2023年甘肃省平凉四中中考数学三模试卷（含解析）

这是一份2023年甘肃省平凉四中中考数学三模试卷（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年甘肃省平凉四中中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −4的相反数(    )
A. 14 B. 4 C. −4 D. ±4
2. 下列既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )
A. B. C. D.
3. 近年来出生人口持续走低，即使国家开放三胎，也缓解不了颓势，2022年我国出生人口是1062万人，数据1062万用科学记数法表示应为(    )
A. 1062×104 B. 10.62×106 C. 1.062×107 D. 0.1062×108
4. 关于x的一元二次方程x2+4x+k=0有两个实数根，则k的取值范围是(    )
A. k≤−4 B. k<−4 C. k≤4 D. k<4
5. 如图，AB//CD，点E在BC上，若∠1=40°，∠2=20°，则∠3的度数是(    )


A. 60° B. 70° C. 80° D. 50°
6. 直线y=kx+b经过一、三、四象限，那么点(b,k)第象限．(    )
A. 四 B. 三 C. 二 D. 一
7. 如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠BCD=36°，则∠ABD等于(    )


A. 54° B. 56° C. 64° D. 66°
8. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(    )
A. 3(x−1)=6210x B. 6210x−1=3 C. 3x−1=6210x D. 6210x=3
9. 道路施工部门在铺设如图所示的管道时，需要先按照其中心线计算长度后再备料．图中的管道中心线AB的长为(单位：m)(    )
A. 40π3
B. 80π3
C. 1600π3
D. 3200π3


10. 如图(1)，▱ABCD中，AB=3，BD⊥AB，动点F从点A出发，沿折线ADB以每秒1个单位长度的速度运动到点B.图(2)是点F运动时，△FBC的面积y随时间x变化的图象，则m的值为(    )


A. 6 B. 10 C. 12 D. 20
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 当x ______时，分式x+2x−1有意义．
12. 因式分解：x3−x=______．
13. 若点(m,n)在函数y=2x+1的图象上，则2m−n的值是______．
14. 如图，在6×4网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为(1,2)，点B的坐标为(−1,−1)，则点C的坐标为______ ．


15. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，请添加一个条件______ ，使▱ABCD成为菱形(写出符合题意的一个条件即可)


16. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB中点，CD=5，AC=6，则BC长为______ ．


17. 如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：h=−5t2+20t，则小球飞行最大高度是______ m.
18. 如图，点E是矩形ABCD中CD边上一点，△BCE沿BE折叠得到对应的△BFE，且点C的对应点F落在AD上．若tan∠DFE=512，BC=3，则CE=______．


三、解答题（本大题共10小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：5−(π−3.14)0+4sin60°−|1− 3|．
20. (本小题6.0分)
解不等式组x+2≥1①2x≤x+3②．
请结合题意填空，完成本题的解答．
(Ⅰ)解不等式①，得______ ；
(Ⅱ)解不等式②，得______ ；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(Ⅳ)原不等式组的解集为______ ．

21. (本小题8.0分)
如图，已知△ABC．
(1)请用尺规作图作出∠BAC的平分线交BC于点D；
(2)请用尺规作图作出线段AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F；
(3)连接DE和DF，直接写出四边形AEDF的形状．

22. (本小题8.0分)
钓鱼岛是我国固有领土，2021年4月26日，中华人民共和国自然资源部在其官网上公布《钓鱼岛及其附属岛屿地形地貌调查报告》，报告公布了钓鱼岛及其附属岛屿的高分辨率海岛地形数据．如图所示，点A是岛上最西端“西钓角”，点B是岛上最东端“东钓角”，AB长约3641米，点D是岛上的小黄鱼岛，且A、B、D三点共线．某日中国海监一艘执法船巡航到点C处时，恰好看到正北方的小黄鱼岛D，并测得∠ACD=70°，∠BCD=45°.根据以上数据，请求出此时执法船距离小黄鱼岛D的距离CD的值．(参考数据：tan70°≈2.75，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，结果精确到1米．)

23. (本小题10.0分)
新冠疫情防控期间，武威市某学校学生进校园必须戴口罩，测体温，该校开通了三条测温通道，分别为：红外热成像测温(A通道)和人工测温(B通道和C通道).在三条通道中，每位同学都只能随机选择其中一条通道．某天早晨，该校学生小红和小明将随机选择一条测温通道进人校园．
(1)小红选择从红外热成像测温通道进人校园的概率为______；
(2)用列表法或树状图表示小红和小明选择不同的测温通道进人校园的概率．
24. (本小题8.0分)
中考改革是为了进一步推进高中阶段学校考试招生制度，某市在初中毕业生学业考试、综合素质评价、高中招生录取等方面进行了积极探索，对学生各科成绩实行等级制，即A、B、C、D、E五个等级，根据某班一次数学模拟考试成绩按照等级制绘制了两幅统计图(均不完整)，请根据统计图提供的信息解答下列问题．
(1)本次模拟考试该班学生有______ 人；
(2)补全条形统计图；
(3)本次模拟考试该班学生考试成绩等级的中位数在等级______ ；
(4)该校共有1000名学生，根据统计图估计该校A等级的学生人数．

25. (本小题10.0分)
如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴正半轴相交于点C，与反比例函数y=−2x的图象相交于点A(−1,m)和点B，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，且AD=CD．
(1)求一次函数的解析式；
(2)连接BD，求△ABD的面积．

26. (本小题10.0分)
如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA=∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
(1)求证：DC是⊙O的切线；
(2)若OAOD=23，BE=3，求DA的长．

27. (本小题10.0分)
问题情境：数学活动课上，老师组织同学们以“正方形”为主题开展数学活动．
动手实践：
(1)如图①，已知正方形纸片ABCD，勤奋小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形ABCD的内部，点B的对应点为点M，折痕为AE，再将纸片沿过点A的直线折叠，使AD与AM重合，折痕为AF，易知点E、M、F共线，则∠EAF=______度．
拓展应用：
(2)如图②，腾飞小组在图①的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿EF继续折叠，使得点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，当点E在BC边的某一位置时，点N恰好落在折痕AE上．
①则∠CFE=______度．
②设AM与NF的交点为点P，运用(1)、(2)操作所得结论，求证：△ANP≌△FNE．
解决问题：
(3)在图②中，若AB=3，请直接写出线段MP的长．

28. (本小题12.0分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−13x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)、B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是点C关于x轴的对称点．
(1)求抛物线与直线BD的解析式；
(2)点P为直线BC上方抛物线上一动点，当△BPC的面积最大时，求点P的坐标；
(3)在(2)的条件下，当△BPC的面积最大时，在抛物线的对称轴上有一动点M，在BD上有一动点N，且MN⊥BD，求PM+MN的最小值．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：−4的相反数是4，
故选：B．
根据相反数的定义即可得出答案．
本题考查了相反数的定义，掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键．

2.【答案】A 
【解析】A、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故A符合题意；
B、D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B、D不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不符合题意．
故选：A．
把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断．
本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形，中心对称图形的定义．

3.【答案】C 
【解析】解：1062万=10620000=1.062×107．
故选：C．
科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正整数，当原数绝对值小于1时，n是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键是要正确确定a的值以及n的值．

4.【答案】C 
【解析】解：根据题意得Δ=42−4k≥0，
解得k≤4．
故选：C．
根据判别式的意义得Δ=42−4k≥0，然后解不等式即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．

5.【答案】A 
【解析】解：∵AB//CD，∠1=40°，∠2=20°，
∴∠C=40°，
∵∠3是△CDE的外角，
∴∠3=∠C+∠2=40°+20°=60°．
故选：A．
由两直线平行内错角相等得到∠C=∠1=40°，然后根据∠3是△CDE的外角求得∠3的度数即可．
本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，解题关键是掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．

6.【答案】C 
【解析】解：∵直线y=kx+b经过第一、三、四象限，
∴k>0，b<0，
∴点(b,k)在第二象限．
故选：C．
根据图象在坐标平面内的位置关系确定k，b的取值范围，从而求解．
本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k>0时，直线必经过一、三象限；k<0时，直线必经过二、四象限；b>0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b<0时，直线与y轴负半轴相交．

7.【答案】A 
【解析】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠DAB=∠BCD=36°，
∴∠ABD=90°−∠DAB=90°−36°=54°．
故选：A．
根据AB是⊙O的直径，可得∠ADB=90°，根据同弧所对圆周角相等可得∠DAB=∠BCD=36°，进而可得∠ABD的度数．
本题考查了圆周角定理，解决本题的关键是掌握圆周角定理．

8.【答案】A 
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
根据单价=总价÷数量，结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】
解：依题意，得：3(x−1)=6210x．
故选：A．  
9.【答案】B 
【解析】解：图中的管道中心线AB的长为120π×40180=80π3(m)，
故选：B．
根据弧长公式求出答案即可．
本题考查了弧长的计算，能熟记弧长公式是解此题的关键，圆心角为n°，半径为r的弧的长度是nπr180．

10.【答案】A 
【解析】解：由图可知，AD=a，AD+BD=9，
则BD=9−a，
由BD⊥AB，可得△ABD是直角三角形，
由勾股定理可得：AD2=BD2+AB2，
即a2=(9−a)2+32，
解得a=5，
即AD=5，
所以BD=4，
所以m=S△BDC=12×3×4=6．
故选：A．
由题意可知AD=a，AD+BD=9，则BD=9−a，利用勾股定理求出a，再根据三角形的面积公式计算即可．
本题主要考查了动点函数的图象，解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．

11.【答案】≠1 
【解析】解：∵分式x+2x−1有意义，
∴x−1≠0，
解得x≠1，
故答案为：≠1．
分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得结论．
本题主要考查了分式有意义的条件，解题时也要注意分式无意义的条件是分母等于零．

12.【答案】x(x+1)(x−1) 
【解析】解：原式=x(x2−1)=x(x+1)(x−1)，
故答案为：x(x+1)(x−1)
原式提取x，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

13.【答案】−1 
【解析】解：∵点(m,n)在函数y=2x+1的图象上，
∴2m+1=n，即2m−n=−1．
故答案为：−1．
直接把点(m,n)代入函数y=2x+1即可得出结论．
本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．

14.【答案】(−3,1) 
【解析】解：建立平面直角坐标系如图所示，

∴C(−3,1)．
故答案为：(−3,1)．
根据已知坐标建立坐标系，然后根据坐标系确定所求点的坐标．
本题关键是根据已知坐标建立坐标系，然后根据坐标系确定所求点的坐标．

15.【答案】AB=AD 
【解析】解：添加AB=AD，
∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴▱ABCD成为菱形．
故答案为：AB=AD．
根据邻边相等的平行四边形是菱形可得添加条件AB=AD．
此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形．

16.【答案】8 
【解析】解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴CD=12AB，
∵CD=5，
∴AB=10，
∵AC=6，
∴BC= AB2−AC2=8．
故答案为：8．
由直角三角形斜边中线的性质推出CD=12AB，又CD=5，得到AB=10，由勾股定理即可求出BC=8．
本题考查直角三角形斜边的中线，勾股定理，关键是由直角三角形斜边中线的性质求出AB=2CD=10，由勾股定理即可求出BC的长．

17.【答案】20 
【解析】解：∵h=−5t2+20t=−5(t−2)2+20，
且−5<0，
∴当t=2时，h取最大值20，
故答案为：20．
把一般式化为顶点式，即可得到答案．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．

18.【答案】2 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=∠D=90°，AD=BC=3，
∴∠ABF+∠AFB=90°，
由折叠的性质，可得：∠BFE=∠C=90°，BF=BC=3，CE=EF，
∴∠AFB+∠DFE=90°，
∴∠ABF=∠DFE，
∵tan∠DFE=512，
∴sin∠ABF=513，cos∠ABF=1213，
∴在Rt△ABF中，AF=BF⋅sin∠ABF=3×513=1513，AB=BF⋅cos∠ABF=3×1213=3613，
∴DF=AD−AF=3−1513=2413，
∴CE=EF=DFcos∠DFE=2413×1312=2．
故答案为：2．
由四边形ABCD是矩形，可得∠A=∠C=∠D=90°，AD=BC=3，又由折叠的性质，可得：∠BFE=∠C=90°，BF=BC=3，CE=EF，然后由同角的余角相等，可求得∠ABF=∠DFE，然后由tan∠DFE=512，BC=3，利用三角函数的性质，即可求得答案．
此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与转化思想的应用．

19.【答案】解：原式=5−1+4× 32−( 3−1)
=5−1+2 3− 3+1
=5+ 3． 
【解析】直接利用零指数幂的性质和绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

20.【答案】x≥−1  x≤3  −1≤x≤3 
【解析】解：(Ⅰ)解不等式①，得x≥−1；
(Ⅱ)解不等式②，得x≤3；
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如下：

(Ⅳ)原不等式组的解集为−1≤x≤3，
故答案为：x≥−1，x≤3，1≤x≤3．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

21.【答案】(1)①如图，
AD平分∠BAC；
②如上图，EF垂直平分AD；
(2)∵EF垂直平分AD，
∴EA=ED，FD=FA，∠AOE=∠AOF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠EAD=∠FAD，
∵AO=AO，
∴△AOE≌△AOF，(ASA)，
∴AE=AF，
∴AE=ED=DF=AF．
∴四边形AEDF是菱形． 
【解析】(1)根据作已知角的平分线画出图形，即可求解；
(2)根据作已知线段的垂直平分线的作法即可求解；
(3)利用基本作图方法得出MN是线段AD的垂直平分线，进而得出DE//AC，同理可得：DF//AE，可证明四边形AEDF是平行四边形，即可判定菱形．
此题主要考查了基本作图以及菱形的判定，熟练掌握作已知角的平分线和作已知线段的垂直平分线的作法及菱形的判定定理是解题的关键．

22.【答案】解：设CD=x米，
Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD，
∴AD=2.75x米，
Rt△BCD中，∠BCD=45°，
∴BD=CD=x米，
∴2.75x+x=3641，
解得x≈971，
答：执法船距离小黄鱼岛D的距离CD约为971米． 
【解析】设CD=x米，根据正切的定义分别求出AD、BD，再根据AB的长列出方程，解方程可得答案．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，掌握方向角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

23.【答案】13 
【解析】解：(1)∵共有三个通道，分别是红外热成像测温(A通道)和人工测温(B通道和C通道)，
∴小红从A测温通道通过的概率是13，
故答案为：13；
(2)根据题意画树状图如下：

共有9种等可能的情况数，其中小红和小明选择不同的测温通道进入校园的有6种情况，
∴小红和小明选择不同的测温通道进入校园的概率是69=23．
(1)直接根据概率求解即可；
(2)根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合题意的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是树状图法以及概率公式．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

24.【答案】40  D 
【解析】解：(1)本次模拟考试该班学生有：5÷12.5%=40(人)；
故答案为：40；
(2)C等级的人数有：40−2−5−13−8=12(人)，
补全统计图如下：

(3)∵第20、21个数的在D等级；
∵中位数是第20、21个数的平均数，
∴学生考试成绩等级的中位数在等级D，
故答案为：D；
(4)1000×240=50(人)．
答：估计该校A等级的学生人数为50人．
(1)根据B等级的人数和所占的百分比即可得出答案；
(2)先求出C等级的人数，再补全统计图即可；
(3)算出第20、21个数的平均数即可；
(4)用该校的总人数乘以A等级的学生所占的百分比即可．
本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

25.【答案】解：(1)∵点A(−1,m)在反比例函数y=−2x的图象上，
∴−m=−2，解得：m=2．
∴A(−1,2)．
∵AD⊥x轴，
∴AD=2，OD=1．
∴CD=AD=2．
∴OC=CD−OD=1．
∴C(1,0)．
把点A(−1,2)，C(1,0)代入y=kx+b中，
−k+b=2k+b=0，
∴解得k=−1b=1，
∴一次函数的表达式为y=−x+1．
(2)由题意，将一次函数解析式与反比例函数解析式联列方程组得，
y=−x+1y=−2x
∴x=−1y=2或x=2y=−1．
∵A(−1,2)，
∴B(2,−1)．
由(1)得，AD=CD=2，
∴S△ABD=S△ADC+S△BCD=12CD×AD+12CD⋅h=12×2×2+12×2×1=3． 
【解析】(1)将点A坐标代入反比例函数解析式求出m，再求得C点坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的解析式；
(2)将一次函数解析式与反比例函数解析式联列组成方程组，求出解比较A的坐标，可以得B，从而可以求出△BCD的面积，最后由S△ABD=S△ADC+S△BCD可以得解．
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理，熟练掌握反比例函数与一次函数的关系是解答本题的关键．

26.【答案】(1)证明：连接OC，

∵OC=OB，
∴∠OCB=∠OBC，
∵∠ABC=∠DCA，
∴∠OCB=∠DCA，
又∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，
∴∠DCA+∠ACO=90°，
即∠DCO=90°，
∴DC⊥OC，
∵OC是半径，
∴DC是⊙O的切线;
(2)解：∵OAOD=23，且OA=OB，
设OA=OB=2x，OD=3x，
∴DB=OD+OB=5x，
∴ODDB=35，
又∵BE⊥DC，DC⊥OC，
∴OC//BE，
∴△DCO∽△DEB，
∴OCBE=ODDB=35，
∵BE=3，
∴OC=95，
∴2x=95，
∴x=910，
∴AD=OD−OA=x=910，
即AD的长为910． 
【解析】(1)连接OC，由等腰三角形的性质得出∠OCB=∠OBC，由圆周角定理得出∠ACB=90°，证出∠DCO=90°，则可得出结论;
(2)设OA=OB=2x，OD=3x，证明△DCO∽△DEB，由相似三角形的性质得出OCBE=ODDB=35，求出OC的长，则可求出答案．
本题考查了圆周角定理、平行线的性质、等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握切线的判定与相似三角形的判定和性质是解题的关键．

27.【答案】(1)45；
(2)①30；
②证明：∵△ANF是等腰直角三角形，
∴AN=FN，
∵∠AMF=∠ANF=90°，∠APN=∠FPM，
∴∠NAP=∠NFE=30°，
在△ANP和△FNE中，
∠ANP=∠FNE=90°AN=FN∠NAP=∠NFE，
∴△ANP≌△FNE(ASA)；
(3)MP=2 3−3． 
【解析】(1)解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠C=∠BAD=90°，
由折叠的性质得：∠BAE=∠MAE，∠DAF=∠MAF，
∴∠MAE+∠MAF=∠BAE+∠DAF=12∠BAD=45°，
即∠EAF=45°，
故答案为：45；

(2)①解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，
由折叠的性质得：∠NFE=∠CFE，∠ENF=∠C=90°，∠AFD=∠AFM，
∴∠ANF=180°−90°=90°，
由(1)得：∠EAF=45°，
∴△ANF是等腰直角三角形，
∴∠AFN=45°，
∴∠AFD=∠AFM=45°+∠NFE，
∴2(45°+∠NFE)+∠CFE=180°，
∴∠NFE=∠CFE=30°，
故答案为：30；
②证明：∵△ANF是等腰直角三角形，
∴AN=FN，
∵∠AMF=∠ANF=90°，∠APN=∠FPM，
∴∠NAP=∠NFE=30°，
在△ANP和△FNE中，
∠ANP=∠FNE=90°AN=FN∠NAP=∠NFE，
∴△ANP≌△FNE(ASA)；
(3)由(1)得：△ANP≌△FNE，
∴AP=FE，PN=EN，
∵∠NFE=∠CFE=30°，∠ENF=∠C=90°，
∴∠NEF=∠CEF=60°，
∴∠AEB=60°，
∵∠B=90°，
∴∠BAE=30°，
∴BE= 33AB= 3，
∴AE=2BE=2 3，
设PN=EN=a，
∵∠ANP=90°，∠NAP=30°，
∴AN= 3PN= 3a，AP=2PN=2a，
∵AN+EN=AE，
∴ 3a+a=2 3，
解得：a=3− 3，
∴AP=2a=6−2 3，
由折叠的性质得：AM=AB=3，
∴MP=AM−AP=3−(6−2 3)=2 3−3．
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出∠EAF=45°是解题的关键，属于中考常考题型．

28.【答案】解：(1)将A(−1,0)、B(3,0)代入y=−13x2+bx+c，
∴−13−b+c=0−3+3b+c=0，
解得：b=23c=1，
∴y=−13x2+23x+1，
令x=0，则y=1，
∴C(0,1)，
∵点D是点C关于x轴的对称点，
∴D(0,−1)，
设直线BD的解析式为y=kx+m，
∴m=−13k+m=0，
解得：k=13m=−1，
∴y=13x−1；

(2)设直线BC的解析式为y=k′x+b′，
∴3k′+b′=0b′=1，
解得：k′=−13b′=1，
∴y=−13x+1，
过P点作PE//y轴交BC于点E，

设P(t,−13t2+23t+1)，则E(t,−13t+1)，
∴PE=−13t2+t，
∴S△BPC=12×3×(−13t2+t)=−12t2+32t=−12(t−32)2+98，
∴当t=32时，△BPC的面积最大值为98，
此时P点坐标为(32,54)；

(3)∵y=−13x2+23x+1=−13(x−1)2+43，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
作P点关于直线x=1的对称点P′，过P′作P′N⊥BD交对称轴于点M，连接P′D、P′B，

∴PM=P′M，
∴PM+MN=P′M+MN≥P′N，
当P′、M、N三点共线时，PM+MN的值最小，
∵P(32,54)，
∴P′(12,54)，
设直线DP′的解析式为y=sx+r，
∴r=−112s+r=54，
解得：s=92r=−1，
∴y=92x−1，
∴直线DP′与x轴的交点F(29,0)，
∴S△P′BD=12×BD×P′N=12×(1+54)×(3−29)，
解得：P′N=5 108，
∴PM+MN的最小值为5 108． 
【解析】(1)用待定系数法求函数的解析式即可；
(2)过P点作PE//y轴交BC于点E，设P(t,−13t2+23t+1)，则E(t,−13t+1)，则S△BPC=−12(t−32)2+98，当t=32时，△BPC的面积最大值为98，此时P点坐标为(32,54)；
(3)作P点关于直线x=1的对称点P′，过P′作P′N⊥BD交对称轴于点M，当P′、M、N三点共线时，PM+MN的值最小，利用等积法求出P′N即为所求．
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，轴对称求最短距离，垂线段最短，菱形的性质是解答本题的关键．