新疆乌鲁木齐市五校2022-2023学年高二下学期期末联考数学（文科）试卷

这是一份新疆乌鲁木齐市五校2022-2023学年高二下学期期末联考数学（文科）试卷，共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年新疆乌鲁木齐市五校联考高二（下）期末数学试卷（文科）
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知全集U=R，集合M={x|(x−1)(x+2)≥0}，N={x|−1≤x≤3}，则(∁UM)∩N=(    )
A. [−1,1) B. [−1,2] C. [−2,−1] D. [1,2]
2. 命题“∀x>0，x2−2x+1≥0”的否定是(    )
A. ∃x>0，x2−2x+1<0 B. ∀x>0，x2−2x+1<0
C. ∃x≤0，x2−2x+1<0 D. ∀x≤0，x2−2x+1<0
3. 已知(1+i)2z=2+3i，则z=(    )
A. 32−i B. 32+i C. 1−32i D. 1+32i
4. 已知x，y∈(0,+∞)，且1x+4y=1，则x+y的最小值为(    )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5. 已知向量a=(x,−1)，b=(−3,2)，若a//b，则4a⋅b=(    )
A. 26 B. −26 C. 13 D. −13
6. 第24届冬季奥运会于2022年2月4日至2022年2月20日在北京市和河北省张家口市成功举行，举世瞩目．中国奥运健儿取得了多项历史性的突破，比赛期间要安排甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去国家高山滑雪馆，国家速滑馆，首钢滑雪大跳台三个场馆参加活动，要求每人去一个场馆，每个场馆都要有人去，则不同的方案种数为(    )
A. 120 B. 150 C. 240 D. 300
7. 有7件产品，其中4件正品，3件次品，现不放回从中取2件产品，每次一件，则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为(    )
A. 47 B. 23 C. 13 D. 16
8. 已知二项式(2x2−1x)n的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含1x项的系数是
A. −84 B. −14 C. 14 D. 84
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 下列函数中，是奇函数且在区间(0,1)上是减函数的是(    )
A. f(x)=ex B. f(x)=−sinx C. f(x)=1x D. f(x)=−x2+4
10. 下列计算正确的是(    )
A. (e−x)′=−e−x B. (1x)′=1x2
C. (sin2x)′=2cos2x D. (lgx)′=1x
11. 已知数列{an}的前n项和为Sn，若a1=−10，an+1=an+3，则下列说法正确的是(    )
A. {an}是递增数列 B. 10是数列{an}中的项
C. 数列{Sn}中的最小项为S4 D. 数列{Snn}是等差数列
12. 下列结论正确的是(    )
A. 若随机变量X服从两点分布，P(X=1)=13，则E(X)=13
B. 若随机变量Y的方差D(Y)=2，则D(2Y−1)=4
C. 若随机变量ξ服从二项分布B(5,12)，则P(ξ=2)=516
D. 若随机变量η服从正态分布N(5,σ2)，P(η<7)=0.75，则P(η<3)=0.25
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. (1681) −34+log354+log345= ______ ．
14. 已知角α的终边过点P(−4,3)，则2sinα+tanα=______．
15. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a= 5，b=3，sinC=2sinA，则△ABC的面积为_________．
16. 如图，圆柱体O1O2内接于球O，M点为圆柱的上底面与球O表面的一个公共点，若∠O1OM=π3，圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则V1V2=______．


四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
已知等差数列{an}的公差d为1，且a1，a3，a4成等比数列．
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；
(Ⅱ)设数列bn=2an+5+n，求数列{bn}的前n项和Sn．
18. (本小题12.0分)
设函数f(x)=x3−3x2−9x+8．
(1)求f(x)在x=1处的切线方程；
(2)求f(x)在[−2,4]上的最大值和最小值．
19. (本小题12.0分)
某中学(含初高中6个年级)随机选取了40名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值及样本中男生身高在[185,195](单位：cm)的人数；
(2)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本估计该校全体男生的平均身高；
(3)根据频率分布直方图估计该校男生身高的85%分位数．


20. (本小题12.0分)
甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为23，乙每次击中目标的概率12，假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每次射击是否击中目标，相互之间没有影响．
(1)记甲击中目标的次数为X，求X的概率分布列及数学期望E(X)；
(2)求甲恰好比乙多击中目标2次的概率．
21. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=2sinxcosx+ 3cos2x．
(1)求函数f(x)的最小正周期及其单调递增区间；
(2)当x∈[−π6,π6]时，求f(x)的最小值．
22. (本小题12.0分)
如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中.
(1)求证：面BB1D1D⊥面AB1C；
(2)求二面角A−B1C−C1的平面角的余弦值．




答案和解析

1.【答案】A 
【解析】解：由题意得由(x−1)(x+2)≥0得x≥1或x≤−2，则M=(−∞,−2]∪[1,+∞)，则CUM=(−2,1)，
又N={x|−1≤x≤3}，∴(∁UM)∩N=[−1,1)，
故选：A．
先由一元二次不等式的解法求得集合M，再结合集合的补集、交集运算，即可得出答案．
本题考查集合的补集和交集的运算，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．

2.【答案】A 
【解析】解：由已知得，命题“∀x>0，x2−2x+1≥0”的否定是：
∃x>0，x2−2x+1<0．
故选：A．
全称量词命题的否定，一是量词变成存在量词，二是否定结论，据此解决问题．
本题考查全称量词命题的否定方法，属于基础题．

3.【答案】A 
【解析】解：∵(1+i)2=2i，
∴(1+i)2z=2+3i可转化为2iz=2+3i，
∴z=2+3i2i=32−i，
故选：A．
先化简(1+i)2=2i，从而可得2iz=2+3i，从而求解．
本题考查了复数的运算的应用，属于基础题．

4.【答案】D 
【解析】解：由题意可得，x+y=(x+y)(1x+4y)=5+yx+4xy≥5+2 yx×4xy=9；
当且仅当1x+4y=1yx=4xy则x=3，y=6时取等号
故选：D．
由已知可得，x+y=(x+y)⋅(1x+4y)，展开后应用基本不等式即可
本题考查基本不等式，着重考查学生整体代入的思想及应用基本不等式的能力，属于基础题

5.【答案】B 
【解析】解：∵向量a=(x,−1)，b=(−3,2)，且a//b，
∴x−3=−12，
∴x=32，
∴a=(32,−1)，b=(−3,2)，
∴4a⋅b=4×[32×(−3)+(−1)×2]=−26．
故选：B．
利用向量平行的性质直接求解x，进而求解结论．
本题考查向量的运算，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．

6.【答案】B 
【解析】
【分析】
本题考查分组分配问题，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．
根据题意，分两步进行分析：先将5人分为3组，再将分好的3组分配到三个不同的场馆，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】
解：根据题意，分两步进行分析：
先将5人分为3组，而将5人分为3组有两种情况：1人1人3人；1人2人2人，
则有C53+C52C32C11A22种分组方法，
再分好组派去三个不同的场馆，有A33种情况，
则有(C53+C52C32C11A22)⋅A33=25×6=150种分法．
故选B．
  
7.【答案】B 
【解析】解：根据题意，有7件产品，其中4件正品，3件次品，在第一次取得次品的条件下，还有2件次品，4件正品，
则在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率P=46=23．
故选：B．
根据题意，分析可得在第一次取得次品的条件下，还有2件次品，4件正品，由古典概型公式计算可得答案．
本题考查条件概率性的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．

8.【答案】A 
【解析】解：由二项式(x−2x)n的展开式中所有二项式系数的和是128，
得2n=128，即n=7，
∴(2x2−1x)n=(2x2−1x)7，
由Tr+1=C7r⋅(2x2)7−r⋅(−1x)r=(−1)r⋅27−r⋅C7r⋅x14−3r．
取14−3r=−1，得r=5．
∴展开式中含1x项的系数是−4×C75=−84．
故选：A．
由已知可得n的值，写出二项展开式的通项，由x的指数为−1求得r值，则答案可求．
本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，体现了转化的数学思想，属于基础题．

9.【答案】BC 
【解析】解：对于A，函数f(x)=ex的定义域为R，是增函数，A不是；
对于B，函数f(x)=−sinx的定义域为R，是奇函数，并且在(0,1)上单调递减，B是；
对于C，函数f(x)=1x的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，是奇函数，并且在(0,1)上单调递减，C是；
对于D，函数f(x)=−x2+4的定义域为R，是偶函数，D不是．
故选：BC．
根据给定的条件，逐一分析各选项中函数的奇偶性及在(0,1)上的单调性作答．
本题主要考查了函数奇偶性及单调性的判断，属于基础题．

10.【答案】AC 
【解析】解：A选项，(e−x)′=−ex，故A选项正确；
B选项，(1x)′=−1x2，故B选项错误；
C选项，(sin2x)′=2cos2x，故C选项正确；
D选项，((lgx)′=1xlge.故D选项错误；
故选：AC．
根据导数的运算法则对选项逐一判断即可．
本题主要考查导数的运算法则，属于基础题．

11.【答案】ACD 
【解析】解：∵a1=−10，an+1−an=3，
∴数列{an}是首项为−10，公差为3的等差数列，
∴an=−10+3(n−1)=3n−13．
对于A：∵an+1−an=3，∴{an}是递增数列，故A正确；
对于B：令an=3n−13=10，则n=233∉N*，故B错误；
对于C：∵a4=−1<0，a5=2>0，且{an}为递增数列，
∴数列{Sn}中的最小项为S4，故C正确；
对于D：Sn=n(a1+an)2=n(−10+3n−13)2=3n2−23n2，则Snn=3n−232，
∴Sn+1n+1−Snn=3(n+1)−232−3n−232=32，
故数列{Snn}为等差数列，故D正确．
故选：ACD．
利用数列的单调性可判断A选项；求出数列{an}的通项公式，解方程an=10，可判断B选项；根据a4=−1<0，a5=2>0，结合选项B可判断C选项；求出数列{Snn}的通项公式，利用等差数列的定义可判断D选项．
本题考查数列的递推式，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．

12.【答案】ACD 
【解析】解：对于题中的A选项，E(X)=0×23+1×13=13，A正确；
对于题中的B选项，D(2Y−1)=4D(Y)=8，B错误；
对于题中的C选项，P(ξ=2)=C52(12)5=516，C正确；
对于题中的D选项，P(η<3)=P(η>7)=1−P(η<7)=0.25，D正确；
故选：ACD．
对于A，根据两点分布期望公式求解；对于B，利用D(aX+b)=a2D(X)求解；对于C，利用二项分布概率式子求解；对于D，根据正态分布关于x=5对称求解．
本题主要考查随机变量期望的计算，随机变量方差的计算等知识，属于中档题．

13.【答案】278 
【解析】解：(1681) −34+log354+log345=278+log35−log34+log34−log35
=278．
故答案为：278．
直接利用对数运算法则以及有理指数幂的运算法则化简求解即可．
本题考查有理指数幂的运算法则以及对数运算法则的应用，考查计算能力．

14.【答案】920 
【解析】解：点P(−4,3)在角α的终边上，则|OP|=5，
∴sinα=35，tanα=−34，
∴2sinα+tanα=65−34=920
故答案为：920．
先求出原点到点P的距离，依据任意角的三角函数的定义求出sina和tana的值，然后代入式子运算．
本题考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．

15.【答案】3 
【解析】
【分析】
由已知及正弦定理可求c的值，利用余弦定理即可求得cosB的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，根据三角形面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
【解答】
解：在△ABC中，∵sinC=2sinA，a= 5，b=3，
∴由正弦定理可得：c=2a=2 5，
∴由余弦定理可得：cosB=a2+c2−b22ac=5+20−92× 5×2 5=45，可得：sinB= 1−cos2B=35，
∴S△ABC=12acsinB=12× 5×2 5×35=3．
故答案为：3．  
16.【答案】916 
【解析】解：如图，
设球O的半径为R，由∠O1OM=π3，得O1O=R2，O1M= 32R．
∴圆柱的高为h=R，则柱O1O2的体积为V1=π×( 32R)2×R=34πR3；
球O的体积为V2=43πR3．
∴V1V2=34πR343πR3=916．
故答案为：916．
设球O的半径为R，由∠O1OM=π3，得O1O=R2，O1M= 32R，把圆柱的底面半径与高用R表示，代入圆柱体积公式与球的体积公式计算得答案．
本题考查圆柱的体积与球的体积的比值的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题

17.【答案】解：(Ⅰ)在等差数列{an}中，因为a1，a3，a4成等比数，
所以 a32=a1a4，
即 (a1+2d)2=a12+3a1d，
解得a1d+4d2=0．
因为d=1，
所以a1=−4，
所以数列{an}的通项公式an=n−5．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：an=n−5，
所以bn=2an+5+n=2n+n，
得Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)
=2(2n−1)2−1+n(n+1)2
=2n+1−2+n(n+1)2． 
【解析】(Ⅰ)在等差数列{an}中，因为a1，a3，a4成等比数，可得 a32=a1a4，即 (a1+2d)2=a12+3a1d，解出即可得出．
(Ⅱ)由(Ⅰ)知：an=n−5，可得bn=2an+5+n=2n+n，再利用求和公式即可得出．
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

18.【答案】解：(1)函数f(x)=x3−3x2−9x+8，函数的导数为f′(x)=3x2−6x−9．
f′(1)=−12，f(1)=−3，
f(x)在x=1处的切线方程：y+3=−12(x−1)，
即12x+y−9=0．
(2)令f′(x)=0，3x2−6x−9=0，解得x1=3，x2=−1．
当−1 即f(x)的单调递减区间(−1,3)，
x<−1或x>3，可得f′(x)>0，
∴函数单调递增区间(−∞,−1)，(3,+∞)．
∴f(x)的极大值点x=−1，f(−1)=13，
∵f(−2)=(−2)3−3(−2)2−9(−2)+8=6，
f(4)=43−3×42−9×4+8=−12，
∴函数的最大值为：13，最小值为−12． 
【解析】(1)求出函数的导数，求解切线的斜率，切点坐标，然后求解切线方程．
(2)求解极值点，通过导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解函数的最值即可．
本题考查函数导数的应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，切线方程的求法，是中档题．

19.【答案】解：(1)依题意，(0.005+a+0.020+0.025+0.040)×10=1，
解得a=0.010．
∴样本中学生身高在[185,195]内(单位：cm)的人数为40×0.01×10=4；
(2)设样本中男生身高的平均值为x，
则x=150×0.05+160×0.2+170×0.4+180×0.25+190×0.1=7.5+32+68+45+19=171.5．
估计该校全体男生的平均身高为171.5cm；
(3)由a=0.010，根据频率分布直方图，
∵(0.005+0.020+0.040)×10=0.65<0.85，
(0.005+0.020+0.040+0.025)×10=0.9>0.85，
∴样本中的85%分位数落在[175,185)内，
设85%分位数为x，则(x−175)×0.025=0.2，解得x=183．
∴估计该校男生身高的85%分位数为183cm． 
【解析】本题考查频率分布直方图，考查运算求解能力，正确理解题意是关键，属于基础题．
(1)由频率和为1求得a的值，进一步求得样本中学生身高在[185,195]内(单位：cm)的人数；
(2)求出样本中男生身高的平均值为x，可得该校全体男生的平均身高；
(3)由题意可得样本中的85%分位数落在[175,185)内，设85%分位数为x，由(x−175)×0.025=0.2，解得x的值，即可得到该校男生身高的85%分位数．

20.【答案】解：(1)由题意可知，X的可能取值是0，1，2，3，
所以P(X=0)=C30(13)3=127，
P(X=1)=C31(23)1(13)2=29，
P(X=2)=C32(23)2(13)1=49，
P(X=3)=C33(23)3=827，
所以X的分布列如下：
 X
0
 1
2
 3
 P
 127
29
49
 827
故数学期望E(X)=0×127+1×29+2×49+3×827=2；
(2)设甲恰好比乙多击中目标2次为事件A，
甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标0次为事件B，
甲恰好击中目标3次且乙恰好击中目标1次为事件C，
则A=B+C，且B和C为互斥事件，
所以P(A)=P(B)+P(C)=49×18+827×38=16，
故甲恰好比乙多击中目标2次的概率为16． 
【解析】(1)先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；
(2)利用分类计数原理以及互斥事件的概率公式求解即可．
本题考查了离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，互斥事件概率公式的应用以及分类计数原理的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．

21.【答案】解：(1)根据函数f(x)=2sinxcosx+ 3cos2x=2(12sin2x+ 32cos2x)=2sin(2x+π3)，
可得函数f(x)的最小正周期T=2π2=π．
由2kπ−π2≤2x+π3≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ−5π12≤x≤kπ+π12(k∈Z)，
∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ−5π12,kπ+π12]，k∈Z．
(2)∵当x∈[−π6,π6]时，2x+π3∈[0,2π3]，
∴sin(2x+π3)∈[0,1]，∴f(x)=2sin(2x+π3)∈[0,2]，
故f(x)的最小值为0． 
【解析】(1)由题意，利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的周期性和单调性，得出结论．
(2)由题意，利用正弦函数的定义域和值域，求出f(x)的最小值．
本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．

22.【答案】(1)证明：∵D1D⊥面ABCD，AC⊂面ABCD，
∴D1D⊥AC，
在正方形ABCD中，AC⊥BD，
∵DD1∩BD，DD1，BD⊂平面BB1D1D，
∴AC⊥平面BB1D1D，
∵AC⊂面AB1C，
∴面BB1DD1⊥面AB1C；
(2)解：∵在正方形BB1C1C中，
∴EC1⊥B1C，
取B1C的中点E，连接AE，EC1．
易知AC=AB1=B1C，
∵E是B1C的中点，∴AE⊥B1C，
∴∠AEC1为二面角A−B1C−C1的平面角．
设正方体的棱长为2，
∴AC=AB1=B1C=2 2，
C1E= 2，AE= 6，AC1=2 3．
由余弦定理有cos∠AEC1=AE2+EC12−AC122AE×EC1=6+2−122× 6× 2=− 33． 
【解析】(1)根据面面垂直的判断定理即可证明面BB1DD1⊥面AB1C；
(2)根据二面角的定义先找出二面角，即可求二面角A−B1C−D1的平面角的余弦值．
本题主要考查面面垂直的判定以及空间角的求解，属于中档题．