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2022-2023学年河南省开封市杞县七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年河南省开封市杞县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省开封市杞县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列表示我国古代窗棂样式结构的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 已知a
3. 若一个三角形三个内角度数的比为3：4：5，那么这个三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形
4. 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是( )
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
5. 如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=50°，点D是BC上任一点，点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE和AF，则∠EAF的度数是( )
A. 140° B. 135° C. 120° D. 100°
6. 一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
7. 如图，在新型俄罗斯方块游戏中(出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转；向左、向右平移)，已拼好的图案如图所示，现又出现一个形如的方块正向下运动，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整的图形( )
A. 顺时针旋转90°，向右平移
B. 逆时针旋转90°，向右平移
C. 顺时针旋转90°，向左平移
D. 逆时针旋转90°，向左平移
8. 《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱.问人数是多少？若设人数为x，则下列方程正确的是( )
A. 8x+3=7x−4 B. 8x−3=7x+4
C. 8(x−3)=7(x+4) D. 8x+4=7x−3
9. 已知x=2y=1是二元一次方程组mx+ny=8nx−my=1的解，则m+3n等于( )
A. 9 B. 6 C. 5 D. 12
10. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>47”为一次程序操作.如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是( )
A. x>23 B. 11≤x<23 C. x≤11 D. 11
11. 写出一个解为x=−7的一元一次方程：______ ．
12. 不等式4(x−1)<3x+3的正整数解的个数有______个．
13. 如图，将一块含45°角的三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB′C′的位置.若∠CAB′=20°，则旋转的角度为______ ．
14. 一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为______ ．
15. 如图，在△ABC中，已知BC=7，点E，F分别在边AB，BC上，将△BEF沿直线EF折叠，使点B落在点D处，DF向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，连结AD，若3AC−AD=11，则AC+3AD的值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
解方程(组)：
(1)x2−5x+86=1+2x−43；
(2)x+13=2y2(x+1)−y=11．
17. (本小题9.0分)
解不等式组x−3(x−2)≥42x+65>x+12+1；并把解集在数轴上表示出来．
18. (本小题9.0分)
如图，△ABC≌△DEF，点A，F，C，D在同一条直线上，已知AF=2cm．
(1)判断线段BC与线段EF的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)求线段CD的长度．
19. (本小题9.0分)
学习了一次方程后，甲乙两位同学为了提高解方程能力，勤加练习，但甲同学在解一次一元方程
x+32−1=x+a6，去分母时−1项忘记乘以6，得该方程的解为x=−3，乙同学在解方程组2x−3by=53x+2by=3时，看错了第一个方程，得该方程组的解为x=2y=3，试求a+b的值．
20. (本小题9.0分)
如图，在所给网格中(每小格均为边长是1的正方形)，按下列要求画图：
(1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线l对称的△A1B1C1；
(2)在直线l上画出点Q，使QB+QC的值最小(保留画图痕迹，不写作法)．
21. (本小题9.0分)
新修订的《中华人民共和国体育法》于2023年1月1日起施行，其中指出优先发展青少年和学校体育.某校为鼓励学生多锻炼，促进学生健康成长，准备购进排球和足球两种体育器材.已知购买3个排球和2个足球需要208元，购买2个排球和5个足球需要234元．
(1)每个排球和每个足球的价格各是多少元？
(2)如果该学校计划购买足球的个数比购买排球个数的2倍多20个，且用于购买排球和足球的总经费不超过5720元，那么该学校最多可以购买多少个足球？
22. (本小题10.0分)
如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若∠CBF=30°，∠AFB=70°．
(1)∠BAD=______°；
(2)求∠DAE的度数；
(3)若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数．
23. (本小题10.0分)
模型认识：我们学过三角形的内角和等于180°，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动.如图①.在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
解决问题：
(1)若∠ABC=40°，∠ACB=80°，则∠BPC= ______ ；(直接写出答案)
(2)若∠BAC=100°，求出∠BPC的度数：
拓展延伸：如图②，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，直接写出∠BPC与∠A+∠D的数量关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都乘以2，不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、两边都乘以−1，不等号的方向改变，故C不符合题意；
D、两边都减b，不等号的方向不变，故D符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了不等式的性质，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】A
【解析】解：设三角形三个内角度数分别为3份，4份，5份，
180°÷(3+4+5)
=180°÷12
=15°，
15°×5=75°，
这个三角形最大的角是75°，是锐角，所以这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
把三角形三个内角度数分别看作3份，4份，5份，三角形的内角和应该是3+4+5=12份，求出一份是多少度，再算出最大的角的度数判断即可解答．
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°.关键是求出最大的角的度数判断．
4.【答案】C
【解析】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
∴不能铺满地面的是正五边形．
故选：C．
由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．
几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
5.【答案】A
【解析】解：如图，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，
∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，
∵∠B=60°，∠C=50°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−60°−50°=70°，
∴∠EAF=2∠BAC=140°，
故选：A．
利用轴对称的性质解答即可．
此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
【解答】
解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：5−2
∴a的最大值为6，
则三角形的最大周长为6+2+5=13．
故选C．
7.【答案】A
【解析】解：由图可知，把又出现的方块顺时针旋转90°，然后向右平移即可落入已经拼好的图案的空格处．
故选：A．
在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把三行排满，需要旋转和平移，通过观察即可得到．
本题考查了生活中的旋转现象与平移现象，准确观察又出现的方块与已经拼好的空格的形状是解题的关键，要注意看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意得：8x−3=7x+4．
故选：B．
根据物品的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵x=2y=1是二元一次方程组mx+ny=8nx−my=1的解，
∴2m+n=8①2n−m=1②，
①+②得，m+3n=9，
故选：A．
将x=2y=1代入二元一次方程组mx+ny=8nx−my=1，再求m+3n即可．
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组与二元一次方程组的关系，用整体思想解题是关键．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意得：2x+1≤472(2x+1)+1>47，
解得：11
根据程序操作进行了两次才停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
11.【答案】x+7=0
【解析】解：方程为x+7=0，
故答案为：x+7=0(答案不唯一)．
根据一元一次方程的定义和方程解的定义写出一个符合的方程即可．
本题考查了一元一次方程和一元一次方程的解的定义，能理解两个定义是解此题的关键，答案不唯一．
12.【答案】6
【解析】解：4(x−1)<3x+3，
4x−4<3x+3，
4x−3x<3+4，
x<7，
∴该不等式的正整数解为：1，2，3，4，5，6，
∴不等式的正整数解的个数有6个，
故答案为：6．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
13.【答案】25°
【解析】解：∵将一块含45°角的三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB′C′的位置，
∴∠BAC=∠B′AC′=45°，
∵∠CAB′=20°，
∴旋转角∠BAB′=∠BAC−∠CAB′=45°−20°=25°，
故答案为：25°．
根据旋转的性质得出∠BAC=∠B′AC′=45°，再根据∠CAB′=20°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，正确确定旋转角是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得，
(n−2)×180°=5×360°，
解得n=12，
故答案为：12．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与外角和定理列出方程，求解即可得到答案．
本题主要考查了多边形内角和公式，多边形外角和定理，解题关键是掌握多边形内角和公式：(n−2)⋅180°以及多边形的外角和等于360°．
15.【答案】12
【解析】解：∵将△BEF沿直线EF折叠，使点B落在点D处，
∴DF=BF，
∵DF向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴AD=CF，DF=AC，
设AD=CF=x，则AC=DF=BF=7−x，
∵3AC−AD=11，
∴3(7−x)−x=11，
∴x=2.5，
∴AD=2，5，AC=4.5，
∴AC+3AD=4.5+3×2.5=12，
故答案为：12．
根据折叠的性质得到DF=BF，由平移的性质得到AD=CF，DF=AC，设AD=CF=x，则AC=DF=BF=7−x，列方程得到AD=2，5，AC=4.5，于是得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，平移的性质，正确的识别图形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)x2−5x+86=1+2x−43，
3x−(5x+8)=6+2(2x−4)，
3x−5x−8=6+4x−8，
−6x=6，
x=−1；
(2)x+13=2y①2(x+1)−y=11②，
由①得：x+1=6y③，
把③代入②得：12y−y=11，
解得：y=1，
把y=1代入③得：x+1=6，
解得：x=5，
故原方程组的解是：x=5y=1．
【解析】(1)利用解一元一次方程的方法进行求解即可；
(2)利用代入消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解一元一次方程，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
17.【答案】解：解不等式x−3(x−2)≥4，得：x≤1，
解不等式2x+65>x+12+1，得：x<−3，
则不等式组的解集为x<−3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：(1)BC=EF，BC//EF，理由：
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠BCA=∠EFD，
∴BC//EF．
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，
∴AC−CF=DF−CF，
∴CD=AF=2cm．
【解析】(1)根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
(2)根据全等三角形的性质得AC=DF，则AC−CF=DF−CF，即CD=AF=2cm．
此题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的性质．
19.【答案】解：甲同学的做法为：
去分母得：3(x+3)−1=x+a，
去括号得：3x+9−1=x+a，
移项得：3x−x=a−9+1，
合并同类项得：2x=a−8，
系数化为1得：x=a−82，
∴a−82=−3，
∴a=2；
把x=2y=3代入3x+2by=3得：6+6b=3，
∴b=−12，
∴a+b=2−12=32．
【解析】按照甲同学的做法得到a的值，把x=2y=3代入3x+2by=3得到b的值，从而得到a+b的值．
本题考查了一元一次方程的解，二元一次方程组的解，根据两位同学的解法求出a，b的值是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，点Q即为所求．
【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)连接BC1交直线l于点Q，连接CQ，点Q即为所求．
本题考查作图−轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)设每个排球的价格是x元，每个足球的价格是y元，
根据题意得：3x+2y=2082x+5y=234，
解得：x=52y=26．
答：每个排球的价格是52元，每个足球的价格是26元；
(2)设学校购买m个排球，则购买(2m+20)个足球，
根据题意得：52m+26(2m+20)≤5720，
解得：m≤50，
∴2m+20≤120，
∴2m+20的最大值为120．
答：该学校最多可以购买120个足球．
【解析】(1)设每个排球的价格是x元，每个足球的价格是y元，根据“购买3个排球和2个足球需要208元，购买2个排球和5个足球需要234元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设学校购买m个排球，则购买(2m+20)个足球，利用总价=单价×数量，结合用于购买排球和足球的总经费不超过5720元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，进而可得出2m+20的取值范围，再取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)30；
(2)∵∠AFB=∠FBC+∠C，
∴∠C=70°−30°=40°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−60°−40°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=40°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−30°=10°．
(3)∠BFM=60°或20°．
【解析】解：(1)∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBF=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−60°=30°，
故答案为：30．
(2)见答案；
(3)如图1中，当∠FMC=90°时，∠BFM=90°−30°=60°．
如图2中，当∠MFC=90°时，∠BFM=∠FMC−∠FBC=(90°−40°)−30°=20°，
综上所述，∠BFM度数为60°或20°．
(1)利用角平分线的定义求出∠ABC，再利用三角形内角和定理求出∠BAD．
(2)根据∠DAE=∠BAE−∠BAD，求出∠BAE，∠BAD即可．
(3)分两种情形：如图1中，当∠FMC=90°时，如图2中，当∠MFC=90°时，分别求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
23.【答案】120°
【解析】解：(1)∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠PBC=12∠ABC=12×40°=20°，∠PCB=12∠ACB=12×80°=40°．
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°−20°−40°=120°；
故答案为：120°；
(2)∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB．
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°−12(180°−∠BAC)=90°+12∠BAC，
∵∠BAC=100°，
∴∠BPC=90°+12∠BAC=90°+12×100°=140°；
(3)∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠DCB．
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°−12(360°−∠A−∠D)=12(∠A+∠D)．
(1)根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；
(2)根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；
(3)根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系．
本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．
2022-2023学年河南省开封市杞县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列表示我国古代窗棂样式结构的图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2. 已知a
3. 若一个三角形三个内角度数的比为3：4：5，那么这个三角形是( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 钝角三角形
4. 下列多边形中，不能够单独铺满地面的是( )
A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形
5. 如图，△ABC中，∠B=60°，∠C=50°，点D是BC上任一点，点E和点F分别是点D关于AB和AC的对称点，连接AE和AF，则∠EAF的度数是( )
A. 140° B. 135° C. 120° D. 100°
6. 一个三角形的两边长分别为2和5，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
7. 如图，在新型俄罗斯方块游戏中(出现的图案可进行顺时针、逆时针旋转；向左、向右平移)，已拼好的图案如图所示，现又出现一个形如的方块正向下运动，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整的图形( )
A. 顺时针旋转90°，向右平移
B. 逆时针旋转90°，向右平移
C. 顺时针旋转90°，向左平移
D. 逆时针旋转90°，向左平移
8. 《九章算术》中记载了一个问题，大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8钱，多3钱；每人出7钱，少4钱.问人数是多少？若设人数为x，则下列方程正确的是( )
A. 8x+3=7x−4 B. 8x−3=7x+4
C. 8(x−3)=7(x+4) D. 8x+4=7x−3
9. 已知x=2y=1是二元一次方程组mx+ny=8nx−my=1的解，则m+3n等于( )
A. 9 B. 6 C. 5 D. 12
10. 运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否>47”为一次程序操作.如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是( )
A. x>23 B. 11≤x<23 C. x≤11 D. 11
11. 写出一个解为x=−7的一元一次方程：______ ．
12. 不等式4(x−1)<3x+3的正整数解的个数有______个．
13. 如图，将一块含45°角的三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB′C′的位置.若∠CAB′=20°，则旋转的角度为______ ．
14. 一个多边形的内角和是它的外角和的5倍，则这个多边形的边数为______ ．
15. 如图，在△ABC中，已知BC=7，点E，F分别在边AB，BC上，将△BEF沿直线EF折叠，使点B落在点D处，DF向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，连结AD，若3AC−AD=11，则AC+3AD的值为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
解方程(组)：
(1)x2−5x+86=1+2x−43；
(2)x+13=2y2(x+1)−y=11．
17. (本小题9.0分)
解不等式组x−3(x−2)≥42x+65>x+12+1；并把解集在数轴上表示出来．
18. (本小题9.0分)
如图，△ABC≌△DEF，点A，F，C，D在同一条直线上，已知AF=2cm．
(1)判断线段BC与线段EF的数量关系和位置关系，并说明理由；
(2)求线段CD的长度．
19. (本小题9.0分)
学习了一次方程后，甲乙两位同学为了提高解方程能力，勤加练习，但甲同学在解一次一元方程
x+32−1=x+a6，去分母时−1项忘记乘以6，得该方程的解为x=−3，乙同学在解方程组2x−3by=53x+2by=3时，看错了第一个方程，得该方程组的解为x=2y=3，试求a+b的值．
20. (本小题9.0分)
如图，在所给网格中(每小格均为边长是1的正方形)，按下列要求画图：
(1)画出格点△ABC(顶点均在格点上)关于直线l对称的△A1B1C1；
(2)在直线l上画出点Q，使QB+QC的值最小(保留画图痕迹，不写作法)．
21. (本小题9.0分)
新修订的《中华人民共和国体育法》于2023年1月1日起施行，其中指出优先发展青少年和学校体育.某校为鼓励学生多锻炼，促进学生健康成长，准备购进排球和足球两种体育器材.已知购买3个排球和2个足球需要208元，购买2个排球和5个足球需要234元．
(1)每个排球和每个足球的价格各是多少元？
(2)如果该学校计划购买足球的个数比购买排球个数的2倍多20个，且用于购买排球和足球的总经费不超过5720元，那么该学校最多可以购买多少个足球？
22. (本小题10.0分)
如图，AD为△ABC的高，AE、BF为△ABC的角平分线，若∠CBF=30°，∠AFB=70°．
(1)∠BAD=______°；
(2)求∠DAE的度数；
(3)若点M为线段BC上任意一点，当△MFC为直角三角形时，直接写出∠BFM的度数．
23. (本小题10.0分)
模型认识：我们学过三角形的内角和等于180°，又知道角平分线可以把一个角分成大小相等的两部分，接下来我们就利用上述知识进行下面的探究活动.如图①.在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线．
解决问题：
(1)若∠ABC=40°，∠ACB=80°，则∠BPC= ______ ；(直接写出答案)
(2)若∠BAC=100°，求出∠BPC的度数：
拓展延伸：如图②，在四边形ABCD中，BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，直接写出∠BPC与∠A+∠D的数量关系．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．
2.【答案】D
【解析】解：A、两边都加3，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都乘以2，不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、两边都乘以−1，不等号的方向改变，故C不符合题意；
D、两边都减b，不等号的方向不变，故D符合题意；
故选：D．
根据不等式的性质，可得答案．
本题考查了不等式的性质，不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
3.【答案】A
【解析】解：设三角形三个内角度数分别为3份，4份，5份，
180°÷(3+4+5)
=180°÷12
=15°，
15°×5=75°，
这个三角形最大的角是75°，是锐角，所以这个三角形是锐角三角形．
故选：A．
把三角形三个内角度数分别看作3份，4份，5份，三角形的内角和应该是3+4+5=12份，求出一份是多少度，再算出最大的角的度数判断即可解答．
本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°.关键是求出最大的角的度数判断．
4.【答案】C
【解析】解：∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正方形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．
∴不能铺满地面的是正五边形．
故选：C．
由镶嵌的条件知，在一个顶点处各个内角和为360°．
几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．
5.【答案】A
【解析】解：如图，∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，
∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，
∵∠B=60°，∠C=50°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°−60°−50°=70°，
∴∠EAF=2∠BAC=140°，
故选：A．
利用轴对称的性质解答即可．
此题考查轴对称的性质，关键是利用轴对称的性质解答．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
先根据三角形的三边关系定理求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．
【解答】
解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：5−2
∴a的最大值为6，
则三角形的最大周长为6+2+5=13．
故选C．
7.【答案】A
【解析】解：由图可知，把又出现的方块顺时针旋转90°，然后向右平移即可落入已经拼好的图案的空格处．
故选：A．
在俄罗斯方块游戏中，要使其自动消失，要把三行排满，需要旋转和平移，通过观察即可得到．
本题考查了生活中的旋转现象与平移现象，准确观察又出现的方块与已经拼好的空格的形状是解题的关键，要注意看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度，难度不大．
8.【答案】B
【解析】解：根据题意得：8x−3=7x+4．
故选：B．
根据物品的价格不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：∵x=2y=1是二元一次方程组mx+ny=8nx−my=1的解，
∴2m+n=8①2n−m=1②，
①+②得，m+3n=9，
故选：A．
将x=2y=1代入二元一次方程组mx+ny=8nx−my=1，再求m+3n即可．
本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组与二元一次方程组的关系，用整体思想解题是关键．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意得：2x+1≤472(2x+1)+1>47，
解得：11
根据程序操作进行了两次才停止，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围．
本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
11.【答案】x+7=0
【解析】解：方程为x+7=0，
故答案为：x+7=0(答案不唯一)．
根据一元一次方程的定义和方程解的定义写出一个符合的方程即可．
本题考查了一元一次方程和一元一次方程的解的定义，能理解两个定义是解此题的关键，答案不唯一．
12.【答案】6
【解析】解：4(x−1)<3x+3，
4x−4<3x+3，
4x−3x<3+4，
x<7，
∴该不等式的正整数解为：1，2，3，4，5，6，
∴不等式的正整数解的个数有6个，
故答案为：6．
按照解一元一次不等式的步骤，进行计算即可解答．
本题考查了一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式是解题的关键．
13.【答案】25°
【解析】解：∵将一块含45°角的三角板ABC绕点A按逆时针方向旋转到△AB′C′的位置，
∴∠BAC=∠B′AC′=45°，
∵∠CAB′=20°，
∴旋转角∠BAB′=∠BAC−∠CAB′=45°−20°=25°，
故答案为：25°．
根据旋转的性质得出∠BAC=∠B′AC′=45°，再根据∠CAB′=20°，即可求解．
本题考查了旋转的性质，正确确定旋转角是解题的关键．
14.【答案】12
【解析】解：设这个多边形的边数为n，
根据题意得，
(n−2)×180°=5×360°，
解得n=12，
故答案为：12．
根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°与外角和定理列出方程，求解即可得到答案．
本题主要考查了多边形内角和公式，多边形外角和定理，解题关键是掌握多边形内角和公式：(n−2)⋅180°以及多边形的外角和等于360°．
15.【答案】12
【解析】解：∵将△BEF沿直线EF折叠，使点B落在点D处，
∴DF=BF，
∵DF向右平移若干单位长度后恰好能与边AC重合，
∴四边形ADFC是平行四边形，
∴AD=CF，DF=AC，
设AD=CF=x，则AC=DF=BF=7−x，
∵3AC−AD=11，
∴3(7−x)−x=11，
∴x=2.5，
∴AD=2，5，AC=4.5，
∴AC+3AD=4.5+3×2.5=12，
故答案为：12．
根据折叠的性质得到DF=BF，由平移的性质得到AD=CF，DF=AC，设AD=CF=x，则AC=DF=BF=7−x，列方程得到AD=2，5，AC=4.5，于是得到结论．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，平移的性质，正确的识别图形是解题的关键．
16.【答案】解：(1)x2−5x+86=1+2x−43，
3x−(5x+8)=6+2(2x−4)，
3x−5x−8=6+4x−8，
−6x=6，
x=−1；
(2)x+13=2y①2(x+1)−y=11②，
由①得：x+1=6y③，
把③代入②得：12y−y=11，
解得：y=1，
把y=1代入③得：x+1=6，
解得：x=5，
故原方程组的解是：x=5y=1．
【解析】(1)利用解一元一次方程的方法进行求解即可；
(2)利用代入消元法进行求解即可．
本题主要考查解二元一次方程组，解一元一次方程，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用．
17.【答案】解：解不等式x−3(x−2)≥4，得：x≤1，
解不等式2x+65>x+12+1，得：x<−3，
则不等式组的解集为x<−3，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18.【答案】解：(1)BC=EF，BC//EF，理由：
∵△ABC≌△DEF，
∴BC=EF，∠BCA=∠EFD，
∴BC//EF．
(2)∵△ABC≌△DEF，
∴AC=DF，
∴AC−CF=DF−CF，
∴CD=AF=2cm．
【解析】(1)根据全等三角形的性质和平行线的判定解答即可．
(2)根据全等三角形的性质得AC=DF，则AC−CF=DF−CF，即CD=AF=2cm．
此题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的性质．
19.【答案】解：甲同学的做法为：
去分母得：3(x+3)−1=x+a，
去括号得：3x+9−1=x+a，
移项得：3x−x=a−9+1，
合并同类项得：2x=a−8，
系数化为1得：x=a−82，
∴a−82=−3，
∴a=2；
把x=2y=3代入3x+2by=3得：6+6b=3，
∴b=−12，
∴a+b=2−12=32．
【解析】按照甲同学的做法得到a的值，把x=2y=3代入3x+2by=3得到b的值，从而得到a+b的值．
本题考查了一元一次方程的解，二元一次方程组的解，根据两位同学的解法求出a，b的值是解题的关键．
20.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求；
(2)如图，点Q即为所求．
【解析】(1)利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可；
(2)连接BC1交直线l于点Q，连接CQ，点Q即为所求．
本题考查作图−轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，属于中考常考题型．
21.【答案】解：(1)设每个排球的价格是x元，每个足球的价格是y元，
根据题意得：3x+2y=2082x+5y=234，
解得：x=52y=26．
答：每个排球的价格是52元，每个足球的价格是26元；
(2)设学校购买m个排球，则购买(2m+20)个足球，
根据题意得：52m+26(2m+20)≤5720，
解得：m≤50，
∴2m+20≤120，
∴2m+20的最大值为120．
答：该学校最多可以购买120个足球．
【解析】(1)设每个排球的价格是x元，每个足球的价格是y元，根据“购买3个排球和2个足球需要208元，购买2个排球和5个足球需要234元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设学校购买m个排球，则购买(2m+20)个足球，利用总价=单价×数量，结合用于购买排球和足球的总经费不超过5720元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，进而可得出2m+20的取值范围，再取其中的最大值，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
22.【答案】解：(1)30；
(2)∵∠AFB=∠FBC+∠C，
∴∠C=70°−30°=40°，
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠C=180°−60°−40°=80°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC=40°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−30°=10°．
(3)∠BFM=60°或20°．
【解析】解：(1)∵BF平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠CBF=60°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−∠ABC=90°−60°=30°，
故答案为：30．
(2)见答案；
(3)如图1中，当∠FMC=90°时，∠BFM=90°−30°=60°．
如图2中，当∠MFC=90°时，∠BFM=∠FMC−∠FBC=(90°−40°)−30°=20°，
综上所述，∠BFM度数为60°或20°．
(1)利用角平分线的定义求出∠ABC，再利用三角形内角和定理求出∠BAD．
(2)根据∠DAE=∠BAE−∠BAD，求出∠BAE，∠BAD即可．
(3)分两种情形：如图1中，当∠FMC=90°时，如图2中，当∠MFC=90°时，分别求解即可．
本题属于三角形综合题，考查了角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
23.【答案】120°
【解析】解：(1)∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠ABC=40°，∠ACB=80°，
∴∠PBC=12∠ABC=12×40°=20°，∠PCB=12∠ACB=12×80°=40°．
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°−20°−40°=120°；
故答案为：120°；
(2)∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB．
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°−12(180°−∠BAC)=90°+12∠BAC，
∵∠BAC=100°，
∴∠BPC=90°+12∠BAC=90°+12×100°=140°；
(3)∵BP、CP分别是∠ABC和∠DCB的角平分线，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠DCB．
∴∠BPC=180°−∠PBC−∠PCB=180°−12(360°−∠A−∠D)=12(∠A+∠D)．
(1)根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；
(2)根据角平分线的定义和三角形内角和定理可得∠BPC的度数；
(3)根据角平分线的定义和四边形内角和定理可得∠BPC与∠A+∠D的数量关系．
本题考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．
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