数学七年级下暑假培优专题训练（十七）

这是一份数学七年级下暑假培优专题训练（十七），共31页。试卷主要包含了一元一次不等式组应用等内容，欢迎下载使用。

数学七年级下暑假培优专题训练
专题十七、一元一次不等式组应用
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目录
【考点一 方案设计类问题】...........................................1
【考点二 程序类问题】..............................................2
【考点三 盈不足问题】..............................................4
【考点四 最值问题】.................................................4
【考点五 原材料问题】...............................................6
【考点六 其他问题】.................................................7
【聚焦考点1】
解决经济类方案设计题一般过程是：
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③建模，由分析得出的相关知识建立不等式(组)模型；
④解题，求解上述建立的不等式，结合实际确定最优方案．
【典例剖析1】
【考点一 方案设计类问题】
【典例1-1】某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满．
(1)求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？
(2)若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
(3)在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？
【典例1-2】某家具商准备购进A、B两种家具（两种家具均要有），已知100件A型家具和150件B型家具需要35000元，150件A型家具和100件B型家具需要37500元：
(1)求A、B两种家具每件各多少元；
(2)家具商现准备了8500元全部用于购进这两种家具，他有几种方案可供选择？请你帮他设计出所有的购买方案．
(3)现要购置A，B家具共40多件，总花费不少于4965元，不超过6025元，B种家具的数量是A种家具数量的三倍还少5件，购买方案有哪几种？
针对训练1
【变式1-1】星期天，八年级的小红和小明去书店购买学习用品，小红用25元钱买了1支钢笔和2本笔记本；小明用16元买了同样的钢笔1支和笔记本1本．
(1)求钢笔和笔记本的单价；
(2)期中检测后，班主任拿出390元奖励基金交给班长，来购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品奖给成绩优秀的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．
【变式1-2】“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
【变式1-3】某文具店准备购进甲，乙两种铅笔，若购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．
(1) 求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？
(2) 若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？
【聚焦考点2】
根据所给程序，转化为不等式（组）问题。
【典例剖析2】
【考点二 程序类问题】
【典例2-1】运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
【典例2-2】如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
针对训练2
【变式2-1】一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示．

按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．
(1)若，直接写出该程序需要运行多少次才停止；
(2)若该程序只运行了3次就停止了，求的取值范围．
【变式2-2】“输入一个实数，然后经过如图的运算，到判断是否大于为止”叫做一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则的取值范围是___________．

【聚焦考点3】
分离最后一人（一间房、一辆车等）所满足的不等关系列不等式组
【典例剖析3】
【考点三 盈不足问题】
【典例3-1】一群男同学去某地旅游住宿，有若干间宿舍，每间住人，剩人无房住；每间住人，有一间宿舍住不满，但至少有一人．请问可能有多少间宿舍，多少名学生？
【典例3-2】某街道组织志愿者活动，选派志愿者到小区服务，若每一个小区安排4人，那么还剩下61人；若每个小区安排8人，那么最后一个小区不足8人，但不少于4人，求这个街道共选派了多少名志愿者？
针对训练3
【变式3-1】用若干辆载重量为的汽车运一批货物，若每辆汽车只装，则剩下货物；若每辆汽车装满，则最后一辆汽车不满也不空．请你算一算：有多少辆汽车运这批货物．
【变式3-2】某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送4本，则还余5本；如果前面每人送6本，则最后一人得到的课外读物不足3本，设该校有x名学生获奖，求出该校的获奖人数．
【聚焦考点4】
①阅读，弄清问题背景和基本要求；
②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；
③建模，由分析得出的相关知识建立不等式(组)模型；
④解题，求解上述建立的不等式，结合实际确定最大或最小值．
【典例剖析4】
【考点四 最值问题】
【典例4-1】6月22日，2021年（第十八届）世界品牌大会在北京召开，沱牌舍得集团连续18年入选中国500最具价值品牌，位列品牌榜108位．为加快复工复产，沱牌舍得集团需运输一批物资，据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输物资600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输物资1350箱．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
【典例4-2】日前市教育局发布了《佛山市教育局关于做好2023年我市初中毕业升学体育考试工作的通知》，确定了考试项目可由学生自行选择．某校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划增购一批篮球和足球，如果购买20个足球和15个篮球，共需2050元；如果购买10个足球和20个篮球，共需1900元．
(1)足球与篮球的单价分别为多少元？
(2)若学校计划用不超过2800元的经费购买足球和篮球共50个，且足球数不多于篮球数的3倍，则最多购买多少个篮球？
针对训练4
【变式4-1】4月23日是世界读书日，某校为了营造读书好、好读书、读好书的书香校园，决定采购《爱的教育》、《小词大雅》两种图书供学生阅读．通过了解，购买本《爱的教育》和本《小词大雅》共需元，购买本《爱的教育》和本《小词大雅》共需元．
(1)求一本《爱的教育》和《小词大雅》的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购买两种图书共本，其中《爱的教育》的数量不多于《小词大雅》数量的倍，且不少于件．求学校购书的的最低总费用．
【变式4-2】某客运公司有A、B两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表：红星中学根据实际情况，计划租用A，B两种型号的客车共5辆，送七年级师生到某地参加社会实践活动．设租用A型客车辆．
客车型号
车辆数/辆
载客量/人
租金/元
A



B



客车型号
A
B

载客量（人/辆）
45
30

租金（元/辆）
400
280

请根据要求回答下列问题：
(1)用含的式子填写下表：
(2)若要保证租车费用不超过1900元，求的最大值．
(3)在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定省钱的租车方案.
【聚焦考点5】
由所给原材料的限制条件列不等式(组)，确定不等式组的整数解，对实际问题中的方案进行比较来确定最优方案来解决问题。
【典例剖析5】
【考点五 原材料问题】
【典例5-1】为了美化校园，学校决定利用现有的盆甲种花卉和盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆，搭配一个B种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆．设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（    ）
A． B．
C． D．
【典例5-2】某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A、B两种的产品共件，生产A、B两种产品用料情况如表：
若设生产A产品x件，求x的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案．

需要用甲原料
需要用乙原料
一件A种产品


一件B种产品


针对训练5
【变式5-1】某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．
(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元，且生产B产品要超过38件，问有哪几种符合条件的生产方案？
【变式5-2】某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：

甲种原料
乙种原料
维生素C/（单位/千克）
600
100
原料价格/（元/千克）
8
4
现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元．
(1)设需用x千克甲种原料，写出x应满足的不等式组．
(2)按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？
【典例剖析6】
【考点六 其他问题】
【典例6-1】如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．

已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50公斤、70公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列哪一个不等式表示？（　　）
A．180＜x≤250 B．180＜x≤300 C．230＜x≤250 D．230＜x≤300
【典例6-2】数学何老师网购了一本《魔法数学》，同学们想知道书的价格，何老师让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多25元．”丙说：“至多20元．”何老师说：“你们三个人中只有一人说对了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为　 　．
针对训练6
【变式6-1】为了缓解城市交通拥堵现象，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准．如果小王某次停车大于3且小于4小时，缴费大于28且小于32元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 　 　．（填“一类、二类、三类”中的一个）
地区类别
首小时内
首小时外
一类
2.5元/15分钟
3.75元/15分钟
二类
1.5元/15分钟
2.25元/15分钟
三类
0.5元/15分钟
0.75元/15分钟
【变式6-2】小红和小芳的年龄相差8岁，今年，小红的年龄比小芳年龄的2倍大；两年后小芳的年龄比小红的一半大，试问小红和小芳今年各多少岁？













数学七年级下暑假培优专题训练
专题十七、一元一次不等式组应用（解析版）

【考点一 方案设计类问题】
【典例1-1】某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满．
(1)求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？
(2)若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？
(3)在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？
【答案】．(1)原计划租用种客车辆，这次研学去了人
(2)共有种租车方案，方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，
(3)租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算

【分析】（1）设原计划租用种客车辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解；
（2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解；
（3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解．
【详解】（1）解：设原计划租用种客车辆，根据题意得，
，
解得：
所以（人）
答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人；
（2）解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意，得

解得：，
∵为正整数，则，
∴共有种租车方案，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，
（3）∵种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，
∴种客车越少，费用越低，
方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元，
∴租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键．
【典例1-2】某家具商准备购进A、B两种家具（两种家具均要有），已知100件A型家具和150件B型家具需要35000元，150件A型家具和100件B型家具需要37500元：
(1)求A、B两种家具每件各多少元；
(2)家具商现准备了8500元全部用于购进这两种家具，他有几种方案可供选择？请你帮他设计出所有的购买方案．
(3)现要购置A，B家具共40多件，总花费不少于4965元，不超过6025元，B种家具的数量是A种家具数量的三倍还少5件，购买方案有哪几种？
【答案】(1)A型家具每件元，B型家具每件元；
(2)该家具商总共有四种购入方案：①购进A型家具件，B型家具件；②购进A型家具件，B型家具件；③购进A型家具件，B型家具件；④购进A型家具件，B型家具件；
(3)购买方案有一种：购进A型家具件，B型家具件
【分析】（1）设A型家具每件元，B型家具每件元，根据“100件A型家具和150件B型家具需要35000元，150件A型家具和100件B型家具需要37500元”列出方程求解即可得出答案；
（2）设该家具商购进件A型家具，件B型家具，根据“家具商现准备了8500元全部用于购进这两种家具”列出方程，求出符合条件的值，即可得出答案；
（3）设购置购进件A型家具，则购进件B型家具，根据“要购置A，B家具共40多件，总花费不少于4965元，不超过6025元，B种家具的数量是A种家具数量的三倍还少5件”列出不等式组求解并舍去不符合题意的值，即可得出答案．
【详解】（1）解：设A型家具每件元，B型家具每件元
根据题意，得
解得：
答：A型家具每件元，B型家具每件元；
（2）解：设该家具商购进件A型家具，件B型家具
根据题意，得

均为正整数，
为整数倍
或或或
该家具商总共有四种购进方案：①购进A型家具件，B型家具件；②购进A型家具件，B型家具件；③购进A型家具件，B型家具件；④购进A型家具件，B型家具件；
（3）解：设购置购进件A型家具，则购进件B型家具
根据题意，得
解得：
为正整数
∴
购买方案有一种：购进A型家具件，B型家具件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确找到等量关系式是解题的关键．
针对训练1
【变式1-1】星期天，八年级的小红和小明去书店购买学习用品，小红用25元钱买了1支钢笔和2本笔记本；小明用16元买了同样的钢笔1支和笔记本1本．
(1)求钢笔和笔记本的单价；
(2)期中检测后，班主任拿出390元奖励基金交给班长，来购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品奖给成绩优秀的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．
【答案】(1)每支钢笔7元，每本笔记本9元
(2)见解析
【分析】（1）设每支钢笔元，每本笔记本元，根据小红用25元钱买了1支钢笔和2本笔记本；小明用16元买了同样的钢笔1支和笔记本1本，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购买钢笔支，则购买笔记本本，根据奖品的总价不超过390元及笔记本数不少于钢笔数，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数即可得出各购买方案．
【详解】（1）解：设每支钢笔元，每本笔记本元，
依题意，得：，
解得：．
答：每支钢笔7元，每本笔记本9元．
（2）设购买钢笔支，则购买笔记本本，
依题意，得：，
解得：，
为整数，
，22，23，24．
共有4种购买方案，
方案1：购买21支钢笔，27本笔记本；
方案2：购买22支钢笔，26本笔记本；
方案3：购买23支钢笔，25本笔记本；
方案4：购买24支钢笔，24本笔记本．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
【变式1-2】“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期．基本中学为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元．
(1)求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
(2)若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共120套，总费用不超过8600元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，问有几种购买方案？最低费用是多少？
【答案】(1)每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是100元，60元
(2)有5种购买方案；最低费用是8440元

【分析】（1）每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是x元，y元，根据每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵40元，买5套甲型号和10套乙型号共用1100元，列出方程组，求解即可；
（2）设学校需购进甲型号“文房四宝”m套，则购买乙型号“文房四宝”套，根据不等关系列出不等式组，求出，根据m取正整数，得出有5种购买方案，根据甲型号“文房四宝”的价格大于乙型号“文房四宝”的价格，得出当甲型号“文房四宝”购买数量最少时，费用最少，当时，总费用最少，求出最少费用即可．
【详解】（1）解：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是x元，y元，根据题意得：
，
解得：，
答：每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是100元，60元；
（2）解：设学校需购进甲型号“文房四宝”m套，则购买乙型号“文房四宝”套，根据题意得：
，
解得：，
∵m取正整数，
∴，，，，，
∴有5种购买方案，
∵甲型号“文房四宝”的价格大于乙型号“文房四宝”的价格，
∴当甲型号“文房四宝”购买数量最少时，费用最少，
∴当时，总费用最少，且最少费用为：
（元），
答：有5种购买方案；最低费用是8440元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组和不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系和不等关系，列出方程组和不等式组．
【变式1-3】某文具店准备购进甲，乙两种铅笔，若购进甲种钢笔100支，乙种铅笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．
(3) 求购进甲，乙两种钢笔每支各需多少元？
(4) 若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？
【答案】(1) 购进甲种钢笔每支需5元，乙种钢笔每支需10元； (2) 共有6种进货方案．
【分析】（1）设购进甲种钢笔每支需x元，乙种钢笔每支需y元，根据题意列方程组求解即可；
（2）根据题意列不等式组进行求解即可．
（1）解：设购进甲种钢笔每支需x元，乙种钢笔每支需y元，由题意得：
，解得：，
∴购进甲种钢笔每支需5元，乙种钢笔每支需10元．
（2）解：设购进乙钢笔a支，甲钢笔 支，根据题意可得：

解得： ，
∵为整数，
∴共六种方案，
∴该文具店共有6种进货方案．
【点拨】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，根据题意准确的列出方程组和不等式组是解题的关键．
【考点二 程序类问题】
【典例2-1】运行程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么的取值范围是（    ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于95，第二次运算结果大于95列出不等式组，然后求解即可．
【详解】解：由题意得，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
∴，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键．
【典例2-2】如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出，则的取值范围是（    ）

B． B． C． D．
【答案】D
【分析】若需要经过两次运算，才能运算出y，则有不等式组：，即可解出x的取值范围．
【详解】解：由输入两次，才能计算出y的值得：，
解得．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，并考查了学生的阅读理解能力，解答本题的关键就是理解题图给出的计算程序．
针对训练2
【变式2-1】一位同学在编程课上设计了一个运算程序，如图所示．

按上述程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于23”为一次运行．
(1)若，直接写出该程序需要运行多少次才停止；
(2)若该程序只运行了3次就停止了，求的取值范围．
【答案】(1)若，该程序需要运行4次才停止
(2)

【分析】（1）分别求出该程序运行1，2，3，4次的结果，由，，可得出当时，该程序需要运行4次才停止；
（2）根据该程序只运行了3次就停止了，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围．

【变式2-2】“输入一个实数，然后经过如图的运算，到判断是否大于为止”叫做一次操作，那么恰好经过两次操作停止，则的取值范围是___________．

【答案】
【分析】表示出第一次、第二次的输出结果，再由输出结果可得出不等式，解出即可．
【详解】解：依题意得：第一次的结果为：，没有输出，
则，解得：；
第二次的结果为：，输出，
则，解得：；
综上可得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式，解答本题的关键是读懂题意，根据结果是否可以输出，解出不等式．
【考点三 盈不足问题】
【典例3-1】一群男同学去某地旅游住宿，有若干间宿舍，每间住人，剩人无房住；每间住人，有一间宿舍住不满，但至少有一人．请问可能有多少间宿舍，多少名学生？
【答案】有间宿舍名学生或有间宿舍名学生或有间宿舍名学生
【分析】设有间宿舍，则有名学生，根据每间住人，有一间宿舍住不满，但至少有一人，列出不等式组求解即可．
【详解】解：设有间宿舍，则有名学生，
，
解得：，
是整数，
可取，或，
当有间宿舍时，学生有（名），当有间宿舍时，学生有（名），当有间宿舍时，学生有（名），
答：有间宿舍学生有名或有间宿舍学生有名或有间宿舍学生有名．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据最后一间宿舍的人数得到关系式是解答本题的关键．
【典例3-2】某街道组织志愿者活动，选派志愿者到小区服务，若每一个小区安排4人，那么还剩下61人；若每个小区安排8人，那么最后一个小区不足8人，但不少于4人，求这个街道共选派了多少名志愿者？
【答案】这个街道共选派了名志愿者
【分析】设共有x个小区，则总人数小区数每个小区安排的人数剩余的人数，即总人数为人；若每个小区安排8个时，则最后一个小区安排的人数总人数前几个小区安排的人数，即最后一个小区安排的人数；又知最后一个小区不足8人，但不少于4人，则可得不等式；解得x的取值范围，再确定x的值，最后求得总人数．
【详解】解：设共有x个小区，则有志愿者人，
由题意得
解得，
∵为正整数，
∴，
∴．
答：这个街道共选派了名志愿者．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的不等量关系．注意本题的不等关系为“最后一个小区不足8人，但不少于4人”．
针对训练3
【变式3-1】用若干辆载重量为的汽车运一批货物，若每辆汽车只装，则剩下货物；若每辆汽车装满，则最后一辆汽车不满也不空．请你算一算：有多少辆汽车运这批货物．
【答案】有6辆汽车运这批货物
【分析】设有辆车，则有吨货物．根据若每辆汽车装满吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组，再求解，又因为车必须是整数，进而可得出结论．
【详解】解：设有辆车，则有吨货物．
由题意，得，
解得．
为正整数，
．
答：有6辆汽车运这批货物．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意列出代数式和不等式组是解题的关键．
【变式3-2】某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们，如果每人送4本，则还余5本；如果前面每人送6本，则最后一人得到的课外读物不足3本，设该校有x名学生获奖，求出该校的获奖人数．
【答案】5
【分析】先表示书本的数量总数，再表示最后一人的得奖数，列出不等式组计算即可．
【详解】解：根据题意，得，
解不等式组，得，
因为x为正整数，所以，
答：该校的获奖人数是5．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确列出不等式组是解题的关键．
【考点四 最值问题】
【典例4-1】6月22日，2021年（第十八届）世界品牌大会在北京召开，沱牌舍得集团连续18年入选中国500最具价值品牌，位列品牌榜108位．为加快复工复产，沱牌舍得集团需运输一批物资，据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输物资600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输物资1350箱．
(1)求1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运输多少箱物资；
(2)计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用5000元，每辆小货车一次需费用3000元．若运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元．请你列出所有运输方案，并指出哪种方案所需费用最少．最少费用是多少？
【答案】(1)1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资
(2)方案一：大货车6辆，小货车6辆；方案二：大货车7辆，小货车5辆；方案三：大货车8辆，小货车4辆；其中方案一所需费用最少，最少费用为48000元

【分析】（1）根据2辆大货车与3辆小货车一次可以运输物资600箱；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输物资1350箱，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）根据（1）中的结果和运输物资不少于1500箱，且总费用小于54000元，可以得到相应的不等式组，再根据辆数为整数和所需大货车越少，费用越低，即可得到所有运输方案，以及哪种方案所需费用最少，最少费用是多少．
【详解】（1）解：设1辆大货车一次运输箱物资，1辆小货车一次运输箱物资，
由题意可得：，
解得：，
答：1辆大货车一次运输150箱物资，1辆小货车一次运输100箱物资；
（2）解：设有辆大货车，则有辆小货车，
由题意可得：，
解得：，
为正整数，
，
共有三种运输方案，
方案一：大货车6辆，小货车6辆，
方案二：大货车7辆，小货车5辆，
方案三：大货车8辆，小货车4辆，
每辆大货车一次需要费用5000元，每辆小货车一次需要费用3000元，计划用两种货车共12辆运输这批物资，
大货车辆数越少，费用越低，
方案一所需费用最少，此时费用为：（元），
答：方案一：大货车6辆，小货车6辆；方案二：大货车7辆，小货车5辆；方案三：大货车8辆，小货车4辆；其中方案一所需费用最少，最少费用为48000元．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出不等式关系和等量关系，列出相应的不等式组和方程组．
【典例4-2】日前市教育局发布了《佛山市教育局关于做好2023年我市初中毕业升学体育考试工作的通知》，确定了考试项目可由学生自行选择．某校为了保证九年级毕业生有足够的训练器材，计划增购一批篮球和足球，如果购买20个足球和15个篮球，共需2050元；如果购买10个足球和20个篮球，共需1900元．
(1)足球与篮球的单价分别为多少元？
(2)若学校计划用不超过2800元的经费购买足球和篮球共50个，且足球数不多于篮球数的3倍，则最多购买多少个篮球？
【答案】(1)足球每个50元，篮球每个70元
(2)最多购买篮球15个

【分析】（1）设足球每个元，篮球每个元，依题意得，，计算求解即可；
（2）设购买篮球个，则购买足球个，依题意得，，计算求解，然后作答即可．
【详解】（1）解：设足球每个元，篮球每个元，
依题意得，，解得，，
答：足球每个50元，篮球每个70元．
（2）解：设购买篮球个，则购买足球个，
依题意得，，
解得，，
∴的最大值为15，
答：最多购买篮球15个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式、不等式并正确的计算．
针对训练4
【变式4-1】4月23日是世界读书日，某校为了营造读书好、好读书、读好书的书香校园，决定采购《爱的教育》、《小词大雅》两种图书供学生阅读．通过了解，购买本《爱的教育》和本《小词大雅》共需元，购买本《爱的教育》和本《小词大雅》共需元．
(1)求一本《爱的教育》和《小词大雅》的价格分别是多少元？
(2)若该校计划购买两种图书共本，其中《爱的教育》的数量不多于《小词大雅》数量的倍，且不少于件．求学校购书的的最低总费用．
【答案】(1)一本《爱的教育》和《小词大雅》的价格分别是元和元
(2)学校购书的的最低总费用元

【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组即可解答；
（2）根据题意列出不等式组即可解答．
【详解】（1）解：设一本《爱的教育》和《小词大雅》的价格分别是x元和y元，根据题意得：
，        
解得，，
答：一本《爱的教育》和《小词大雅》的价格分别是15元和32元；
（2）解：设学校购买《爱的教育》本，则购买《小词大雅》本，购书的总费用为W元，
根据题意得，，即，
又∵，
解得，，
∵，
∴随的增大而减小
∴当时，最小值为元
答：学校购书的的最低总费用元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，明确题意，找出所求问题需要的条件即可解答．
【变式4-2】某客运公司有A、B两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表：红星中学根据实际情况，计划租用A，B两种型号的客车共5辆，送七年级师生到某地参加社会实践活动．设租用A型客车辆．
客车型号
车辆数/辆
载客量/人
租金/元
A



B



客车型号
A
B

载客量（人/辆）
45
30

租金（元/辆）
400
280

请根据要求回答下列问题：
(1)用含的式子填写下表：
(2)若要保证租车费用不超过1900元，求的最大值．
(3)在（2）的条件下，若七年级师生共有195人，写出所有可能的租车方案，并确定省钱的租车方案.
【答案】(1)；
(2)最大值
(3)有两种方案：①租A种客车3辆，B种客车2辆，②租A种客车4辆，B种客车1辆，最省钱的租车方案为：租A种客车3辆，B种客车2辆．

【分析】（1）根据表格信息结合载客量与租金的计算方法可得答案；
（2）由总的租金不超过1900元，列不等式即可；
（3）由总的载客量大于或等于195人，结合（2）列不等式组即可．
【详解】（1）解：由表格信息可得：B种客车的总载客量为，总的租金为：元；
（2）由题意可得：，
解得：，
∵表示车辆数，
∴的最大值为：．
（3）由题意可得：，
解得：，
∵表示车辆数，
∴或．
∴有两种方案：①租A种客车3辆，B种客车2辆，费用为（元）；
②租A种客车4辆，B种客车1辆，费用为：（元）；
∴最省钱的租车方案为：租A种客车3辆，B种客车2辆．
【点睛】本题考查的是列代数式，一元一次不等式的应用，一元一次不等式组的应用，理解题意，确定不等关系是解本题的关键．
.【考点五 原材料问题】
【典例5-1】为了美化校园，学校决定利用现有的盆甲种花卉和盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆，搭配一个B种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆．设搭配A种造型x个，你认为下列符合题意的不等式组是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】设搭配种造型个，则种造型个，根据“现有的盆甲种花卉和盆乙种花卉搭配、两种园艺造型”及“搭配一个种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆，搭配一个种造型需甲种花卉盆，乙种花卉盆”列出关于的不等式组即可得出答案．
【详解】解：设搭配A种造型x个，则B种造型个
根据题意，得

故选A．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式组的应用，读懂题意找到等量关系式是解题的关键．

【典例5-2】某工厂现有甲种原料，乙种原料，计划利用这两种原料生产A、B两种的产品共件，生产A、B两种产品用料情况如表：
若设生产A产品x件，求x的值，并说明有哪几种符合题意的生产方案．

需要用甲原料
需要用乙原料
一件A种产品


一件B种产品


【答案】共有2种符合题意的生产方案，方案1：生产A产品25件，B产品15件；方案2：生产A产品26件，B产品14件．
【分析】设生产A产品x件，则生产B产品件，然后根据甲种原料，乙种原料列出不等式组求解即可．
【详解】解：设生产A产品x件，则生产B产品件，
根据题意得：，
解得，
又∵x为正整数，
∴x可以为25，26，
∴共有2种符合题意的生产方案，
方案1：生产A产品25件，B产品15件；
方案2：生产A产品26件，B产品14件．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意找到不等关系建立不等式组是解题的关键．
针对训练5
【变式5-1】某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．
(1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？
(2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元，且生产B产品要超过38件，问有哪几种符合条件的生产方案？
【答案】(1)甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元；
(2)见解析．

【分析】（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，根据题意列出方程，解方程即可；
（2）设生产B产品a件，生产A产品件．根据题意得出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果．
【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，
依题意得：，
解得：；
答：甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元．
（2）解：设生产B产品a件，生产A产品件，依题意得：
，
解得：；
∵a的值为非负整数，
∴、40、41、42；
答：共有如下四种方案：
A（件）
21
20
19
18
B（件）
39
40
41
42
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，根据题意中的数量关系列出方程组、不等式组是解决问题的关键
【变式5-2】某厂有甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量及购买这两种原料的价格如下表：

甲种原料
乙种原料
维生素C/（单位/千克）
600
100
原料价格/（元/千克）
8
4
现配制这种饮料10千克，要求至少含有4200单位的维生素C，并要求购买甲、乙两种原料的费用不超过72元．
(1)设需用x千克甲种原料，写出x应满足的不等式组．
(2)按上述的条件购买甲种原料应在什么范围之内？
【答案】(1)
(2)．

【分析】（1）根据条件列不等式组即可．
（2）解（1）中不等式即可．
【详解】（1）解：设需用x千克甲种原料，根据题意，可得：
（2）解：，解得：．
【点睛】本题主要考查不等式组的应用及解法，能够熟练运用条件列不等式组是解题关键
【典例剖析6】
【考点六 其他问题】
【典例6-1】如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．

已知当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50公斤、70公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，则所有满足题意的x可用下列哪一个不等式表示？（　　）
A．180＜x≤250 B．180＜x≤300 C．230＜x≤250 D．230＜x≤300
【答案】A
【分析】由图可得，小丽的重量为50公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，小欧的重量分别为70公斤．且进入电梯后，警示音响起，分别列出不等式即可求解．
【解答】解：由题意可知：
当电梯乘载的重量超过300公斤时警示音响起，小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x公斤，
由图可知：
小丽的重量为50公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，
所以此时电梯乘载的重量x+50≤300，解得x≤250，
因为小欧的重量分别为70公斤．且进入电梯后，警示音响起，
所以此时电梯乘载的重量x+50+70＞300，解得x＞180，
因此180＜x≤250．
故选：A．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题意找到不等关系．
【典例6-2】数学何老师网购了一本《魔法数学》，同学们想知道书的价格，何老师让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多25元．”丙说：“至多20元．”何老师说：“你们三个人中只有一人说对了”．则这本书的价格x（元）所在的范围为　 　．
【答案】x＞25
【分析】根据题意得出不等式组解答即可．
【解答】解：根据题意可得：，如图：

∵三个人中只有一人说对了，
∴这本书的价格x（元）所在的范围为x＞25．
故答案为：x＞25．
【点评】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组解答．
针对训练6
【变式6-1】为了缓解城市交通拥堵现象，某市对非居民区的公共停车场制定了不同的收费标准．如果小王某次停车大于3且小于4小时，缴费大于28且小于32元，请你判断小王该次停车所在地区的类别是 　 　．（填“一类、二类、三类”中的一个）
地区类别
首小时内
首小时外
一类
2.5元/15分钟
3.75元/15分钟
二类
1.5元/15分钟
2.25元/15分钟
三类
0.5元/15分钟
0.75元/15分钟
【答案】二类
【分析】设小王某次停车时间为x小时，根据公共停车场的收费标准，分别求出三个类别停车所在地区的收费，进而求解即可．
【解答】解：设小王某次停车时间为x小时，
如果停车所在地区的类别是一类，应该收费：2.5×4+3.75×4（x﹣1）＝15x﹣5，
当3＜x＜4时，40＜15x﹣5＜55；
如果停车所在地区的类别是二类，应该收费：1.5×4+2.25×4（x﹣1）＝9x﹣3，
当3＜x＜4时，24＜9x﹣3＜33；
如果停车所在地区的类别是三类，应该收费：0.5×4+0.75×4（x﹣1）＝3x﹣1，
当3＜x＜4时，8＜3x﹣1＜11；
故答案为：二类．
【点评】本题考查了一元一次不等式实际问题的应用，正确理解自行车租赁服务的收费标准，求出三个类别租赁自行车的收费是解题的关键．
【变式6-2】小红和小芳的年龄相差8岁，今年，小红的年龄比小芳年龄的2倍大；两年后小芳的年龄比小红的一半大，试问小红和小芳今年各多少岁？
【答案】小芳今年为7岁，小红今年为15岁
【分析】设小芳今年为x岁，则小红今年为（x+8）岁，由题意：今年，小红的年龄比小芳年龄的2倍大；两年后小芳的年龄比小红的一半大，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题．
【解答】解：设小芳今年为x岁，则小红今年为（x+8）岁，
由题意得：，
解得：6＜x＜8，
∵x为正整数，
∴x＝7，
则x+8＝7+8＝15，
答：小芳今年为7岁，小红今年为15岁．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．