2023年湖南省岳阳市平江县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省岳阳市平江县中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省岳阳市平江县中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的绝对值是(    )
A. −12023 B. −2023 C. 12023 D. 2023
2. 下列运算结果正确的是(    )
A. 4a−3a=1 B. (a3)2=a6
C. a3⋅a2=a6 D. (a−b)2=a2−b2
3. 如图所示的立体图形的主视图是(    )
A.
B.
C.
D.


4. 将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC//DE，则∠AFC的度数为(    )
A. 105°
B. 85°
C. 75°
D. 65°
5. 不等式组2x−1≤57−4x<3的解集是(    )
A. x≤3 B. x<1 C. 1≤x<3 D. 1 6. 下列命题是真命题的是(    )
A. 同旁内角互补
B. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C. 五边形的内角和等于720°
D. 三角形的外心是三角形三条角平分线的交点
7. 《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题：今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四.问物价几何？意思是：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱，问该物品的价值多少钱？在这个问题中，该物品价值的钱数为(    )
A. 53 B. 56 C. 59 D. 62
8. 如图，已知直线y=x+1上的点A(−1,0)，点B(2,3)，若抛物线y=ax2−x+2(a为常数，a≠0)与线段AB有两个不同的公共点，则a的取值范围是(    )
A. a≥3
B. a≤−3或34≤a<1
C. −3≤a<1或a≥3
D. 34≤a<1
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
9. 函数y=1x−3的自变量x的取值范围是          ．
10. 因式分解：x2−6x+9=______．
11. 同种液体，压强随着深度增加而增大，7千米深处海水的压强为72100000Pa，数据72100000用科学记数法表示为______ ．
12. 从 2，0，π，13，6这五个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是______ ．
13. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和点N⋅作直线MN交CB于点D，连接AD.若AC=5，BC=8，则△ACD的周长为______ ．


14. 设a，b是方程x2+x−2024=0的两个实数根，则a2+2a+b= ______ ．
15. 观察下列各等式的规律：
第1个等式：(1+12)2=(2+12)2−(1+1)2；
第2个等式：(12+12×22)2=(32+12×22)2−(1+12)2；
第3个等式：(13+12×32)2=(43+12×32)2−(1+13)2；
第4个等式：(14+12×42)2=(54+12×42)2−(1+14)2；
…
按照以上规律，写出你猜想的第n个等式：______ (用含n的式子表示)．
16. 如图，AB是⊙O的直径，且AB=6，点D，E在⊙O上，连接AE，ED，AD，连接BD并延长，交⊙O的切线于点C．
①若∠AED=40°，则弧AD的长度为______ (结果保留π)；
②若E是弧BD的中点，AE与BC相交于点F，BF=2，则DF= ______ ．


三、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(13)−1+| 3−3|−(π−2023)0+3tan30°．
18. (本小题6.0分)
已知：如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，BE平分∠ABC．
请从以下三个条件：①AE=BF；②AB=EF；③AB//EF中，选择一个合适的条件，使四边形ABFE为菱形．
(1)你添加的条件是______ (填序号)；
(2)添加了条件后，请证明四边形ABFE为菱形．

19. (本小题8.0分)
如图，一次函数y=x−2的图象与反比例函数y=kx的图象与交于点A(3,m).B(−1,n)两点，与x轴交于点D．
(1)求该反比例函数的表达式；
(2)求△BOD的面积；
(3)请结合函数图象，直接写出不等式x−2>kx的解集．

20. (本小题8.0分)
为了庆祝中国共产主义青年团成立100周年，我县决定开展“请党放心，强国有我”的主题演讲比赛，某中学将参加本校选拔赛若干名选手的成绩(满分为100分，得分为正整数且无满分，最低为75分)分成五组，并绘制了下列不完整的统计图表．
分数段
频数
频率
74.5～79.5
2
0.05
79.5～84.5
m
0.2
84.5−89.5
12
0.3
89.5～94.5
14
n
94.5～99.5
4
0.1
(1)表中m= ______ ，n= ______ ；
(2)请在图中补全频数分布直方图；
(3)甲同学的比赛成绩是所选拔参赛选手成绩的中位数，据此推测他的成绩落在______ 分数段内；
(4)选拔赛中，成绩在94.5分以上的选手，男生和女生各占一半，学校从中随机确定2名选手参加全县决赛，请用列表法或画树状图的方法求恰好是一名男生和一名女生的概率．

21. (本小题8.0分)
近几年来，平江坚定不移把创建全国文明城市作为重要工作目标之一.在创文工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的浇灌方式.改进后，现在每天的用水量比原来每天节省20%，这样120吨水可多用6天，求现在每天用水量是多少吨？
22. (本小题8.0分)
某校九年级数学兴趣小组想要测量某纪念碑的高度，如图所示，测得底座BC高为1.6米，在平地上的D处测得纪念碑的底部C的仰角为18°，距D点2米处有一个1.4米的高台EF，在高台上F处测得纪念碑的顶端A的仰角为60°，点A，B，C，D，E，F均在同一平面内，
(1)求D点与B点的距离BD的长；
(2)求该纪念碑的高度AC.(结果精确到0.1米，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32， 3≈1.73)

23. (本小题10.0分)
△ABC和△DEF均为等边三角形，O分别为BC和EF的中点，连接AO，AC=8，DF=6．
(1)【特例发现】如图1，当点D，点E与点F分别在AO，BC上时，可以得出结论：ADCF= ______ ；直线AD与直线CF的位置关系是______ ．
(2)【探究证明】如图2，将图1中的△DEF绕点O顺时针旋转，使点D恰好落在线段AC上，连接CF.(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(3)【拓展运用】如图3，将图1中的△DEF绕点O顺时针旋转α(19°<α<60°)，连接AD，FC，它们的延长线交于点H，当DH=OF时：
①连接OD，判断四边形OFHD的形状，并给予证明；
②直接写出cos(60°−α)的值．


24. (本小题10.0分)
如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A(−2,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，与直线y=mx+n交于A(−2,0)，D(2,k)两点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若在第一象限的抛物线上有一点E，连接CE，BE，求四边形BOCE面积的最大值；
(3)抛物线上是否存在一点P，使得∠ABP=∠BAD？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：|−2023|=2023，
故选：D．
根据绝对值的定义进行计算即可．
本题考查绝对值，理解绝对值的定义是正确解答的前提．

2.【答案】B 
【解析】解：∵4a−3a=a，
∴A选项的运算不正确，不符合题意；
∵(a3)2=a6，
∴B选项的运算正确，符合题意；
∵a2⋅a3=a5，
∴C选项的运算不正确，不符合题意；
∵(a−b)2=a2−2ab+b2，
∴D选项的运算不正确，不符合题意．
故选：B．
利用合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则和完全平方公式对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
本题主要考查了合并同类项的法则，幂的乘方与积的乘方的法则，同底数幂的乘法法则和完全平方公式，熟练掌握上述法则与性质是解题的关键．

3.【答案】A 
【解析】解：从正面看，底层是一个较大的矩形，上层中间是一个较小的矩形，且中间有一条纵向的实线．
故选：A．
根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．

4.【答案】C 
【解析】解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CBA=∠ACB=45°，
在Rt△CDE中，∠DEC=30°，∠EDC=60°，
∵BC//DE，∠CBA=45°，
∴∠EAB=∠CBA=45°．
∵∠AFC为△EFA的外角，
∴∠AFC=∠AEF+∠EAF．
∵∠AEF=30°，∠EAF=45°，∠AFC=∠AEF+∠EAF，
∴∠AFC=30°+45°=75°．
故选：C．
根据三角板的特点我们可以得到∠CBA、∠DEC的度数，要求∠AFC的度数，我们发现∠AFC为△EFA的一个外角，由此可得∠AFC=∠AEF+∠EAF，此时问题就转化为求∠EAF．
本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质定理．

5.【答案】D 
【解析】解：由2x−1≤5得：x≤3，
由7−4x<3得：x>1，
则不等式组的解集为1 故选：D．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

6.【答案】B 
【解析】解：A、两直线平行，同旁内角互补，故本选项说法是假命题，不符合题意；
B、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，符合题意；
C、五边形的内角和等于540°，故本选项说法是假命题，不符合题意；
D、三角形的内心是三角形三条角平分线的交点，外心是三角形三边垂直平分线的交点，故本选项说法是假命题，不符合题意；
故选：B．
根据平行线的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、多边形内角和定理、三角形的外心的概念判断即可．
本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

7.【答案】A 
【解析】解：设x人一起去购买该物品，该物品的价值为y钱，
根据题意得：8x−3=y7x+4=y，
解得：x=7y=53，
∴该物品的价值为53钱．
故选：A．
设x人一起去购买该物品，该物品的价值为y钱，根据“如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．

8.【答案】B 
【解析】解：∵抛物线y=ax2−x+1(a≠0)与线段AB有两个不同的交点，
∴令x+1=ax2−x+2，则ax2−2x+1=0，
∴Δ=4−4a>0，
∴a<1，
①当a<0时，

此时函数的对称轴在y轴左侧，
当抛物线过点A时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点A的坐标代入抛物线表达式得：a+1+2=0，
解得a=−3，
故a≤−3，
②当a>0时，

此时函数的对称轴在y轴右侧，
当抛物线过点B时，为两个函数有两个交点的临界点，
将点B的坐标代入抛物线表达式得：4a−2+2=3，
解得a=34，
即：a≥34，
∴34≤a<1，
综上所述：34≤a<1或a≤−3，
故选：B．
分a>0，a<0两种情况讨论，确定临界点，进而可求a的取值范围．
本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．

9.【答案】x≠3 
【解析】
【分析】
根据分母不等于0列不等式求解即可．
本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； 
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
【解答】
解：由题意得，x−3≠0，
解得x≠3．
故答案为：x≠3．  
10.【答案】(x−3)2 
【解析】解：x2−6x+9=(x−3)2．
直接运用完全平方公式进行因式分解即可．
本题考查了公式法分解因式，熟记完全平方公式的结构特点是解题的关键．

11.【答案】7.21×107 
【解析】解：72100000=7.21×107，
故答案为：7.21×107．
将一个数表示为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，根据其定义即可得出答案．
本题考查科学记数法表示大数，此考点是重要知识点，必须熟练掌握．

12.【答案】25 
【解析】解：五个数中有 2，π共2个无理数，
∴5个数中随机抽取一个数，抽到无理数的概率是25，
故答案为：25．
根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．
此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．

13.【答案】13 
【解析】解：由作图得：MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴△ACD的周长为：AC+AD+CD=AC+BD+CD=AC+BC=5+8=13，
故答案为：13．
根据作图得出，MN是AB的垂直平分线，再利用垂直平分线的性质求解．
本题考查了基本作图，掌握线段的垂直平分线是解题的关键．

14.【答案】2023 
【解析】解：∵a，b是方程x2+x−2024=0的两个实数根，
∴a2+a=2024，a+b=−1，
∴a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)=2024−1=2023．
故答案为：2023．
根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出a2+a=2024、a+b=−1，将其代入a2+2a+b=(a2+a)+(a+b)中即可求出结论．
本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解及根与系数的关系找出a2+a=2024、a+b=−1是解题的关键．

15.【答案】(1n+12n2)2=(n+1n+12n2)2−(1+1n)2 
【解析】解：等式左边为两个分数和的平方，第1个分数的分子为1，分母与序号相同，第2个分数的分子为1，分母为序号的平方的2倍；
等式右边为平方差形式，第1个平方的底数为两个分数的和，第1个分数的分子比序号大1，分母与序号相同，第2个分数的分子为1，分母为序号的平方的2倍；第2个平方的底数为1与序号倒数的和，
由此可猜想第n个等式为：(1n+12n2)2=(n+1n+12n2)−(1+1n)2，
故答案为：(1n+12n2)2=(n+1n+12n2)−(1+1n)2．
根据等式左右两边各个部分哪些不变，哪些变化，变化的部分与序号是什么关系，由此即可猜想出第n个等式．
本题考查数字变化类规律探究，发现等式左右两边中变化部分与序号间的关系是解题的关键．

16.【答案】43π  1.6 
【解析】解：①连接OD，如图：

∵∠AED=40°，
∴∠AOD=2∠AED=80°，
∵80180π×3=43π，
∴弧AD的长度为43π；
故答案为：43π；
②过点F作FI⊥AB，垂足为I，如图，

∵AB是圆直径，
∴∠ADF=90°，
∵E是弧BD的中点，
∴∠BAF=∠DAF，
∴FD=FI，
设DF=x，则FI=x，
∵2S△ABF=BF⋅AD=AB⋅FI，
∴AD=AB⋅FIAD=6x2=3x，
在Rt△DBA中，AD2+BD2=AB2，
∴(3x)2+(x+2)2=62，
解得x=−2(舍去)或x=1.6，
故答案为：1.6．
①求出∠AOD=80°，运用弧长公式求解；
②过点F作FI⊥AB，垂足为l，由AB是圆直径，得∠ADF=90°；由E是弧BD的中点，得∠BAF=∠DAF，由角平分线定理得FD=FI，设DF=x，由△BFA面积公式求得AD=3x；在直角△DBA中，勾股定理求解得DF=1.6．
本题考查弧长公式、圆周角与圆心角关系、圆周角定理的推论、角平分线定理及勾股定理等，解题的关键是灵活利用面积公式，用等积法．

17.【答案】解：(13)−1+| 3−3|−(π−2023)0+3tan30°
=3+3− 3−1+3× 33
=3+3− 3−1+ 3
=5． 
【解析】先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．

18.【答案】①或③ 
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，点E、点F分别在AD、BC上，
∴AE//BF，
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴四边形ABFE是菱形，
故①符合题意；
∵AE//BF，AB=EF，
∴四边形ABFE可能是平行四边形或梯形，
∴四边形ABFE不一定是菱形，
故②不符合题意；
∵AE//BF，AB//EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵AB=AE，
∴四边形ABFE是菱形，
故③符合题意，
故答案为：①③．
(1)①AE=BF，
证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∵点E、点F分别在AD、BC上，
∴AE//BF，
∵AE=BF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴四边形ABFE是菱形，
③AB//EF，
证明：∵AE//BF，AB//EF，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵∠AEB=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴四边形ABFE是菱形．
(1)由平行四边形的性质得AE//BF，而AE=BF，则四边形ABFE是平行四边形，再证明∠ABE=∠AEB，得AB=AE，则四边形ABFE是菱形，可判断①符合题意；由AE//BF，AB=EF，可知四边形ABFE可能是平行四边形或梯形，所以四边形ABFE不一定是菱形，可判断②不符合题意；由AE//BF，AB=EF，可证明四边形ABFE是平行四边形，而AB=AE，则四边形ABFE是菱形，可判断③符合题意，于是得到问题的答案；
(2)选择条件①AE=BF，先由AE//BF，AE=BF，证明四边形ABFE是平行四边形，再证明∠ABE=∠AEB，则AB=AE，所以四边形ABFE是菱形；
选择条件③AB//EF，先由AE//BF，AB//EF，证明四边形ABFE是平行四边形，再证明∠ABE=∠AEB，则AB=AE，所以四边形ABFE是菱形．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、菱形的判定、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识，正确理解和运用菱形的定义是解题的关键．

19.【答案】解：(1)∵一次函数y=x−2的图象与反比例函数y=kx的图象与交于点A(3,m).B(−1,n)两点，
∴m=3−2=1，n=−1−2=−3，
∴A(3,1).B(−1,−3)，
∴k=3×1=3，
∴反比例函数的表达式为y=3x；
(2)令y=0，则x−2=0，解得x=2，
∴D(2,0)，
∴OD=2，
∴△BOD的面积=12×2×3=3；
(3)观察图象，不等式x−2>kx的解集为−13． 
【解析】(1)由一次函数解析式求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
(2)求得D的坐标，然后利用三角形面积公式即可求得；
(3)根据图象即可求得．
本题是反比例函数和一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数解析式，三角形的面积，数形结合是解题的关键．

20.【答案】8  0.35  84.5～89.5 
【解析】解：(1)m=40×0.2=8，n=14÷40=0.35，
故答案为：8，0.35；

(2)补全图形如下：

(3)由于40个数据的中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均落在84.5～89.5，
∴测他的成绩落在分数段84.5～89.5内，
故答案为：84.5～89.5．
(4)选手有4人，2名是男生，2名是女生．

恰好是一名男生和一名女生的概率为812=23．
(1)根据频率=频数÷总数求解可得；
(2)根据所求结果即可补全图形；
(3)根据中位数的概念求解可得；
(4)首先根据题意画出树状图，然后由表格即可求得所有等可能的结果与挑选的两位学生恰好是一男一女的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法或树状图法求概率、频数分布直方图、扇形统计图以及众数与中位数的定义．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

21.【答案】解：设改进前每天用水量是x吨，则现在每天用水量是(1−20%)x吨，
根据题意得：120(1−20%)x−120x=6，
解得：x=5，
经检验，x=5是所列方程的解，且符合题意，
∴(1−20%)x=(1−20%)×5=4．
答：现在每天用水量是4吨． 
【解析】设改进前每天用水量是x吨，则现在每天用水量是(1−20%)x吨，根据改进后120吨水可多用6天，可列出关于x的分式方程，解之经检验后可得出x的值，再将其代入(1−20%)x中，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

22.【答案】解：(1)由题意得：AB⊥BE，
在Rt△BCD中，BC=1.6米，∠CDB=18°，
∴BD=BCtan18∘≈1.60.32=5(米)，
∴D点与B点的距离BD的长约为5米；
(2)过点F作FG⊥AB，垂足为G，

由题意得：FG=BE，EF=BG=1.4米，DE=2米，
∵BD=5米，
∴FG=BE=BD+DE=5+2=7(米)，
在Rt△AFG中，∠AFG=60°，
∴AG=FG⋅tan60°=7 3(米)，
∴AC=AG+BG−BC=7 3+1.4−1.6≈11.9(米)，
∴该纪念碑的高度AC约为11.9米． 
【解析】(1)根据题意可得：AB⊥BE，然后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
(2)过点F作FG⊥AB，垂足为G，根据题意可得：FG=BE，EF=BG=1.4米，DE=2米，从而可得FG=BE=7米，然后在Rt△AFG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．

23.【答案】 3  AD⊥CF 
【解析】解：(1)∵△ABC和△DEF均为等边三角形，O分别为BC和EF的中点，AC=8，DF=6，
∴BC=8，EF=6，OC=4，OF=3，∠AOC=∠DOF=90°，
即AD⊥CF，
根据勾股定理得：AO= 82−42=4 3，DO= 62−32=3 3，
∴AD=4 3−3 3= 3，
∴ADCF= 31= 3．
故答案为： 3；AD⊥CF．
(2)成立．
证明：如图2，连接DO，

∵AO=4 3，DO=3 3，OC=4，OF=3，
∴AODO=OCOF=43，
又∵∠AOD=∠COF，
∴△AOD∽COF，
∴ADCF=AOOC=4 34= 3，∠OCF=∠OAD，
又∵∠OAD+∠ACO=90°，
∴∠OCF+∠ACO=90°，
即AD⊥CF．
故(1)中的结论仍然成立；
(3)①矩形．
证明：如图3，连接OD，设DF与AC交点为M，则∠AMD=α，
由(2)可知∠H=90°，
又∵DH=OF，OF=12DF=3，
∴DH=12DF，
∴cos∠HDF=DHDF=12，
∴∠HDF=60°，
又∵∠ODF=12∠EDF=30°，
∴∠ODH=90°，
又∵∠DOF=∠H=90°，
∴四边形OFHD是矩形．
②由(2)的结论可知AD= 3CF，设CF=m，则AD= 3m，
∵DH=3，FH=3 3，
∴CH=3 3−m，AH=3+ 3m，
在Rt△AHC中，由勾股定理可得：AH2+CH2=AC2，
即：(3+ 3m)2+(3 3−m)2=82，
m= 7或− 7(负值舍去)，
∴AH=3+ 21，
∴cos∠CAH=3+ 218，
即cos(60°−α)=3+ 218．
(1)先根据等边三角形的性质，用勾股定理求出AD和CF的长，即可求出比值；
(2)连接OD，根据题中条件判定△AOD∽COF，然后根据相似三角形的性质即可证明结论；
(3)①先根据条件判定求出∠HDF=60°，推出∠ODH是直角，再根据(1)(2)小题的结论得到∠DOF=∠H=90°，根据有三个角是直角的四边形是矩形即可证明；
②先推出∠CAH=60°−α，然后根据直角三角形的边角关系即可求出结果．
本题属于三角形综合题，主要考查解直角三角形、相似三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用地的辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．

24.【答案】解：(1)把A(−2,0)，B(3,0)代入y=ax2+bx+3得：
4a−2b+3=09a+3b+3=0，
解得a=−12b=12，
∴抛物线的函数表达式为y=−12x2+12x+3；
(2)连接OE，如图：

在y=−12x2+12x+3中，令x=0得y=3，
∴C(0,3)，
∴OC=3，
设E(t,−12t2+12t+3)，四边形BOCE面积为S，
∴S=12OC⋅xE+12OB⋅yE=12×3t+12×3(−12t2+12t+3)=−34t2+94t+92=−34(t−32)2+9916，
∵−34<0，
∴当t=32时，S取最大值9916，
∴四边形BOCE面积的最大值为9916；
(3)抛物线上存在一点P，使得∠ABP=∠BAD，理由如下：
在y=−12x2+12x+3中，令x=2得y=2，
∴D(2,2)，
过D作DT⊥x轴于T，过P作PK⊥x轴于K，
在Rt△DAT中，
tan∠BAD=DTAT=22+2=12，
设P(p,−12p2+12p+3)，
当P在x轴上方时，如图：

∵∠ABP=∠BAD，
∴tan∠ABP=12，
∴−12p2+12p+33−p=12，
解得p=3(舍去)或p=−1，
∴P(−1,3)；
当P在x轴下方时，如图：

同理可得12p2−12p−33−p=12，
解得p=3(舍去)或p=−3，
∴P(−3,−3)；
综上所述，P的坐标为(−1,3)或(−3,−3)． 
【解析】(1)用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y=−12x2+12x+3；
(2)连接OE，求出OC=3，设E(t,−12t2+12t+3)，四边形BOCE面积为S，可得S=12OC⋅xE+12OB⋅yE=−34t2+94t+92=−34(t−32)2+9916，由二次函数性质得四边形BOCE面积的最大值为9916；
(3)求出D(2,2)，过D作DT⊥x轴于T，过P作PK⊥x轴于K，可得tan∠BAD=DTAT=12，设P(p,−12p2+12p+3)，分两种情况：当P在x轴上方时，−12p2+12p+33−p=12，可得P(−1,3)；当P在x轴下方时，12p2−12p−33−p=12，P(−3,−3)．
本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形，四边形面积，锐角三角函数等知识，解题的关键是用含字母的式子表示相关点坐标和相关线段的长度．