新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市五校2022-2023学年高一下学期6月期末联考数学试题

这是一份新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市五校2022-2023学年高一下学期6月期末联考数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市五校2022-2023学年高一下学期6月期末联考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知复数，其中为虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．某学校共有980名学生，其中高一的学生有400名，高二的学生有300名，其余都是高三的学生，为了解该校学生的体育锻炼时间，按照高一､高二､高三三个级段进行分层抽样，如果样本容量为196，那么应在高三的学生中抽取（    ）
A．48名 B．52名 C．56名 D．60名
3．在中，，则（    ）
A． B．
C． D．
4．用斜二测画法作一个边长为2的正方形，则其直观图的面积为（　　）
A． B．2 C．4 D．
5．已知是不重合的直线，，是不重合的平面，则下列结论中正确的是（    ）
A．若且，则 B．若且，则
C．若且，则 D．若且，则
6．在直三棱柱中，，，，则此三棱柱外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
7．在△中，若，，，则（    ）
A． B．
C． D．
8．某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．设向量，则（    ）
A． B．
C．与的夹角为 D．在上的投影向量为
10．分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚正面朝上”，事件“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（    ）
A． B． C．事件与不互斥 D．事件与相互独立
11．2021年3月，中共中央、国务院印发了《关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》，某村在各级政府的指导和支持下，开展新农村建设，两年来，经济收入实现翻番．为更好地了解经济收入变化情况，统计了某村新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下扇形图：则下面结论中正确的是（    ）
  
A．新农村建设后，种植收入比例减少了23%
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入持平
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
12．如图，在正方体中，，分别是的中点，则（  ）
  
A．四点，，，共面
B．∥
C．与平面相交
D．若，则正方体外接球的表面积为

三、填空题
13．若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分分别为89，91，90，92，87，93，96，94，则这组数据的25%分位数是 ；
14．已知向量，，且，则 ．
15．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为，.则谜题被破解的概率为 .
16．样本的平均数为5，则的平均数为 ．

四、解答题
17．已知复数 ．其中且，i为虚数单位，且为纯虚数．
(1)求实数a的值；
(2)若，求复数并指出其对应复平面内的点所在的象限．
18．如图为长方体与半球拼接的组合体，已知长方体的长、宽、高分别为10，8，15（单位：cm），球的直径为5 cm，

(1)求该组合体的体积；
(2)求该组合体的表面积.
19．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知，，．
(1)求与c的值；
(2)求的面积；
20．为了了解某校的期中语文成绩分布情况，现从该校2300人中抽取100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示；其中成绩分组区间是，，，，．
  
(1)求图中a的值和中位数（保留两位小数）；
(2)估计该校学生中语文成绩不低于80分的人数；
21．甲、乙两名运动员进行投篮比赛，已知甲投中的概率为，乙投中的概率为，甲、乙投中与否互不影响，甲、乙各投篮一次，求下列事件的概率
(1)两人都投中；
(2)甲、乙两人有且只有1人投中.
22．如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，与交于点，面，且.
  
(1)求证平面.；
(2)求与平面所成角的大小．

参考答案：
1．D
【分析】先根据复数的乘法运算求出，再根据复数的几何意义即可得解.
【详解】由，可得复数在复平面内所对应的点所在的象限为第四象限．
故选：D．
2．C
【分析】由分层抽样的抽样比即可求解.
【详解】由题意可知高三学生有名，所以由分层抽样的抽样比可知应在高三学生中抽取名，
故选：C
3．B
【分析】根据平面向量的线性运算可得答案.
【详解】由可得为边中点，如图所示：
  

故选：B.
4．D
【分析】根据斜二测画法的原则得到直观图的对应边长关系，即可求出相应的面积.
【详解】根据斜二测画法的原则可知，

所以对应直观图的面积为.
故选：D.
5．D
【分析】对于A：直接判断出m与n可能平行、相交，也可能异面，即可判断；对于B：直接判断出m与n可能平行，也可能异面；对于C：直接判断出与可能相交，也可能平行；对于D：利用线面垂直的判定定理直接判断.
【详解】对于A：若且，则m与n可能平行、相交，也可能异面，故A错误；
对于B：若且，则m与n可能平行，也可能异面，故B错误；
对于C：若且，则与可能相交，也可能平行，故C错误；
对于D：因为垂直于同一直线的两个平面互相平行，故D正确.
故选：D.
6．B
【详解】根据题意，将直三棱柱扩充为长方体其体对角线为外接球的直径，可得半径，即可求出外接球的表面积．
【解答】因为，，，
所以将直三棱柱扩充为长、宽、高为1、1、2的长方体，
其体对角线为其外接球的直径，长度为，
所以其外接球的半径为，
则此三棱柱外接球的表面积为．
    
故选：B
7．B
【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.
【详解】根据正弦定理：，故，解得.
故选：B.
【点睛】本题考查了正弦定理，意在考查学生的计算能力.
8．A
【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答.
【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表：
乙
甲
1
2
3
4
5
6
1






2






3






4






5






6






共有36个不同结果，它们等可能，
其中甲乙抽到相同结果有，共6个，
因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率.
故选：A
9．AD
【分析】对于A，求出的坐标，然后求出其模进行判断，对于B，求出的坐标，再与的坐标进行比较判断，对于C，利用向量的夹角公式计算判断，对于D，利用投影向量的定义计算判断.
【详解】对于A，因为，所以，所以，
因为，所以，所以A正确，
对于B，因为，，
所以，所以与不平行，所以B错误，
对于C，因为，所以，
因为，所以，所以C错误，
对于D，因为，
所以在上的投影向量为，所以D正确，
故选：AD
10．ACD
【分析】列举出所有基本事件，并确定满足事件的基本事件个数，由此计算得到，结合互斥事件定义和独立事件概率乘法公式可判断出结果.
【详解】抛掷两枚质地均匀的硬币，所有可能的结果有：{正，正}、{正、反}、{反、正}、{反，反}，共个基本事件；
对于A，满足事件的基本事件有{正，正}、{正、反}，共个基本事件，则，A正确；
对于B，满足事件的基本事件有{正，正}，共个基本事件，则，B错误；
对于C，事件与事件可同时发生，事件与事件不互斥，C正确；
对于D，满足事件的基本事件有{正，正}、{反、正}，共个基本事件，则，
，事件与事件相互独立，D正确.
故选：ACD.
11．BD
【分析】设新农村建设前经济收入为a，则新农村建设后经济收入为2a，根据扇形图，逐项分析即可.
【详解】设新农村建设前经济收入为a，则新农村建设后经济收入为2a，
则由扇形图可得新农村建设前种植收入为0.6a，其他收入为0.04a，养殖收入为0.3a，
新农村建设后种植收入为0.74a，其他收入为0.1a，养殖收入为0.6a.
对A，新农村建设后，种植收入增加了，故A错误；
对B，其他收入为0.1a，，故增加了一倍以上，故B正确；
对C，养殖收入为0.6a，因为，即新农村建设后，养殖收入增加了一倍，故C错误；
对D，因为养殖收入与第三产业收入总和为1.16a，由，所以养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半，故D正确.
故选：BD.
12．BCD
【分析】对于A，连接和，可得点，，在平面中，再判断点是否在平面内即可，对于B，利用三角形中位线定理和正方体的性质判断，对于C，利用正方体的性质判断，对于D，由可求出正方体的棱长，从而可求出正方体的外接球的半径，进而可求出正方体外接球的表面积.
【详解】对于选项，连接和，则∥，
因为在正方体中，是的中点，
所以也是的中点，所以
因为是的中点，所以
所以点，，在平面中，
因为点平面，则四点，，，不共面，即选项不正确；
对于选项，由选项A可知是的中点，因为是的中点，所以∥，
又因为∥， 所以∥，即选项正确；
对于选项，因为∥，所以点，，都在平面，
因为平面，平面，所以与平面相交，
即与平面相交，所以选项正确；
对于选项，因为为的中位线，且，所以正方体的棱长为，
设正方体外接球的半径为，则，
即，则外接球的表面积为，即选项正确；
故选：BCD
  
13．/
【分析】根据百分位数的计算求解即可.
【详解】由题意，8个班得分从小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，
又，故该组数据的25%分位数是.
故答案为：
14．10
【分析】根据求得值，再计算.
【详解】因为向量，，且，所以，解得．
所以．故，
所以．
故答案为：10
15．
【分析】设“甲独立地破解谜题”为事件，“乙独立地破解谜题”为事件，“谜题被破解”为事件，利用求解.
【详解】设“甲独立地破解谜题”为事件，“乙独立地破解谜题”为事件，“谜题被破解”为事件，且事件，相互独立，
则.
故答案为：
16．12
【分析】由的平均数求的平均数,可由平均数的性质可直接得到.
【详解】样本的平均数为5即,
则的平均数为.
故答案为：12.
17．(1)4
(2)，第二象限．

【分析】（1）利用纯虚数的定义即可求解，
（2）根据复数的除法运算，结合复数的几何意义即可求解.
【详解】（1）∵，∴
∵为纯虚数，且 ，∴ ，解得a＝4．
（2），
∴对应复平面内的点的坐标为，在第二象限．
18．(1)（cm3）
(2)（cm2）．

【分析】（1）根据长方体和球的体积公式可求出组合体的体积；
（2）根据长方体和球的表面积公式可求出组合体的表面积；
【详解】（1）根据该组合体是由一个长方体和一个半球组合而成．
由已知可得，
又，
所以所求几何体体积为：，
（2）因为长方体的表面积，
半球的底面积，球的表面积，
故所求几何体的表面积为.
19．(1)，
(2)

【分析】（1）根据正余弦定理即可解出；
（2）根据面积公式即可解出；
【详解】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；
由余弦定理可得，，即，
解得：或（舍去）．
（2）
20．(1)，中位数是；
(2).

【分析】（1）利用频率之和为1即可求出，求出从左边开始小矩形的面积的和为0.5时对应的横轴的值即为中位数；
（2）先求出样本中语文成绩不低于80分的频率，再利用样本估计总体即可.
【详解】（1）由频率分布直方图得，，解得；
设中位数为，则，解得，所以中位数是.
（2）根据频率分布直方图得，100名学生期中考试语文成绩不低于80分的频率为，所以该校学生中语文成绩不低于80分的频率为，
所以估计该校学生中语文成绩不低于80分的人数为.
21．(1)
(2)

【分析】（1）根据独立事件同时发生概率公式计算可得；
（2）应用互斥事件概率公式结合独立事件概率公式计算求解即可.
【详解】（1）设A=“甲投中”，B=“乙投中”，=“甲没投中”，=“乙没投中”，依题意知A与B，A与，与B，与都互相独立.

AB=“甲、乙都投中”

（2）∪=“甲、乙两个有且只有1个投中”
且与互斥
∴

22．(1)证明见解析
(2)

【分析】（1）由，因为平面，得到，结合直线与平面垂直的判定定理，即可证得平面；
（2）连接，得到为与平面所成的角，在直角中，即可求得与平面所成的角.
【详解】（1）解：因为是正方形，所以，
又因为平面，平面，所以，
因为，平面，平面，
所以平面.
（2）解：连接，因为平面，所以为与平面所成的角，
因为，所以，
在直角中，，
所以，即与平面所成的角为.