江西丰城中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份江西丰城中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．集合,,则的子集个数为( )
A.3B.2C.4D.8
2．复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．用一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( )
A.圆柱B.圆锥C.球D.圆台
4．在中,,D点是AB边上的中点,,,则的值为( )
A.-14B.-6C.14D.-12
5．已知定义在R上的奇函数满足.当时,,则( )
A.3B.-3C.-5D.5
6．设,,是三条不同的直线,,,是三个不同的平面,则下列命题是真命题的是( )
A.若,,则
B.若,,则
C.若,,,,则
D.若,,β∩γ＝l2,则
7．已知从甲袋内摸出1个红球的概率是,从乙袋内摸出1个红球的概率是从两袋内各摸出1个球,则等于( )
A.2个球不都是红球的概率B.2个球都是红球的概率
C.2个球中至少有1个红球的概率D.2个球中恰好有1个红球的概率
8．如图所示,已知和分别是双曲线的左、右焦点,圆与双曲线位于x轴上方的图像从左到右依次交于A、B两点,如果,则的余弦值为( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知数据,,x3,…,的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是,,,,数据y2,,…,的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是,,,,且满足（,2,3,⋯,n）,则下列结论正确的是( )
A.B.C.D.
10．已知a,b,c满足且,则下列不等式恒成立的是( )
A. B.C. D.
11．已知函数在区间上有且仅有3条对称轴,给出下列四个结论,正确的是( )
A.的取值范围是
B.在区间上有且仅有3个不同的零点
C.的最小正周期可能是
D.在区间上单调递增
12．如图,在菱形ABCD中,,,M为BC的中点,将沿直线AM翻折到的位置,连接和,N为的中点,在翻折过程中,则下列结论中正确的是( )
A.面面
B.线段CN长度的取值范围为
C.直线AM和CN所成的角始终为
D.当三棱锥的体积最大时,点C在三棱锥外接球的外部
三、填空题
13．函数（且）的图象过定点,这个点的坐标为_________.
14．楼道里有8盏灯,为了节约用电,需关掉3盏互不相邻的灯,则关灯方案有_________种.
15．若直线与曲线有两个不同的交点,则实数k的取值范围是___________.
16．过双曲线右焦点F作直线l,且直线l与双曲线C的一条渐近线垂直,垂足为A,直线l与另一条渐近线交于点B.且点A,B位于x轴的异侧,O为坐标原点,若的内切圆的半径为,则双曲线C的离心率为____________.
四、解答题
17．某汽车制造公司,为鼓励消费者购买其生产的汽车,约定从今年元月开始,凡购买一辆该品牌汽车,在行驶三年后,公司将给予适当金额的购车补贴.某调研机构对已购买该品牌汽车的消费者,就购车补贴金额的心理预期值进行了抽样调查,得其样本频率分布直方图如图所示.
（1）求频率分布直方图中的参数a,估计已购买该品牌汽车的消费群体对购车补贴金额的心理预期值的众数、平均数；
（2）采取分层抽样的方式从,两组中共抽取了6人,现从这6人中随机抽2人,求这2人来自不同组的概率.
18．已知圆.
（1）若圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半,求m的值；
（2）当时,若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程.
19．如图,在四棱锥中,底面四边形ABCD为菱形,点E为棱PD的中点,O为边AB的中点.
（1）求证：平面POC；
（2）若侧面底面ABCD,且,,求平面PAD与平面POC的夹角的余弦值.
20．已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且.
（1）求A；
（2）已知的面积为,设M为BC的中点,且,的平分线交BC于N,求线段AN的长度.
21．如图,在斜三棱柱中,是边长为2的正三角形,,侧棱AD与底面ABC所成角为.
（1）求三棱柱的体积；
（2）在线段DF（含端点）上是否存在点G,使得平面GBC与平面ABC的夹角为60°？若存在,请指出点G的位置；若不存在,请说明理由.
22．已知椭圆的右焦点为,离心率为,经过F且垂直于x轴的直线交于第一象限的点M,O为坐标原点,且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设不经过原点O且斜率为的直线交椭圆Γ于A,B两点,A,B关于原点O对称的点分别是C,D,试判断四边形ABCD的面积有没有最大值.若有,请求出最大值；若没有,请说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：,,
,
的子集个数为：.
故选：D.
2．答案：B
解析：复数,
可得复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为,
位于第二象限,
故选：B.
3．答案：C
解析：圆柱的截面可以是矩形,圆锥的截面可以是三角形,圆台的截面可以是梯形,只有球的截面都是圆.
故选：C.
4．答案：A
解析：以C为原点,建立如图所示的直角坐标系,
则,,,
所以,,
所以.
故选：A.
5．答案：A
解析：根据题意,定义在R上的奇函数满足,
则,变形可得,
则有,即函数是周期为4的周期函数,
则,
故选：A.
6．答案：C
解析：对于A,,,与可能相交、异面,未必平行,所以A错；
对于B,,,则,所以B错；
对于C,因为,设由和确定的平面为,假设,
则,,,所以三条直线有公共点A,与矛盾,所以C对；
对于D,当,,时,可能则与相交,未必,所以D错.
故选：C.
7．答案：C
解析：从甲袋内摸出1个红球的概率是,从乙袋内摸出1个红球的概率是,
从两袋内各摸出1个球,
对于A,2个球不都是红球的概率为,故A错误；
对于B,2个球都是红球的概率为,故B错误；
对于C,2个球中至少有1个红球的概率为,故C正确；
对于D,2个球中恰好有1个红球的概率为,故D错误.
故选：C.
8．答案：A
解析：连接,,取的中点C,的中点D,连接,,
由已知及双曲线的定义得,,,
,中,,
又,,.
故选：A.
9．答案：ACD
解析：由题意可知,两组数据满足（,2,3,⋯,n）,
由平均数计算公式得,
所以,故A正确；
由它们的众数也满足（,2,3,⋯,n）,
则有,故B错误；
由方差的性质得,故C正确；
对于数据,,,…,xn,假设其第80百分位数为,
当是整数时,,
当不是整数时,设其整数部分为k,则,
所以对于数据,,,…,,假设其第80百分位数为,
当是整数时,,
当不是整数时,设其整数部分为k,则,
所以,故D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABD
解析：因为a,b,c满足且,所以,,b符号不确定,
选项A：因为,,所以,选项A正确；
选项B：因为,,所以,,选项B正确；
选项C：因为,,
当时,,所以,
当且时,,所以,选项C错误；
选项D：因为,,所以,,选项D正确.
故选：ABD.
11．答案：ACD
解析：由,得,
因为函数在区间上有且仅有3条对称轴,
所以,解得,故A正确；
对于B,,
,
,
当时,在区间上有且仅有2个不同的零点；
当时,在区间上有且仅有3个不同的零点,故B错误；
对于C,周期,由,则,
,
又,
所以的最小正周期可能是,故C正确；
对于D,,
,
又,,
所以在区间上一定单调递增,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：AC
解析：对于选项A,连接AC,如图所示：
由题意在菱形ABCD中,,M为BC的中点,
所以,又,
由余弦定理,故,,
所以,同理,
又,,平面,
故平面,又面,
故面面,故A选项正确；
对于选项B,如图所示,取AD中点E,连接EN,EC,
所以,且,又因为N为的中点,
所以,且,又由A选项得,,
所以且,
所以,,
在中,由余弦定理得：,
即,故B选项错误；
C选项：由B选项得,所以直线AM和CN所成角即为EC与CN所成角,
又,故,故C选项正确；
D选项：当三棱锥的体积最大时,平面ABCD,
由四边形ABCD为菱形,且,,
故,,故C在的外接圆内,
又的外接圆在三棱锥外接球的内部,
故点C在三棱锥外接球的内部,故D选项错误.
故选：AC.
13．答案：
解析：由,得,此时.
函数（且）的图象过定点,
故答案为：.
14．答案：20
解析：依题意,原问题等价于在5盏亮灯的6个空隙中插入3盏不亮的灯,
则有种方案.
故答案为：20.
15．答案：.
解析：由题意可得直线即,
所以直线l恒过定点,
曲线图象为以为圆心,2为半径的上半圆（包含x轴部分）,
它们的图象如图所示：
当直线l过点时,它们有两个交点,此时,
当直线l与上半部分圆相切时,有一个交点,此时,
由图象可知,若直线l与曲线C有两个不同的交点,则,
即实数k的取值范围是.
故答案为：.
16．答案：.
解析：如图所示：
设A在第一象限,
由题意可知,
其中d为点到渐近线的距离,,
所以,
设的内切圆的圆心为M,
则M在的平分线Ox上,
过M分别作于N,于T,
又因为于A,
所以四边形MTAN为正方形,
所以,
所以,
又因为,
所以,,
所以,
所以,
所以.
故答案为：.
17．答案：（1）,众数为2.5万元,3.5万元,平均数的估计值为3.5万元.
（2）.
解析：（1）由频率分布直方图得：,
解得.
频率直方图的众数为最高小矩形的中点的横坐标,得众数为2.5万元,3.5万元,
因为直方图的组距为1,则各组数据的频率即为相应小矩形的高,
所以平均数的估计值为（万元）.
（2）因为来自,的人数比为2：1,共抽取6人,
故来自有4人,记为A,B,C,D,来自有2人,记为e,f,
从6人中随机抽取2人,则由15种等可能的结果：AB,AC,AD,Ae,Af,BC,BD,Be,Bf,CD,Ce,Cf,De,Df,ef,
记“从这6人中随机抽2人,这2人来自不同组”为事件M,
,包含8个样本点,
故从6人中随机抽取2人,这2人来自不同组的概率为.
18．答案：（1）；
（2）或或或.
解析：（1）将圆C的方程化为标准方程为,
所以圆C的圆心为,半径为,
因为圆C截x轴所得弦的弦长等于半径的一半,
所以,
所以,即,解得.
（2）当时将圆C的方程化为标准方程为,
其圆心,半径,
①当切线在两坐标轴上的截距为零时,
设切线的方程为,
所以圆心到切线的距离为,即,解得.
所以切线方程为或；
②当切线在两坐标轴上的截距不为零时,
设切线的方程为,
所以圆心到切线的距离为,即,解得或-1,
所以切线方程为或.
综上所述,所求切线方程为或或或.
19．答案：（1）证明见解答；
（2）平面PAD与平面POC的夹角的余弦值为.
解析：（1）证明：取线段PC的中点F,连接OF,EF,
E,F分别为PD,PC的中点,且,
底面ABCD是菱形,且O为AB的中点,且,
且.∴四边形AOFE平行四边形,,
又平面POC,平面POC,
平面POC；
（2）连接AC,由,得是等边三角形,
,侧面底面ABCD,侧面底面,
底面ABCD,侧面PAB,因为,,
由余弦定理的：,
解得：,
以O为坐标原点,OB,OC,过O作平面ABCD的垂线为坐标轴建立空间坐标系,如图所示.
则,,,
则,,,
设平面PAD的一个法向量,
则,令,则,.
平面PAD的一个法向量,
设平面POC的一个法向量为＝（a,b,c）,
则,解得：b＝0,令c＝1,则,
平面POC的一个法向量为,
,
所以平面PAD与平面POC的夹角的余弦值为.
20．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）在中,,
由正弦定理得则
,
,
,
,
,
,
,
又,,
,即；
（2）作出图形,如下：
M为BC的中点,
,
,
,
,
,,
,
,
,
.
21．答案：（1）.
（2）存在,G位于点F.
解析：（1）取BC中点M,连接AM,DM.如图所示,
因为为正三角形,为等腰三角形且以BC为底,
故,（三线合一）,
所以平面ADM.
又平面ABC,
所以平面平面ABC,
故AD在平面ABC的射影在射线AM上,
则为侧棱AD与底面ABC所成角,
即.
在中,,,
由余弦定理知,
故三棱锥为正三棱锥,高,底面的面积,
三棱柱的高也为2,故三棱柱的体积.
（2）以M为坐标原点,MA、MB所在直线为x,y轴建立如图所示坐标系.
依题意,,,,,
假设存在点G满足题意,设,,
则,.
设平面GBC的法向量为,
则取,
平面ABC的法向量.
依题意,,解得,
故当G位于点F时,满足要求.
22．答案：（1）
（2）4
解析：（1）由题意知,即①,
由,可得②,
联立,解得,
则点,
则③,
联立①②③,解得,,,
所以椭圆的方程为.
（2）设直线AB的方程为,
联立,得,
所以,解得,
则,,
则|
,
原点O到直线AB的距离为,
显然四边形ABCD是平行四边形,
所以|
,
当且仅当,即时,取等号,
所以四边形ABCD的面积存在最大值,且最大值为4.