2023高考数学二轮专题复习与测试专题强化练十随机变量及其概率分布列

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专题强化练(十)　随机变量及其概率分布列
1．(2022·广东三模)学习强国APP从2021年起，开设了一个“四人赛”的答题模块，规则如下：用户进入“四人赛”后共需答题两局，每局开局时，系统会自动匹配3人与用户一起答题，每局答题结束时，根据答题情况四人分获第一、二、三、四名．首局中的第一名积3分，第二、三名均积2分，第四名积1分；第二局中的第一名积2分，其余名次均积1分，两局的得分之和为用户在“四人赛”中的总得分．
假设用户在首局获得第一、二、三、四名的可能性相同；若首局获第一名，则第二局获第一名的概率为，若首局没获第一名，则第二局获第一名的概率为.
(1)设用户首局的得分为X，求X的分布列；
(2)求用户在“四人赛”中的总得分的期望值．
解：(1)X的所有可能取值为3，2，1，
P(X＝3)＝，
P(X＝2)＝＋＝，
P(X＝1)＝，
其分布列为
X
3
2
1
P



(2)设总得分为Y，则Y的取值为5，4，3，2，
则P(Y＝5)＝×＝，
P(Y＝4)＝×＋×＝，
P(Y＝3)＝×＋×＝，
P(Y＝2)＝×＝，
Y
5
4
3
2
P




所以E(Y)＝5×＋4×＋3×＋2×＝3.3.
2．(2022·辽阳二模)某大学为了鼓励大学生自主创业，举办了“校园创业知识竞赛”，该竞赛决赛局有A，B两类知识竞答挑战，规则为进入决赛的选手要先从A，B两类知识中选择一类进行挑战，挑战成功才有对剩下的一类知识挑战的机会，挑战失败则竞赛结束，第二类挑战结束后，无论结果如何，竞赛都结束．A，B两类知识挑战成功分别可获得2万元和5万元创业奖金，第一类挑战失败，可得到2 000元激励奖金．已知甲同学成功晋级决赛，他对A，B两类知识的挑战成功率分别为0.6，0.4，且挑战是否成功与挑战次序无关．
(1)若记X为甲同学优先挑战A类知识所获奖金的累计总额(单位：元)，写出X的分布列；
(2)为了使甲同学可获得的奖金累计总额期望更大，请帮甲同学制定挑战方案，并给出理由．
解：(1)由题意可知，X可取的值为2 000，20 000，70 000，
P(X＝2 000)＝1－0.6＝0.4，
P(X＝20 000)＝0.6×(1－0.4)＝0.36，
P(X＝70 000)＝0.6×0.4＝0.24.
故X的分布列为
X
2 000
20 000
70 000
P
0.4
0.36
0.24
(2)记Y为甲同学优先挑战B类知识所获奖金的累计总额，甲同学优先挑战A类知识所获奖金的累计总额的期望为E(X)，优先挑战B类知识所获奖金的累计总额的期望为E(Y)，
由题意可知，Y可取的值为2 000，50 000，70 000，
P(Y＝2 000)＝1－0.4＝0.6，
P(Y＝50 000)＝0.4×(1－0.6)＝0.16，
P(Y＝70 000)＝0.4×0.6＝0.24.
E(X)＝0.4×2 000＋0.36×20 000＋0.24×70 000＝24 800(元)，
E(Y)＝0.6×2 000＋0.16×50 000＋0.24×70 000＝26 000(元)，
因为E(X)