木种植面积的13时，如何分配乔木与花卉的种植面积才能使种植的总费用w(元)最少？最少是多少元？
24. (本小题8.0分)
【探究】
(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB中点，连接CD，则AB与CD的数量关系是______ ．
【应用】
(2)如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，点E，F分别是BC、CA的中点，连接DE、DF，且DE=3，DF=4，求AB的长度．
(3)如图③，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点.连接DE、EF、FG、GD.若△ADE的面积为6，则四边形DEFG的面积为______ ．
25. (本小题10.0分)
如图，菱形ABCD中，AB=6cm，∠B=60°.动点P，Q同时从点A出发，点Q以2cm/s的速度沿折线AC−CD向终点D匀速运动，点P以1cm/s的速度沿AB向终点B匀速运动.以AP、AQ为边作平行四边形APMQ.设点P的运动时间为x(s)，平行四边形APMQ与△ABC重叠部分图形的面积为y(cm2).
(1)当点Q在边AC上运动时，点Q到AB的距离为______ cm.(用含x的代数式表示)
(2)当点M落在边BC上时，x的值为______ ．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
26. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C.点P是抛物线上的动点，且横坐标为m.过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q，以PQ为边，在PQ的右侧作正方形PQMN．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)点P在直线BC上方的抛物线上运动时，直接写出PQ的长.(用含m的代数式表示)
(3)抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上(包括顶点)时，求m的值．
(4)当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由数轴可知，|a|>3，0<|b|<1，1<|c|<2，2<|d|<3，
∴这四个数中，绝对值最小的是b，
故选：B．
根据数轴分别求出a、b、c、d的绝对值，根据实数的大小比较方法进行判断即可．
本题考查的是数轴的数轴、实数的大小比较，掌握绝对值的概念和性质是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：28.5亿=2850000000=2.85×109，
故选A．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3.【答案】B
【解析】解：设覆盖的部分为A，
则A=a6÷a2=a4．
故选：B．
根据同底数幂的除法法则直接计算即可得出选项．
本题主要考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的除法是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵360°÷3=120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选：C．
根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：如图，连接OC，
∵AC=3BC，
∴∠AOC=3∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°×14=45°，
∴∠BAC=12∠BOC=22.5°．
故选：A．
连接OC，根据弧与圆心角的关系可得∠BOC=45°，再根据圆周角定理可得∠BAC的大小．
本题考查圆周角定理，根据弧与圆心角的关系可得∠BOC=45°是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得：240x=150(x+12)．
故选：C．
设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7.【答案】+200+(−150)
【解析】解：∵向北走记作正数，
∴向南走记作负数，
∵先向北走200m，再向南走150m，
∴可列算式：+200+(−150)．
故答案为：+200+(−150)．
根据正负数的意义，向北为正数，则向南为负数，据此可以得解．
此题考查了正数与负数的意义、有理数的加法运算，正确理解正负数的意义是解答此题的关键．
8.【答案】2 2
【解析】
【分析】
本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键．先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
【解答】
解： 18− 2
=3 2− 2
=2 2．
故答案为：2 2．
9.【答案】x=2
【解析】解：4x+2=3x+1
去分母得：4(x+1)=3(x+2)，
去括号得：4x+4=3x+6，
移项得：4x−3x=6−4，
合并同类项得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，
∴原方程的解为：x=2，
故答案为：x=2．
按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可．
本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程最后一定要检验．
10.【答案】36
【解析】解：n=360°10∘=36，
故答案为：36．
正多边形每个外角都相等，外角和为360°，计算即可．
本题考查正多边形外角的相关知识，解题的关键是掌握正n边形外角和扥等于360°．
11.【答案】75
【解析】解：∵△ABC和△DEF是一副三角板，
∴∠B=30°，∠DEF=45°，∠A=∠D=90°，
∵EF//BC，
∴∠HEF=∠B=30°，
∴∠DEH=∠DEF−∠HEF=45°−30°=15°，
∴∠EHD=180°−∠DEH−∠D=180°−15°−90°=75°，
∴∠1=∠EHD=75°．
故答案为：75．
根据题意可得∠B=30°，∠DEF=45°，∠A=∠D=90°，再根据EF//BC得∠HEF=∠B=30°，据此可求出∠DEH=15°，然后根据三角形的内角和定理得∠EHD=75°，最后再根据对顶角的性质可得∠1的度数．
此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，解答此题的关键是准确识图，理解两直线平行同位角相等，三角形的内角和等于180°．
12.【答案】70
【解析】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴OB是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切于点B，
∴BC⊥OB，
∴∠B=90°，
∵∠C=50°，
∴∠A=90°−∠C=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°，
∵点E是BD上的动点，且不与点B、D重合，
∴0°<∠BOE<80°，
故答案为：70．
注：答案不唯一，如：30，45，……
连接OD，由切线的性质得BC⊥OB，则∠B=90°，所以∠A=90°−∠C=40°，则∠BOD=2∠A=80°，于是得0°<∠BOE<80°，在此范围内写出一个∠BOE的度数即可．
此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，求得∠BOD=80°是解题的关键．
13.【答案】8π
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，AD=BC=4 3，AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵tan∠ADB=ABAD=44 3= 33，
∴∠ADB=30°，
∴图中阴影部分的面积为：2×30π×(4 3)2360=8π，
故答案为：8π．
由图可知，阴影部分的面积是扇形AED和扇形CFB的面积之和．
本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】−2
∴抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∵点P(4,y1)、Q(m,y2)是抛物线上的两点，且y1>y2，
∴|m−1|<4−1，即|m−1|<3，
∴−3
本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，熟知二次函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大是解题的关键．
15.【答案】解：a−1a⋅a2+2a+1a2−1
=a−1a⋅(a+1)2(a+1)(a−1)
=a+1a，
当a=−2时，原式=−2+1−2=12．
【解析】根据分式的乘法运算法则结合完全平方公式，平方差公式计算即可化简，再将a=−2代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值．掌握分式的相关运算法则是解题关键．
16.【答案】解：设这个队在篮球联赛中，胜x场、输y场比赛，
根据题意，得：x+y=102x+y=16，
解得：x=6y=4．
答：这个队在篮球联赛中，胜6场、输4场比赛．
【解析】设这个队在篮球联赛中，胜x场、输y场比赛，则根据题意可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即得出答案．
本题考查二元一次方程组的实际应用．读懂题意，找准等量关系，列出等式是解题关键．
17.【答案】解：画树状图如下：
一共有9种等可能的结果，其中两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的结果数有4种可能，
∴P(两次取到的球恰好为1个白球和1个红球)=49．
【解析】用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴BE=CE．
【解析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△DEF满足题意，
(2)如图，△CGH满足题意，
(3)如图，∠AMB满足题意，
【解析】(1)利用网格的特点和三角形全等的判定方法SSS进行作图即可；
(2)根据相似三角形的判定方法和网格的特点作图即可；
(3)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AM=BM=CM=12BC，则∠MAC=∠C，由三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可得到∠AMB=2∠C，满足题意．
此题考查全等三角形的判定、相似三角形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，根据网格特点正确作图是解题的关键．
20.【答案】解：∵函数y2=mx(x>0)的图象过点C，C(2,2)，
∴m=2×2=4，
过C作CE⊥x轴于E，则CE=2，
∵点C、D刚好是线段AB的三等分点，
∴ACAB=23，
∵CE//OB，
∴CEOB=ACAB=23，即2OB=23，
∴OB=3，
∴B(0,3)，
把B、C的坐标代入y1=kx+b得b=32k+b=2，
解得k=−12b=3；
(2)作DF⊥x轴于F，则DF//OB，
∵点C、D刚好是线段AB的三等分点，
∴DFOB=ADAB=13，
∴DF=13OB=1，
把y=1代入y=4x得，x=4，
∴D(4,1)，
由图象得：当y1>y2时，x的取值范围是2
(2)利用平行线分线段成比例定理求得D的坐标为1，代入反比例函数解析式求得横坐标，然后根据图象直接写结论．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及平行线分线段成比例定理的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法以及数形结合思想的应用．
21.【答案】解：如图：过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，
由题意得：CG//DF//AM，
∴∠BDF=∠BAM=37°，∠CDF=∠HCG=45°，
在Rt△BDF中，BD=7m，
∴BF=BD⋅sin37°≈7×0.6=4.2(m)，
DF=BD⋅cos37°≈7×0.8=5.6(m)，
在Rt△CDF中，∠CDF=45°，
∴CF=DF⋅tan45°=5.6(m)，
∴BC=CF−BF=5.6−4.2≈1(m)，
∴小树BC的高约为1米．
【解析】过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，根据题意可得：CG//DF//AM，从而可得∠BDF=∠BAM=37°，∠CDF=∠HCG=45°，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出BF，DF的长，再在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】过重 60 5 96
【解析】解：(1)∵某男生的身高是175cm，体重是80kg，
∴m=WH−105×100%=80175−105×100%≈117%，
∴他的体质评价结果是过重．
故答案为：过重；
(2)①抽查的学生数n=12÷%=60，
过重的人数为60×40%=24，
a=60−(3+16+24+12)=5．
故答案为：60，5；
②图1中，体质评价结果为“正常”的所在扇形圆心角为360°×1660=96°．
故答案为：96；
(3)450×(40%+20%)=270(人)．
答：该校体质监测结果为“过重”或“肥胖”的男生人数为270人．
(1)根据我国男性的体质系数计算公式是：m=WH−105×100%求出m，即可得出评价结果；
(2)①用肥胖的人数除以它所占的百分比得出抽查的学生数n，再求出过重的人数，然后根据各组人数之和等于数据总数求出a；
②用360°乘以体质评价结果为“正常”的人数所占的百分比即可；
(3)先求出体质评价结果为“过重”与“肥胖”的男生所占的百分比之和，再乘以480即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
23.【答案】解：(1)设400≤x≤1000时，y=kx+b，则由题意可得：
400k+b=1801000k+b=120，
解之可得：
k=−0.1b=220，
即y=−0.1x+220，
∴y与x的函数关系式为：
y=1800≤x<400−0.1x+220400≤x≤1000120x>1000；
(2)设乔木的种植面积为tm2，则花卉的种植面积为(2000−t)m2，由题意可得：
t≥3002000−t≥t3，
解之可得：300≤t≤1500，则：
①当300≤t<400时，
w=180t+150(2000−t)
=30t+300000
∴当t=300时，w最小=309000，
②当400≤t≤1000时，
w=(−0.1t+220)t+150(2000−t)
=−0.1t2+70t+300000
=−0.1(t−350)2+312250，
∴当t=1000时，w最小=−0.1×6502+312250=270000，
③当1000
300000−30t，
∴当t=1500时，w最小=300000−30×1500=255000，
综上所述，当t=1500，即乔木的种植面积1500m2，且花卉的种植面积500m2时，种植的总费用最少，最少是255000元．
【解析】(1)设400≤x≤1000时，y=kx+b，则由题意可得关于k、b的二元一次方程组，解方程组得到k、b后即可得到y与x的函数关系式；
(2)设乔木的种植面积为tm2，则花卉的种植面积为(2000−t)m2，由题意可以得到300≤t≤1500，然后分300≤t<400、400≤t≤1000、1000
24.【答案】CD=12AB 8
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB中点，
∴CD=12AB，
∴AB与CD的数量关系是CD=12AB，
故答案为：CD=12AB；
(2)∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵点E，F分别是BC、CA的中点，
∴DF=12AC，DE=12BC，
∵DE=3，DF=4，
∴BC=2DE=6，AC=2DF=8，
∵∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 82+62=10，
∴AB的长度为10；
(3)∵点F、G分别是BO、CO的中点，
∴FG是△OBC的中位线，
∴FG//BC，FG=12BC，
∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，
即点D、E分别是AC、AB的中点，
∴DEFG是△ABC的中位线，
∴ED//BC，ED=12BC，
∴ED//FG，ED=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵DE是△ABD的边AB上的中线，△ADE的面积为6，
∴△AED和△BED等底等高，即S△BED=S△ADE=6，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴OD=OF，
∵点F是BO的中点，
∴BF=OF，
∴BF=OF=OD，
∴△EBF、△EFO、△EOD等底等高，
∴S△BEF=S△EFO=S△EOD=13S△BED=13×6=2，
∴S△EFD=2S△EFB=4，
∴S△EFD=2S△EFB=4，
∴四边形DEFG的面积为：2S△EFD=2×4=8，
故答案为：8．
(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论；
(2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BC=6，AC=8，再利用勾股定理即可得出结论；
(3)证明四边形DEFG是平行四边形，得出S△BEF=S△EFO=S△EOD=13S△ADE，则四边形DEFG的面积=13S△ADE×4，即可求出四边形的面积．
本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形中线的性质．掌握三角形中位线的判定和性质是解题的关键．
25.【答案】 3x 2
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=60°，
作QG⊥AB于点G，
∴QG=AQ⋅sin60°=2x⋅ 32= 3x，
点Q到AB的距离为 3x cm，
故答案为： 3x；
(2)由题意得：AQ=2x，AP=x，
∵四边形APMQ是平行四边形，
∴QM=AP=x，QM//AB，
∴∠CQM=∠CAB=60°，∠CMQ=∠B=60°，
∴△CMQ是等边三角形，
∴CQ=QM=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴CA=AB=6，
∴2x+x=6，
解得：x=2；
故答案为：2；
(3)当0
当2≤x<3时，如图②，
由(2)可得：△CQE是等边三角形，同理△BPF也是等边三角形，
∴y=S△ABC−S△CQE−S△BPF
=12×6×6×sin60°−12CQ⋅ 32CQ−12BP⋅ 32BP
=12×6×3 3−12(6−2x)⋅ 32(6−2x)−12(6−x)⋅ 32(6−x)
=−5 34x2+9 3x−9 3；
当3≤x≤6时，如图③，
∵CQ=2x−6，
∴CM=QM−CQ=AP−CQ=x−(2x−6)=6−x，
∵BP=6−x，
∴BP=CM，
∵CM//BP，
∴∠M=∠MPB，∠MCF=∠B，
∴△CMF≌△BPF，
∴BF=CF=12BC=3，
作FO⊥BP于点O，
∴FO=BF⋅sin60°=3 32，
∴y=S△ABC−S△BPF
=12×6×3 3−12(6−x)⋅3 32
=3 34x+9 32；
综上，y关于x的函数解析式为y= 3x2(0
(2)先证明△CMQ是等边三角形，可得CQ=QM=x，进而可得答案；
(3)分三种情况：0
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−1,0)，点B(3,0)，
∴−1−b+c=0−9+3b+c=0，
解得：b=2c=3，
∴此抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)令x=0，则y=3，
∴C(0,3)，
∴OC=3．
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∴3k+n=0n=3，
∴k=−1n=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3．
∵点P是抛物线上的动点，且横坐标为m，
∴P(m,−m2+2m+3)，
∵过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q，
∴Q(m,−m+3)．
∵点P在直线BC上方的抛物线上运动，
∴PQ=(−m2+2m+3)−(−m+3)=−m2+3m．
(3)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线y=−x2+2x+3的顶点坐标为(1,4)，
①当m≥1时，
∵抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上(包括顶点)，
∴此时点P与抛物线的顶点重合，
∴m=1．
②当m<1时，
∵抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上(包括顶点)，
∴此时点Q的纵坐标与顶点的纵坐标相同，
∴−m+3=4，
∴m=−1．
综上，抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上(包括顶点)时，m的值为±1；
(4)∵当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2，
∴PQ=2，
①点P在直线BC的上方时，
∴−m2+3m=2，
∴m=1或m=2．
②点P在直线BC的下方时，
∵PQ=(−m+3)−(−m2+2m+3)=m2−3m，
∴m2−3m=2，
解得：m=3+ 172或m=3− 172．
综上，当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为1或2或3+ 172或3− 172．
【解析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)求得直线BC的解析式，利用m表示出点Q的坐标，则结论可求；
(3)利用配方法求得抛物线的顶点坐标，再利用正方形的性质，分类讨论的思想方法分m≥1和m<1两种情况讨论解答即可；
(4)由题意可得：当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2，即PQ=2，再利用分类讨论的思想方法列出关于m的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
2023年吉林省延边州中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则绝对值最小的数是( )
A. a B. b C. c D. d
2. 2023年一季度我国生产总值达到了28.5亿元，将2850000000用科学记数法表示为( )
A. 2.85×109 B. 2.85×1010 C. 28.5×108 D. 28.5×109
3. 墨迹覆盖了等式a6÷=a2的一部分，则覆盖的部分是( )
A. a2 B. a4 C. a8 D. a12
4. 把图中的图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为( )
A. 60°
B. 90°
C. 120°
D. 180°
5. 如图，AB是⊙O的直径，AC=3BC，则∠BAC的度数为( )
A. 22.5°
B. 30°
C. 45°
D. 67.5°
6. 我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中有个问题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何追及之．这道题的意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？如果我们设快马x天可以追上慢马，则可列方程( )
A. 240x=150x+12 B. 240x=150x−12
C. 240x=150(x+12) D. 240x=150(x−12)
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
7. 若向北方向记作正数，则先向北走200m，再向南走150m，可以用算式表示为______ ．
8. 计算： 18− 2=______．
9. 方程4x+2=3x+1的解是______ ．
10. 若正n边形一个外角的度数为10°，则n的值为______ ．
11. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中两斜边互相平行，则∠1的大小为______ °.
12. 如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，线段AC与⊙O交于点D.点E是BD上的动点(不与点B、D重合).若∠C=50°，则∠BOE的度数可能是______ °.(写一个即可)
13. 如图，矩形ABCD中，以B，D为圆心，BC，AD长为半径画弧，分别交对角线BD于点E，F.若AB=4，AD=4 3，则图中阴影部分的面积为______ .(结果保留π)
14. 平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的对称轴为直线x=1.若点P(4,y1)、Q(m,y2)是抛物线上的两点，且y1>y2，则m的取值范围是______ ．
三、解答题（本大题共12小题，共84.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. (本小题5.0分)
先化简，再求值：a−1a⋅a2+2a+1a2−1，其中a=−2．
16. (本小题5.0分)
篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分.某队在10场比赛中得到16分，这个队胜负场数分别是多少？
17. (本小题5.0分)
一只不透明的袋子中装有1个白球，2个红球，这些球除颜色外都相同.搅匀后从中随机取出1个球，记录颜色后放回.再次搅匀后，从中随机取出1个球.用画树状图(或列表)的方法，求两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的概率．
18. (本小题5.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：BE=CE (要求：不用三角形全等的方法)
19. (本小题7.0分)
如图是由边长为1的小正方形组成的6×8的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点A，B，C均在格点上，在给定的网络中，只用无刻度直尺，按要求作图，不要求写画法．
(1)在图①中，作△DEF，使△DEF≌△ABC，且点D、E、F均在格点上．
(2)在图②中，作△CGH，使△CGH∽△ABC，点G、H均在格点上，且相似比不为1．
(3)在图③中，作∠AMB，使∠AMB=2∠C．
20. (本小题7.0分)
如图，直线y1=kx+b与x轴、y轴交于点A、B，与函数y2=mx(x>0)的图象交于点C、D.点C、D恰好是线段AB的三等分点，且点C的坐标为(2,2)．
(1)求m、k、b的值．
(2)当y1>y2时，直接写出x的取值范围．
21. (本小题7.0分)
如图，斜坡AB与地面AM的夹角为37°，在斜坡的顶端有一棵竖直的小树BC，当太阳光线CD与水平线成45°角照射时，在斜坡上形成树影BD.已知树影BD的长度为7m，求小树BC的高.(结果精确到1m)(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
22. (本小题7.0分)
我国男性的体质系数计算公式是：m=WH−105×100%，其中W表示体重(单位：kg)，H表示身高(单位：cm).通过计算出的体质系数m对体质进行评价.具体评价如表：
m
<80%
80%～90%
90%～110%
110%～120%
>120%
评价结果
明显消瘦
消瘦
正常
过重
肥胖
(1)某男生的身高是175cm，体重是80kg，他的体质评价结果是______ ．
(2)现从某校九年级学生中随机抽取n名男生进行体质评价，评价结果统计如下：
①抽查的学生数n= ______ ；图②中a的值为______ ．
②图①中，体质评价结果为“正常”的扇形圆心角为______ °.
(3)若该校九年级共有男生450人，试估计该校九年级体质评价结果为“过重”或“肥胖”男生人数的和．
23. (本小题8.0分)
为增强民众生活幸福感，延吉市政府大力推进城市园林绿化提升工程.计划在2000m2的绿化带上新栽乔木和花卉.市场调查发现：花卉的种植费用为150元/m2，乔木的种植费用y(元/m2)与种植面积x(m2)之间的函数关系如图所示．
(1)结合图象直接写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围．
(2)当乔木的种植面积不少于300m2，且花卉的种植面积不低于乔木种植面积的13时，如何分配乔木与花卉的种植面积才能使种植的总费用w(元)最少？最少是多少元？
24. (本小题8.0分)
【探究】
(1)如图①，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB中点，连接CD，则AB与CD的数量关系是______ ．
【应用】
(2)如图②，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，点E，F分别是BC、CA的中点，连接DE、DF，且DE=3，DF=4，求AB的长度．
(3)如图③，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点.连接DE、EF、FG、GD.若△ADE的面积为6，则四边形DEFG的面积为______ ．
25. (本小题10.0分)
如图，菱形ABCD中，AB=6cm，∠B=60°.动点P，Q同时从点A出发，点Q以2cm/s的速度沿折线AC−CD向终点D匀速运动，点P以1cm/s的速度沿AB向终点B匀速运动.以AP、AQ为边作平行四边形APMQ.设点P的运动时间为x(s)，平行四边形APMQ与△ABC重叠部分图形的面积为y(cm2).
(1)当点Q在边AC上运动时，点Q到AB的距离为______ cm.(用含x的代数式表示)
(2)当点M落在边BC上时，x的值为______ ．
(3)求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
26. (本小题10.0分)
如图，抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−1,0)，点B(3,0)，与y轴交于点C.点P是抛物线上的动点，且横坐标为m.过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q，以PQ为边，在PQ的右侧作正方形PQMN．
(1)求此抛物线的解析式．
(2)点P在直线BC上方的抛物线上运动时，直接写出PQ的长.(用含m的代数式表示)
(3)抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上(包括顶点)时，求m的值．
(4)当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，直接写出m的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由数轴可知，|a|>3，0<|b|<1，1<|c|<2，2<|d|<3，
∴这四个数中，绝对值最小的是b，
故选：B．
根据数轴分别求出a、b、c、d的绝对值，根据实数的大小比较方法进行判断即可．
本题考查的是数轴的数轴、实数的大小比较，掌握绝对值的概念和性质是解题的关键．
2.【答案】A
【解析】解：28.5亿=2850000000=2.85×109，
故选A．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
3.【答案】B
【解析】解：设覆盖的部分为A，
则A=a6÷a2=a4．
故选：B．
根据同底数幂的除法法则直接计算即可得出选项．
本题主要考查了幂的运算，熟练掌握同底数幂的除法是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：∵360°÷3=120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选：C．
根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
本题考查了利用旋转设计图案，旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
5.【答案】A
【解析】解：如图，连接OC，
∵AC=3BC，
∴∠AOC=3∠BOC，
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴∠BOC=180°×14=45°，
∴∠BAC=12∠BOC=22.5°．
故选：A．
连接OC，根据弧与圆心角的关系可得∠BOC=45°，再根据圆周角定理可得∠BAC的大小．
本题考查圆周角定理，根据弧与圆心角的关系可得∠BOC=45°是解题关键．
6.【答案】C
【解析】解：设快马x天可以追上慢马，
依题意，得：240x=150(x+12)．
故选：C．
设快马x天可以追上慢马，根据路程=速度×时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
7.【答案】+200+(−150)
【解析】解：∵向北走记作正数，
∴向南走记作负数，
∵先向北走200m，再向南走150m，
∴可列算式：+200+(−150)．
故答案为：+200+(−150)．
根据正负数的意义，向北为正数，则向南为负数，据此可以得解．
此题考查了正数与负数的意义、有理数的加法运算，正确理解正负数的意义是解答此题的关键．
8.【答案】2 2
【解析】
【分析】
本题考查二次根式的减法运算，难度不大，注意先将二次根式化为最简是关键．先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案．
【解答】
解： 18− 2
=3 2− 2
=2 2．
故答案为：2 2．
9.【答案】x=2
【解析】解：4x+2=3x+1
去分母得：4(x+1)=3(x+2)，
去括号得：4x+4=3x+6，
移项得：4x−3x=6−4，
合并同类项得：x=2，
经检验，x=2是原方程的解，
∴原方程的解为：x=2，
故答案为：x=2．
按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可．
本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的步骤是解题的关键，注意解分式方程最后一定要检验．
10.【答案】36
【解析】解：n=360°10∘=36，
故答案为：36．
正多边形每个外角都相等，外角和为360°，计算即可．
本题考查正多边形外角的相关知识，解题的关键是掌握正n边形外角和扥等于360°．
11.【答案】75
【解析】解：∵△ABC和△DEF是一副三角板，
∴∠B=30°，∠DEF=45°，∠A=∠D=90°，
∵EF//BC，
∴∠HEF=∠B=30°，
∴∠DEH=∠DEF−∠HEF=45°−30°=15°，
∴∠EHD=180°−∠DEH−∠D=180°−15°−90°=75°，
∴∠1=∠EHD=75°．
故答案为：75．
根据题意可得∠B=30°，∠DEF=45°，∠A=∠D=90°，再根据EF//BC得∠HEF=∠B=30°，据此可求出∠DEH=15°，然后根据三角形的内角和定理得∠EHD=75°，最后再根据对顶角的性质可得∠1的度数．
此题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，对顶角的性质，解答此题的关键是准确识图，理解两直线平行同位角相等，三角形的内角和等于180°．
12.【答案】70
【解析】解：连接OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴OB是⊙O的半径，
∴BC与⊙O相切于点B，
∴BC⊥OB，
∴∠B=90°，
∵∠C=50°，
∴∠A=90°−∠C=40°，
∴∠BOD=2∠A=80°，
∵点E是BD上的动点，且不与点B、D重合，
∴0°<∠BOE<80°，
故答案为：70．
注：答案不唯一，如：30，45，……
连接OD，由切线的性质得BC⊥OB，则∠B=90°，所以∠A=90°−∠C=40°，则∠BOD=2∠A=80°，于是得0°<∠BOE<80°，在此范围内写出一个∠BOE的度数即可．
此题重点考查圆周角定理、切线的判定定理、直角三角形的两个锐角互余等知识，求得∠BOD=80°是解题的关键．
13.【答案】8π
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD=4，AD=BC=4 3，AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD，
∵tan∠ADB=ABAD=44 3= 33，
∴∠ADB=30°，
∴图中阴影部分的面积为：2×30π×(4 3)2360=8π，
故答案为：8π．
由图可知，阴影部分的面积是扇形AED和扇形CFB的面积之和．
本题考查扇形面积的计算、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14.【答案】−2
∴抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，
∵点P(4,y1)、Q(m,y2)是抛物线上的两点，且y1>y2，
∴|m−1|<4−1，即|m−1|<3，
∴−3
本题主要考查了比较二次函数函数值的大小，熟知二次函数开口向上，则离对称轴越远函数值越大是解题的关键．
15.【答案】解：a−1a⋅a2+2a+1a2−1
=a−1a⋅(a+1)2(a+1)(a−1)
=a+1a，
当a=−2时，原式=−2+1−2=12．
【解析】根据分式的乘法运算法则结合完全平方公式，平方差公式计算即可化简，再将a=−2代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值．掌握分式的相关运算法则是解题关键．
16.【答案】解：设这个队在篮球联赛中，胜x场、输y场比赛，
根据题意，得：x+y=102x+y=16，
解得：x=6y=4．
答：这个队在篮球联赛中，胜6场、输4场比赛．
【解析】设这个队在篮球联赛中，胜x场、输y场比赛，则根据题意可列出关于x、y的二元一次方程组，解之即得出答案．
本题考查二元一次方程组的实际应用．读懂题意，找准等量关系，列出等式是解题关键．
17.【答案】解：画树状图如下：
一共有9种等可能的结果，其中两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的结果数有4种可能，
∴P(两次取到的球恰好为1个白球和1个红球)=49．
【解析】用列表法或树状图法列举出所有等可能的结果，从中找出两次取到的球恰好为1个白球和1个红球的结果数，再利用等可能事件的概率公式求出即可．
本题考查列表法和树状图法求等可能事件的概率，掌握列表法和树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
18.【答案】证明：∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴BE=CE．
【解析】根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：(1)如图，△DEF满足题意，
(2)如图，△CGH满足题意，
(3)如图，∠AMB满足题意，
【解析】(1)利用网格的特点和三角形全等的判定方法SSS进行作图即可；
(2)根据相似三角形的判定方法和网格的特点作图即可；
(3)利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到AM=BM=CM=12BC，则∠MAC=∠C，由三角形的外角等于不相邻的两个内角的和即可得到∠AMB=2∠C，满足题意．
此题考查全等三角形的判定、相似三角形的判定、直角三角形的判定和性质等知识，根据网格特点正确作图是解题的关键．
20.【答案】解：∵函数y2=mx(x>0)的图象过点C，C(2,2)，
∴m=2×2=4，
过C作CE⊥x轴于E，则CE=2，
∵点C、D刚好是线段AB的三等分点，
∴ACAB=23，
∵CE//OB，
∴CEOB=ACAB=23，即2OB=23，
∴OB=3，
∴B(0,3)，
把B、C的坐标代入y1=kx+b得b=32k+b=2，
解得k=−12b=3；
(2)作DF⊥x轴于F，则DF//OB，
∵点C、D刚好是线段AB的三等分点，
∴DFOB=ADAB=13，
∴DF=13OB=1，
把y=1代入y=4x得，x=4，
∴D(4,1)，
由图象得：当y1>y2时，x的取值范围是2
(2)利用平行线分线段成比例定理求得D的坐标为1，代入反比例函数解析式求得横坐标，然后根据图象直接写结论．
本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及平行线分线段成比例定理的应用，解决问题的关键是掌握待定系数法求函数解析式的方法以及数形结合思想的应用．
21.【答案】解：如图：过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，
由题意得：CG//DF//AM，
∴∠BDF=∠BAM=37°，∠CDF=∠HCG=45°，
在Rt△BDF中，BD=7m，
∴BF=BD⋅sin37°≈7×0.6=4.2(m)，
DF=BD⋅cos37°≈7×0.8=5.6(m)，
在Rt△CDF中，∠CDF=45°，
∴CF=DF⋅tan45°=5.6(m)，
∴BC=CF−BF=5.6−4.2≈1(m)，
∴小树BC的高约为1米．
【解析】过点D作DF⊥CB，交CB的延长线于点F，根据题意可得：CG//DF//AM，从而可得∠BDF=∠BAM=37°，∠CDF=∠HCG=45°，然后在Rt△BDF中，利用锐角三角函数的定义求出BF，DF的长，再在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，平行投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
22.【答案】过重 60 5 96
【解析】解：(1)∵某男生的身高是175cm，体重是80kg，
∴m=WH−105×100%=80175−105×100%≈117%，
∴他的体质评价结果是过重．
故答案为：过重；
(2)①抽查的学生数n=12÷%=60，
过重的人数为60×40%=24，
a=60−(3+16+24+12)=5．
故答案为：60，5；
②图1中，体质评价结果为“正常”的所在扇形圆心角为360°×1660=96°．
故答案为：96；
(3)450×(40%+20%)=270(人)．
答：该校体质监测结果为“过重”或“肥胖”的男生人数为270人．
(1)根据我国男性的体质系数计算公式是：m=WH−105×100%求出m，即可得出评价结果；
(2)①用肥胖的人数除以它所占的百分比得出抽查的学生数n，再求出过重的人数，然后根据各组人数之和等于数据总数求出a；
②用360°乘以体质评价结果为“正常”的人数所占的百分比即可；
(3)先求出体质评价结果为“过重”与“肥胖”的男生所占的百分比之和，再乘以480即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．也考查了利用样本估计总体．
23.【答案】解：(1)设400≤x≤1000时，y=kx+b，则由题意可得：
400k+b=1801000k+b=120，
解之可得：
k=−0.1b=220，
即y=−0.1x+220，
∴y与x的函数关系式为：
y=1800≤x<400−0.1x+220400≤x≤1000120x>1000；
(2)设乔木的种植面积为tm2，则花卉的种植面积为(2000−t)m2，由题意可得：
t≥3002000−t≥t3，
解之可得：300≤t≤1500，则：
①当300≤t<400时，
w=180t+150(2000−t)
=30t+300000
∴当t=300时，w最小=309000，
②当400≤t≤1000时，
w=(−0.1t+220)t+150(2000−t)
=−0.1t2+70t+300000
=−0.1(t−350)2+312250，
∴当t=1000时，w最小=−0.1×6502+312250=270000，
③当1000
300000−30t，
∴当t=1500时，w最小=300000−30×1500=255000，
综上所述，当t=1500，即乔木的种植面积1500m2，且花卉的种植面积500m2时，种植的总费用最少，最少是255000元．
【解析】(1)设400≤x≤1000时，y=kx+b，则由题意可得关于k、b的二元一次方程组，解方程组得到k、b后即可得到y与x的函数关系式；
(2)设乔木的种植面积为tm2，则花卉的种植面积为(2000−t)m2，由题意可以得到300≤t≤1500，然后分300≤t<400、400≤t≤1000、1000
24.【答案】CD=12AB 8
【解析】解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB中点，
∴CD=12AB，
∴AB与CD的数量关系是CD=12AB，
故答案为：CD=12AB；
(2)∵CD⊥AB，
∴∠ADC=∠CDB=90°，
∵点E，F分别是BC、CA的中点，
∴DF=12AC，DE=12BC，
∵DE=3，DF=4，
∴BC=2DE=6，AC=2DF=8，
∵∠ACB=90°，
∴AB= AC2+BC2= 82+62=10，
∴AB的长度为10；
(3)∵点F、G分别是BO、CO的中点，
∴FG是△OBC的中位线，
∴FG//BC，FG=12BC，
∵△ABC的中线BD、CE相交于点O，
即点D、E分别是AC、AB的中点，
∴DEFG是△ABC的中位线，
∴ED//BC，ED=12BC，
∴ED//FG，ED=FG，
∴四边形DEFG是平行四边形，
∵DE是△ABD的边AB上的中线，△ADE的面积为6，
∴△AED和△BED等底等高，即S△BED=S△ADE=6，
∵四边形DEFG是平行四边形，
∴OD=OF，
∵点F是BO的中点，
∴BF=OF，
∴BF=OF=OD，
∴△EBF、△EFO、△EOD等底等高，
∴S△BEF=S△EFO=S△EOD=13S△BED=13×6=2，
∴S△EFD=2S△EFB=4，
∴S△EFD=2S△EFB=4，
∴四边形DEFG的面积为：2S△EFD=2×4=8，
故答案为：8．
(1)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论；
(2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BC=6，AC=8，再利用勾股定理即可得出结论；
(3)证明四边形DEFG是平行四边形，得出S△BEF=S△EFO=S△EOD=13S△ADE，则四边形DEFG的面积=13S△ADE×4，即可求出四边形的面积．
本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，平行四边形的的判定和性质，三角形中位线的性质，三角形中线的性质．掌握三角形中位线的判定和性质是解题的关键．
25.【答案】 3x 2
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠CAB=60°，
作QG⊥AB于点G，
∴QG=AQ⋅sin60°=2x⋅ 32= 3x，
点Q到AB的距离为 3x cm，
故答案为： 3x；
(2)由题意得：AQ=2x，AP=x，
∵四边形APMQ是平行四边形，
∴QM=AP=x，QM//AB，
∴∠CQM=∠CAB=60°，∠CMQ=∠B=60°，
∴△CMQ是等边三角形，
∴CQ=QM=x，
∵△ABC是等边三角形，
∴CA=AB=6，
∴2x+x=6，
解得：x=2；
故答案为：2；
(3)当0
当2≤x<3时，如图②，
由(2)可得：△CQE是等边三角形，同理△BPF也是等边三角形，
∴y=S△ABC−S△CQE−S△BPF
=12×6×6×sin60°−12CQ⋅ 32CQ−12BP⋅ 32BP
=12×6×3 3−12(6−2x)⋅ 32(6−2x)−12(6−x)⋅ 32(6−x)
=−5 34x2+9 3x−9 3；
当3≤x≤6时，如图③，
∵CQ=2x−6，
∴CM=QM−CQ=AP−CQ=x−(2x−6)=6−x，
∵BP=6−x，
∴BP=CM，
∵CM//BP，
∴∠M=∠MPB，∠MCF=∠B，
∴△CMF≌△BPF，
∴BF=CF=12BC=3，
作FO⊥BP于点O，
∴FO=BF⋅sin60°=3 32，
∴y=S△ABC−S△BPF
=12×6×3 3−12(6−x)⋅3 32
=3 34x+9 32；
综上，y关于x的函数解析式为y= 3x2(0
(2)先证明△CMQ是等边三角形，可得CQ=QM=x，进而可得答案；
(3)分三种情况：0
26.【答案】解：(1)∵抛物线y=−x2+bx+c经过点A(−1,0)，点B(3,0)，
∴−1−b+c=0−9+3b+c=0，
解得：b=2c=3，
∴此抛物线的解析式为y=−x2+2x+3；
(2)令x=0，则y=3，
∴C(0,3)，
∴OC=3．
设直线BC的解析式为y=kx+n，
∴3k+n=0n=3，
∴k=−1n=3，
∴直线BC的解析式为y=−x+3．
∵点P是抛物线上的动点，且横坐标为m，
∴P(m,−m2+2m+3)，
∵过点P作y轴的平行线，交直线BC于点Q，
∴Q(m,−m+3)．
∵点P在直线BC上方的抛物线上运动，
∴PQ=(−m2+2m+3)−(−m+3)=−m2+3m．
(3)∵y=−x2+2x+3=−(x−1)2+4，
∴抛物线y=−x2+2x+3的顶点坐标为(1,4)，
①当m≥1时，
∵抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上(包括顶点)，
∴此时点P与抛物线的顶点重合，
∴m=1．
②当m<1时，
∵抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上(包括顶点)，
∴此时点Q的纵坐标与顶点的纵坐标相同，
∴−m+3=4，
∴m=−1．
综上，抛物线的顶点落在正方形PQMN的边上(包括顶点)时，m的值为±1；
(4)∵当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2，
∴PQ=2，
①点P在直线BC的上方时，
∴−m2+3m=2，
∴m=1或m=2．
②点P在直线BC的下方时，
∵PQ=(−m+3)−(−m2+2m+3)=m2−3m，
∴m2−3m=2，
解得：m=3+ 172或m=3− 172．
综上，当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2时，m的值为1或2或3+ 172或3− 172．
【解析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)求得直线BC的解析式，利用m表示出点Q的坐标，则结论可求；
(3)利用配方法求得抛物线的顶点坐标，再利用正方形的性质，分类讨论的思想方法分m≥1和m<1两种情况讨论解答即可；
(4)由题意可得：当此抛物线在正方形PQMN内部的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为2，即PQ=2，再利用分类讨论的思想方法列出关于m的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，正方形的性质，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键．
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