2023年甘肃省平凉市庄浪县中考数学一模试卷（含解析）

这是一份2023年甘肃省平凉市庄浪县中考数学一模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 在实数−3.5，−2，0，2中，最小的数是( )
A. −3.5B. −2C. 0D. 2
2. 下列计算正确的是( )
A. a2+a2=a4B. a3⋅a3=2a3C. a6÷a3=a3D. (−2a2)3=−6a6
3. 在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是( )
A. 感B. 动C. 中D. 国
4. 已知x=2y=1是方程组ax+by=5bx+ay=1的解，则a−b的值是( )
A. −1B. 2C. 3D. 4
5. 下面命题正确的是( )
A. 矩形对角线互相垂直
B. 方程x2=14x的解为x=14
C. 六边形内角和为540°
D. 一对直角三角形，有一组斜边和直角边对应相等，则这两个直角三角形全等
6. 如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD=2AD，DE//BC交AC于点E，若线段DE=4，则线段BC的长为( )
A. 7.5
B. 10
C. 12
D. 15
7. 把不等式组x+1>3−2x−6⩾−4中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为( )
A. B.
C. D.
8. 如图，在⊙O中，AB为弦，OD⊥AB于点D，∠BOD=53°，过点A作⊙O的切线，交OD的延长线于点C，则∠C=( )
A. 27°
B. 37°
C. 43°
D. 53°
9. 如图，这是一农村民居侧面截图，屋坡AF，AG分别架在墙体的点B，C处，且AB=AC，侧面四边形BDEC为矩形.若测得∠FBD=55°，则∠A=( )
A. 70°
B. 110°
C. 125°
D. 135°
10. 如图，正方形ABCD的边长为2cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向，都以1cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为xs，△APQ的面积为ycm2，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 计算 (−2)2的结果是______．
12. 分解因式：b3−b= ______ ．
13. 如图，将一块三角板的直角顶点放在直尺的一边上，当∠2=40°时，∠1=______
°.
14. 某公司10名职工的3月份工资统计如下，该公司10名职工3月份工资的中位数是______ 元.
15. 若关于x的一元二次方程x2+x−m=0有两个实数根，则m的取值范围是______．
16. 已知点(−2,y1)，(−1,y2)，(1,y3)都在反比例函数y=−m2x(m为常数，且m≠0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是______ ．
17. 如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2m，净高CD为5m，则圆拱形门所在圆的半径为______
m.
18. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=34，则线段AB的长为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）
19. 解方程：x(2x−5)=2x−5．
四、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. (本小题6.0分)
化简：x2−4x+4x+1÷(1−3x+1)．
21. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC．
(1)尺规作图：在BC边上求一点P，使得PA=PC.(保留作图痕迹，不写作法)
(2)求证：△ABC∽△PAC．
22. (本小题8.0分)
如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在其南偏西22°方向上，航行2小时后到达N处，观测到灯塔P在其南偏西44°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近的位置，求此时轮船离灯塔的距离(由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin44°≈0.6947，sin22°≈0.3746)．
23. (本小题10.0分)
为落实国家“双减”政策，某学校在课后服务活动中开设了A书法、B剪纸、C足球、D乒乓球这四门课程供学生选择，每门课程被选到的机会均等．
(1)小军选择的课程是篮球这一事件是______ ；
A.随机事件
B.必然事件
C.不可能事件
(2)若小军和小贤两位同学各计划选修自己喜欢的一门课程，请用列表法或画树状图法求他们两人恰好同时选修球类课程的概率．
24. (本小题8.0分)
为了解同学们每月零花钱的数额，校园小记者随机调查了本校部分同学，根据调查结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表．
调查结果统计表：
请根据以上图表，解答下列问题：
(1)这次被调查的同学共有______人，a+b=______，m%=______%；
(2)求扇形统计图中扇形C的圆心角的度数；
(3)若该校共有学生1000人，请估计每月零花钱的数额x在30≤x<90范围的人数．
25. (本小题10.0分)
如图，一次函数的图象y=kx+b与反比例函数y=ax的图象在第一象限交于点A(4,3)，与y轴的负半轴交于点B，且OA=OB．
(1)求一次函数y=kx+b与反比例函数y=ax的表达式；
(2)请直接写出不等式026. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E.过点D作DF⊥AC于点F．
(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为4，∠CDF=22.5°.求阴影部分的面积．
27. (本小题10.0分)
如图，在▱ABCD中，∠ACB=45°，AE⊥BC于点E，过点C作CF⊥AB于点F，交AE于点M，点N在边BC上，且AM=CN，连接DN，延长AD到点G，使DG=NC，连接CG．
(1)求证：AB=CM；
(2)试判断△ACG的形状，并说明理由．
(3)若AD=3 2，AM= 2，则DN= ______ ．
28. (本小题12.0分)
如图，过点A(5,154)的抛物线y=ax2+bx的对称轴是直线x=2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点，设点P在直线OA下方且在抛物线y=ax2+bx上，过点P作y轴的平行线交OA于点Q．

(1)求a、b的值；
(2)求PQ的最大值；
(3)当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据有理数比较大小的方法，可得
−3.5<−2<0<2，
∴各数中最小的数是−3.5．
故选：A．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】C
【解析】解：A、∵a2+a2=2a2，∴a2+a2=a4错误，不符合题意；
B、∵a3⋅a3=a3+3=a6，∴a3⋅a3=2a3错误，不符合题意；
C、∵a6÷a3=a6−3=a3，∴a6÷a3=a3正确，符合题意；
D、∵(−2a2)3=−8a6，∴(−2a2)3=−6a6错误，不符合题意．
故选：C．
根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，整式的加减运算法则，积的乘方的运算法则对每项判断即可得到正确选项．
本题考查了同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，整式的加减运算法则，积的乘方的运算法则，掌握同底数幂的乘运算法则和同底数幂的除法运算法则是解题的关键．
3.【答案】C
【解析】解：A、B，D选项中的汉字都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的汉字能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
故选：C．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
4.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的解，能使方程组中每个方程的左右两边相等的未知数的值即是方程组的解．解题的关键是要知道两个方程组之间解的关系．先将x=2y=1代入方程组，得到关于a，b的方程组，两方程相减即可得出答案．
【解答】
解：∵x=2y=1是方程组ax+by=5bx+ay=1的解，
∴2a+b=52b+a=1，
两个方程相减，得a−b=4．
5.【答案】D
【解析】解：A选项，矩形的对角线相互平分，不是相互垂直，故A选项错误，不符合题意；
B选项，方程x2=14x的解为x1=0，x2=14，故B选项错误，不符合题意；
C选项，六边形内角和为180°×(6−2)=720°，故C选项错误，不符合题意；
D选项，直角三角形全等的判定方法是“斜边直角边”，故D选项正确，符合题意；
故选：D．
根据矩形的性质，配方法解一元二次方程的方法，多边形内角和定理，直角三角形全等的判定即可求解．
本题主要考查相关知识的综合，掌握矩形的性质，配方法解一元二次方程的方法，多边形内角和定理，直角三角形全等的判定是解题的关键．
6.【答案】C
【解析】解：∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ADAB=DEBC，
∵BD=2AD，
∴ADAB=13，
∵DE=4，
∴4BC=13，
∴BC=12．
故选：C．
由DE//BC，可证得△ADE∽△ABC，然后由相似三角形的对应边成比例求得答案．
此题考查了相似三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
7.【答案】B
【解析】解：x+1>3−2x−6⩾−4
解不等式①得：x⩾2，
解不等式②得：x<−1，
将两不等式解集表示在数轴上如下：
故选：B．
先求出不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定不等式组的解集．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．
8.【答案】B
【解析】解：连接OA，
∵OD⊥AB于D，OA=OB，
∴∠AOC=∠BOD=53°，
∵AC是⊙O的切线，
∴∠OAC=90°，
∴∠C=90°−53°=37°，
故选：B．
连接OA，根据等腰三角形的性质得到∠AOC=∠BOD=53°，由切线的性质得到∠OAC=90°，于是得到结论．
本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】解：∵四边形BDEC为矩形，
∴∠CBD=90°，
∴∠ABC=180°−∠FBD−∠CBD=180°−55°−90°=35°，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=35°，
∴∠A=180°−2∠ABC=180°−3×35°=110°．
故选：B．
先根据平角的定义求出∠ABC的度数，再用三角形内角和定理可求得．
本题考查了矩形的性质，掌握这些定理和性质是解题的关键．
10.【答案】A
【解析】
【分析】
根据题意结合图形，分情况讨论：①0≤x≤2时，根据S△APQ=12AQ⋅AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；②2≤x≤4时，根据S△APQ=S正方形ABCD−S△CP′Q′−S△ABQ′−S△AP′D列出函数关系式，从而得到函数图象，再结合四个选项即可得解．
本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键．
【解答】
解：①当0≤x≤2时，
∵正方形的边长为2cm，
∴y=S△APQ=12AQ⋅AP=12x2；
②当2≤x≤4时，
y=S△AP′Q′
=S正方形ABCD−S△CP′Q′−S△ABQ′−S△AP′D，
=2×2−12(4−x)2−12×2×(x−2)−12×2×(x−2)
=−12x2+2x
所以，y与x之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，第一段图象开口向上，第二段开口向下，只有A选项图象符合．
故选：A．
11.【答案】2
【解析】解：法一、 (−2)2
=|−2|
=2；
法二、 (−2)2
= 4 4
=2．
故答案为：2．
利用二次根式的性质计算即可．
本题考查了二次根式的性质，掌握“ a2=|a|”是解决本题的关键．
12.【答案】b(b−1)(b+1)
【解析】解：b3−b
=b(b2−1)
=b(b−1)(b+1)，
故答案为：b(b−1)(b+1)．
先提取公因式，再用公式法因式分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
13.【答案】50
【解析】解：由题意可得，
直尺的上下两边平行，
故∠2=∠3，
∵∠2=40°，
∴∠3=40°，
∵∠3+∠1=90°，
∴∠1=50°，
故答案为：50．
根据平行线的性质和直角三角形的性质，可以得到∠1的度数，本题得以解决．
本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
14.【答案】5400
【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5000，5200，5200，5200，5400，5400，5400，5400，5600，5600，
则中位数为：5400+54002=5400．
故答案为：5400．
根据中位数的概念求解．
本题考查了中位数的知识，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
15.【答案】m≥−14
【解析】解：∵关于x的一元二次方程x2+x−m=0有两个实数根，
∴△≥0，
∴△=1−4(−m)≥0，即m≥−14，
故答案为：m≥−14．
根据一元二次方程x2+x−m=0有两个实数根得到△≥0，即△=1−4(−m)≥0，求出m的取值范围即可．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．
16.【答案】y3【解析】解：∵比例函数y=−m2x(m为常数，且m≠0)中，k=−m2<0，
∴图象在第二、四象限，
当x<0时，图象在第二象限，函数值大于零，函数值随自变量的增大而增大，
∴在点(−2,y1)，(−1,y2)中，0当x>0时，图象在第四象限，函数值小于零，函数值随自变量的增大而增大，
∴在点(−1,y2)，(1,y3)中，y2=m2>0，y3=−m2<0，
综上所述，y3<0∴y3故答案为：y3根据比例函数y=−m2x(m为常数，且m≠0)中，k=−m2<0，图象在第二、四象限，根据图象所在象限的特点即可求解．
本题主要考查反比例函数图象，掌握反比例函数图象的位置，增减性是解题的关键．
17.【答案】2.6
【解析】解：连接OA；
Rt△OAD中，AD=12AB=1米；
设⊙O的半径为R，则OA=OC=R，OD=5−R；
由勾股定理，得：OA2=AD2+OD2，即：
R2=(5−R)2+12，解得R=2.6(米)；
故答案为：2.6．
连接OA，由垂径定理易得出AD的长度，在Rt△OAD中，可用半径表示出OD的长，根据勾股定理即可求出半径的长度．
此题主要考查的是垂径定理及勾股定理的应用．解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2=d2+(a2)2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．
18.【答案】5
【解析】解：∵四边形ABCD为菱形，BD=8，
∴BO=OD=12BD=4，AC⊥BD，
∴∠AOB=90°，
∵tan∠ABD=OAOB=34，
∴OA=34OB=3，
在Rt△ABC中，AO=3，OB=4，
∴AB= OA2+OB2= 32+42=5，
故答案为：5．
由菱形的性质得BO=OD=12BD=4，AC⊥BD，再由锐角三角函数定义求出OA=34OB=3，然后由勾股定理求出AB的长即可．
本题考查了菱形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质和勾股定理是解题的关键．
19.【答案】解：∵x(2x−5)−(2x−5)=0，
∴(2x−5)(x−1)=0，
∴2x−5=0或x−1=0，
∴x1=52，x2=1．
【解析】先移项得到x(2x−5)−(2x−5)=0，再利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程--因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
20.【答案】解：原式=(x−2)2x+1÷x+1−3x+1
=(x−2)2x+1⋅x+1x−2
=x−2．
【解析】根据分式的混合运算进行化简即可．
本题考查了分式的化简，掌握分式的运算顺序和约分是关键．
21.【答案】(1)解：如图．点P为所求作的点，

(2)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵PA=PC，
∴∠C=∠PAC，
∴∠PAC=∠B．
又∵∠C=∠C，
∴△PAC∽△ABC．
【解析】(1)作线段AC的垂直平分线交边BC即可；
(2)先证∠B=∠C，∠C=∠PAC，得∠PAC=∠B，利用两角分别相等的两个三角形全等即可得证．
本题考查了尺规作线段的垂直平分线以及相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
22.【答案】解：如图，过点P作PA⊥MN于点A，即该船继续向南航行至离灯塔最近的位置为点A处，MN=30×2=60(海里)，

∵∠PMA=22°，∠PNA=44°，∠PNA=∠PMA+∠MPN，
∴∠MPN=∠PNA−∠PMA=44°−22°=22°，
∴∠PMN=∠MPN，
∴△MPN是等腰三角形，即MN=PN=60海里，
∵∠PNA=44°，
∴PA=PNsin∠PNA≈60×0.6947≈41.682(海里)．
答：此时轮船离灯塔的距离41.682海里．
【解析】如图所示，过点P作PA⊥MN于点A，即该船继续向南航行至离灯塔最近的位置为点A处，根据题意可算出MN的距离，△MPN是等腰三角形，在Rt△APN中根据三角函数的计算即可求解．
本题主要考查三角函数的应用，掌握方位角的知识，三角函数的计算方法是解题的关键．
23.【答案】C
【解析】解：(1)∵学校在课后服务活动中没有开设篮球这门课程，
∴小军选择的课程是篮球这一事件是不可能事件，
故选：C；
(2)画树状图如下：

共有16种等可能的结果，其中小军和小贤两位同学恰好同时选修球类课程的结果有4种，
∴小军和小贤两人恰好同时选修球类课程的概率是416=14．
(1)由不可能事件的概念即可得出结论；
(2)画树状图，共有16种等可能的结果数，其中小军和小贤两位同学恰好同时选修球类的有4种，再由概率公式求解即可．
本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
24.【答案】解：(1)50；28；8；
(2)D组的人数有50×16%=8(人)，
则C组的人数有28−8=20(人)，
扇形统计图中扇形C的圆心角度数是360°×2050=144°；
(3)每月零花钱的数额x在30≤x<90范围的人数是1000×16+2050=720(人)．
【解析】
【分析】
本题考查了扇形统计图，观察统计表、扇形统计图获得有效信息是解题关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
(1)根据B组的频数是16，对应的百分比是32%，据此求得调查的总人数，用总人数减去A、B、E组的人数，求出a+b的值，用A组的人数除以总人数求出m的值；
(2)用360°乘以C组所占的百分比即可得出答案；
(3)利用总人数1000乘以数额x在30≤x<90范围的人数所占的百分比，即可得出答案．
【解答】
(1)调查的总人数是16÷32%=50(人)，
则a+b=50−4−16−2=28(人)，
m%=450×100%=8%，
则m=8，
故答案为：50；28；8；
(2)见答案；
(3)见答案
25.【答案】解：(1)∵点A(4,3)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=4×3=12，
∴反比例函数解析式为y=12x；
∵OA= 42+32=5，OA=OB，点B在y轴负半轴上，
∴点B(0,−5)．
把点A(4,3)、B(0,−5)代入y=kx+b中，
得4k+b=3b=−5，
解得：k=2b=−5，
∴一次函数的解析式为y=2x−5；
(2)令y=2x−5中y=0，则x=52，
∴D(52,0)，
由图象可知，不等式0【解析】(1)由点A的坐标利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出a值，从而得出反比例函数解析式；由勾股定理得出OA的长度从而得出点B的坐标，由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；
(2)观察第一象限双曲线在直线下方的部分自变量的范围即可．
本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式、函数与不等式的关系，数形结合是解题的关键．
26.【答案】(1)证明：连接AD，连接OD；
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC．
又AB=AC，D是BC的中点，
∴BD=DC．
∵BO=OA，
∴DO//AC，
又DF⊥AC，
∴DF⊥OD．
∵OD是半径，
∴DF是⊙O的切线；
(2)解：∵DF⊥AC，∠CDF=22.5°，
∴∠ABC=∠ACB=67.5°，
∴∠BAC=45°，
∵OB=OD，
∴∠BOD=45°，
过点B作BM⊥OD于M，

∴∠BOD=∠OBM=45°，
∴BM=OM，
∵OB=OD=4，
∴BM=2 2，
∴阴影部分的面积=12×4×2 2=4 2．
【解析】(1)连接AD、OD，则AD⊥BC，D为BC中点．OD为中位线，则OD//AC，根据DF⊥AC可得OD⊥DF.得证；
(2)连接OE，利用(1)的结论得∠ABC=∠ACB=67.5°，易得∠BAC=45°，过点B作BM⊥OD于M，利用勾股定理得到BM的长，利用三角形的面积公式得出结论．
本题考查切线的判定、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，学会用分割法求阴影部分面积，属于中考常考题型．
27.【答案】4
【解析】(1)证明：∵AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，
∴∠AEB=∠CEM=∠CFB=90°，
∴∠BAE=∠MCE=90°−∠B，
∵∠AEC=90°，∠ACB=45°，
∴∠EAC=∠ECA=45°，
∴AE=CE，
在△ABE和△CME中，
∠AEB=∠CEMAE=CE∠BAE=∠MCE，
∴△ABE≌△CME(ASA)，
∴AB=CM．
(2)△ACG是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，∠B=∠ADC，
∴∠MCD=∠CFB=90°，
∵△ABE≌△CME，
∴AB=CM，∠B=∠CME，
∴CM=CD，∠CME=∠ADC，
∵∠AMC+∠CME=180°，∠GDC+∠ADC=180°，
∴∠AMC=∠GDC，
∵AM=CN，GD=CN，
∴AM=GD，
在△ACM和△GCD中，
AM=GD∠AMC=∠GDCCM=CD，
∴△ACM≌△GCD(SAS)，
∴AC=GC，∠ACM=∠GCD，
∴∠ACG=∠ACD+∠GCD=∠ACD+∠ACM=∠MCD=90°，
∴△ACG是等腰直角三角形．
(3)解：∵AD=3 2，AM=GD= 2，
∴AG=AD+GD=3 2+ 2=4 2，
∵AC=GC，∠ACG=90°，
∴AC2+GC2=2GC2=AG2=(4 2)2，
∴GC=4，
∵DG=NC，DG//NC，
∴四边形CGDN是平行四边形，
∴DN=GC=4，
故答案为：4．
(1)由AE⊥BC于点E，CF⊥AB于点F，得∠AEB=∠CEM=∠CFB=90°，则∠BAE=∠MCE=90°−∠B，由∠EAC=∠ECA=45°，得AE=CE，即要根据全等三角形的判定定理“ASA”证明△ABE≌△CME，得AB=CM；
(2)由平行四边形的性质得AB=CD，AD//BC，∠B=∠ADC，由△ABE≌△CME，得AB=CM，∠B=∠CME，则CM=CD，∠CME=∠ADC，所以∠AMC=∠GDC，而AM=GD=CN，即可证明△ACM≌△GCD，得AC=GC，∠ACM=∠GCD，则∠ACG=∠MCD=90°，所以△ACG是等腰直角三角形；
(3)由AD=3 2，AM=GD= 2，得AG=AD+GD=4 2，由勾股定理得AC2+GC2=2GC2=AG2=(4 2)2，则GC=4，再证明四边形CGDN是平行四边形，则DN=GC=4．
此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的判定、勾股定理等知识，证明△ABE≌△CME及△ACM≌△GCD是解题的关键．
28.【答案】解：(1)∵过点A(5,154)的抛物线y=ax2+bx的对称轴是直线x=2，
∴−b2a=225a+5b=154，解得a=34b=−3，
故a=34,b=−3．
(2)设直线y=kx过点A(5,154)，可得直线y=34x．
由(1)可得抛物线y=34x2−3x，
设P(x,34x2−3x)，则Q(x,34x)，
∴PQ=34x−(34x2−3x)=−34x2+154x=−34(x−52)2+7516，
∴当x=52时，PQ最大，最大值为7516．
(3)设点C的坐标是(0,m).由(1)可得抛物线y=34x2−3x，
∴抛物线的顶点D的坐标是(2,−3)，点B的坐标是(4,0)．
则BC2=m2+42，CD2=(m+3)2+22，BD= 22+32= 13，
①当∠CBD=90°时，有BC2+BD2=CD2．
∴m2+42+( 13)2=(m+3)2+22，解得m=83，
∴S△OBC=12×4×83=163．
②当∠CDB=90°时，有CD2+BD2=BC2．
∴(m+3)2+22+( 13)2=m2+42，解得m=−53，
∴S△OBC=12×4×53=103．
③当∠BCD=90°时，有CD2+BC2=BD2．
∴(m+3)2+22+m2+42=( 13)2，此方程无解．
综上所述，当△BDC为直角三角形时，△OBC的面积是163或103．
【解析】(1)用待定系数法即可求得；
(2)求出直线OA的解析式，设P(x,34x2−3x)，则Q(x,34x)，则可得PQ关于x的二次函数，即可求得PQ的最大值；
(3)设D点的坐标为(0,m)，求出BD，CD，BC，分三种情况考虑，利用勾股定理建立方程求出m的值，即可求得△OBC的面积．
本题是二次函数与几何的综合题，考查了二次函数的图象与性质，勾股定理，涉及分类讨论的思想，综合运用这些知识是解题的关键．
工资/元
5000
5200
5400
5600
人数/人
1
3
4
2
组别
分组(单位：元)
人数
A
0≤x<30
4
B
30≤x<60
16
C
60≤x<90
a
D
90≤x<120
b
E
x≥120
2