北京市顺义区2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析）

这是一份北京市顺义区2022-2023学年高一数学下学期期中考试试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了 复数在复平面内对应的点位于， 在平行四边形中，等于， 在中，若，，，则， 已知向量，，若，则实数等内容，欢迎下载使用。

2022—2023学年度第二学期期中试卷
高一数学
2023.4
考生须知
1.本试卷共4页，共两部分，21道小题，满分150分.考试时间120分钟.
2.在答题卡上准确填写学校、姓名、班级和教育ID号.
3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.
4.在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.
5.考试结束后，请将答题卡上交.
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数对应的点确定正确答案.
【详解】复数对应点为，在第一象限.
故选：A
2. 在平行四边形中，等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平面向量减法的三角形法则计算.
【详解】由平面向量减法的三角形法则，可得.
故选：B
3. 若且，则角所在象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的正负，确定角所在的象限.
【详解】，则角在第三，四象限，，则角在第二，四象限，
所以满足且，角在第四象限.
故选：D
4. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数平移变换对解析式的影响求解即可.
【详解】对于A，向左平移个单位长度得，故A错误；
对于B，向右平移个单位长度得，故B错误；
对于C，向左平移个单位长度得，故C正确；
对于D，向右平移个单位长度得，故D错误；
故选：C.
5. 在中，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用正弦定理列式计算即可.
【详解】由正弦定理可得，，
所以，解得.
故选：A
6. 已知向量，，若，则实数（ ）
A. 3 B. 6 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用向量共线的条件即可求解.
【详解】由题意，
因为，所以，解得.
故选：D.
7. 函数在一个周期内的图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据图象，先确定以及周期，进而得出，分类讨论，结合求出，从而求得函数解析式.
【详解】因为，根据图像易得，
因为，所以，所以，则，
当时，，
由得，
所以，即，，
因为，所以，
所以；
当时，，
由得，
所以，即，，
因为，所以，
所以；
综上：，故A正确.
故选：A
8. 若，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用向量的数量积公式及其运算法则即可得解．
【详解】因为，是夹角为的两个单位向量，
所以，
所以，
，，
故，
又，则.
故选：C.
9. 已知函数，如果存在实数，使得对任意实数x，都有，那么的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意分析可知为的最小值，为的最大值，故最小值为半个周期，由此得解.
【详解】因为的周期，
又由题意可知为的最小值，为的最大值，
所以的最小值为.
故选：B.
10. 已知P是所在平面内一点，，，，则的最大值是（ ）
A. 3 B. 2 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由所以，再利用数量积的几何意义求解.
【详解】解：因为，，，
所以，
，
所以的最大值是-3，
故选：D
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共5道小题，每题5分，共25分，把答案填在答题卡上.
11. ______.
【答案】##
【解析】
【分析】利用正弦函数的倍角公式计算即可.
【详解】.
故答案为：.
12. 在平面直角坐标系中，，则向量______；______.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】利用平面向量运算与模的坐标表示求解即可.
【详解】因为，
所以，
则.
故答案为：；.
13. 若实数b满足，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的乘法运算化简，根据复数相等即可求解.
【详解】,
所以，即.
故答案为:.
14. 如图，在的方格中，已知向量的起点和终点均在格点，且满足，那么______.

【答案】1
【解析】
【分析】可作单位向量，从而可用表示向量，根据平面向量基本定理即可得出关于的方程组，求解即可.
【详解】如图所示，作单位向量,

则，，
所以.
又，所以,
所以，解得，
所以.
故答案为:1.
15. 已知，.有下列四个说法：
①的一个正周期为；②在上单增；
③值域为；④图象关于对称.
其中，所有正确说法的序号是______.
【答案】①③④
【解析】
【分析】利用三角函数的性质：周期性、奇偶性、单调性、对称性等知识即可求得结果.
【详解】对于①，因为，所以①正确；
对于②，当时，，此时，
又，所以在单调递增，
因为，为偶函数，
所以在单调递减，故②错误；
对于③，因为，
所以值域，故③正确；
对于④，因为
，所以图象关于对称.
故答案为:①③④.
三、解答题共6道题，共85分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16. 已知复数（i为虚数单位）.
（1）求复数的模；
（2）求复数的共轭复数；
（3）若是关于方程一个虚根，求实数的值.
【答案】（1）；
（2）；
（3）
【解析】
【分析】（1）根据复数的模长公式计算；
（2）根据共轭复数的定义即可得答案；
（3）根据题意，将复数代入方程可得，化简计算即可得的值.
【小问1详解】
根据复数的模长公式可得，
【小问2详解】
根据共轭复数的定义，复数的共轭复数为
【小问3详解】
由题意，，
则，得，
所以实数的值为
17. 已知函数.
（1）求的最小正周期；
（2）求的单调递减区间.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用辅助角公式化简，再利用三角函数的周期公式即可得解；
（2）利用整体代入法，结合三角函数的单调性即可得解.
【小问1详解】
因为函数
，
所以，
故的最小正周期为.
【小问2详解】
因为,在上单调递减，
令，得，
所以的单调递减区间为.
18. 已知向量.
（1）求；
（2）设夹角为，求的值；
（3）若向量，求实数值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）直接利用坐标计算即可；
（2）直接利用向量的夹角公式计算即可；
（3）先求出的坐标，再由，得列方程求解即可.
【小问1详解】
因为向量，
所以，
【小问2详解】
因为向量，的夹角为，
所以，
【小问3详解】
因为向量，
所以，
因为，
所以，解得
19. 已知函数.
（1）求的值；
（2）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】（1）
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用三角函数的恒等变换化简，从而可得的值；
（2）由得，从而结合正弦函数的性质即可得解.
【小问1详解】
因为
，
所以.
【小问2详解】
由，可得，
所以当，即时，取得最大值；
当，即时，取得最小值.
20. 在中，，，.

（1）求；
（2）设为边上一点，且，求的面积.
【答案】（1）;
（2）.
【解析】
【分析】（1）根据余弦定理列方程即可求解；
（2）根据正弦定理求出，由同角三角函数的基本关系求出，在中求出，根据及三角形面积公式即可求解.
【小问1详解】
由余弦定理可得,
化简可得,解得或（舍）.
【小问2详解】
因为，所以,
在中，由正弦定理可得,即,解得.
易知为锐角，所以,，
因为，所以在中，.
根据三角形面积公式可得,
,
所以.
21. 对于函数，，，及实数m，若存在，，使得，则称函数与具有“m关联”性质.
（1）分别判断下列两组函数是否具有“2关联”性质，直接写出结论；
①，；，；
②，；，；
（2）若与具有“m关联”性质，求m的取值范围；
（3）已知，为定义在R上的奇函数，且满足：
①在上，当且仅当时，取得最大值1；
②对任意，有.
求证：与不具有“4关联”性质.
【答案】（1）①有；②没有；
（2）；
（3）证明过程见解析.
【解析】
【分析】（1）根据具有关系“2关联”性质的定义判断即可.
（2）求解的值域即可得出结果.
（3）根据的性质求出其值域，结合三角函数的值域推理作答.
【小问1详解】
①存在，，使得，
所以函数具有“2关联”性质；
②，，而，，
因此，，显然不存在，，使得，
所以函数不具有“2关联”性质.
【小问2详解】
，，则，，
所以m的取值范围是.
【小问3详解】
因为在上，当且仅当时，取得最大值1，
又为定义在上的奇函数，则在上，当且仅当时，取得最小值，
由对任意，有，即关于点对称，
又，于是函数的周期为，因此的值域为 ；
，
①当时，，而时，，
若，则时，有；
②当 时，，而时，，
若，则时，有，显然，
因此，即不存在，使得 ，
所以与不具有“4关联”性质.