专题21.21 一元二次方程（全章分层练习）（基础练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

这是一份专题21.21 一元二次方程（全章分层练习）（基础练）-2023-2024学年九年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版），共18页。

专题21.21 一元二次方程（全章分层练习）（基础练）
一、单选题
1．如果关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（    ）
A． B．1 C． D．2
2．解关于x的一元二次方程时，配方后正确的是（    ）
A． B． C． D．
3．已知，（为任意实数），那么、的大小关系为（    ）
A． B． C． D．不能确定
4．分式的值为0，则的值是（    ）
A．0 B． C．1 D．0或1
5．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（　　）
A．     B．     C．     D．    
6．如果关于的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（    ）
A． B．且 C．且 D．
7．已知关于的一元二次方程的两个实数根为、，且，则的取值范围是（   ）
A． B． C． D．
8．某工厂2021年生产某种机械5000台，研发生产技术后，预计2023年生产该种机械6600台，设生产该种机械的年平均增长率为x，下面所列方程正确的是（    ）
A． B．
C． D．
9．在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0
C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0
10．“抖音直播带货”已经成为一种热门的销售方式，某抖音主播代销某一品牌的电子产品（这里代销指厂家先免费提供货源，待货物销售后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．销售中发现每件售价99元时，日销售量为200件，当每件电子产品每下降5元时，日销售量会增加10件．已知每售出1件电子产品，该主播需支付厂家和其他费用共50元，设每件电子产品售价为x（元），主播每天的利润为w（元），则w与x之间的函数解析式为（    ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．方程的解是 ．
12．关于x的方程是一元二次方程，则 ．
13．用配方法解方程时，将方程化为的形式，则 ， ．
14．若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ．
15．若，是一元二次方程的两个根，则 ．
16．若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
17．《九章算术》中有一题：“今有二人同立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲乙各行几何？”大意是说：“甲、乙二人同从同一地点出发，甲的速度为7，乙的速度为3，乙一直向东走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇．甲、乙各走了多少步？”请问甲走的步数是 ．
18．如图1，在矩形ABCD中，，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿向点D运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图2所示，则AD边的长为 ．

三、解答题
19．解方程
(1)2x2+4x+1=0 （配方法） (2)x2+6x=5（公式法）






20．小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框：
小敏：
两边同除以，得
，
则．
小霞：
移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．





21．已知关于x的方程．
(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；
(2)设此方程的两个根分别为，，若，求m的值．








22．某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．
(1)求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？
(2)要想平均每天盈利2000元，可能吗？请说明理由．












23．我们知道，所以代数式的最小值为0．学习了多项式乘法中的完全平方公式，可以逆用公式，即用来求一些多项式的最小值．
例如，求的最小值问题．
解：∵，
又∵，∴，∴的最小值为．
请应用上述思想方法，解决下列问题：
(1)探究：；
(2)求的最小值．
(3)比较代数式：与的大小．










24．提出问题
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，．
当时，，，∴；
当时，，，∴．
∴原方程的解为，，，．
以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想．
解决问题
（1）运用上述换元法解方程．
延伸拓展
（2） 已知实数m，n满足，求的值．






































参考答案
1．A
【分析】将代入一元二次方程，可得，由此可得答案．
解：关于x的一元二次方程的一个解是，
，
，
，
即代数式的值为．
故选A．
【点拨】本题主要一元二次方程的解的定义，解题的关键是掌握定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．
2．A
【分析】利用完全平方公式进行配方即可得．
解：，
，
，
故选：A．
【点拨】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键．
3．B
【分析】利用作差法判断与大小即可．
解：，（为任意实数），




，
，
即，
则．
故选：B．
【点拨】本题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，数量掌握完全平方公式是解题的关键．
4．A
【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可．
解：∵分式的值为0，
∴，
解得，
故选A．
【点拨】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键．
5．B
【分析】利用判别式的意义得到，则，然后根据一次函数的性质对各选项进行判断．
解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
当，时，一次函数经过第一、三、四象限；
当，时，一次函数经过第一、二、四象限．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了一元二次函数根的判别式，一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握，则方程有两根不相等的实数根；，则方程有两根相等的实数根；，则方程有没有实数根．
6．C
【分析】根据关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，知△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，解之可得．
解：∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个实数根，
∴△=（-3）2-4×k×1≥0且k≠0，
解得k≤且k≠0，
故选：C．
【点拨】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
7．C
【分析】根据根的判别式以及根与系数的关系即可求出答案．
解：由题意可知：，
，
，，
，
，
，
故选：．
【点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根的判别式以及根与系数的关系，本题属于基础题型．
8．A
【分析】根据增长后的量增长前的量增长率列出方程即可．
解：根据题意，得．
故选：A．
【点拨】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键，同时要注意增长率问题的一般规律．
9．B
【分析】先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程．
解：由题意可知：挂图的长为，宽为，
，
化简得：x2+65x﹣350＝0，
故选：B．
【点拨】本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．
10．D
【分析】设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，根据每件利润=实际售价－成本价，销售量=原销售量+变化量，总利润=每件利润×数量，即可得出答案．
解：设每件电子产品售价为元，主播每天的利润为元，
则每件盈利元，每天可销售件，
根据题意得：．
故选：D．
【点拨】本题考查二次函数的应用（降价促销问题），理清题意找准数量与价格变化关系是解题的关键．
11．或
【分析】利用因式分解法求解即可．
解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【点拨】本题考查了解一元二次方程，能够根据方程特点灵活选用不同的解法是解题关键．
12．
【分析】根据一元二次方程的定义解题即可．
解：由题意得，
解得：，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．
13．
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边都加上1，然后把方程作边写成完全平方形式，从而得到m、n的值．
解：，
移项得：，
配方得：，即，
∴，
∴，
故答案为：1，5．
【点拨】本题考查解一元二次方程—配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
14．3
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到m2+3m-1=0，则3m-1=-m2，根据根与系数的关系得出m+n=-3，再将其代入整理后的代数式计算即可．
解：∵m是一元二次方程x2+3x-1=0的根，
∴m2+3m-1=0，
∴3m-1=-m2，
∵m、n是一元二次方程x2+3x-1=0的两个根，
∴m+n=-3，
∴，
故答案为：3．
【点拨】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程()的两根时，，．也考查了一元二次方程的解．
15．
【分析】利用根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可．
解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点拨】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
16．
【分析】由题意解一元二次方程得到或，再根据勾股定理得到直角三角形斜边的长是．
解：一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，
由公式法解一元二次方程可得，
根据勾股定理可得直角三角形斜边的长是，
故答案为：．
【点拨】本题考查勾股定理求线段长，解一元二次方程，根据题意求出一元二次方程的两根是解决问题的关键．
17．
【分析】设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，利用勾股定理即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出值，将其正值代入中即可求出结论．
解：设甲、乙两人相遇的时间为，则乙走了步，甲斜向北偏东方向走了步，则
依题意得：，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，即甲走的步数是，
故答案为：．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．5
【分析】当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，结合图象可得面积最大为5，得到与的积为20；当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为9，得到与的和为9，构造关于的一元二方程可求解．
解：由图象与题意知可知，当点在上运动时，面积逐渐增大，当点到达点时，面积最大为5，
∴，即．
当点在上运动时，面积逐渐减小，当点到达点时，面积为0，此时结合图象可知点运动路径长为9，
∴．
则，代入，得，
解得或，
∵，即，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点拨】本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．
19．(1)；(2)，．
【分析】（1）配方法求解可得；
（2）公式法求解可得．
解：（1）（1）解：2x2+4x=﹣1，
x2+2x=﹣ ，
x2+2x+1=﹣ +1，即（x+1）2= ，
∴x+1=± ，
则x=﹣1±
∴
（2）解：x2+6x﹣5=0，
∵a=1，b=6，c=﹣5，
∴△=36﹣4×1×（﹣5）=56，
则x= =﹣3
，．
【点拨】本题考查了公式法和配方法解一元二次方程，熟悉用公式法和配方法解一元二次方程的解题步骤是解题的关键．
20．两位同学的解法都错误，正确过程见分析
【分析】根据因式分解法解一元二次方程
解：
小敏：
两边同除以，得
，
则．
（×）
小霞：
移项，得，
提取公因式，得．
则或，
解得，．
（×）
正确解答：
移项，得，
提取公因式，得，
去括号，得，
则或，
解得，．
【点拨】本题考查因式分解法解一元二次方程，掌握因式分解的技巧准确计算是解题关键．
21．(1)见分析；(2)3
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根；
（2）利用根与系数的关系可得即可找出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论．
解：（1）根据题意可知：，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）有题意得：
∴，解得
【点拨】本题考查了根的判别式、根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式、根与系数的关系的表达式，并会熟练计算．
22．(1)每件降价20元；(2)不可能，理由见分析
【分析】（1）根据题意列出方程，即每件服装的利润×销售量=总盈利，再求解，把不符合题意的舍去；
（2）根据题意列出方程进行求解即可．
（1）解：设每件服装降价x元．
由题意得：
（90-x-50）（20+2x）=1200，
解得：x1=20，x2=10，
为使顾客得到较多的实惠，应取x=20；
答：每件降价20元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠；
（2）解：不可能，理由如下：
依题意得：
（90-x-50）（20+2x）=2000，
整理得：x2-30x+600=0，
Δ=（-30）2-4×600=900-2400=-1500＜0，
则原方程无实数解．
则不可能每天盈利2000元．
【点拨】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．
23．(1)，1；(2)；(3)
【分析】（1）根据完全平方式的特征求解．
（2）先配方，再求最值．
（3）作差后配方比较大小即可．
（1）解：．
（2），
∵，
∴当即时，
原式有最小值．
（3），
∵，
∴，
∴．
【点拨】本题考查的是配方法的应用，“熟练的利用配方法求解代数式的最值以及比较代数式的值的大小”是解本题的关键．
24．（1），；（2）
【分析】（1）根据材料提示，利用换元法解方程即可求解；
（2）按整式的乘法，先展开，再合并同类项，利用完全平方公式以及材料中换元法解方程即可求解．
解：解决问题：（1）设，
∴原方程变形为，解得，，，
当时，，故舍去；
当时，，解得，，；
综上所示，原方程的解为，．
延伸拓展：（2）
∴，
∴原式变形为，
∴，设，
∴，则，解得，，即，
∵，
∴
∴．
【点拨】本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关键．