2023年江苏省扬州市宝应实验初级中学中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省扬州市宝应实验初级中学中考数学三模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省扬州市宝应实验初级中学中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 实数−1.5，− 2，0， 3中最大的数是(    )
A. 0 B. − 2 C. −1.5 D. 3
2. 下列运算中，正确的是(    )
A. x3⋅x3=x6 B. (x2)3=x5
C. 3x2÷2x=x D. (x−y)2=x2−y2 
3. 如图，直线AB/​/CD，∠B=45°，∠C=50°，则∠E的度数是(    )
A. 85°
B. 80°
C. 90°
D. 100°
4. 一次函数y=2x+b(b≥0)的图象一定不经过的象限是(    )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5. 如图所示的几何体由一个圆柱体和一个长方体组成，它的俯视图是(    )
A.
B.
C.
D.


6. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀、六只燕，共重16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为(    )
A. 5x+6y=165x+y=6y+x B. 5x+6y=164x+y=5y+x
C. 6x+5y=166x+y=5y+x D. 6x+5y=165x+y=4y+x
7. 如图，在菱形ABCD中，点E是AB的中点，以D为圆心、DE的长度为半径作弧EF，交BC于F，连接DE、DF.若∠A=60°，AD=4，则图中阴影部分的面积为(    )

A. 4 3−2π B. 8 3−2π C. 4 3−53π D. 8 3−53π
8. [x]表示不大于x的最大整数，如[−2.1]=−3，[3.2]=3，如果x2=2[x]+3，−2 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 若式子 x−6在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．
10. 分解因式：3x2−12y2=______．
11. 粮食是人类赖以生存的重要物质基础.2022年我国粮食总产量再创新高，达69000万吨.该数据可用科学记数法表示为______ 万吨．
12. 为确保产品质量，某厂质检部门定期对该厂生产的各类产品按一定比例进行随机检查.并统计产品的合格情况，如图表示的是A产品的部分质检数据：估计该厂生产的A产品合格的概率是______ .(结果精确到0.01)


13. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在格点上，点E在AB的延长线上，以A为圆心，AE为半径画弧，交AD的延长线于点F，且弧EF经过点C，则EF的长为______ ．
14. 小王统计了一周家庭用水量，绘制了如图的统计图，那么这周用水量的众数是______ ．

15. 如图，在平面直角坐标系中，AC=BC=5，AB=8，且AB⊥x轴于点A，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点C，交AB于点D，若BD=3AD，则点D的坐标为______ ．


16. 中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在其著作《九章算术注》中，用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(红色为正，黑色为负).如图1表示的算式是(+2)+(−2)，根据这种表示法，可推算出图2所表示的算式是______．

17. 已知y是关于x的函数，若该函数的图象经过点P(t,t)，则称点P为函数图象上的“平衡点”，例如：直线y=−2x+3，上存在“平衡点”P(1,1).若函数y=(m−1)x2−3x+2m的图象上存在唯一“平衡点”，则m= ______ ．
18. 在边长为6的正方形ABCD中，点E是射线BC上的动点(不与B，C重合)，连结AE，将△ABE沿AE向右翻折得△AFE，连结CF和DF，若△DFC为等腰三角形，则BE的长为______．


三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算：(π−1)0+| 3−1|−(13)−1−3tan30°；
(2)配方法解方程：x2+4x−1=0．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1−1x+1)÷x2x2+2x+1，其中x=2023．
21. (本小题8.0分)
随着时代发展，人们乘坐公交车支付车票的方式更加多样、便捷.某校数学实践小组设计了一份公交车票支付方式调查问卷，要求每位被调查人选且只选一种最喜欢的支付方式.现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．

根据所给的信息解答下列问题；
(1)这次活动共调查了______ 人；在扇形统计图中表示“微信”支付的扇形圆心角的度数为______ ；
(2)将条形统计图补充完整．
22. (本小题8.0分)
4张奖券中有2张是有奖的，甲、乙先后各抽一张．
(1)甲中奖的概率是______；
(2)试用列树状图或列表法求甲、乙都中奖的概率．
23. (本小题10.0分)
如图1是一张折叠型方桌子，图2是其侧面结构示意图，支架AD与CB交于点O，测得AO=BO=50cm，CO=DO=30cm．

(1)若CD=40cm，求AB的长；
(2)将桌子放平后，要使AB距离地面的高为40cm，求两条桌腿需叉开角度∠AOB．
24. (本小题10.0分)
如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，连接AC，BC，AD，CD，线段CD与AB相交于点E，过点D作∠ADF=∠ACD，DF交CA的延长线于点F．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若DF/​/AB，CE=4 105，DE= 10，求⊙O的半径．

25. (本小题10.0分)
为推动家乡学校篮球运动的发展，某公司计划出资12000元购买一批篮球赠送给家乡的学校．实际购买时，每个篮球的价格比原价降低了20元，结果该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球，每个篮球的原价是多少元？
26. (本小题10.0分)
如图是由小正方形组成的5×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线示．

(1)在图1中，先在边AC上找一点D，使AD=2CD，再画点B关于点D对称的点E；
(2)在图2中，M是边AB上一点，先画△ABC的角平分线BF，再画点M关于直线BF称的点N．
27. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=−x+m的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点B(3,1)，C两点．
(1)求反比例函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是线段BC上一点，过点P向x轴作垂线段，垂足为Q，连接OP，△POQ的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大面积及点P坐标，若不存在，请说明理由．

28. (本小题12.0分)
已知在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，点O是边AB上的一点(不与点A重合)，以点O为圆心，OA长为半径作圆，交射线AB于点G．
(1)如图1，当⊙O与直线BD相切时，求半径OA的长；
(2)当⊙O经过点C时，求∠OCB的正弦值．
(3)当⊙O与△BCD的三边有且只有两个交点时，求半径OA的取值范围．

答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：∵−1.5<− 2<0< 3，
∴最大的是 3，
故选：D．
比较四个数大小即可得到答案．
本题考查实数大小比较，解题的关键是掌握两个负数比较，绝对值大的反而小．

2.【答案】A 
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，逐项分析计算即可求解．
本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，单项式除以单项式，完全平方公式，熟练掌握运算运算法则是解题的关键． 
【解答】
解：x3⋅x3=x6，故选项A正确，符合题意；
(x2)3=x6，故选项B不正确，不符合题意；
 3x2÷2x=32x，故选项C不正确，不符合题意；
(x−y)2=x2−2xy+y2，故选项D不正确，不符合题意；
故选：A．  
3.【答案】A 
【解析】解：∵AB/​/CD，∠B=45°，
∴∠EDC=∠B=45°，
∵∠C=50°，
∴∠E=180°−∠EDC−∠C=85°．
故选：A．
先根据平行线的性质求出∠EDC=45°，再利用三角形内角和定理求出∠E的度数即可．
本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟知两直线平行，同位角相等，三角形内角和为180°是解题的关键．

4.【答案】D 
【解析】解：∵一次函数y=2x+b(b≥0)，
∴k=2>0，
∴一次函数y=2x+b(b≥0)的图象一定经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
根据一次函数图象的特点分析即可．
本题主要考查了函数图象上的点与图象的关系，图象上的点满足解析式，满足解析式的点在函数图象上．并且本题还考查了一次函数的性质，都是需要熟记的内容．

5.【答案】C 
【解析】解：从上面看，可得如下图形：

故选：C．
根据俯视图是从上面看得到的图形，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，俯视图是从上面看得到的图形．

6.【答案】B 
【解析】解：设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为：
5x+6y=164x+y=5y+x．
故选：B．

此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确表示出“互换一只恰好一样重”的等式是解题关键．

7.【答案】A 
【解析】解：连接BD，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，AD=4，
∴AB=4，
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵点E是AB的中点，
∴AE=BE=2，DE⊥AB，
∴∠ADE=∠DEB=90°−60°=30°，
同理可得CF=BF=2，DF⊥BC，
∴∠CDF=∠FDB=30°，
∴∠EDF=60°，
由勾股定理得DE= AD2−AE2= 42−22=2 3，
∴S阴影=S△BED+S△BFD−S扇形DEF
=12×2×2 3+12×2×2 3−60×(2 3)2π360
=4 3−2π，
故选：A．
连接BD，根据菱形的性质和勾股定理求出DE，再求出∠EDF，再根据三角形的面积和扇形的面积求出即可．
本题考查了等边三角形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理，扇形的面积计算等知识点，熟练掌握知识点并灵活运用解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：当−2 ∵x2=2[x]+3
∴[x]=x2−32．
当[x]=−2时，x2−32=−2，得：x2=−1，无解
当[x]=−1时，x2−32=−1，得：x2=1，解得x=1(舍)或x=−1
当[x]=0时，x2−32=0，得x2=3，解得x=± 3(舍)
当[x]=1时，x2−32=1，得x2=5，解得x=± 5(舍)
当[x]=2时，x2−32=2，得x2=7，解得x=− 7(舍)或x= 7．
∴x=−1或x= 7．
符合条件的x的值有2个．
故选：B．
当−2 本题考查取整函数，要理解取整函数的定义，注意分类讨论，属于中档题．

9.【答案】x≥6 
【解析】解：由题意得，x−6≥0，
解得x≥6．
故答案为：x≥6．
根据被开方数大于或等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式有意义的条件，即二次根式的被开方数是非负数．

10.【答案】3(x−2y)(x+2y) 
【解析】解：3x2−12y2，
=3(x2−4y2)，
=3(x+2y)(x−2y)．
先提取公因式3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题考查了提公因式法，公式法分解因式，关键在于提取公因式后，可以利用平方差公式进行二次分解．

11.【答案】6.9×108 
【解析】解：69000万=690000000=6.9×108，
故答案为：6.9×108．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

12.【答案】0.95 
【解析】解：由图可知，随着取样的不断增大，产品合格的频率在0.95附近波动，故估计该厂生产的A产品合格的概率为0.95．
故答案为：0.95．
由表中数据可以判断频率在0.95左右摆动，故估计该厂生产的A产品合格的概率为0.95．
本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．

13.【答案】 5π4 
【解析】解：如图，连接AC，

则AC= 22+12= 5，
∴弧长=45π× 5180= 5π4．
故答案为： 5π4．
连接AC，根据勾股定理求出AC，求出∠EAF，再根据弧长公式求出答案即可．
本题考查了勾股定理，正方形的性质和弧长计算等知识点，注意：一条弧所对的圆心角是n°，半径为r，那么这条弧的长度是nπr180．

14.【答案】1 
【解析】解：从统计图中得知：从星期日到星期六的每天用水量分别为：2，1，0.5，1.5，1，1.5，1(单位：t)．
出现次数最多的数字是1，即可众数是1．
故答案为：1．
根据众数和中位数的定义即可求解．
本题考查的是众数和中位数．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

15.【答案】(6,2) 
【解析】解：过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥OA于F，则CF=AE

∵AC=BC，AB=8，CE⊥AB
∴BE=AE=CF=4，
∵AC=BC=5，
∴CE=3，
∵BD=3AD，
∴AD=2，
设点C(m,4)，则D(m+3,2)，
∵点C、D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=4m=2(m+3)，
解得m=3，
∴点D的坐标为(6,2)．
故答案为：(6,2)．
过点C作CE⊥AB于点E，CF⊥OA于F，则CF=AE.由AB=8，AC=BC，CE⊥AB，可得AE=BE=CF=4，可求得CE=3，由BD=3AD得出AD=2，设点C(m,4)，则D(m+3,2)，由图象上点的坐标特征得到k=4m=2(m+3)，即可求得m=3，得到点D的坐标为(6,2)．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，等腰三角形的性质，关键是正确表示出C、D的坐标．

16.【答案】(+3)+(−6) 
【解析】解：因为红色为正，黑色为负，
所以图2表示的算式是：(+3)+(−6)．
故答案为：(+3)+(−6)．
根据红色为正，黑色为负即可得出答案．
本题考查了正数和负数，有理数的加法，掌握红色为正，黑色为负是解题的关键．

17.【答案】2或−1或1 
【解析】解：由题意可知，方程t=(m−1)t2−3t+2m有唯一解，
整理得：(m−1)t2−4t+2m=0，且Δ=0．
即42−4×(m−1)⋅2m=0，
解得m=2或−1．
当m=1时，它是一次函数，存在唯一“不动点”，
故答案为：2或−1或1．
根据题意列出关于t的一元二次方程有唯一解，利用根的判别式可得关于m的一元二次方程，解方程即可求解．
此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，新定义、一元二次方程根的判别式、解一元二次方程等，对“平衡点”的理解是解决本题的关键．

18.【答案】2 3或12+6 3或12−6 3 
【解析】解：如图，①点F在以A为圆心AB为半径的圆上，满足条件的点F在线段CD的垂直平分线KF上．

作FH⊥AD于H.在Rt△AFH中，∵AF=2FH，
∴∠FAH=30°，
∵∠BAD=90°，
∴∠BAF=60°，
∴∠EAB=∠EAF=30°，
在Rt△ABE中，BE=AB⋅tan30°=2 3，
②当DF′=DC时，在BE′上取一点G，使得AG=GE′．
∵AF′=AD=DF′，
∴△ADF′是等边三角形，
∴∠DAF′=60°，
∴∠BAF′=150°，
∴∠BE′F′=30°，
∴∠BE′A=15°，
∵GA=GE′，
∴∠GAE′=∠GE′A=15°，
∴∠AGB=30°，
∴AG=GE′=2AB=12，BG=6 3，
∴BE′=12+6 3
若以点D为圆心，DC长为半径作圆与以点A为圆心，AB长为半径的圆在正方形的内的交点为F
同理可得BE=12−6 3
综上所述，BE的长为2 3或12+6 3或12−6 3
分三种情形画出图形分别求解即可．
本题考查翻折变换、正方形的性质、直角三角形30度角的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找点F的位置，学会推分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．

19.【答案】解：(1)原式=1+ 3−1−3−3× 33
=1+ 3−1−3− 3
=−3；
(2)x2+4x−1=0，
x2+4x=1，
x2+4x+4=5，
(x+2)2=5，
x+2=± 5，
所以x1=−2+ 5，x2=−2− 5． 
【解析】(1)先根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义和特殊角的三角函数值计算，然后合并即可；
(2)利用配方法得到(x+2)2=5，然后利用直接开平方法解方程．
本题考查了解一元二次方程−配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．也考查了实数的运算．

20.【答案】解：(1−1x+1)÷x2x2+2x+1
=x+1−1x+1⋅(x+1)2x2
=x+1x，
当x=2023时，原式=20242023． 
【解析】先把括号里面进行通分，再把除法化为乘法，进行约分，最后代入求值．
本题考查了分式的化简求值，掌握因式分解的方法是解题的关键．

21.【答案】200  90° 
【解析】解：(1)50÷25%=200(人)，
360°×25%=90°，
故答案为：200，90°；
(2)用公交卡的人数：200×30%=60(人)，
用现金的人数：200−60−45−50−15=30(人)，
补全条形图：
．
(1)根据频数、频率、总数之间的关系可求出样本容量，用25%×360°求出表示“微信”支付的扇形圆心角的度数；
(2)用30%×样本容量求得公交卡的人数，继而求出现金人数，补全频数分布直方图．
考查条形图和扇形图的意义和制作方法，掌握频数、频率、总数之间的关系是正确计算的前提．

22.【答案】(1)12(2)16 
【解析】解：(1)∵4张奖券中有2张是有奖的，
∴甲中奖的概率是：24=12；
故答案为：12；

(2)设四张奖券分别为奖1、奖2、空1、空2，
列表得：

∵共有12种等可能结果，其中甲、乙都中奖的有2种情况．
∴P(甲、乙都中奖)=212=16．
(1)由4张奖券中有2张是有奖的，直接利用概率公式求解即可求得答案；
(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与甲、乙都中奖的情况，再利用概率公式即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

23.【答案】解：(1)由题意得：AB/​/CD，
∴△ABO∽△DCO，
∴ABCD=AOOD，
∴AB40=5030，
∴AB=2003，
即AB的长为2003cm；
(2)解：作DE⊥AB于E．

∵AD=OA+OB=50+30=80，DE=40，
∴sinA=12，
∴∠A=30°，
∵AO=BO，
∴∠B=∠A=30°，
∴∠AOB=180°−30°−30°=120°． 
【解析】(1)先证明△ABO∽△DCO，再由相似三角形的性质求出AB的长即可；
(2)作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，AD=50+30=80cm，DE=40cm，由此可以推出∠A=30°，接着可以求出∠B=∠A=30°，再根据三角形的内角和即可求出∠AOB的度数．
此题考查了相似三角形的判定及性质、解直角三角形，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．作出辅助线得到∠A=30°是解题的关键．

24.【答案】(1)证明：连接BD，OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD+∠BAD=90°，
∵OA=OB，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠ABD+∠ODA=90°，
∵∠ABD=∠ACD，∠ACD=∠ADF，
∴∠ADF=∠ACD，
∴∠ADF+∠ODA=90°，
即∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∴OD为⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：∵DF/​/AB，
∴ACAF=4 105 10=45，
∴设AC=4x，AF=5x，
∵∠AFD=∠DFC，∠FDA=∠FCD，
∴△FAD∽△FDC，
∴FDFC=FAFD=ADCD，
即FD9x=5xFD=AD9 105，
解得FD=3 5x，
∴AD9 105=5x3 5x，
解得AD=3 2，
∵DF/​/AB，OD⊥DF，
∴OD⊥AB，
∴△OAD为等腰直角三角形，
∴OA= 22AD= 22×3 2=3，
即⊙O的半径为3． 
【解析】(1)连接BD，OD，如图，先根据圆周角定理得到∠ADB=90°，∠ABD=∠ACD，而∠ACD=∠ADF，则∠ADF=∠ACD，所以∠ADF+∠ODA=90°，则OD⊥DF，然后根据切线的判定定理得到结论；
(2)根据平行线分线段成比例定理，由DF/​/AB得到ACAF=45，设AC=4x，AF=5x，再证明△FAD∽△FDC，根据相似三角形的性质得到FD9x=5xFD=AD9 105，先表示出FD=3 5x，再计算出AD=3 2，然后证明△OAD为等腰直角三角形得到OA= 22AD=3．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．

25.【答案】解：设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是(x−20)元，
根据题意，得12000x=10000x−20．
解得x=120．
经检验x=120是原方程的解．
答：每个篮球的原价是120元． 
【解析】设每个篮球的原价是x元，则每个篮球的实际价格是(x−20)元，根据“该公司出资10000元就购买了和原计划一样多的篮球”列出方程并解答．
本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．

26.【答案】解：(1)如图，点D、E即为所求；

(2)如图，BF、点N即为所求． 
【解析】(1)根据相似三角形相似比为2，可得点D的位置，再利用平行线分线段成比例定理即可得到点E的位置；
(2)根据等腰三角形的三线合一，作出中线，即为角平分线，再利用等腰三角形的轴对称性即可得出点N的位置．
本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．

27.【答案】解：(1)∵反比例函数y=kx(x>0)经过点B(3,1)，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数解析式为y=3x(x>0)，
∵一次函数y=−x+m的图象过点B(3,1)，
∴m=1+3=4，
∴一次函数解析式为y=−x+4，
联立方程组得y=−x+4y=3x，
解得x=3y=1，x=1y=3，
∴点C的坐标为(1,3)；
(2)存在最大值，理由如下：
∵点P是线段BC上一点，
∴设点P坐标为(n,−n+4)，且(1≤n≤3)，
∴OQ=n，PQ=−n+4，
∴S△POQ=12×n(−n+4)=−12(n−2)2+2，
∵−12<0且1≤n≤3，
∴n=2时，△POQ面积最大，且最大值为2，
当n=2时，−n+4=2，
此时点P坐标为(2,2)．
 
【解析】(1)先利用待定系数法求出反比例函数解析式和一次函数解析式，再联立求出点C的坐标即可；
(2)由点P是线段BC上一点，可设点P坐标为(n,−n+4)，且(1≤n≤3)，得到S△POQ=12×n(−n+4)=−12(n−2)2+2，根据二次函数的性质得到n=2时，△POQ面积最大，且最大值为2，再求出点P的坐标即可．
此题考查了反比例函数和一次函数交点问题、待定系数法、二次函数的最值问题等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．

28.【答案】解：(1)设⊙O与直线BD的切点为点E，连接OE.OD，如图所示：

∴OE⊥BD.OA=OE．
∵矩形ABCD，
∴∠DAB=90°，
∴∠DAB=∠DEO=90°，
∵OD=OD，
∴△ADO≌△EDO(HL)，
∴DE=AD=3．
∵AB=4.AD=3，
∴BD=5，
∴BE=5−3=2，
设AO=OE=r，则BO=4−r
∵OE2+BE2=OB2．
r2+22=(4−r)2．
解得：r=32，
∴半径OA的长为32；
(2)当⊙O经过点C时，如图：

设OB=x，则OA=OC=4−x，
在Rt△OCB中，OB2+BC2=OC2，
∴x2+32=(4−x)2，
解得x=78，即OB=78，
∴OC=OA=4−78=258，
∴sin∠OCB=OBOC=78258=725；
(3)①如图所示：当⊙O与边CD的切点为点E，连接OE，此时恰好有三个交点，
∴OE⊥AB，
∴四边形BOEC为矩形，
∴OE=BC=AO=3，

∴由(1)得半径OA的长为32，恰好有一个交点，
∴当32 ②当⊙O恰好经过点C时，连接OC，如图所示：

设AO=OC=r，则BO=4−r，
OB2+BC2=OC2．
∴(4−r)2+32=r2，
解得：r=258，
∴半径OA的长为258；
∴当3≤OA<258时，⊙O与△BCD的三边的交点多于2个，不满足条件；
③当点O与点B重合时，如图所示，满足条件，

∴当258 综上可得：32 【解析】(1)设⊙O与直线BD的切点为点E，连接OE，OD，根据全等三角形的判定和性质及勾股定理求解即可；
(2)设OB=x，则OA=OC=4−x，根据勾股定理即可解出x，进而求出OC即可解答．
(3)分三种临界情况：①当⊙O与边CD的切点为点E，连接OE，此时恰好有三个交点，②当⊙O恰好经过点C时，连接OC，③当点O与点B重合时，作出相应图形求解即可．
题目主要考查切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质及勾股定理解三角形，正切函数的定义等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．