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浙江省浙大附中丁兰校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷
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这是一份浙江省浙大附中丁兰校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
浙江省浙大附中丁兰校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷
一、单选题(共8题；共40分)
1．（5分）若集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B=（ ）
A．{1，2，3} B．{1，2，3，4}
C．{2，3，4} D．{2，3}
2．（5分）(x−2)(x+2)>0的一个充分不必要条件是（ ）
A．x≤0 B．x≥0
C．x≥3 D．x>2或x<−2
3．（5分）在△ABC中，点D满足BC=2CD，则AD=（ ）
A．32AC−12AB B．12AC+12AB
C．32AC+12AB D．12AC−32AB
4．（5分）已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
5．（5分）在直角坐标系中，若角α的终边绕原点O逆时针旋转π3得到角θ.已知角θ的终边经过P(−35，45)，则cosα=（ ）
A．43+310 B．43−310 C．4−3310 D．4+3310
6．（5分）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．402海里 B．403海里 C．803海里 D．802海里
7．（5分）函数f(x)=asinx+3cosx，将f(x)图像向右平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图像，若g(x)的图像关于直线x=π6对称，则a的值为（ ）
A．-1 B．±1 C．-2 D．±2
8．（5分）已知f(x)=4x1+x2，x≥0−4x，x<0，若f(x)=t有三个不同的解x1，x2，x3，且x1
二、多选题(共4题；共20分)
9．（5分）已知平面向量a=(1，λ)，b=(−2，1)，则下列说法正确的是（ ）
A．若λ=0，则|a+b|=2
B．若a//b，则λ=−12
C．若a与b的夹角为锐角，则λ<2
D．若λ=−1，则a在b上的投影向量为−35b
10．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（ ）
A．若a2+b2
C．若acosA=bcosB中，则△ABC为等腰三角形
D．若△ABC为锐角三角形，则sinA>sinB
11．（5分）在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60∘，则下列说法正确的是（ ）
A．AE⋅AF=332
B．AF在AE上的投影向量是34AE
C．AC=34AE+12AF
D．|AC|=7
12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ABC=π3，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=3，则下列说法正确的是（ ）
A．ac的最小值是2 B．a+2c的最小值是3+22
C．b的最小值是4 D．1a2+1c2的最小值是12
三、填空题(共4题；共20分)
13．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+1gV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为 ．（精确到0.1）（参考数据：1010≈1.259）
14．（5分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图所示，则f(π6)= .
15．（5分）设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+2)=2f(x)，且当x∈(0，2]时，f(x)=x(x−2)，若对任意x∈(−∞，m]，都有f(x)≥−32，则m的取值范围是 .
16．（5分）已知奇函数f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π2)在(0，2π)上有2个最值点和1个零点，则ω的范围是 .
四、解答题(共6题；共70分)
17．（10分）已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a，b的夹角为π3.
（1）（5分）若(a−b)⊥(a+λb)，求实数λ的值；
（2）（5分）求a与2a−b的夹角.
18．（12分）在①asinB−3bcosA=0；②(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC；③2cosA(ccosB+bcosC)=a这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.问题：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足____.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
（1）（6分）求A；
（2）（6分）若a=3，且sinC=2sinB，求△ABC的面积.
19．（12分）设函数f(x)=2ax−2a−x（a>0且a≠1）.
（1）（6分）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（6分）若f(1)=3，函数g(x)=a2x+a−2x−2f(x)，x∈[0，3]，求g(x)的最小值.
20．（12分）已知函数f(x)=3sinωxcosωx−cos2ωx(ω>0)的图象相邻对称中心之间的距离为π2.
（1）（6分）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）（6分）若函数g(x)=f(x)−b，且g(x)在[0，π2]上有两个零点，求b的取值范围.
21．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知acosC+3asinC−b−c=0.
（1）（6分）求A；
（2）（6分）若△ABC是锐角三角形，c=3，求△ABC周长的取值范围.
22．（12分）如图.某小区有一块空地△ABC，其中AB=5米，AC=5米，AB⊥AC，小区物业拟在中间挖个小池塘△AEF，E、F在边BC上（E、F不与B、C重合，且E在B、F之间），且∠EAF=π4，设∠EAB=θ.
（1）（6分）若θ=π6，求EF的值；
（2）（6分）为节省投入资金，小池塘△AEF的面积需要尽可能的小，试确定θ的值，使得△AEF的面积取最小值，并求出△AEF面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B={2，3}.
故答案为：D
【分析】利用交集的运算可得答案.
2．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解不等式(x−2)(x+2)>0可得x<−2或x>2，
因为{x|x≥3}{x|x<−2或x>2}，
故只有C选项中的条件才是“(x−2)(x+2)>0”的充分不必要条件.
故答案为：C.
【分析】 利用充分条件必要条件与集合的关系求解，可得答案.
3．【答案】A
【知识点】向量的三角形法则
【解析】【解答】在△ABC中，点D满足BC=2CD，
则AD=AC+CD=AC+12BC=AC+12(AC−AB)=32AC−12AB.
故答案为：A
【分析】根据向量加法、减法的三角形法则，可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长l=20−2r，0
所以所求圆心角的弧度为lr=2.
故答案为：B
【分析】设扇形所在圆的半径为r，结合已知，用r表示出扇形面积，再利用二次函数的性质求解可得 圆心角的弧度 .
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】依题意，r=|OP|=(−35)2+(45)2=1，因此sinθ=45，cosθ=−35，
又角α的终边绕原点O逆时针旋转π3得到角θ，则α=θ−π3，
所以cosα=cos(θ−π3)=cosθcosπ3+sinθsinπ3=−35×12+45×32=43−310.
故答案为：B
【分析】根据三角函数的定义可得sinθ，cosθ，又角α的终边绕原点O逆时针旋转π3得到角θ，则α=θ−π3，再利用两角差的余弦公式可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】由题设可得如下示意图，且∠SAB=40°，∠SAC=70°，即∠BAC=30°，
由图知：∠ABC=105°，则∠C=45°，又AB=80，
所以BCsin30°=ABsin45°，则BC=402海里.
故答案为：A
【分析】 由题意作出示意图，利用正弦定理求出B ， C两点间的距离即可.
7．【答案】A
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】依题意g(x)=f(x−π3)=asin(x−π3)+3cos(x−π3) ，
因为函数g(x)的图像关于直线x=π6对称，
所以g(π6−x)=g(π6+x)，
取x=π6可得，g(0)=g(π3)，
所以asin(−π3)+3cos(−π3)=asin0+3cos0，
所以a×(−32)+3×12=a×0+3×1，
解得a=−1，
当a=−1时，g(x)=−sin(x−π3)+3cos(x−π3)=−2[sin(x−π3)×12−cos(x−π3)×32]，
所以g(x)=−2sin(x−2π3)，
其对称轴方程为x−2π3=kπ+π2，即x=kπ+7π6，
取k=−1可得x=π6，即x=π6为函数g(x)的对称轴，
所以a=−1；
故答案为：A.
【分析】 根据函数图象的平移法则，可得g (x)的解析式，原条件等价于g(π6−x)=g(π6+x)，再利用正弦函数的对称性，可求解出a的值 .
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】当x<0时，f(x)=−4x在(−∞，0)上单调递增，函数f(x)的取值集合为(0，+∞)，
当x≥0时，f(x)=4x1+x2，f(0)=0，当x>0时，f(x)=41x+x，令y=1x+x，x>0，
显然函数y=1x+x在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
f(1)=2，于是当x≥0时，函数f(x)的取值集合为[0，2]，且当x>1时，恒有f(x)>0，
由f(x)=t有三个不同的解x1，x2，x3，且x1
因此−1x1+1x2+1x3=−1x1+x2+x3x2x3=t4+4t=14(t+16t)，由对勾函数知函数g(t)=14(t+16t)在(0，2)上单调递减，
即有g(t)>g(2)=52，所以−1x1+1x2+1x3的取值范围是(52，+∞).
故答案为：D
【分析】 讨论函数f(x)的性质，求出t的取值范围，再结合方程解的意义把 −1x1+1x2+1x3表示成t的函数，求出函数的值域，可得 −1x1+1x2+1x3的取值范围 .
9．【答案】B,D
【知识点】向量的模；平行向量与共线向量；数量积表示两个向量的夹角；向量的投影
【解析】【解答】平面向量a=(1，λ)，b=(−2，1)，
对于A，当λ=0时，a+b=(−1，1)，因此|a+b|=(−1)2+12=2，A不符合题意；
对于B，a//b，则有−2λ=1，解得λ=−12，B符合题意；
对于C，a与b的夹角为锐角，则a⋅b>0且a与b不共线，当a⋅b>0时，1×(−2)+λ×1>0，
解得λ>2，由B选项知，当λ≠−12时，a与b不共线，因此λ>2，C不符合题意；
对于D，当λ=−1时，a⋅b=−3，而|b|=(−2)2+12=5，
因此a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−35b，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算以及投影向量的运算，逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】A,B
【知识点】正弦函数的单调性；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】对于A选项，因为a2+b2
对于C选项，因为acosA=bcosB，即a(b2+c2−a2)2bc=b(a2+c2−b2)2ac，
整理可得(a2−b2)(a2+b2−c2)=0，所以，a=b或a2+b2=c2，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形，C不符合题意；
对于D选项，若△ABC为锐角三角形，则A、B均为锐角，
正弦函数y=sinx在(0，π2)上单调递增，但A、B的大小关系不确定，故sinA、sinB大小关系不确定，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】 利用余弦定理可判断A；利用正弦定理可判断B；利用余弦定理判断△ABC的形状，可判断C；利用正弦函数的单调性可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算；向量的投影
【解析】【解答】对于A选项，由平面向量数量积的定义可得AE⋅AF=|AE|⋅|AF|cos60∘=2×3×12=3，A不符合题意；
对于B选项，AF在AE上的投影向量|AF|cos60∘⋅AE|AE|=3×12×12AE=34AE，B对；
对于C选项，因为BE=2EC，即AE−AB=2AC−2AE，可得3AE=AB+2AC，①
又因为CF=FD，即AF−AC=AD−AF，
可得2AF=AC+AD=AC+(AC−AB)=2AC−AB，②
又①②可得4AC=3AE+2AF，故AC=34AE+12AF，C对；
对于D选项，由4AC=3AE+2AF可得16|AC|2=(3AE+2AF)2=9AE2+4AF2+12AE⋅AF
=9×22+4×32+12×3=108，故|AC|=332，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用平面向量数量积的定义可判断A；利用投影向量的定义可判断B；利用平面向量的线性运算可判断C；利用平面向量数量积的运算性质可判断D.
12．【答案】B,D
【知识点】基本不等式；余弦定理
【解析】【解答】在△ABC中，∠ABC=π3，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=3，
由S△ABD+S△CBD=S△ABC，得12c⋅BDsinπ6+12a⋅BDsinπ6=12acsinπ3，即32c+32a=32ac，
整理得a+c=ac，即1a+1c=1，a>0，c>0，
对于A，ac=a+c≥2ac，于是ac≥4，当且仅当a=c=2时取等号，A不符合题意；
对于B，a+2c=(a+2c)(1a+1c)=3+2ca+ac≥3+22ca⋅ac=3+22，
当且仅当2ca=ac，即a=2c=2+1时取等号，B符合题意；
对于C，由余弦定理得：b=a2+c2−2accosπ3=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac≥2，
当且仅当a=c=2时取等号，C不符合题意；
对于D，1a2+1c2=(1a+1c)2−2ac=1−2ac，由A知，0<1ac≤14，因此1−2ac≥12，
所以1a2+1c2的最小值是12，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式建立a，c的关系，再利用均值不等式逐项进行计算、判断，可得答案.
13．【答案】0.8
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】在L=5+1gV中，当L=4.9时，lgV=−0.1，则V=10−0.1=11010≈11.259≈0.8，
所以视力的小数记录法的数据为0.8.
故答案为：0.8
【分析】根据给定条件，把L=4.9代入进行计算，可求出答案.
14．【答案】−32
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】观察图象知，A=3，函数f(x)的最小正周期T=4(7π12−π3)=π，则ω=2πT=2，
由f(π3)=−3得：2×π3+φ=2kπ+3π2，k∈Z，即φ=2kπ+5π6，k∈Z，而0<φ<π，则k=0，φ=5π6，
因此f(x)=3sin(2x+5π6)，所以f(π6)=3sin7π6=−32.
故答案为：−32
【分析】观察图象知，A=3，由T=4(7π12−π3)=π，求出ω，由f(π3)=−3得φ=2kπ+5π6，k∈Z，可得φ的值，进而求出f(x)的解析式，可得 f(π6)的值.
15．【答案】(−∞，52]
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为f(x+2)=2f(x)，
所以f(x)=2f(x−2)，
因为x∈(0，2]时，f(x)=x(x−2)，
当x∈(−2k，−2k+2]，k∈N∗时，x+2k∈(0，2]，
f(x)=12f(x+2)=122f(x+4)=⋅⋅⋅=12kf(x+2k)=12k(x+2k)(x+2k−2)∈[−12k，0]；
观察图象可得，当x∈(−2k，−2k+2]，k∈N∗时，不存在x，f(x)=−32，
当x∈(0，2]时，f(x)=x(x−2)∈[−1，0]，
观察图象可得，不存在x∈(0，2]，满足f(x)=−32，
所以x∈(2k，2k+2]，k∈N∗时，
x−2k∈(0，2]，
f(x)=2f(x−2)=4f(x−4)=⋅⋅⋅=2kf(x−2k)=2k(x−2k)(x−2k−2)∈[−2k，0]；
当k=1时，即x∈(2，4]时，f(x)=2f(x−2)=2(x−2)(x−4)∈[−2，0]，
令2(x−2)(x−4)=−32，可得x=52或x=72，
观察图象可得，若对任意x∈(−∞，m]，都有f(x)≥−32，则m≤52．
所以m的取值范围是(−∞，52]
故答案为(−∞，52]．
【分析】 由f(x+2)=2f(x)，得f(x)=2f(x−2)，分段求解析式，结合图象可得m的取值范围.
16．【答案】(34，1]
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】函数f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π4)，
因为该函数为奇函数，故φ−π4=kπ，k∈Z，∴φ=π4+kπ，k∈Z，
又|ϕ|<π2，所以φ=π4，即f(x)=2sinωx，
因为f(x)在(0，2π)上有2个最值点和1个零点，
故ωx∈(0，2ωπ)，3π2<2ωπ≤2π，∴34<ω≤1，
即ω的范围是(34，1]，
故答案为：(34，1]
【分析】利用辅助角公式化简并结合函数奇偶性求得φ，确定函数解析式，再根据函数的最值和零点情况，列出不等式，即可求得答案.
17．【答案】（1）解：因为(a−b)⊥(a+λb)，所以(a−b)⋅(a+λb)=0，
即|a|2−λ|b|2+(λ−1)a⋅b=0，
也即|a|2−λ|b|2+(λ−1)|a|⋅|b|cosπ3=0，
所以1−4λ+λ−1=0，解得λ=0.
（2）解：a⋅(2a−b)=2a2−a⋅b=2|a|2−|a|⋅|b|cosπ3=1，
|2a−b|=(2a−b)2=4a2+b2−4a⋅b=4|a|2+|b|2−4|a|⋅|b|cosπ3=2，
所以cos=a⋅(2a−b)|a|⋅|2a−b|=12，
所以=π3.
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】 (1)根据向量的垂直的数量积表示即可求解出实数λ的值；
(2)利用向量的数量积运算律和夹角公式求解出 a与2a−b的夹角.
18．【答案】（1）解：选择①，asinB−3bcosA=0，
由正弦定理，得sinAsinB−3sinBcosA=0，
而B∈(0，π)，∴sinB≠0，故sinA−3cosA=0，∴tanA=3，
A∈(0，π)，∴A=π3.
选择②，(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC，
由正弦定理，得(b−c)2=a2−bc，整理得b2+c2−a2=bc，
又cosA=b2+c2−a22bc=12， 而A∈(0，π)，∴A=π3.
选择③，2cosA(ccosB+bcosC)=a，
由正弦定理，得2cosA(sinCcosB+cosCsinB)=sinA，
即2cosAsin(B+C)=sinA，即2cosAsinA=sinA，
又A∈(0，π)，∴sinA≠0，
所以cosA=12，故A=π3.
（2）解：由若a=3，且sinC=2sinB，可得c=2b，
故cosA=b2+c2−a22bc，即12=5b2−34b2，∴b=1，c=2，
故S△ABC=12bcsinA=12×1×2×32=32.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)选择①，由正弦定理边化角可得 sinA−3cosA=0，求得 A的值； 选择②，由正弦定理边化角，再结合余弦定理求得A的值；选择③，由正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求得A的值；
(2)利用正弦定理角化边，结合余弦定理即可求得b，c，利用三角形面积公式即可得 △ABC的面积.
19．【答案】（1）解：函数f(x)=2ax−2a−x的定义域为R，
当0
当a>1时，函数y=a−x在R上单调递减，则函数y=−2a−x在R上单调递增，
而函数y=2ax在R上单调递增，因此函数f(x)=2ax−2a−x在R上单调递增，
所以，当01时，函数f(x)在R上单调递增.
（2）解：由f(1)=3得：a−1a=32，又a>0且a≠1，解得a=2，
令t=2x−2−x，x∈[0，3]，由（1）知t=2x−2−x在[0，3]上单调递增，有t∈[0，638]，
g(x)=22x+2−2x−4(2x−2−x)=(2x−2−x)2−4(2x−2−x)+2=t2−4t+2=(t−2)2−2，
因此，当t=2，即2x=1+2⇔x=log2(1+2)时，g(x)min=−2，
所以当x=log2(1+2)时，函数g(x)取得最小值−2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)按01结合指数函数的性质，分类讨论函数f (x)的单调性；
(2)由f(1)=3求出a值，利用配方法、换元法结合二次函数性质求解出 g(x)的最小值.
20．【答案】（1）解：因为f(x)=3sinωxcosωx−cos2ωx=32sin2ωx−1+cos2ωx2
=32sin2ωx−12cos2ωx−12=sin(2ωx−π6)−12，
因为函数图象相邻对称中心之间的距离为π2，故函数f(x)的最小正周期为π，
因为ω>0，则2ω=2ππ=2，则ω=1，故f(x)=sin(2x−π6)−12.
由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)可得kπ−π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)，
因此，函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π6，kπ+π3](k∈Z).
（2）解：因为g(x)=f(x)−b=sin(2x−π6)−b−12，
当0≤x≤π2时，−π6≤2x−π6≤5π6，
由−π6≤2x−π6≤π2可得0≤x≤π3，所以，函数g(x)在[0，π3]上单调递增，
由π2≤2x−π6≤5π6可得π3≤x≤π2，所以，函数g(x)在[π3，π2]上单调递减，
因为g(x)max=g(π3)=sinπ2−b−12=12−b，g(0)=sin(−π6)−b−12=−b−1，
g(π2)=sin(π−π6)−b−12=−b，
要使得函数g(x)在[0，π2]上有两个零点，则g(π3)=12−b>0g(π2)=−b≤0，解得0≤b<12，
因此，实数b的取值范围是[0，12).
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换可得 fx=sin(2ωx−π6)−12，再由周期公式可求出ω的值，再利用正弦函数的单调性可求出函数f(x)的单调递增区间；
（2）g(x)=f(x)−b=sin(2x−π6)−b−12， 利用正弦函数的单调性可得g(0)=−b−1，g(π2)=−b，由已知条件得 g(π3)=12−b>0g(π2)=−b≤0 ，求解可得实数b的取值范围.
21．【答案】（1）解：因为acosC+3asinC−b−c=0，
由正弦定理可得sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，
即sinAcosC+3sinAsinC−sin(A+C)−sinC
=sinAcosC+3sinAsinC−sinAcosC−cosAsinC−sinC
=sinC(3sinA−cosA−1)=0，
因为C∈(0，π)，则sinC>0，所以，3sinA−cosA=2sin(A−π6)=1，则sin(A−π6)=12，
因为0
所以，a=3sinAsinC，b=3sinBsinC，易知0
=332(1+cosC)+32sinCsinC+3=332(1+2cos2C2−1)2sinC2cosC2+92=332tanC2+92，
因为△ABC为锐角三角形，且A=π3，则0
所以，2−3
【知识点】两角和与差的正切公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得3sinA−cosA=2sin(A−π6)=1 ，得 sin(A−π6)=12， 由 0
若θ=π6，则∠AEB=π−π6−π4=7π12，
且sin∠AEB=sin7π12=sin(π3+π4)=sinπ3cosπ4+cosπ3sinπ4=6+24，
在△AEB中，由正弦定理BEsinπ6=ABsin7π12得BE=5×126+24=5(6−2)2，
在△ABF中，∠BAF=π4+π6=5π12，则∠AFB=π−5π12−π4=π3，
且sin∠BAF=sin5π12=sin(π−7π12)=sin7π12=6+24，
由正弦定理BFsin5π12=ABsinπ3可得BF=5×6+2432=152+566，
因此，EF=BF−BE=152+566−56−522=152−563（米）.
（2）解：因为∠EAB=θ∈(0，π4)，则∠AEB=3π4−θ，∠AFC=π2+θ，
在△ABE中，由正弦定理ABsin∠AEB=AEsin∠ABE，
可得AE=AB⋅sin∠ABEsin∠AEB=5×22sin(3π4−θ)=522sin(3π4−θ)，
在△ACF中，由正弦定理AFsin∠ACF=ACsin∠AFC，可得AF=AC⋅sin∠ACFsin∠AFC=5×22sin(π2+θ)=522cosθ，
故△AEF的面积S△AEF=12AE⋅AF⋅sin∠EAF=12×522sin(3π4−θ)×522cosθ×22
=2528(22cosθ+22sinθ)⋅cosθ=254(sinθcosθ+cos2θ)=252(sin2θ+cos2θ)+2
=2522sin(2θ+π4)+2，
因为θ∈(0，π4)，所以，2θ+π4∈(π4，3π4)，所以，22
当且仅当sin(2θ+π4)=1，即θ=π8时，等号成立，
故△AEF面积的最小值25(2−1)2平方米.
【知识点】基本不等式；正弦定理
【解析】【分析】 (1)利用正弦定理求出BF、BE的长，作差后可得出 EF的值；
(2)利用正弦定理用 θ表示AE、AF，再结合条件得到 S△AEF=2522sin(2θ+π4)+2， 最后根据三角函数的性质求最值，即可得 △AEF面积的最小值.
浙江省浙大附中丁兰校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷
一、单选题(共8题；共40分)
1．（5分）若集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B=（ ）
A．{1，2，3} B．{1，2，3，4}
C．{2，3，4} D．{2，3}
2．（5分）(x−2)(x+2)>0的一个充分不必要条件是（ ）
A．x≤0 B．x≥0
C．x≥3 D．x>2或x<−2
3．（5分）在△ABC中，点D满足BC=2CD，则AD=（ ）
A．32AC−12AB B．12AC+12AB
C．32AC+12AB D．12AC−32AB
4．（5分）已知一个扇形的周长为20，则当该扇形的面积最大时，其圆心角的弧度为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
5．（5分）在直角坐标系中，若角α的终边绕原点O逆时针旋转π3得到角θ.已知角θ的终边经过P(−35，45)，则cosα=（ ）
A．43+310 B．43−310 C．4−3310 D．4+3310
6．（5分）一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，2小时后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是（ ）
A．402海里 B．403海里 C．803海里 D．802海里
7．（5分）函数f(x)=asinx+3cosx，将f(x)图像向右平移π3个单位长度后得到函数g(x)的图像，若g(x)的图像关于直线x=π6对称，则a的值为（ ）
A．-1 B．±1 C．-2 D．±2
8．（5分）已知f(x)=4x1+x2，x≥0−4x，x<0，若f(x)=t有三个不同的解x1，x2，x3，且x1
二、多选题(共4题；共20分)
9．（5分）已知平面向量a=(1，λ)，b=(−2，1)，则下列说法正确的是（ ）
A．若λ=0，则|a+b|=2
B．若a//b，则λ=−12
C．若a与b的夹角为锐角，则λ<2
D．若λ=−1，则a在b上的投影向量为−35b
10．（5分）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，则下列结论正确的是（ ）
A．若a2+b2
C．若acosA=bcosB中，则△ABC为等腰三角形
D．若△ABC为锐角三角形，则sinA>sinB
11．（5分）在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE=2EC，F是CD的中点，且AE=2，AF=3，∠EAF=60∘，则下列说法正确的是（ ）
A．AE⋅AF=332
B．AF在AE上的投影向量是34AE
C．AC=34AE+12AF
D．|AC|=7
12．（5分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ABC=π3，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=3，则下列说法正确的是（ ）
A．ac的最小值是2 B．a+2c的最小值是3+22
C．b的最小值是4 D．1a2+1c2的最小值是12
三、填空题(共4题；共20分)
13．（5分）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L=5+1gV．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为 ．（精确到0.1）（参考数据：1010≈1.259）
14．（5分）已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图像如图所示，则f(π6)= .
15．（5分）设函数f(x)的定义域为R，满足f(x+2)=2f(x)，且当x∈(0，2]时，f(x)=x(x−2)，若对任意x∈(−∞，m]，都有f(x)≥−32，则m的取值范围是 .
16．（5分）已知奇函数f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)(ω>0，|φ|<π2)在(0，2π)上有2个最值点和1个零点，则ω的范围是 .
四、解答题(共6题；共70分)
17．（10分）已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，且a，b的夹角为π3.
（1）（5分）若(a−b)⊥(a+λb)，求实数λ的值；
（2）（5分）求a与2a−b的夹角.
18．（12分）在①asinB−3bcosA=0；②(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC；③2cosA(ccosB+bcosC)=a这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.问题：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足____.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.
（1）（6分）求A；
（2）（6分）若a=3，且sinC=2sinB，求△ABC的面积.
19．（12分）设函数f(x)=2ax−2a−x（a>0且a≠1）.
（1）（6分）讨论函数f(x)的单调性；
（2）（6分）若f(1)=3，函数g(x)=a2x+a−2x−2f(x)，x∈[0，3]，求g(x)的最小值.
20．（12分）已知函数f(x)=3sinωxcosωx−cos2ωx(ω>0)的图象相邻对称中心之间的距离为π2.
（1）（6分）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）（6分）若函数g(x)=f(x)−b，且g(x)在[0，π2]上有两个零点，求b的取值范围.
21．（12分）△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，已知acosC+3asinC−b−c=0.
（1）（6分）求A；
（2）（6分）若△ABC是锐角三角形，c=3，求△ABC周长的取值范围.
22．（12分）如图.某小区有一块空地△ABC，其中AB=5米，AC=5米，AB⊥AC，小区物业拟在中间挖个小池塘△AEF，E、F在边BC上（E、F不与B、C重合，且E在B、F之间），且∠EAF=π4，设∠EAB=θ.
（1）（6分）若θ=π6，求EF的值；
（2）（6分）为节省投入资金，小池塘△AEF的面积需要尽可能的小，试确定θ的值，使得△AEF的面积取最小值，并求出△AEF面积的最小值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B={2，3}.
故答案为：D
【分析】利用交集的运算可得答案.
2．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式的解法
【解析】【解答】解不等式(x−2)(x+2)>0可得x<−2或x>2，
因为{x|x≥3}{x|x<−2或x>2}，
故只有C选项中的条件才是“(x−2)(x+2)>0”的充分不必要条件.
故答案为：C.
【分析】 利用充分条件必要条件与集合的关系求解，可得答案.
3．【答案】A
【知识点】向量的三角形法则
【解析】【解答】在△ABC中，点D满足BC=2CD，
则AD=AC+CD=AC+12BC=AC+12(AC−AB)=32AC−12AB.
故答案为：A
【分析】根据向量加法、减法的三角形法则，可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长l=20−2r，0
所以所求圆心角的弧度为lr=2.
故答案为：B
【分析】设扇形所在圆的半径为r，结合已知，用r表示出扇形面积，再利用二次函数的性质求解可得 圆心角的弧度 .
5．【答案】B
【知识点】两角和与差的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】依题意，r=|OP|=(−35)2+(45)2=1，因此sinθ=45，cosθ=−35，
又角α的终边绕原点O逆时针旋转π3得到角θ，则α=θ−π3，
所以cosα=cos(θ−π3)=cosθcosπ3+sinθsinπ3=−35×12+45×32=43−310.
故答案为：B
【分析】根据三角函数的定义可得sinθ，cosθ，又角α的终边绕原点O逆时针旋转π3得到角θ，则α=θ−π3，再利用两角差的余弦公式可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】解三角形的实际应用
【解析】【解答】由题设可得如下示意图，且∠SAB=40°，∠SAC=70°，即∠BAC=30°，
由图知：∠ABC=105°，则∠C=45°，又AB=80，
所以BCsin30°=ABsin45°，则BC=402海里.
故答案为：A
【分析】 由题意作出示意图，利用正弦定理求出B ， C两点间的距离即可.
7．【答案】A
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性
【解析】【解答】依题意g(x)=f(x−π3)=asin(x−π3)+3cos(x−π3) ，
因为函数g(x)的图像关于直线x=π6对称，
所以g(π6−x)=g(π6+x)，
取x=π6可得，g(0)=g(π3)，
所以asin(−π3)+3cos(−π3)=asin0+3cos0，
所以a×(−32)+3×12=a×0+3×1，
解得a=−1，
当a=−1时，g(x)=−sin(x−π3)+3cos(x−π3)=−2[sin(x−π3)×12−cos(x−π3)×32]，
所以g(x)=−2sin(x−2π3)，
其对称轴方程为x−2π3=kπ+π2，即x=kπ+7π6，
取k=−1可得x=π6，即x=π6为函数g(x)的对称轴，
所以a=−1；
故答案为：A.
【分析】 根据函数图象的平移法则，可得g (x)的解析式，原条件等价于g(π6−x)=g(π6+x)，再利用正弦函数的对称性，可求解出a的值 .
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的判断与证明；一元二次方程的解集及其根与系数的关系
【解析】【解答】当x<0时，f(x)=−4x在(−∞，0)上单调递增，函数f(x)的取值集合为(0，+∞)，
当x≥0时，f(x)=4x1+x2，f(0)=0，当x>0时，f(x)=41x+x，令y=1x+x，x>0，
显然函数y=1x+x在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，
f(1)=2，于是当x≥0时，函数f(x)的取值集合为[0，2]，且当x>1时，恒有f(x)>0，
由f(x)=t有三个不同的解x1，x2，x3，且x1
因此−1x1+1x2+1x3=−1x1+x2+x3x2x3=t4+4t=14(t+16t)，由对勾函数知函数g(t)=14(t+16t)在(0，2)上单调递减，
即有g(t)>g(2)=52，所以−1x1+1x2+1x3的取值范围是(52，+∞).
故答案为：D
【分析】 讨论函数f(x)的性质，求出t的取值范围，再结合方程解的意义把 −1x1+1x2+1x3表示成t的函数，求出函数的值域，可得 −1x1+1x2+1x3的取值范围 .
9．【答案】B,D
【知识点】向量的模；平行向量与共线向量；数量积表示两个向量的夹角；向量的投影
【解析】【解答】平面向量a=(1，λ)，b=(−2，1)，
对于A，当λ=0时，a+b=(−1，1)，因此|a+b|=(−1)2+12=2，A不符合题意；
对于B，a//b，则有−2λ=1，解得λ=−12，B符合题意；
对于C，a与b的夹角为锐角，则a⋅b>0且a与b不共线，当a⋅b>0时，1×(−2)+λ×1>0，
解得λ>2，由B选项知，当λ≠−12时，a与b不共线，因此λ>2，C不符合题意；
对于D，当λ=−1时，a⋅b=−3，而|b|=(−2)2+12=5，
因此a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−35b，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算以及投影向量的运算，逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】A,B
【知识点】正弦函数的单调性；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】对于A选项，因为a2+b2
对于C选项，因为acosA=bcosB，即a(b2+c2−a2)2bc=b(a2+c2−b2)2ac，
整理可得(a2−b2)(a2+b2−c2)=0，所以，a=b或a2+b2=c2，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形，C不符合题意；
对于D选项，若△ABC为锐角三角形，则A、B均为锐角，
正弦函数y=sinx在(0，π2)上单调递增，但A、B的大小关系不确定，故sinA、sinB大小关系不确定，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】 利用余弦定理可判断A；利用正弦定理可判断B；利用余弦定理判断△ABC的形状，可判断C；利用正弦函数的单调性可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算；向量的投影
【解析】【解答】对于A选项，由平面向量数量积的定义可得AE⋅AF=|AE|⋅|AF|cos60∘=2×3×12=3，A不符合题意；
对于B选项，AF在AE上的投影向量|AF|cos60∘⋅AE|AE|=3×12×12AE=34AE，B对；
对于C选项，因为BE=2EC，即AE−AB=2AC−2AE，可得3AE=AB+2AC，①
又因为CF=FD，即AF−AC=AD−AF，
可得2AF=AC+AD=AC+(AC−AB)=2AC−AB，②
又①②可得4AC=3AE+2AF，故AC=34AE+12AF，C对；
对于D选项，由4AC=3AE+2AF可得16|AC|2=(3AE+2AF)2=9AE2+4AF2+12AE⋅AF
=9×22+4×32+12×3=108，故|AC|=332，D不符合题意.
故答案为：BC.
【分析】利用平面向量数量积的定义可判断A；利用投影向量的定义可判断B；利用平面向量的线性运算可判断C；利用平面向量数量积的运算性质可判断D.
12．【答案】B,D
【知识点】基本不等式；余弦定理
【解析】【解答】在△ABC中，∠ABC=π3，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=3，
由S△ABD+S△CBD=S△ABC，得12c⋅BDsinπ6+12a⋅BDsinπ6=12acsinπ3，即32c+32a=32ac，
整理得a+c=ac，即1a+1c=1，a>0，c>0，
对于A，ac=a+c≥2ac，于是ac≥4，当且仅当a=c=2时取等号，A不符合题意；
对于B，a+2c=(a+2c)(1a+1c)=3+2ca+ac≥3+22ca⋅ac=3+22，
当且仅当2ca=ac，即a=2c=2+1时取等号，B符合题意；
对于C，由余弦定理得：b=a2+c2−2accosπ3=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac≥2，
当且仅当a=c=2时取等号，C不符合题意；
对于D，1a2+1c2=(1a+1c)2−2ac=1−2ac，由A知，0<1ac≤14，因此1−2ac≥12，
所以1a2+1c2的最小值是12，D符合题意.
故答案为：BD
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式建立a，c的关系，再利用均值不等式逐项进行计算、判断，可得答案.
13．【答案】0.8
【知识点】根据实际问题选择函数类型
【解析】【解答】在L=5+1gV中，当L=4.9时，lgV=−0.1，则V=10−0.1=11010≈11.259≈0.8，
所以视力的小数记录法的数据为0.8.
故答案为：0.8
【分析】根据给定条件，把L=4.9代入进行计算，可求出答案.
14．【答案】−32
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】观察图象知，A=3，函数f(x)的最小正周期T=4(7π12−π3)=π，则ω=2πT=2，
由f(π3)=−3得：2×π3+φ=2kπ+3π2，k∈Z，即φ=2kπ+5π6，k∈Z，而0<φ<π，则k=0，φ=5π6，
因此f(x)=3sin(2x+5π6)，所以f(π6)=3sin7π6=−32.
故答案为：−32
【分析】观察图象知，A=3，由T=4(7π12−π3)=π，求出ω，由f(π3)=−3得φ=2kπ+5π6，k∈Z，可得φ的值，进而求出f(x)的解析式，可得 f(π6)的值.
15．【答案】(−∞，52]
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】因为f(x+2)=2f(x)，
所以f(x)=2f(x−2)，
因为x∈(0，2]时，f(x)=x(x−2)，
当x∈(−2k，−2k+2]，k∈N∗时，x+2k∈(0，2]，
f(x)=12f(x+2)=122f(x+4)=⋅⋅⋅=12kf(x+2k)=12k(x+2k)(x+2k−2)∈[−12k，0]；
观察图象可得，当x∈(−2k，−2k+2]，k∈N∗时，不存在x，f(x)=−32，
当x∈(0，2]时，f(x)=x(x−2)∈[−1，0]，
观察图象可得，不存在x∈(0，2]，满足f(x)=−32，
所以x∈(2k，2k+2]，k∈N∗时，
x−2k∈(0，2]，
f(x)=2f(x−2)=4f(x−4)=⋅⋅⋅=2kf(x−2k)=2k(x−2k)(x−2k−2)∈[−2k，0]；
当k=1时，即x∈(2，4]时，f(x)=2f(x−2)=2(x−2)(x−4)∈[−2，0]，
令2(x−2)(x−4)=−32，可得x=52或x=72，
观察图象可得，若对任意x∈(−∞，m]，都有f(x)≥−32，则m≤52．
所以m的取值范围是(−∞，52]
故答案为(−∞，52]．
【分析】 由f(x+2)=2f(x)，得f(x)=2f(x−2)，分段求解析式，结合图象可得m的取值范围.
16．【答案】(34，1]
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；复合三角函数的周期性及其求法
【解析】【解答】函数f(x)=sin(ωx+φ)−cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ−π4)，
因为该函数为奇函数，故φ−π4=kπ，k∈Z，∴φ=π4+kπ，k∈Z，
又|ϕ|<π2，所以φ=π4，即f(x)=2sinωx，
因为f(x)在(0，2π)上有2个最值点和1个零点，
故ωx∈(0，2ωπ)，3π2<2ωπ≤2π，∴34<ω≤1，
即ω的范围是(34，1]，
故答案为：(34，1]
【分析】利用辅助角公式化简并结合函数奇偶性求得φ，确定函数解析式，再根据函数的最值和零点情况，列出不等式，即可求得答案.
17．【答案】（1）解：因为(a−b)⊥(a+λb)，所以(a−b)⋅(a+λb)=0，
即|a|2−λ|b|2+(λ−1)a⋅b=0，
也即|a|2−λ|b|2+(λ−1)|a|⋅|b|cosπ3=0，
所以1−4λ+λ−1=0，解得λ=0.
（2）解：a⋅(2a−b)=2a2−a⋅b=2|a|2−|a|⋅|b|cosπ3=1，
|2a−b|=(2a−b)2=4a2+b2−4a⋅b=4|a|2+|b|2−4|a|⋅|b|cosπ3=2，
所以cos
所以
【知识点】数量积表示两个向量的夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】 (1)根据向量的垂直的数量积表示即可求解出实数λ的值；
(2)利用向量的数量积运算律和夹角公式求解出 a与2a−b的夹角.
18．【答案】（1）解：选择①，asinB−3bcosA=0，
由正弦定理，得sinAsinB−3sinBcosA=0，
而B∈(0，π)，∴sinB≠0，故sinA−3cosA=0，∴tanA=3，
A∈(0，π)，∴A=π3.
选择②，(sinB−sinC)2=sin2A−sinBsinC，
由正弦定理，得(b−c)2=a2−bc，整理得b2+c2−a2=bc，
又cosA=b2+c2−a22bc=12， 而A∈(0，π)，∴A=π3.
选择③，2cosA(ccosB+bcosC)=a，
由正弦定理，得2cosA(sinCcosB+cosCsinB)=sinA，
即2cosAsin(B+C)=sinA，即2cosAsinA=sinA，
又A∈(0，π)，∴sinA≠0，
所以cosA=12，故A=π3.
（2）解：由若a=3，且sinC=2sinB，可得c=2b，
故cosA=b2+c2−a22bc，即12=5b2−34b2，∴b=1，c=2，
故S△ABC=12bcsinA=12×1×2×32=32.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】(1)选择①，由正弦定理边化角可得 sinA−3cosA=0，求得 A的值； 选择②，由正弦定理边化角，再结合余弦定理求得A的值；选择③，由正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求得A的值；
(2)利用正弦定理角化边，结合余弦定理即可求得b，c，利用三角形面积公式即可得 △ABC的面积.
19．【答案】（1）解：函数f(x)=2ax−2a−x的定义域为R，
当0
当a>1时，函数y=a−x在R上单调递减，则函数y=−2a−x在R上单调递增，
而函数y=2ax在R上单调递增，因此函数f(x)=2ax−2a−x在R上单调递增，
所以，当0
（2）解：由f(1)=3得：a−1a=32，又a>0且a≠1，解得a=2，
令t=2x−2−x，x∈[0，3]，由（1）知t=2x−2−x在[0，3]上单调递增，有t∈[0，638]，
g(x)=22x+2−2x−4(2x−2−x)=(2x−2−x)2−4(2x−2−x)+2=t2−4t+2=(t−2)2−2，
因此，当t=2，即2x=1+2⇔x=log2(1+2)时，g(x)min=−2，
所以当x=log2(1+2)时，函数g(x)取得最小值−2.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)按0
(2)由f(1)=3求出a值，利用配方法、换元法结合二次函数性质求解出 g(x)的最小值.
20．【答案】（1）解：因为f(x)=3sinωxcosωx−cos2ωx=32sin2ωx−1+cos2ωx2
=32sin2ωx−12cos2ωx−12=sin(2ωx−π6)−12，
因为函数图象相邻对称中心之间的距离为π2，故函数f(x)的最小正周期为π，
因为ω>0，则2ω=2ππ=2，则ω=1，故f(x)=sin(2x−π6)−12.
由2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2(k∈Z)可得kπ−π6≤x≤kπ+π3(k∈Z)，
因此，函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π6，kπ+π3](k∈Z).
（2）解：因为g(x)=f(x)−b=sin(2x−π6)−b−12，
当0≤x≤π2时，−π6≤2x−π6≤5π6，
由−π6≤2x−π6≤π2可得0≤x≤π3，所以，函数g(x)在[0，π3]上单调递增，
由π2≤2x−π6≤5π6可得π3≤x≤π2，所以，函数g(x)在[π3，π2]上单调递减，
因为g(x)max=g(π3)=sinπ2−b−12=12−b，g(0)=sin(−π6)−b−12=−b−1，
g(π2)=sin(π−π6)−b−12=−b，
要使得函数g(x)在[0，π2]上有两个零点，则g(π3)=12−b>0g(π2)=−b≤0，解得0≤b<12，
因此，实数b的取值范围是[0，12).
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性；正弦函数的零点与最值
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换可得 fx=sin(2ωx−π6)−12，再由周期公式可求出ω的值，再利用正弦函数的单调性可求出函数f(x)的单调递增区间；
（2）g(x)=f(x)−b=sin(2x−π6)−b−12， 利用正弦函数的单调性可得g(0)=−b−1，g(π2)=−b，由已知条件得 g(π3)=12−b>0g(π2)=−b≤0 ，求解可得实数b的取值范围.
21．【答案】（1）解：因为acosC+3asinC−b−c=0，
由正弦定理可得sinAcosC+3sinAsinC−sinB−sinC=0，
即sinAcosC+3sinAsinC−sin(A+C)−sinC
=sinAcosC+3sinAsinC−sinAcosC−cosAsinC−sinC
=sinC(3sinA−cosA−1)=0，
因为C∈(0，π)，则sinC>0，所以，3sinA−cosA=2sin(A−π6)=1，则sin(A−π6)=12，
因为0
所以，a=3sinAsinC，b=3sinBsinC，易知0
=332(1+cosC)+32sinCsinC+3=332(1+2cos2C2−1)2sinC2cosC2+92=332tanC2+92，
因为△ABC为锐角三角形，且A=π3，则0
所以，2−3
【知识点】两角和与差的正切公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）由正弦定理可得3sinA−cosA=2sin(A−π6)=1 ，得 sin(A−π6)=12， 由 0
若θ=π6，则∠AEB=π−π6−π4=7π12，
且sin∠AEB=sin7π12=sin(π3+π4)=sinπ3cosπ4+cosπ3sinπ4=6+24，
在△AEB中，由正弦定理BEsinπ6=ABsin7π12得BE=5×126+24=5(6−2)2，
在△ABF中，∠BAF=π4+π6=5π12，则∠AFB=π−5π12−π4=π3，
且sin∠BAF=sin5π12=sin(π−7π12)=sin7π12=6+24，
由正弦定理BFsin5π12=ABsinπ3可得BF=5×6+2432=152+566，
因此，EF=BF−BE=152+566−56−522=152−563（米）.
（2）解：因为∠EAB=θ∈(0，π4)，则∠AEB=3π4−θ，∠AFC=π2+θ，
在△ABE中，由正弦定理ABsin∠AEB=AEsin∠ABE，
可得AE=AB⋅sin∠ABEsin∠AEB=5×22sin(3π4−θ)=522sin(3π4−θ)，
在△ACF中，由正弦定理AFsin∠ACF=ACsin∠AFC，可得AF=AC⋅sin∠ACFsin∠AFC=5×22sin(π2+θ)=522cosθ，
故△AEF的面积S△AEF=12AE⋅AF⋅sin∠EAF=12×522sin(3π4−θ)×522cosθ×22
=2528(22cosθ+22sinθ)⋅cosθ=254(sinθcosθ+cos2θ)=252(sin2θ+cos2θ)+2
=2522sin(2θ+π4)+2，
因为θ∈(0，π4)，所以，2θ+π4∈(π4，3π4)，所以，22
当且仅当sin(2θ+π4)=1，即θ=π8时，等号成立，
故△AEF面积的最小值25(2−1)2平方米.
【知识点】基本不等式；正弦定理
【解析】【分析】 (1)利用正弦定理求出BF、BE的长，作差后可得出 EF的值；
(2)利用正弦定理用 θ表示AE、AF，再结合条件得到 S△AEF=2522sin(2θ+π4)+2， 最后根据三角函数的性质求最值，即可得 △AEF面积的最小值.
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