2023年广东省佛山市顺德区东逸湾实验学校中考数学三模试卷（含解析）

2023年广东省佛山市顺德区东逸湾实验学校中考数学三模试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  在下列实数，，，中最小的实数是(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列正面摆放的几何体中，左视图是三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.  华为麒麟芯片采用了最新的米的工艺制程，数用科学记数法表示为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列说法正确的是(    )

A. 一个不透明的袋中有个白球和个红球每个球除颜色外都相同，则从中任意摸出一个球是红球的概率为
B. 一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次就必有次中奖
C. 统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：，，说明甲的数学成绩比乙的稳定
D. 要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式

5.  下列计算正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

6.  若矩形的长和宽是关于的方程的两根，则矩形的周长为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，在平面直角坐标系中，与位似，且原点为位似中心，其位似比为：，若点，则其对应点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

8.  在四边形中，，分别是边，的中点，、分别是对角线，的中点，依次连接，，、得到的四边形一定是(    )

A. 平行四边形
B. 菱形
C. 矩形
D. 正方形

9.  如图，内接，，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  如图，在矩形中，点是边的中点，，垂足为，则的值是(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.  若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______ ．

12.  已知实数在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是______ ．

13.  如图，在中，，，观察图中尺规作图的痕迹，则的度数为______．

14.  如图，是一根的绳子，一端栓在柱子点上，另一端点栓着一只羊，为一道围墙，，，，则羊最大的活动区域的面积是______ 结果保留

15.  如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结则线段的最大值是______．

三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）

16.  如图，在中，，，轴，垂足为，反比例函数的图象经过点，交于点．
若，求的值；
若，连接，求的面积．

四、解答题（本大题共7小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
解分式方程：．

18.  本小题分
已知．
化简．
是的整数部分，求的值．

19.  本小题分
为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，教育部组织开展第七届全国学生“学宪法讲宪法”系列活动某校积极响应教育部的号召，开展了宪法知识在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项活动，表是参加冠亚军决赛的两名选手的各项测试成绩单位：分．

若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛三项成绩的平均分作为最后成绩，谁将会获得冠军？
若将在线学习、知识竞赛与演讲比赛的成绩按：：的比例计算最后成绩，谁将会获得冠军？

20.  本小题分
如图，为了测量河对岸，两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点，测得，均在的北偏东方向上，沿正东方向行走米至观测点，测得在的正北方向上，在的北偏西方向上．
参考数据：，，．
求证：；
求，两点间的距离．

21.  本小题分
如图，在中，是钝角，以上一点为圆心，为弦作．
在图中作出交于点不写作法，保留作图痕迹；
若．
求证：是的切线；
，，求弦的长．

22.  本小题分
在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”例如、、都是“不动点”，已知双曲线．
求双曲线上的“不动点”．
若抛物线、为常数上有且只有一个“不动点”．
当时，求的取值范围．
如果，过双曲线图象上第一象限的“不动点”作平行于轴的直线，若抛物线上有四个点到的距离为，直接写出的取值范围．

23.  本小题分
如图，在中，，于点，在上取点，使，连接、．
直接写出与的位置关系；
如图，将绕点旋转，得到点、分别与点、对应，连接、，在旋转的过程中与的位置关系与中的与的位置关系是否一致？请说明理由；
如图，当绕点顺时针旋转时，射线与、分别交于点、，若，，求的长．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，
，
故选：．
根据正数大于，大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小直接判断即可得到答案．
本题考查实数大小比较，解题的关键是熟练掌握正数大于，大于负数，负数比较大小，绝对值大的反而小．
 

2.【答案】 

【解析】解：、左视图是等腰梯形，不符合题意；
B、左视图是长方形，不符合题意；
C、左视图是三角形，符合题意；
D、左视图是长方形，不符合题意；
故选：．
根据几何体的特点及三视图的确定方法依次判断即可．
此题考查了几何体的三视图，正确掌握三视图的确定方法及几何体的特点是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：数用科学记数法表示为．
故选：．
绝对值小于的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定．
 

4.【答案】 

【解析】解：、一个不透明的袋中有个白球和个红球每个球除颜色外都相同，则从中任意摸出一个球是红球的概率为，故A不符合题意；
B、一个抽奖活动的中奖概率为，则抽奖次不一定有次中奖，故B不符合题意；
C、统计甲，乙两名同学在若干次检测中的数学成绩发现：，，说明乙的数学成绩比甲的稳定，故C不符合题意；
D、要了解一个班有多少同学知道“杂交水稻之父”袁隆平的事迹，宜采用普查的调查方式，故D符合题意；
故选：．
根据概率的意义，全面调查与抽样调查，方差，概率公式，逐一判断即可解答．
本题考查了概率的意义，全面调查与抽样调查，方差，概率公式，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
 

5.【答案】 

【解析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．
A、，无法计算，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，正确；
D、，故此选项错误．
故选C．
此题主要考查了合并同类项以及幂的乘方运算、同底数幂的乘法运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
 

6.【答案】 

【解析】解：设矩形的长为，宽为，
矩形的长和宽是关于的方程的两根，
，
矩形的周长为，
故选：．
设矩形的长为，宽为，根据一元二次方程根与系数的关系可得，即可得到答案．
本题考查一元二次方程根与系数的关系和矩形的性质，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系．
 

7.【答案】 

【解析】解：与位似，且原点为位似中心，其位似比为：，点，
点的对应点的坐标为，即，
故选：．
根据位似变换的性质计算，得到答案．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．
 

8.【答案】 

【解析】解：四边形中，、、、分别是、、、的中点，
，，．
，，
四边形是平行四边形．
故选：．
利用三角形的中位线定理可以证得，，即可得出结论．
本题考查的是三角形中位线定理的应用，平行四边形的判定，掌握三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半和菱形的对角线互相垂直是解题的关键．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图，连接、，
，
，
，
，
的长为：，
故选：．
连接、，根据圆周角定理求出，根据等腰直角三角形的性质求出，根据弧长公式计算，得到答案．
本题考查的是弧长的计算、圆周角定理，熟记弧长公式是解题的关键．
 

10.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角函数的定义等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．
证明∽，得出，，由矩形的对称性得：，得出，设，则，由勾股定理求出，再由三角函数定义即可得出答案．
【解答】
解：四边形是矩形，
，，
点是边的中点，
，
∽，
，
，
，
点是边的中点，
由矩形的对称性得：，
，设，则，
，
；
故选A．  

11.【答案】 

【解析】解：由题意得，．
．
故答案为：．
由题意，根据分式有意义的条件：分式的分母不为，即可得解．
本题考查了分式有意义的条件，解题时要能根据题意列式并求解．
 

12.【答案】 

【解析】解：由题意得，，
，
，
故答案为：．
先根据题意得到，据此化简二次根式和化简绝对值即可．
本题主要考查了实数与数轴，实数的性质和化简二次根式，正确得到是解题的关键．
 

13.【答案】 

【解析】解：在中，，，
，
由作图可知，平分，
，
故答案为：．
求出，再利用角平分线的定义解决问题即可．
本题考查了基本作图、三角形的外角、角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握角平分线的作法．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，由题意可知，扇形的半径为，圆心角为，扇形的半径为，圆心角为，


，
故答案为： ．
羊最大的活动区域的面积是扇形与扇形的面积和，利用扇形面积的计算方法进行计算即可．
本题考查扇形面积的计算，掌握扇形面积的计算方法是正确解答的前提．
 

15.【答案】 

【解析】解：令，则，
故点，
设圆的半径为，则，
当、、三点共线，且点在之间时，最大，
而点、分别为、的中点，故是的中位线，
则，
故答案为．
当、、三点共线，且点在之间时，最大，而是的中位线，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定的最大值，进而求解．
 

16.【答案】解：过点作于点，于，则

，，





点
点在图象上

，

设点坐标为，则，两点坐标分别为，
，在图象上


，，
 

【解析】过点作于点，于，则由，，，可得，可求点坐标，即可求的值．
设点坐标为，则，两点坐标分别为，，由，是反比例函数的图象上的点．可求的值，即可求，坐标，可得的面积．
本题考查了反比例函数系数的几何意义，等腰三角形的性质，关键是熟练运用反比例函数的性质解决问题．
 

17.【答案】解：去分母得：，
解得：，
检验：把代入得：，
是增根，分式方程无解． 

【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
 

18.【答案】解：
．
，即．
．
当时，



． 

【解析】利用乘法的平方差公式和完全平方公式化简；
先确定的值，再代入计算．
本题主要考查了整式的混合运算，掌握乘法的完全平方公式、平方差公式，确定的值是解决本题的关键．
 

19.【答案】解：由题意知，甲的平均分为：分；
乙的平均分为：分；
，
乙会获得冠军；
由题意知，甲的最后成绩为：；
乙的最后成绩为：；
，
甲会获得冠军． 

【解析】分别计算甲、乙的算术平均数，然后比较即可；
分别计算甲、乙的加权平均数，然后比较即可．
本题考查了算术平均数与加权平均数．解题的关键在于熟练掌握平均数的计算方法．
 

20.【答案】证明：，
，
，
，
；
解：在中，，米，，
米，
在中，，米，，
米．
答：，两点间的距离约米． 

【解析】根据平行线的性质得到，求得，根据垂直的定义即可得到结论；
在中，解直角三角形求得米，在中，解直角三角形得到米于是得到结论．
本题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，证得和是直角三角形是解决问题的关键．
 

21.【答案】解：如图，，点即为所求；

证明：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是半径，
是的切线；
解：，，
∽，
，
，，
，
，
，
，
设，，则有，
负根已经舍去，
． 

【解析】作线段的垂直平分线交于点，以为圆心，为半径作交于点；
连接，证明即可；
证明∽，推出，因为，，所以，因为，所以，推出，设，，则有，求出，即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
 

22.【答案】解：设双曲线上的“不动点”为，则，
解得，，
双曲线上的“不动点”为和；
设抛物线上的“不动点”为，则，
即，
该抛物线上有且只有一个“不动点”，
关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
，
，
；
当时，则，
，
抛物线为，
由得，双曲线在第一象限的不动点为，

直线即直线，
如图，，
该抛物线的顶点，对称轴为直线，
设直线在直线下方且到直线的距离为，直线交直线于点，交直线于点，
，，
，
设直线与直线关于直线对称，
当点在点的上方时，抛物线上有四个点到的距离为，
． 

【解析】设双曲线上的“不动点”为，则，可求得双曲线上的“不动点”为和；
设抛物线上的“不动点”为，则，即，由关于的一元二次方程有两个相等的实数根，得，即可求得；
当时，，则抛物线为，而双曲线在第一象限的不动点为，可求得抛物线的顶点为，设直线在直线下方且到直线的距离为，直线交直线于点，交直线于点，则，，即可求得．
本题为二次函数综合题，本题考查二次函数的图象及性质，反比例函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、新定义问题的求解等知识与方法，熟练掌握二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．
 

23.【答案】解：
在旋转的过程中与的位置关系与中的与的位置关系一致，
理由如下：如图，延长交于，

由旋转可得：，，
，
，
又，
∽，
，
，
，
，
；
如图，过点作于点，

绕点顺时针旋转，
，，
，，
，，
，，
，
由可知：∽，
，
，，
，，
，
，，
，
，
． 

【解析】，证明如下：
如图，延长交于，

，，
，，
，
，
，
；
通过证明∽，可得，由余角的性质可得结论；
由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键．