2023年湖南省娄底市中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省娄底市中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. −2023的相反数是( )
A. 2023B. −12023C. 12023D. −2023
2. 下列运算正确的是( )
A. a+2a2=3a2B. a3⋅a2=a6C. (x2)3=x5D. (−x3)2=x6
3. “杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的长势，从稻田中随机抽取9株水稻苗，测得苗高(单位：cm)分别是：25，26，27，26，27，28，29，26，29.则这组数据的众数和中位数分别是( )
A. 26，27B. 26，28C. 27，27D. 27，29
4. 中芯国际集成电路制造有限公司，是世界领先的集成电路晶圆代工企业之一，也是中国内地技术最先进、配套最完善、规模最大、跨国经营的集成电路制造企业集团，中芯国际第一代14纳米FinFET技术取得了突破性进展，并于2019年第四季度进入量产，代表了中国大陆自主研发集成电路的最先进水平，14纳米=0.000000014米，0.000000014用科学记数法表示为( )
A. 1.4×10−7B. 14×10−7C. 1.4×10−8D. 1.4×10−9
5. 下列关于防范“新冠肺炎”的标志中是中心对称图形的是( )
A. 戴口罩讲卫生B. 勤洗手勤通风
C. 有症状早就医D. 少出门少聚集
6. 如图，已知a/​/b，直角三角板的直角顶点在直线a上，若∠1=30°，则∠2等于( )
A. 70°
B. 60°
C. 50°
D. 40°
7. 某同学在解不等式组的过程中，画的数轴除不完整外，没有其它问题．他解的不等式组可能是( )
A. x−3>0x+1≤0B. x−3≤0x+1>0C. x−3<0x+1≥0D. x−3≥0x+1<0
8. 如果 (x−2)2=2−x，那么x取值范围是( )
A. x≤2B. x<2C. x≥2D. x>2
9. 将一些小圆点按如图规律摆放，前4个图形中分别有小圆点6个，10个，16个，24个，依此规律，第20个图形中，小圆点有个．( )
A. 414B. 418C. 420D. 424
10. 如图，已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(−1,2)和点B(−2,0)，一次函数y=mx的图象经过点A，则关于x的不等式组0A. −2B. −1C. x<−1
D. x>−1
11. 如图，△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，连接OE，OF，∠C=90°，AC=6，BC=8，则阴影部分的面积为( )
A. 2−12π
B. 4−12π
C. 4−π
D. 1−14π
12. 如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC=60°，动点E在AB边上(与点A，B均不重合)，点F在对角线AC上，CE与BF相交于点G，连接AG，DF，若AF=BE，则下列结论：①DF=CE；②∠BGC=120°；③AF2=EG⋅EC；④AG的最小值为2 23.其中正确的有( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
13. 在函数y= x−3中，自变量x的取值范围是______．
14. 关于x的方程x2+mx+n=0的两个根分别是 2+1、 2−1，则m+n= ．
15. 如图所示的电路图中，当随机闭合S1，S2，S3，S4中的两个开关时，能够让灯泡发光的概率为______．
16. 如图，《掷铁饼者》是希腊雕刻家米隆于约公元前450年雕刻的青铜雕塑，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中具有表现力的瞬间．掷铁饼者张开的双臂与肩宽可以近似看像一张拉满弦的弓，弧长约为58π米，“弓”所在的圆的半径约1.25米，则“弓”所对的圆心角度数为______．
17. 如图，在平面直角坐标系中，函数y=k1x(k1≠0)的图象与函数y=k2x(k2≠0)的图象交于A，B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，连接BC.若S△ABC=8，则k1= ．
18. 如果一个数的平方等于−1，记作i2=−1，这个数叫做虚数单位.形如a+bi(a,b为有理数)的数叫复数，其中a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.如：(2+i)+(3−5i)=(2+3)+(1−5)i=5−4i，(5+i)×(3−4i)=5×3+5×(−4i)+i×3+i×(−4i)=15−20i+3i−4×i2=15−17i−4×(−1)2=19−17i，请利用以前学习过的有关知识将2+i2−i化简成a+bi的形式为(即化为分母中不含i的形式) ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共66.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：( 2023−π)0+(12)−1+| 3−1|−3tan30°．
20. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(2xx2−4−1x+2)÷x−1x−2，其中x= 3+1．
21. (本小题8.0分)
中华五千年的历史孕育了深厚的民族文化，每一部国学经典都是无尽的宝藏，内含古代人民智慧的结晶.陈阳的学校开展了“品读经典文学”的读书打卡活动，为了解学生平均每天“品读经典文学”的时间，在全校范围内随机抽查了部分学生进行调查统计，并将调查统计的结果分为四类，每天诵读时间i≤30分钟的学生记为A类，30分钟90分钟的学生记为D类.将收集的数据绘制成如图不完整的统计图．

请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)这次共抽查了多少名学生进行调查统计，并补全条形统计图；
(2)求“D类”所在扇形的圆心角度数；
(3)如果该校共有2000名学生，请你估计该校C类学生有多示人？
22. (本小题8.0分)
如图是某种云梯车的示意图，云梯OD升起时，OD与底盘OC夹角为α，液压杆AB与底盘OC夹角为β.已知液压杆AB=3m，当α=37°，β=53°时，求AO的长.(参考数据：sin37°≈35，tan37°≈34，sin53°≈45，tan53°≈43).
23. (本小题9.0分)
某服装店用4500元购进一批衬衫，很快售完，服装店老板又用2100元购进第二批该款式的衬衫，进货量是第一次的一半，但进价每件比第一批降低了10元．
(1)这两次各购进这种衬衫多少件？
(2)若第一批衬衫的售价是200元/件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元，则第二批衬衫每件售价多少元？
24. (本小题9.0分)
如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，PA是⊙O的切线，切点是A，连接PO，过点B作BC//PO，与⊙O交于点C，连接PC．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为3，PA=4，求BC的长度．
25. (本小题10.0分)
如图，P是正方形ABCD的对角线AC上一点，点E在BC上，且PE=PB．
(1)求证：PE=PD；
(2)求证：PD⊥PE；
(3)试探究BC，EC，PE三者之间满足的数量关系，并证明你的结论．
26. (本小题10.0分)
如图1，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−1,0)，且与直线y=12x−2交于坐标轴上的B，C两点，动点P在直线BC下方的二次函数图象上．

(1)求此二次函数解析式；
(2)如图①，连接PC，PB，设△PCB的面积为S，求S的最大值；
(3)如图②，抛物线上是否存在点Q，使得∠ABQ=2∠ABC？若存在，则求出直线BQ的解析式及Q点坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2023的相反数是2023．
故选：A．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，掌握相反数的定义是关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、a与2a2不能合并，故A不符合题意；
B、a3⋅a2=a5，故B不符合题意；
C、(x2)3=x6，故C不符合题意；
D、(−x3)2=x6，故D符合题意；
故选：D．
根据幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项法则，进行计算逐一判断即可解答．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，熟练掌握它们的运算法则是解题的关键．
3.【答案】A
【解析】解：将这组数据从小到大重新排列为25，26，26，26，27，27，28，29，29，
∴这组数据的众数为26，中位数为27，
故选：A．
将这组数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
4.【答案】C
【解析】解：0.000000014=1.4×10−8．
故选：C．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
5.【答案】C
【解析】解：A.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B.不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，故此选项符合题意；
D.不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
根据中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称的概念．判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．
6.【答案】B
【解析】解：如图，
∵直角三角板的直角顶点在直线a上，∠1=30°，
∴∠3=90°−30°=60°，
∵a/​/b，
∴∠2=∠3=60°，
故选：B．
根据直角三角形的直角与平角之间的关系可得到∠3与∠1互余，再根据平行线的性质可知∠2的度数．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7.【答案】B
【解析】解：A、不等式组x−3>0x+1≤0无解，与数轴不合，不符合题意；
B、不等式组x−3≤0x+1>0的解集为−1C、不等式组x−3<0x+1≥0的解集为−1≤x<3，与数轴不合，不符合题意；
D、不等式组x−3≥0x+1<0无解，与数轴不合，不符合题意；
故选：B．
求出每个不等式组的解集，与数轴相比较可得．
本题主要考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：∵ (x−2)2=2−x，
∴x−2≤0，
解得x≤2．
故选A．
根据二次根式的被开方数是一个≥0的数，可得不等式，解即可．
本题考查了二次根式的化简与性质．解题的关键是要注意被开方数的取值范围．
9.【答案】D
【解析】解：由题意可知，第1个图形，有4+1×2=6个小圆点，
第2个图形，有4+2×3=10个小圆点，
第3个图形，有4+3×4=16个小圆点，
第4个图形，有4+4×5=24个小圆点，
……
∴第n个图形，有4+n(n+1)个小圆点，
∴第20个图形中，小圆点有4+20×(20+1)=424个．
故选：D．
根据4个角的小圆点数为定值，中间的圆点数为n(n+1)，相加计算求解即可．
本题考查了图形类规律，推导出一般规律是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查了一次函数与一元一次不等式，利用函数图象，写出在x轴上方且函数y=kx+b的函数值小于函数y=mx的函数值对应的自变量的范围即可．
【解答】
解：当x>−2时，y=kx+b的图象在x轴上方，此时kx+b>0；
当x<−1时，y=kx+b的图象在y=mx的图象下方，此时kx+b所以不等式组0故选：A。
11.【答案】C
【解析】解：连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，
∵∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10，
∵△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，
∴AC⊥OF，AB⊥OD，BC⊥OE，且OF=OD=OE=r，
∵∠C=90°，
∴四边形OFCE是正方形，
∴S△ABC=S△ABO+S△ACO+S△BCO
∴12AC⋅r+12AB·r+12BC⋅r=12×6×8，
∴r=6×86+8+10=2，
∴S阴影=S正方形OFCE−S扇形OFE=4−90π×4360=4−π，
故选：C．
连结AO、BO、DO，CO，设⊙O半径为r，利用面积公式求出内切圆半径，r=6×86+8+10=2，再说明四边形OFCE是正方形，得S阴影=S正方形OFCE−S扇形OFE=4−90π×4360=4−π，
本题考查了勾股定理，三角形内切圆，面积法求内切圆半径，扇形面积等知识，解题关键是求出内切圆半径．
12.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴∠BAD=120°，BC=AD，∠DAC=12∠BAD=60°，
∴∠DAF=∠CBE，
∵BE=AF，
∴△ADF≌△BCE(SAS)，
∴DF=CE，∠BCE=∠ADF，故A正确；
∵AB=AD，∠BAF=∠DAF，AF=AF，
∴△BAF≌△DAF(SAS)，
∴∠ADF=∠ABF，
∴∠ABF=∠BCE，
∴∠BGC=180°−(∠GBC+∠GCB)=180°−∠CBE=120°，故B正确；
∵∠EBG=∠ECB，∠BEG=∠CEB，
∴△BEG∽△CEB，
∴BECE=EGBE，
∴BE2=CE×EG，
∵BE=AF，
∴AF2=EG⋅EC，故C正确；
以BC为底边，在BC的下方作等腰△OBC，使∠OBC=∠OCB=30°，

∵∠BGC=120°，BC=1，
∴点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，
连接AO，交⊙O于G，此时AG最小，AO是BC的垂直平分线，
∵OB=OC，∠BOC=120°，
∴∠BCO=30°，
∴∠ACO=90°，
∴∠OAC=30°，
∴OC= 33，
∴AO=2OC=2 33，
∴AG的最小值为AO−OC= 33，故D错误．
故选：C．
根据菱形的性质，利用SAS证明△ADF≌△BCE，可得DF=CE，故A正确；利用菱形的轴对称知，△BAF≌△DAF，得∠ADF=∠ABF，则∠BGC=180°−(∠GBC+∠GCB)=180°−∠CBE=120°，故B正确，利用△BEG∽△CEB，得BECE=EGBE，且AF=BE，可得C正确，利用定角对定边可得点G在以O为圆心，OB为半径的圆上运动，连接AO，交⊙O于G，此时AG最小，AO是BC的垂直平分线，利用含30°角的直角三角形的性质可得AG的最小值，从而解决问题．
本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用定边对定角确定点G的运动路径是解题的关键．
13.【答案】x≥3
【解析】解：由题意得：x−3≥0，
解得：x≥3．
故答案为：x≥3．
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．
14.【答案】−2 2+1
【解析】解：∵关于x的方程x2+mx+n=0的两个根分别是 2+1、 2−1，
∴x1+x2= 2+1+ 2−1=−m，x1⋅x2=( 2+1)( 2−1)=n，
∴m=−2 2，n=1，
∴m+n=−2 2+1．
故答案为：−2 2+1．
根据根于系数的关系求出m和n的值，再代入m+n计算即可．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
15.【答案】12
【解析】解：设S1、S2、S3、S4中分别用1、2、3、4表示，
画树状图得：

∵共有12种等可能的结果，能够让灯泡发光的有6种结果，
∴能够让灯泡发光的概率为：612=12，
故答案为：12．
根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与能够让灯泡发光的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了列表法与树状图法求概率的知识．正确的画出树状图是解题的关键．
16.【答案】90°
【解析】解：设“弓”所对的圆心角度数为n°，
∵弧长l=nπR180，
∴n=180lπR=180×58ππ×1.25=90，
即“弓”所对的圆心角度数为90°，
故答案为：90°．
由弧长公式进行变形计算即可．
本题考查了弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键．
17.【答案】−8
【解析】解：∵函数y=k1x(k1≠0)的图象与函数y=k2x(k2≠0)的图象交于A，B两点，
∴点A和点B关于原点O对称，
∴AO=BO，
∴OC是△ABC的中线，
∴S△AOC=12S△ABC=4，
∴12×OC×AC=4，即OC×AC=8，
设点A(x,k1x)，
∴AC=k1x，OC=−x，
∴k1x×(−x)=8，
∴k1=−8．
故答案为：−8．
首先根据题意得到点A和点B关于原点O对称，进而得到AO=BO，然后由三角形中线的性质得到S△AOC=12S△ABC=4，点A(x,k1x)，根据三角形面积公式代入求解即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点，三角形的面积等知识，解题的关键是得出OC是△ABC的中线．
18.【答案】35+4i5
【解析】解：2+i2−i
=(2+i)2(2−i)(2+i)
=4+4i+i24−i2
=4+4i+(−1)4−(−1)
=3+4i5
=35+4i5，
故答案为：35+4i5．
利用平方差公式和完全平方公式进行计算，即可解答．
本题考查了实数的运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键．
19.【答案】解：原式=1+2+ 3−1−3× 33
=1+2+ 3−1− 3
=2．
【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简，进而得出答案．
此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键．
20.【答案】解：原式=2x−(x−2)(x+2)(x−2)⋅x−2x−1
=x+2(x+2)(x−2)⋅x−2x−1
=1x−1，
当x= 3+1时，原式=1 3= 33．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21.【答案】解：(1)本次共抽查学生20÷40%=50(人)，
答：本次共抽查学生50人．
条形图中“C类”对应的人数为50×20%=10(人)，补全图形如下：

(2)“D类”所在扇形的圆心角度数为360°×550=360°×110=36°．
答：“D类”所在扇形的圆心角度数36°；
(3)2000×20%=400(人)，
答：估计该校C类学生有400人，
【解析】(1)根据B类人数及其百分比可得总人数；总人数乘以C类百分比可得其人数，即可补全条形统计图；
(2)用A类的人数除以总人数可以求得m的值，用360°乘以“D类”的百分比即可；
(3)总人数乘以样本中C类学生的百分比．
本题考查条形统计图、用样本估计总体、扇形统计图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
22.【答案】解：∵sinβ=sin53°=BEAB，
∴45≈BE3，
∴BE≈125m.
∵tanα=tan37°=BEOE，
∴34≈125OE，
∴OE=165m，
∵tanβ=tan53°=BEAE，
∴125AE≈43，
∴AE≈95m.
∴OA=OE−AE=75m.
【解析】利用锐角三角函数可求AE，OE的长，即可求解，结合图形求得AO的长度．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用锐角三角函数求线段的长是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫2x件，
依题意，得：45002x−2100x=10，
解得：x=15，
经检验，x=15是所列分式方程的解，且符合题意，
∴2x=30．
答：第一次购进衬衫30件，第二次购进衬衫15件．
(2)由(1)可知，第一次购进衬衫的单价为150元/件，第二次购进衬衫的单价为140元/件，
设第二批衬衫每件售价为y元/件，
依题意，得：(200−150)×30+(y−140)×15=1950，
解得：y=170，
答：第二批衬衫每件售价为170元．
【解析】(1)设第二次购进衬衫x件，则第一次购进衬衫2x件，根据单价=总价÷数量结合第二次的进价每件比第一次降低了10元，列出分式方程，解方程即可；
(2)设第二批衬衫每件售价为y元/件，由题意：第一批衬衫的售价是200元/件．老板想让这两批衬衫售完后的总利润为1950元，列出一元一次方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)找准等量关系，正确列出一元一次方程．
24.【答案】(1)证明：如图1，连接OC，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∵BC//PO，
∴∠AOP=∠OBC，∠COP=∠OCB，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC，
∴∠AOP=∠COP，
在△AOP和△COP中，
OA=OC∠AOP=∠COPOP=OP，
∴△AOP≌△COP(SAS)，
∴∠OCP=∠OAP=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
(2)解：如图2，连接AC，
在Rt△OAP中，OP= OA2+PA2=5，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OAP=∠BCA，
∵∠AOP=∠CBA，
∴△AOP∽△CBA，
∴OABC=OPAB，即3BC=56，
解得：BC=185．
【解析】(1)连接OC，证明△AOP≌△COP，根据全等三角形的性质得到∠OCP=∠OAP=90°，根据切线的判定定理证明结论；
(2)证明△AOP∽△CBA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
本题考查的是切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠ACB=∠ACD，
在△PBC和△PDC中，
BC=DC∠ACB=∠ACDPC=PC，
∴△PBC≌△PDC(SAS)，
∴PB=PD，
∵PE=PB，
∴PE=PD；
(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD=90°由(1)得：△PBC≌△PDC，
∴∠PBC=∠PDC，
∵PE=PB，
∴∠PBC=∠PEB，
∴∠PDC=∠PEB，
∵∠PEB+∠PEC=180°，
∴∠PDC+∠PEC=180°．
在四边形PECD中，
∠EPD=360°−(∠PDC+∠PEC)−∠BCD=360°−180°−90°=90°，
∴PD⊥PE；
(3)解：BC2+EC2=2PE2，证明如下：
由(2)得△PDE是等腰直角三角形，
∴DE2=PE2+PD2=2PE2，
在Rt△CDE中，由勾股定理得：CD2+EC2=DE2，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，
∴BC2+EC2=2PE2．
【解析】(1)根据正方形的性质四条边都相等可得BC=CD，对角线平分一组对角线可得∠ACB=∠ACD，然后利用“边角边”证明△PBC和△PDC全等，根据全等三角形对应边相等可得PB=PD，然后等量代换即可得证；
(2)根据全等三角形对应角相等可得∠PBC=∠PDC，根据等边对等角可得∠PBC=∠PEB，从而得到∠PDC=∠PEB，再根据∠PEB+∠PEC=180°求出∠PDC+∠PEC=180°，然后根据四边形的内角和定理求出∠DPE=90°，进而得出结论；
(3)由(2)得△PDE是等腰直角三角形，则DE2=2PE2，最后由勾股定理得CD2+EC2=DE2，即可得出结论．
本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质，证出△PDE为等腰直角三角形是解题的关键．
26.【答案】解：(1)∵直线y=12x−2分别交x轴、y轴于点B、点C，
∴B(4,0)，C(0,−2)，
把A(−1,0)、B(4,0)、C(0,−2)代入y=ax2+bx+c，
得a−b+c=016a+4b+c=0c=−2，解得a=12b=−32c=−2，
∴此二次函数解析式为y=12x2−32x−2．
(2)如图1，作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E．
设P(x,12x2−32x−2)(0∴PE=12x−2−12x2+32x+2=−12x2+2x，
∵S△PCB=12OD⋅PE+12BD⋅PE=12OB⋅PE，
∴S=12×4(−12x2+2x)=−x2+4x=−(x−2)2+4，
∴当x=2时，S的最大值为4．
(3)存在．
如图2，连接并延长AC到点A′，使A′C=AC，连接A′B交抛物线于点Q，作A′D⊥y轴于点D．
∵OA=1，OC=2，OB=4，
∴OAOC=OCOB=12，
∵∠AOC=∠COB=90°，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∴∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠CBO+∠OCB=90°，
∴BC垂直平分AA′，
∴AB=A′B，
∠ABQ=2∠ABC．
∵∠A′DC=∠AOC=90°，∠A′CD=∠ACO，A′C=AC，
∴△A′DC≌△AOC(AAS)，
∴DA′=OA=1，DC=OC=2，OD=4，
∴A′(1,−4)．
设直线BQ的解析式为y=kx+d，则4k+d=0k+d=−4，解得k=43b=−163，
∴y=43x−163．
由y=43x−163y=12x2−32x−2，得x1=4y1=0，x2=53y2=−289，
∴Q(53,−289)；
作点A′关于x轴的对称点A″，则A″(1,4)，连接并延长BA″交抛物线于点Q′，则∠ABQ′=∠ABQ=2∠ABC．
设直线BQ′的解析式为y=mx+n，则4m+n=0m+n=4，解得m=−43n=163，
∴y=−43x+163．
由y=−43x+163y=12x2−32x−2，得x1=4y1=0，x2=−113y2=929，
∴Q′(−113,929).
综上所述，直线BQ的解析式为y=43x−163，Q(53,−289)或直线BQ的解析式为y=−43x+163，Q(−113,929).
【解析】(1)先由直线y=12x−2交坐标轴于B，C两点，求出点B、C的坐标，再将点A、B、C的坐标代入y=ax2+bx+c，求出a、b、c的值；
(2)过点P作x轴的垂线，交BC于点E，用点P的横坐标x表示线段PE的长，求出S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求S的最大值；
(3)连接AC，可证明AC⊥BC，将AC延长至AC的二倍就得到点A关于直线BC的对称点A′，连接A′B交抛物线于另一点Q，得到∠ABQ=2∠ABC，由全等三角形的性质求得点A′的坐标，再用待定系数法求出BQ的解析式；作点A′关于x轴的对称点A″，用类似的方法求出另一个符合条件的点Q的坐标和直线BQ的解析式．
此题重点考查二次函数的图象与性质、全等三角形的判定与性质、用待定系数法求函数的解析式、解一元二次方程等知识，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，解第(3)题时要注意分类讨论，以免漏解．此题中等难度，但涉及的方法较多，且有多种不同的解题方法，练习时应尝试使用不同的方法，考试时应选择较简捷的方法．