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2023年湖南省岳阳市岳阳县中考数学一模试卷（含解析）
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这是一份2023年湖南省岳阳市岳阳县中考数学一模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省岳阳市岳阳县中考数学一模试卷
一、选择题（，每小题3分，满分24分）
1．3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．m6÷m2＝m3 C．3m+2n＝5mn D．（m3）2＝m6
3．某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示为（ ）
A．17×105 B．1.7×106 C．0.17×107 D．1.7×107
5．某校7名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是36.5 B．中位数是36.7
C．平均数是36.6 D．方差是0.4
6．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
7．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．10 B．89 C．165 D．294
8．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣
二、填空题（本大题8道小题，每小题4分，满分32分）
9．因式分解：x2﹣9＝ ．
10．在二次根式中，字母x的取值范围是 ．
11．方程＝的解为 ．
12．如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为 ．
13．在﹣2，﹣1，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 ．
14．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+2）x+k＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1+x2＝2k，则k的值 ．
15．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72022+72023的结果的个位数字是 ．
16．如图，在⊙O中，已知AB是直径，P为AB上一点（P不与A、B两点重合），弦MN过P点，∠NPB＝45°．
（1）若AP＝2，BP＝6，则MN的长为 ；
（2）当P点在AB上运动时（保持∠NPB＝45° 不变），则＝ ．
三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）
17．计算：（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点．请从以下三个条件：
①BD＝CE；②∠B＝∠C；③∠BAD＝∠CAE 中，选择一个合适的作为已知条件，使得AD＝AE．
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加了条件后，请证明AD＝AE．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于P、Q两点．点P（﹣4，3），点Q的纵坐标为﹣2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△POQ的面积．
20．小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
21．2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．
22．如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠AED＝ °；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）
1．3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【分析】根据绝对值实数轴上的点到原点的距离，可得答案．
解：3的绝对值是3，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值，正数的绝对值是它本身．
2．下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．m6÷m2＝m3 C．3m+2n＝5mn D．（m3）2＝m6
【分析】根据同底数幂乘除，幂的乘方的运算法则和合并同类项法则判断即可．
解：∵m²•m³＝m2+3＝m5，故A错误．
m6÷m2＝m6﹣2＝m4，故B错误．
∵3m和2n不是同类项，不能合并，故C错误．
（m³）²＝m2×3＝m6，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查幂的运算法则和合并同类项，正确使用幂的运算法则是求解本题的关键．
3．某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．
解：由题意可知，该几何体的主视图是：
．
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的主视图，解题的关键是明确主视图就是从正面看物体所得到的图形．
4．原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示为（ ）
A．17×105 B．1.7×106 C．0.17×107 D．1.7×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：1700000＝1.7×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．某校7名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是36.5 B．中位数是36.7
C．平均数是36.6 D．方差是0.4
【分析】根据众数、中位数的概念求出众数和中位数，根据平均数和方差的计算公式求出平均数和方差．
解：7个数中36.5出现了三次，次数最多，即众数为36.5，故A选项正确，符合题意；
将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.4，36.5，36.5，36.5，36.6，36.7，第4个数为36.5，即中位数为36.5，故B选项错误，不符合题意；
＝×（36.3+36.4+36.5+36.5+36.5+36.6+36.7）＝36.5，故C选项错误，不符合题意；
S2＝[（36.3﹣36.5）2+（36.4﹣36.5）2+3×（36.5﹣36.5）2+（36.6﹣36.5）2+（36.7﹣36.5）2]＝，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是众数、平均数、方差、中位数，掌握它们的概念和计算公式是解题的关键．
6．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．
解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，
故①→②，①→③错误，
故选项B，C，D错误，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．10 B．89 C．165 D．294
【分析】根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为50，右边第2位的计数单位为51，右边第3位的计数单位为52，右边第4位的计数单位为53……依此类推，可求出结果．
解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，
故选：D．
【点评】本题考查用数字表示事件，理解“逢五进一”的计数规则是正确计算的前提．
8．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y＝x+m1与C2相切时，
令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1＝0，
△＝﹣8m1﹣15＝0，
解得m1＝﹣，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m2，
m2＝﹣3，
当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
二、填空题（本大题8道小题，每小题4分，满分32分）
9．因式分解：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
解：原式＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．在二次根式中，字母x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解；
解：∵二次根式有意义，
∴x﹣2≥0，解得x≥2
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
11．方程＝的解为 x＝9 ．
【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可．
解：去分母得：
9（x﹣1）＝8x
9x﹣9＝8x
x＝9
检验：把x＝9代入x（x﹣1）≠0，
所以x＝9是原方程的解．
故答案为：x＝9．
【点评】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是掌握分式方程的解法．
12．如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为 130° ．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠AOB的度数，再根据∠2+∠AOB＝180°，即可得到∠2的度数．
解：∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠AOB＝50°，
∵∠AOB+∠2＝180°，
∴∠2＝130°，
故答案为：130°．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题意找到角与角之间的关系是解题的关键．
13．在﹣2，﹣1，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 ．
【分析】所列4个数中，倒数等于其本身的只有﹣1和1这2个，利用概率公式求解即可．
解：在﹣2，﹣1，1，2这四个数中，其倒数等于本身的有﹣1和1这两个数，
所以四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数及倒数的定义．
14．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+2）x+k＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1+x2＝2k，则k的值 2 ．
【分析】先根据题意得出k的取值范围，再由根与系数的关系即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+2）x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，
∴Δ＝[﹣2（k+2）]2﹣4k2＞0，解得k＞﹣1，
∴k＞﹣1且k≠0．
∵x1，x2是一元二次方程两个不相等的实数根，x1+x2＝2k，
∴x1+x2＝＝2k，
解得k1＝﹣1（舍去），k2＝2，
∴k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解题的关键．
15．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72022+72023的结果的个位数字是 0 ．
【分析】由已知可得7n的尾数1，7，9，3循环，则70+71+…+72023的结果的个位数字与70+71+72+73的个位数字相同，即可求解．
解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…
∴7n的尾数1，7，9，3循环，
∴70+71+72+73的个位数字是0，
∵0，1，....2023一共有2024个数，
∴2024÷4＝506，
∴70+71+…+72022+72023的结果的个位数字与70+71+72+73的个位数字相同，
∴70+71+…+72022+72023的结果的个位数字是0，
故答案为：0．
【点评】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．
16．如图，在⊙O中，已知AB是直径，P为AB上一点（P不与A、B两点重合），弦MN过P点，∠NPB＝45°．
（1）若AP＝2，BP＝6，则MN的长为 2 ；
（2）当P点在AB上运动时（保持∠NPB＝45° 不变），则＝ ．
【分析】（1）作OH⊥MN于H，得到HN＝MH，由AP＝2，BP＝6，得到圆的半径长，由△POH是等腰直角三角形，得到OH的长，由勾股定理求出NH的长，即可得到MN的长．
（2）由PM＝MH﹣PH＝NH﹣OH，PM＝NH+PH＝NH+OH，得到PM2+PN2＝（NH﹣OH）2+（NH+OH）2＝2（NH2+OH2），因此OH2+NH2＝ON2＝OA2，得到PM2+PN2＝2OA2，即可解决问题．
解：（1）作OH⊥MN于H，
∴HN＝MH，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝AP+PB＝8，
∴ON＝4，PO＝OA﹣AP＝4﹣2＝2，
∵∠NPB＝45°，
∴△POH是等腰直角三角形，
∴OH＝PO＝，
∴NH＝＝，
∴MN＝2NH＝2．
故答案为：2．
（2）由（1）知MH＝NH，OH＝PH，
∴PM＝MH﹣PH＝NH﹣OH，PM＝NH+PH＝NH+OH，
∴PM2+PN2＝（NH﹣OH）2+（NH+OH）2＝2（NH2+OH2），
∵OH2+NH2＝ON2＝OA2，
∴PM2+PN2＝2OA2，
∵BA2＝（2OA）2＝4OA2，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理来解决问题．
三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）
17．计算：（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解：原式＝3﹣2+2﹣1
＝2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点．请从以下三个条件：
①BD＝CE；②∠B＝∠C；③∠BAD＝∠CAE 中，选择一个合适的作为已知条件，使得AD＝AE．
（1）你添加的条件是 ①（答案不唯一） （填序号）；
（2）添加了条件后，请证明AD＝AE．
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解即可；
（2）结合（1）进行求解即可．
【解答】（1）解：可选取①或③（只选一个即可），
故答案为：①（答案不唯一）；
（2）证明：当选取①时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE；
当选取③时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD＝AE．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于P、Q两点．点P（﹣4，3），点Q的纵坐标为﹣2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△POQ的面积．
【分析】（1）把P的坐标代入y＝，利用待定系数法即可求得反比例函数解析式，进而求出Q的坐标，把P、Q的坐标代入一次函数的解析式求出即可；
（2）根据三角形面积和可得结论．
解：（1）将点P（﹣4，3）代入反比例函数y＝中，解得：k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为：y＝﹣；
当y＝﹣2时，﹣2＝﹣，
∴x＝6，
∴Q（6，﹣2），
将点P（﹣4，3）和Q（6，﹣2）代入y＝ax+b中得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+1；
（2）如图，
y＝﹣x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴OM＝1，
∴S△POQ＝S△POM+S△OMQ
＝×1×4+×1×6
＝2+3
＝5．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应用，三角形的面积，求得OM的长是解题的关键．
20．小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【分析】设平常的速度是x千米/小时，根据“到达奶奶家时共用了5小时”列分式方程，求解即可．
解：设平常的速度是x千米/小时，
根据题意，得，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原方程的根，
4×60＝240（千米），
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
21．2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．
【分析】（1）根据平均每周劳动时间不少于3小时的学生人数计算即可；
（2）计算出木工所占的比例然后估算即可；
（3）答案不唯一，合理即可．
解：（1）×100%＝21%，
∴本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为21%；
（2）2000×（1﹣40%﹣27%﹣7%﹣10%）＝320（人），
∴若该校有2000名学生，则最喜欢的劳动课程为木工的估计有320人；
（3）（答案不唯一，合理即可）
如：建议学生积极参加学校的劳动课程，多做家务等等；建议学校增设特色劳动课程，增加劳动课的课时等．
【点评】本题主要考查统计的知识，熟练掌握条形统计图和扇形统计图是解题的关键．
22．如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．
【分析】过点A作AH⊥DE，垂足为H，设EH＝x米，在Rt△AEH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，再在Rt△ACH中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，从而求出AH，EH的长，最后在Rt△AHD中，利用锐角三角函数的定义求出DH的长，进行计算即可解答．
解：过点A作AH⊥DE，垂足为H，
设EH＝x米，
在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，
∴AH＝EH•tan45°＝x（米），
∵CE＝80米，
∴CH＝CE+EH＝（80+x）米，
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝40+40，
经检验：x＝40+40是原方程的根，
∴AH＝EH＝（40+40）米，
在Rt△AHD中，∠ADH＝45°，
∴DH＝＝（40+40）米，
∴EF＝EH+DH﹣DF＝（80+70）米，
∴隧道EF的长度为（80+70）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 25 °，∠AED＝ 65 °；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BAD＝25°，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，得到∠ADB＝∠DEC，根据AB＝DC＝2，证明△ABD≌△DCE；
（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，
∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝25°+40°＝65°，
故答案为：25；65；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵AB＝2，DC＝2，
∴AB＝DC，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；
②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝40°+40°＝80°；
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理求出OA、OC，得出点A、C的坐标，进而得出点B的坐标，运用待定系数法即可求出答案；
（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，利用待定系数法求出设直线BC解析式，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），根据S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC，得出S四边形PBAC＝﹣（t+）2+，运用二次函数求最值方法即可得出答案；
（3）如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方．①当点Q在x轴上方时，根据P与Q纵坐标相等，建立方程求解即可；②当点Q在x轴下方时，根据P与Q纵坐标互为相反数，建立方程求解即可．
解：（1）∵OC＝3OA，AC＝，∠AOC＝90°，
∴OA2+OC2＝AC2，即OA2+（3OA）2＝（）2，
解得：OA＝1，
∴OC＝3，
∴A（1，0），C（0，3），
∵OB＝OC＝3，
∴B（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将C（0，3）代入，
得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，
设直线BC解析式为y＝kx+n，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），
∴PK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK＝PK•（t+3）+PK•（0﹣t）＝PK＝（﹣t2﹣3t），
S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，
∴S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC＝（﹣t2﹣3t）+6＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，四边形PBAC的面积最大，此时点P的坐标为（﹣，）；
（3）存在．如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方．
①当点Q在x轴上方时，P与Q纵坐标相等，
∴﹣x2﹣2x+3＝，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣（舍去），
∴Q1（﹣，），
②当点Q在x轴下方时，P与Q纵坐标互为相反数，
∴﹣x2﹣2x+3＝﹣，
解得：x1＝﹣，x2＝，
∴Q2（﹣，﹣），Q3（，﹣），
综上所述，Q点的坐标为Q1（﹣，），Q2（﹣，﹣），Q3（，﹣）．
【点评】本题是有关二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积和四边形面积，平行四边形性质，解一元二次方程等知识，属于中考数学压轴题，综合性强，难度大，熟练掌握待定系数法及平行四边形性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想和数形结合思想思考解决问题是解题关键．
2023年湖南省岳阳市岳阳县中考数学一模试卷
一、选择题（，每小题3分，满分24分）
1．3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．m6÷m2＝m3 C．3m+2n＝5mn D．（m3）2＝m6
3．某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示为（ ）
A．17×105 B．1.7×106 C．0.17×107 D．1.7×107
5．某校7名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是36.5 B．中位数是36.7
C．平均数是36.6 D．方差是0.4
6．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
7．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．10 B．89 C．165 D．294
8．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣
二、填空题（本大题8道小题，每小题4分，满分32分）
9．因式分解：x2﹣9＝ ．
10．在二次根式中，字母x的取值范围是 ．
11．方程＝的解为 ．
12．如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为 ．
13．在﹣2，﹣1，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 ．
14．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+2）x+k＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1+x2＝2k，则k的值 ．
15．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72022+72023的结果的个位数字是 ．
16．如图，在⊙O中，已知AB是直径，P为AB上一点（P不与A、B两点重合），弦MN过P点，∠NPB＝45°．
（1）若AP＝2，BP＝6，则MN的长为 ；
（2）当P点在AB上运动时（保持∠NPB＝45° 不变），则＝ ．
三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）
17．计算：（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点．请从以下三个条件：
①BD＝CE；②∠B＝∠C；③∠BAD＝∠CAE 中，选择一个合适的作为已知条件，使得AD＝AE．
（1）你添加的条件是 （填序号）；
（2）添加了条件后，请证明AD＝AE．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于P、Q两点．点P（﹣4，3），点Q的纵坐标为﹣2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△POQ的面积．
20．小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
21．2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．
22．如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ °，∠AED＝ °；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）
1．3的绝对值是（ ）
A．﹣3 B．3 C． D．
【分析】根据绝对值实数轴上的点到原点的距离，可得答案．
解：3的绝对值是3，
故选：B．
【点评】本题考查了绝对值，正数的绝对值是它本身．
2．下列计算正确的是（ ）
A．m2•m3＝m6 B．m6÷m2＝m3 C．3m+2n＝5mn D．（m3）2＝m6
【分析】根据同底数幂乘除，幂的乘方的运算法则和合并同类项法则判断即可．
解：∵m²•m³＝m2+3＝m5，故A错误．
m6÷m2＝m6﹣2＝m4，故B错误．
∵3m和2n不是同类项，不能合并，故C错误．
（m³）²＝m2×3＝m6，故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查幂的运算法则和合并同类项，正确使用幂的运算法则是求解本题的关键．
3．某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图的定义和画法进行判断即可．
解：由题意可知，该几何体的主视图是：
．
故选：A．
【点评】本题考查简单组合体的主视图，解题的关键是明确主视图就是从正面看物体所得到的图形．
4．原子钟是以原子的规则振动为基础的各种守时装置的统称，其中氢脉泽钟的精度达到了1700000年误差不超过1秒．数据1700000用科学记数法表示为（ ）
A．17×105 B．1.7×106 C．0.17×107 D．1.7×107
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
解：1700000＝1.7×106，
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
5．某校7名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（ ）
A．众数是36.5 B．中位数是36.7
C．平均数是36.6 D．方差是0.4
【分析】根据众数、中位数的概念求出众数和中位数，根据平均数和方差的计算公式求出平均数和方差．
解：7个数中36.5出现了三次，次数最多，即众数为36.5，故A选项正确，符合题意；
将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.4，36.5，36.5，36.5，36.6，36.7，第4个数为36.5，即中位数为36.5，故B选项错误，不符合题意；
＝×（36.3+36.4+36.5+36.5+36.5+36.6+36.7）＝36.5，故C选项错误，不符合题意；
S2＝[（36.3﹣36.5）2+（36.4﹣36.5）2+3×（36.5﹣36.5）2+（36.6﹣36.5）2+（36.7﹣36.5）2]＝，故D选项错误，不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查的是众数、平均数、方差、中位数，掌握它们的概念和计算公式是解题的关键．
6．下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ）
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断．
解：对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形，
故①→②，①→③错误，
故选项B，C，D错误，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的判定和性质，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
7．中国奇书《易经》中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满5进1，用来记录孩子自出生后的天数．由图可知，孩子自出生后的天数是（ ）
A．10 B．89 C．165 D．294
【分析】根据计数规则可知，从右边第1位的计数单位为50，右边第2位的计数单位为51，右边第3位的计数单位为52，右边第4位的计数单位为53……依此类推，可求出结果．
解：2×53+1×52+3×51+4×50＝294，
故选：D．
【点评】本题考查用数字表示事件，理解“逢五进一”的计数规则是正确计算的前提．
8．如图，抛物线y＝﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（ ）
A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣ C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣
【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出C2解析式，分别求出直线y＝x+m与抛物线C2相切时m的值以及直线y＝x+m过点B时m的值，结合图形即可得到答案．
解：令y＝﹣2x2+8x﹣6＝0，
即x2﹣4x+3＝0，
解得x＝1或3，
则点A（1，0），B（3，0），
由于将C1向右平移2个长度单位得C2，
则C2解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+2（3≤x≤5），
当y＝x+m1与C2相切时，
令y＝x+m1＝y＝﹣2（x﹣4）2+2，
即2x2﹣15x+30+m1＝0，
△＝﹣8m1﹣15＝0，
解得m1＝﹣，
当y＝x+m2过点B时，
即0＝3+m2，
m2＝﹣3，
当﹣3＜m＜﹣时直线y＝x+m与C1、C2共有3个不同的交点，
故选：D．
【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何变换的知识，解答本题的关键是正确地画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度．
二、填空题（本大题8道小题，每小题4分，满分32分）
9．因式分解：x2﹣9＝ （x+3）（x﹣3） ．
【分析】原式利用平方差公式分解即可．
解：原式＝（x+3）（x﹣3），
故答案为：（x+3）（x﹣3）．
【点评】此题考查了因式分解﹣运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
10．在二次根式中，字母x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解；
解：∵二次根式有意义，
∴x﹣2≥0，解得x≥2
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
11．方程＝的解为 x＝9 ．
【分析】根据解分式方程的过程进行求解即可．
解：去分母得：
9（x﹣1）＝8x
9x﹣9＝8x
x＝9
检验：把x＝9代入x（x﹣1）≠0，
所以x＝9是原方程的解．
故答案为：x＝9．
【点评】本题考查了解分式方程，解决本题的关键是掌握分式方程的解法．
12．如图，直线a，b被直线c所截，且a∥b，∠1＝50°，则∠2的度数为 130° ．
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠AOB的度数，再根据∠2+∠AOB＝180°，即可得到∠2的度数．
解：∵a∥b，∠1＝50°，
∴∠1＝∠AOB＝50°，
∵∠AOB+∠2＝180°，
∴∠2＝130°，
故答案为：130°．
【点评】本题考查了平行线的性质，根据题意找到角与角之间的关系是解题的关键．
13．在﹣2，﹣1，1，2这四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是 ．
【分析】所列4个数中，倒数等于其本身的只有﹣1和1这2个，利用概率公式求解即可．
解：在﹣2，﹣1，1，2这四个数中，其倒数等于本身的有﹣1和1这两个数，
所以四个数中随机取出一个数，其倒数等于本身的概率是＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数及倒数的定义．
14．已知关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+2）x+k＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若x1+x2＝2k，则k的值 2 ．
【分析】先根据题意得出k的取值范围，再由根与系数的关系即可得出结论．
解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2（k+2）x+k＝0有两个不相等的实数根，
∴k≠0且Δ＞0，
∴Δ＝[﹣2（k+2）]2﹣4k2＞0，解得k＞﹣1，
∴k＞﹣1且k≠0．
∵x1，x2是一元二次方程两个不相等的实数根，x1+x2＝2k，
∴x1+x2＝＝2k，
解得k1＝﹣1（舍去），k2＝2，
∴k＝2．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，先根据题意得出k的取值范围是解题的关键．
15．观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…，根据其中的规律可得70+71+72+…+72022+72023的结果的个位数字是 0 ．
【分析】由已知可得7n的尾数1，7，9，3循环，则70+71+…+72023的结果的个位数字与70+71+72+73的个位数字相同，即可求解．
解：∵70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…
∴7n的尾数1，7，9，3循环，
∴70+71+72+73的个位数字是0，
∵0，1，....2023一共有2024个数，
∴2024÷4＝506，
∴70+71+…+72022+72023的结果的个位数字与70+71+72+73的个位数字相同，
∴70+71+…+72022+72023的结果的个位数字是0，
故答案为：0．
【点评】本题考查数的尾数特征，能够通过所给数的特点，确定尾数的循环规律是解题的关键．
16．如图，在⊙O中，已知AB是直径，P为AB上一点（P不与A、B两点重合），弦MN过P点，∠NPB＝45°．
（1）若AP＝2，BP＝6，则MN的长为 2 ；
（2）当P点在AB上运动时（保持∠NPB＝45° 不变），则＝ ．
【分析】（1）作OH⊥MN于H，得到HN＝MH，由AP＝2，BP＝6，得到圆的半径长，由△POH是等腰直角三角形，得到OH的长，由勾股定理求出NH的长，即可得到MN的长．
（2）由PM＝MH﹣PH＝NH﹣OH，PM＝NH+PH＝NH+OH，得到PM2+PN2＝（NH﹣OH）2+（NH+OH）2＝2（NH2+OH2），因此OH2+NH2＝ON2＝OA2，得到PM2+PN2＝2OA2，即可解决问题．
解：（1）作OH⊥MN于H，
∴HN＝MH，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝AP+PB＝8，
∴ON＝4，PO＝OA﹣AP＝4﹣2＝2，
∵∠NPB＝45°，
∴△POH是等腰直角三角形，
∴OH＝PO＝，
∴NH＝＝，
∴MN＝2NH＝2．
故答案为：2．
（2）由（1）知MH＝NH，OH＝PH，
∴PM＝MH﹣PH＝NH﹣OH，PM＝NH+PH＝NH+OH，
∴PM2+PN2＝（NH﹣OH）2+（NH+OH）2＝2（NH2+OH2），
∵OH2+NH2＝ON2＝OA2，
∴PM2+PN2＝2OA2，
∵BA2＝（2OA）2＝4OA2，
∴＝．
故答案为：．
【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，完全平方公式，关键是作辅助线构造直角三角形，应用垂径定理，勾股定理来解决问题．
三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）
17．计算：（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0．
【分析】原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，二次根式性质，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
解：原式＝3﹣2+2﹣1
＝2．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上的点．请从以下三个条件：
①BD＝CE；②∠B＝∠C；③∠BAD＝∠CAE 中，选择一个合适的作为已知条件，使得AD＝AE．
（1）你添加的条件是 ①（答案不唯一） （填序号）；
（2）添加了条件后，请证明AD＝AE．
【分析】（1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解即可；
（2）结合（1）进行求解即可．
【解答】（1）解：可选取①或③（只选一个即可），
故答案为：①（答案不唯一）；
（2）证明：当选取①时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴AD＝AE；
当选取③时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴AD＝AE．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质，解答的关键是熟记全等三角形的判定定理与性质并灵活运用．
19．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y＝（k≠0）的图象交于P、Q两点．点P（﹣4，3），点Q的纵坐标为﹣2．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）求△POQ的面积．
【分析】（1）把P的坐标代入y＝，利用待定系数法即可求得反比例函数解析式，进而求出Q的坐标，把P、Q的坐标代入一次函数的解析式求出即可；
（2）根据三角形面积和可得结论．
解：（1）将点P（﹣4，3）代入反比例函数y＝中，解得：k＝﹣4×3＝﹣12，
∴反比例函数的表达式为：y＝﹣；
当y＝﹣2时，﹣2＝﹣，
∴x＝6，
∴Q（6，﹣2），
将点P（﹣4，3）和Q（6，﹣2）代入y＝ax+b中得：，
解得：，
∴一次函数的表达式为：y＝﹣x+1；
（2）如图，
y＝﹣x+1，
当x＝0时，y＝1，
∴OM＝1，
∴S△POQ＝S△POM+S△OMQ
＝×1×4+×1×6
＝2+3
＝5．
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式的应用，三角形的面积，求得OM的长是解题的关键．
20．小强的爸爸平常开车从家中到小强奶奶家，匀速行驶需要4小时．某天，他们以平常的速度行驶了的路程时遇到了暴雨，立即将车速减少了20千米/小时，到达奶奶家时共用了5小时，问小强家到他奶奶家的距离是多少千米？
【分析】设平常的速度是x千米/小时，根据“到达奶奶家时共用了5小时”列分式方程，求解即可．
解：设平常的速度是x千米/小时，
根据题意，得，
解得x＝60，
经检验，x＝60是原方程的根，
4×60＝240（千米），
答：小强家到他奶奶家的距离是240千米．
【点评】本题考查了分式方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
21．2020年7月，教育部印发的《大中小学劳动教育指导纲要（试行）》中明确要求中小学劳动教育课平均每周不少于1课时，初中生平均每周劳动时间不少于3小时．某初级中学为了解学生劳动教育的情况，从本校学生中随机抽取了500名进行问卷调查．如图是根据此次调查结果得到的统计图．
请根据统计图回答下列问题：
（1）本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为多少？
（2）若该校有2000名学生，请估计最喜欢的劳动课程为木工的有多少人．
（3）请你根据本次问卷调查的结果给同学和学校各提一条合理化建议．
【分析】（1）根据平均每周劳动时间不少于3小时的学生人数计算即可；
（2）计算出木工所占的比例然后估算即可；
（3）答案不唯一，合理即可．
解：（1）×100%＝21%，
∴本次调查中，平均每周劳动时间符合教育部要求的人数占被调查人数的百分比为21%；
（2）2000×（1﹣40%﹣27%﹣7%﹣10%）＝320（人），
∴若该校有2000名学生，则最喜欢的劳动课程为木工的估计有320人；
（3）（答案不唯一，合理即可）
如：建议学生积极参加学校的劳动课程，多做家务等等；建议学校增设特色劳动课程，增加劳动课的课时等．
【点评】本题主要考查统计的知识，熟练掌握条形统计图和扇形统计图是解题的关键．
22．如图，计划在山顶A的正下方沿直线CD方向开通穿山隧道EF．在点E处测得山顶A的仰角为45°，在距E点80m的C处测得山顶A的仰角为30°，从与F点相距10m的D处测得山顶A的仰角为45°，点C、E、F、D在同一直线上，求隧道EF的长度．
【分析】过点A作AH⊥DE，垂足为H，设EH＝x米，在Rt△AEH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，再在Rt△ACH中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，从而求出AH，EH的长，最后在Rt△AHD中，利用锐角三角函数的定义求出DH的长，进行计算即可解答．
解：过点A作AH⊥DE，垂足为H，
设EH＝x米，
在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，
∴AH＝EH•tan45°＝x（米），
∵CE＝80米，
∴CH＝CE+EH＝（80+x）米，
在Rt△ACH中，∠ACH＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝40+40，
经检验：x＝40+40是原方程的根，
∴AH＝EH＝（40+40）米，
在Rt△AHD中，∠ADH＝45°，
∴DH＝＝（40+40）米，
∴EF＝EH+DH﹣DF＝（80+70）米，
∴隧道EF的长度为（80+70）米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝40°，点D在线段BC上运动（点D不与点B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于点E．
（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝ 25 °，∠AED＝ 65 °；
（2）线段DC的长度为何值时，△ABD≌△DCE，请说明理由；
（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，求∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠BAD＝25°，根据等腰三角形的性质得到∠C＝∠B＝40°，根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）当DC＝2时，利用∠DEC+∠EDC＝140°，∠ADB+∠EDC＝140°，得到∠ADB＝∠DEC，根据AB＝DC＝2，证明△ABD≌△DCE；
（3）分DA＝DE、AE＝AD、EA＝ED三种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算．
解：（1）∵AB＝AC，
∴∠C＝∠B＝40°，
∵∠ADE＝40°，∠BDA＝115°，
∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝25°，
∴∠AED＝∠EDC+∠C＝25°+40°＝65°，
故答案为：25；65；
（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，
理由：∵AB＝2，DC＝2，
∴AB＝DC，
∵∠C＝40°，
∴∠DEC+∠EDC＝140°，
∵∠ADE＝40°，
∴∠ADB+∠EDC＝140°，
∴∠ADB＝∠DEC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（AAS）；
（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，
①当DA＝DE时，∠DAE＝∠DEA＝70°，
∴∠BDA＝∠DAE+∠C＝70°+40°＝110°；
②当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝40°，
∴∠DAE＝100°，
此时，点D与点B重合，不合题意；
③当EA＝ED时，∠EAD＝∠ADE＝40°，
∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝40°+40°＝80°；
综上所述，当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形．
【点评】本题考查的是等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
24．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，AC＝，OB＝OC＝3OA．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在第二象限内的抛物线上确定一点P，使四边形PBAC的面积最大，求出点P的坐标；
（3）在（2）的结论下，点M为x轴上一动点，抛物线上是否存在一点Q，使点P、B、M、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据勾股定理求出OA、OC，得出点A、C的坐标，进而得出点B的坐标，运用待定系数法即可求出答案；
（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，利用待定系数法求出设直线BC解析式，设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），根据S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC，得出S四边形PBAC＝﹣（t+）2+，运用二次函数求最值方法即可得出答案；
（3）如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方．①当点Q在x轴上方时，根据P与Q纵坐标相等，建立方程求解即可；②当点Q在x轴下方时，根据P与Q纵坐标互为相反数，建立方程求解即可．
解：（1）∵OC＝3OA，AC＝，∠AOC＝90°，
∴OA2+OC2＝AC2，即OA2+（3OA）2＝（）2，
解得：OA＝1，
∴OC＝3，
∴A（1，0），C（0，3），
∵OB＝OC＝3，
∴B（﹣3，0），
设抛物线解析式为y＝a（x+3）（x﹣1），将C（0，3）代入，
得：﹣3a＝3，
解得：a＝﹣1，
∴y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3，
∴该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，过点P作PK∥y轴交BC于点K，
设直线BC解析式为y＝kx+n，将B（﹣3，0），C（0，3）代入，
得：，
解得：，
∴直线BC解析式为y＝x+3，
设P（t，﹣t2﹣2t+3），则K（t，t+3），
∴PK＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t，
∴S△PBC＝S△PBK+S△PCK＝PK•（t+3）+PK•（0﹣t）＝PK＝（﹣t2﹣3t），
S△ABC＝AB•OC＝×4×3＝6，
∴S四边形PBAC＝S△PBC+S△ABC＝（﹣t2﹣3t）+6＝﹣（t+）2+，
∵﹣＜0，
∴当t＝﹣时，四边形PBAC的面积最大，此时点P的坐标为（﹣，）；
（3）存在．如图2，分两种情况：点Q在x轴上方或点Q在x轴下方．
①当点Q在x轴上方时，P与Q纵坐标相等，
∴﹣x2﹣2x+3＝，
解得：x1＝﹣，x2＝﹣（舍去），
∴Q1（﹣，），
②当点Q在x轴下方时，P与Q纵坐标互为相反数，
∴﹣x2﹣2x+3＝﹣，
解得：x1＝﹣，x2＝，
∴Q2（﹣，﹣），Q3（，﹣），
综上所述，Q点的坐标为Q1（﹣，），Q2（﹣，﹣），Q3（，﹣）．
【点评】本题是有关二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，待定系数法，三角形面积和四边形面积，平行四边形性质，解一元二次方程等知识，属于中考数学压轴题，综合性强，难度大，熟练掌握待定系数法及平行四边形性质等相关知识，灵活运用方程思想、分类讨论思想和数形结合思想思考解决问题是解题关键．
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