安徽省合肥市瑶海区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份安徽省合肥市瑶海区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（含答案），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

安徽省合肥市瑶海区2022-2023学年八年级下学期期末数学试卷（解析版）
一、选择题。（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。
1．（4分）下列式子中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（4分）若关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0 B．m＞﹣2 C．m≠﹣2 D．m＞0
3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若AC＝3，AB＝5，则CD＝​（　　）

A．2 B．2.4 C．3 D．
4．（4分）如图，在▱AMCN中，对角线AC、MN交于点O，点B和点D分别在OM、ON的延长线上．添加以下条件，不能说明四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
​

A．AB＝AD B．AD∥BC C．BM＝DN D．∠MAB＝∠NCD
5．（4分）如图，为了了解某校学生的课外阅读情况，小明同学在全校随机抽取40名学生进行调查，并将统计数据汇总，整理绘制成学生每周课外阅读时间频数分布直方图，（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，若该校有学生2338人，估计阅读时长不低于6小时的人数约有（　　）人．
​

A．351 B．818 C．1052 D．1520
6．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若AB＝2，AC＝8，BD＝m，AD＝n．则化简：的结果为（　　）
​

A．n+m﹣11 B．n﹣m﹣9 C．m﹣n+9 D．11﹣m﹣n
7．（4分）某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价30%，销量不佳；第二次又降价10%，销售大增，很快就清理了库存．设两次降价的平均降价率为x，下面所列方程正确的是（　　）
A．
B．（1﹣30%） （1﹣10%）＝（1﹣2x）
C．（1﹣30%）（1﹣10%）＝2（1﹣x）
D．（1﹣30%）（1﹣10%）＝（1﹣x）2
8．（4分）在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交直线CD于点F，若CF＝1，FD＝2，则BC的长为（　　）
A． B．3 C．或 D． 成3
9．（4分）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，E在BC上，且EC＝2BE，则＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2+b2+ab＝0的两个根为x1＝m，x2＝n，且a+b＝1．下列说法正确的个数为（　　）
①m•n＞0；
②m＞0，n＞0；
③a2≥a；
④关于x的一元二次方程（x+1）2+a2﹣a＝0的两个根为x1＝m﹣2，x2＝n﹣2．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）二次根式中，x的取值范围是 　 　．
12．（5分）一个正多边形的每个内角都是144°，则这个多边形的内角和为 　 　．
13．（5分）如图，点O是矩形ABCD内一点，则点O到四个顶点的距离OA、OB、OC、OD满足关系式OA2+OC2＝OB2+OD2，若点O在对角线AC上，AC＝4，．则AO＝　 　．
​​

14．（5分）如图，在四边形ABCD中，将两条对角线BD与AC平移，使AE平行等于BD，EF平行等于AC，连接CF．
（1）当四边形ABCD满足 　 　时，四边形AEFC是矩形；
（2）若AC＝3，BD＝4，且AC与BD的夹角α满足45°≤α≤90°时，四边形ABCD面积的最小值为 　 　．
​

三、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
16．（8分）用公式法解方程：x2﹣6x＝﹣1．
四、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若满足+＝2，求m的值．
18．（8分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，四边形ABCD是网格内的格点四边形．
（1）求以AD、AB和BC为边长构成的三角形的面积；
（2）连接AC，利用网格在AD上找一点M，使得△MAB与△ADC的面积相等．

五、解答题。（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10m/s2，）
（1）已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）
（2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？

20．（10分）如图，在菱形ABCD中，四条边的垂直平分线EQ、FQ、GN、HN交于M、N、P、Q四点．
（1）连接BD，求证：点M在BD的垂直平分线上；
（2）判断四边形MNPQ的形状，并说明理由．

七、解答题。（本题满分12分）
21．（12分）为了美化校阳环境，某校准备用28m长的栅栏，围成一个长方形花圃．
（1）若花圃的面积为48m2，求长方形的长和宽；
（2）若要用完栅栏（不考虑损耗），求出围成的花圃面积的最大值；
（3）如图．现需要用一部分栅栏在花圃内围成两个长方形栽种区，学校决定将花圃背靠两面互相垂直的墙面而建，其它区域修成宽为2m的走道．如图所示，若此时长方形花圃的面积为49m2，求此时长方形花圃的长和宽．

八、解答题。（本题满分14分）
22．（14分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝1，分别以BC、CD为边向外作正方形BCCH和正方形CFED，连接BG交AD于点N，连接HE交BG于点M．
（1）求证：HM＝ME；
（2）连接CM，求CM的长；
（3）如图2，将正方形CDEF绕C点旋转，当F落在边BC上时（点D旋转到D1），请直接写出GM的长为 　 　．
​

参考答案与试题解析
一、选择题。（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的。
1．（4分）下列式子中，是二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用二次根式的定义分别分析得出即可．
【解答】解：A、是二次根式，符合题意；
B、是三次根式，不合题意；
C、，根号下不能是负数，不合题意；
D、，根号下不能是负数，不合题意；
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的定义是解题关键．
2．（4分）若关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0 B．m＞﹣2 C．m≠﹣2 D．m＞0
【分析】直接利用只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程，进而得出答案．
【解答】解：∵关于x的方程（m+2）x2﹣3x+1＝0是一元二次方程，
∴m+2≠0，
解得：m≠﹣2．
故选：C．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
3．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若AC＝3，AB＝5，则CD＝​（　　）

A．2 B．2.4 C．3 D．
【分析】根据勾股定理求得BC＝4，根据三角形的面积公式计算，列出等式便可得到答案．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝3，AB＝5，
∴BC＝＝4，
∵CD是AB边上的高，
∴S△ABC＝×AC×BC＝×AB×CD，
∴×3×4＝×5×CD，
解得：CD＝2.4，
故选：B．
【点评】本题考查的是勾股定理，三角形的面积计算，根据三角形面积公式列出等量关系是解题的关键．
4．（4分）如图，在▱AMCN中，对角线AC、MN交于点O，点B和点D分别在OM、ON的延长线上．添加以下条件，不能说明四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
​

A．AB＝AD B．AD∥BC C．BM＝DN D．∠MAB＝∠NCD
【分析】根据平行四边形的判定和性质定理一一判断即可．
【解答】解：在▱AMCN中，AO＝OC，OM＝ON，
A、添加AB＝AD，不能说明四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
B、∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵AO＝CO，∠AOD＝∠BOC，
∴△AOD≌△BOC（AAS），
∴OB＝OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；故B不符合题意；
C、∵BM＝DN，
∴BM+OM＝ON+DN，
即OB＝OD，
∵AO＝CO，
∴四边形ABCD是平行四边形，故C不符合题意；
D、∵四边形AMCN是平行四边形，
∴AM＝CN，AM∥CN，
∴∠AMO＝∠ANO，
∴∠AMB＝∠CND，
∵∠BAM＝∠DCN，
∴△ABM≌△CDN（AAS），
∴AB＝CD，∠ABM＝∠CDN，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．故D不符合题意；
故选：A．

【点评】本题考查了平行四边形判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质定理．
5．（4分）如图，为了了解某校学生的课外阅读情况，小明同学在全校随机抽取40名学生进行调查，并将统计数据汇总，整理绘制成学生每周课外阅读时间频数分布直方图，（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）如图所示，若该校有学生2338人，估计阅读时长不低于6小时的人数约有（　　）人．
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A．351 B．818 C．1052 D．1520
【分析】用2338乘样本中阅读时长不低于6小时的所占比例即可．
【解答】解：∵2338×＝818.3，
∴估计阅读时长不低于6小时的人数约有818人．
故选：B．
【点评】本题考查频数分布直方图，用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O．若AB＝2，AC＝8，BD＝m，AD＝n．则化简：的结果为（　　）
​

A．n+m﹣11 B．n﹣m﹣9 C．m﹣n+9 D．11﹣m﹣n
【分析】根据平行四边形的性质可得出AO＝AC＝4，AB＝CD＝2，根据三角形的三边关系得m和n的取值范围，再利用二次根式的性质进行求解即可．
【解答】解：在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO＝AC＝4，AB＝CD＝2，
在△AOB中，AB＝2，
∴AO﹣AB＜BO＜AB+AO，
∴2＜BO＜6，
∴4＜BD＜12，
∴4＜m＜12；
在△ACD中，AD＝n，CD＝2，AC＝8，
∴AC﹣CD＜AD＜AC+CD，
∴6＜AD＜10，
∴6＜n＜10，
∴化简：＝|n﹣10|+|m﹣1|＝10﹣n+m﹣1＝m﹣n+9，
故选：C．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质，二次根式的性质与化简，三角形三边关系的运用，解决本题的关键是掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
7．（4分）某商店对一种商品进行库存清理，第一次降价30%，销量不佳；第二次又降价10%，销售大增，很快就清理了库存．设两次降价的平均降价率为x，下面所列方程正确的是（　　）
A．
B．（1﹣30%） （1﹣10%）＝（1﹣2x）
C．（1﹣30%）（1﹣10%）＝2（1﹣x）
D．（1﹣30%）（1﹣10%）＝（1﹣x）2
【分析】设该商品的原价为a元，则经过两次降价后的价格为（1﹣30%）（1﹣10%）a元，利用经过两次降价后的价格＝原价×（1﹣两次降价的平均降价率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设该商品的原价为a元，则经过两次降价后的价格为（1﹣30%）（1﹣10%）a元，
根据题意得：（1﹣x）2a＝（1﹣30%）（1﹣10%）a，
即（1﹣30%）（1﹣10%）＝（1﹣x）2．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（4分）在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，延长BG交直线CD于点F，若CF＝1，FD＝2，则BC的长为（　　）
A． B．3 C．或 D． 成3
【分析】连接EF，由矩形的性质得∠A＝∠D＝∠C＝90°，AB＝DC，由E是AD的中点，得AE＝DE，由折叠得GE＝AE，GB＝AB，∠BGE＝∠A＝90°，则∠EGF＝∠D＝90°，GE＝DE，GB＝DC，可证明Rt△EGF≌Rt△EDF，得FG＝FD＝2，再分两种情况讨论，一是点F线段DC上，因为CF＝1，所以GB＝DC＝FD+CF＝3，则BF＝GB+FG＝5，由勾股定理得BC＝＝2；二是点F在线段DC的延长线上，则GB＝DC＝FD﹣CF＝1，所以BF＝GB+FG＝3，由勾股定理得BC＝＝2，于是得到问题的答案．
【解答】解：连接EF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠D＝∠C＝90°，AB＝DC，
∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
由折叠得GE＝AE，GB＝AB，∠BGE＝∠A＝90°，
∴∠EGF＝∠D＝90°，GE＝DE，GB＝DC，
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL），
∴FG＝FD＝2，
当点F线段DC上，如图1
∵CF＝1，
∴GB＝DC＝FD+CF＝2+1＝3，
∴BF＝GB+FG＝3+2＝5，
∴BC＝＝＝2；
当点F在线段DC的延长线上，如图2，
∵DC＝FD﹣CF＝2﹣1＝1，
∴GB＝DC＝1，
∴BF＝GB+FG＝1+2＝3，
∴BC＝＝＝2，
综上所述，BC的长为2或2，
故选：C．


【点评】此题重点考查矩形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
9．（4分）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，E在BC上，且EC＝2BE，则＝（　　）

A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】取CE的中点M，连接DM，根据三角形中位线定理得DM∥AE，DM＝AE，再根据平行线分线段成比例得＝＝，即可得出答案．
【解答】解：如图，取CE的中点M，连接DM，

∵D是AC边上的中点，
∴DM∥AE，DM＝AE，
∵EC＝2BE，
∴BE＝EM，
∴＝＝，
∴EF＝DM，
∴AE＝2EF，
∴AE＝4EF，
∴＝3．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键．
10．（4分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+a2+b2+ab＝0的两个根为x1＝m，x2＝n，且a+b＝1．下列说法正确的个数为（　　）
①m•n＞0；
②m＞0，n＞0；
③a2≥a；
④关于x的一元二次方程（x+1）2+a2﹣a＝0的两个根为x1＝m﹣2，x2＝n﹣2．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据根与系数的关系得x1x2＝mn＝a2+b2+ab，利用a+b＝1消去b得到mn＝a2﹣a+1＝（a﹣）2+＞0，从而可对①进行判断；由于x1+x2＝m+n＝2＞0，x1x2＝mn＞0，利用有理数的性质可对②进行判断；根据根的判别式的意义得到Δ＝4﹣4（a2+b2+ab）≥0，即4﹣4（a2﹣a+1）≥0，则可对③进行判断；利用a2+b2+ab＝a2﹣a+1把方程x2﹣2x+a2+b2+ab＝0化为（x﹣1）2+a2﹣a＝0，由于方程（x+1）2+a2﹣a＝0可变形为[（x+2）﹣1]2+a2﹣a＝0，所以x+2＝m或x+2＝n，于是可对④进行判断．
【解答】解：根据根与系数的关系得x1x2＝mn＝a2+b2+ab，
∵a+b＝1，
∴b＝1﹣a，
∴mn＝a2+（1﹣a）2+a（1﹣a）＝a2﹣a+1＝（a﹣）2+＞0，所以①正确；
∵x1+x2＝m+n＝2＞0，x1x2＝mn＞0，
∴m＞0，n＞0，所以②正确；
∵Δ≥0，
∴4﹣4（a2+b2+ab）≥0，
即4﹣4（a2﹣a+1）≥0，
∴a≥a2，所以③错误；
∵a2+b2+ab＝a2﹣a+1，
∴方程x2﹣2x+a2+b2+ab＝0化为x2﹣2x+a2﹣a+1＝0，
即（x﹣1）2+a2﹣a＝0，
∵方程（x+1）2+a2﹣a＝0可变形为[（x+2）﹣1]2+a2﹣a＝0，
∴x+2＝m或x+2＝n，
解得x1＝m﹣2，x2＝n﹣2，所以④正确．
故选：C．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根，则x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了一元二次方程根的判别式．
二、填空题。（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．（5分）二次根式中，x的取值范围是 　x≥﹣3　．
【分析】根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．
【解答】解：∵是二次根式，
∴x+3≥0，
即x≥﹣3，
故答案为：x≥﹣3．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是被开方数是非负数建立不等式是解题的关键．
12．（5分）一个正多边形的每个内角都是144°，则这个多边形的内角和为 　1440°　．
【分析】首先根据内角的度数可得外角的度数，再根据外角和为360°可得边数，利用内角和公式可得答案．
【解答】解：∵一个正多边形的每个内角都是144°，
∴它的每一个外角都是：180°﹣144°＝36°，
∴它的边数为：360°÷36＝10，
∴这个多边形的内角和为：180°（10﹣2）＝1440°，
故答案为：1440°．
【点评】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3）且n为整数）．
13．（5分）如图，点O是矩形ABCD内一点，则点O到四个顶点的距离OA、OB、OC、OD满足关系式OA2+OC2＝OB2+OD2，若点O在对角线AC上，AC＝4，．则AO＝　或　．
​​

【分析】根据OB、OD的值计算出OB2，OD2的值，即可得到OA2+OC2的值，再用OA表示出OC，即可得到关于OA的方程，求解即可．
【解答】解：∵，，
∴，
∵OA2+OC2＝OB2+OD2，
∴，
∵点O在对角线AC上，AC＝4，
∴OC＝AC﹣OA＝4﹣OA，
∴，
整理得4OA2﹣16OA+15＝0，
解得或，
故答案为：或．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确解出OA的长是解题的关键．
14．（5分）如图，在四边形ABCD中，将两条对角线BD与AC平移，使AE平行等于BD，EF平行等于AC，连接CF．
（1）当四边形ABCD满足 　AC⊥BD　时，四边形AEFC是矩形；
（2）若AC＝3，BD＝4，且AC与BD的夹角α满足45°≤α≤90°时，四边形ABCD面积的最小值为 　　．
​

【分析】（1）当四边形ABCD满足AC⊥BD时，四边形AEFC是矩形，先根据平移的性质证出四边形AEFC是平行四边形，再证得∠CAE＝90°，即可得到四边形AEFC是矩形；
（2）设AC与BD交于点O，过点A作AM⊥BD于点M，过点C作CN⊥BD于点N，先根据锐角三角函数的定义表示出AM，CN，然后根据四边形ABCD的面积等于△ABD的面积加上△CBD的面积进行计算，再确定α的值，从而求出四边形ABCD面积的最小值．
【解答】解：（1）当四边形ABCD满足AC⊥BD时，四边形AEFC是矩形，
∵AC∥EF，AC＝EF，
∴四边形AEFC是平行四边形，
∵AC⊥BD，AE∥BD，
∴AC⊥AE，
即∠CAE＝90°，
∴四边形AEFC是矩形，
故答案为：AC⊥BD；
（2）设AC与BD交于点O，过点A作AM⊥BD于点M，过点C作CN⊥BD于点N，

由题意得∠AOB＝∠COD＝α，
在Rt△AOM中，，
∴AM＝AO•sinα，
在Rt△CON中，，
∴CN＝CO•sinα，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝6sinα，
当∠α的度数增大时，sinα的值也增大，
∵45°≤α≤90°，
∴当α＝45°时，四边形ABCD面积的最小，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的判定，平移的性质，锐角三角函数的定义，四边形的面积，熟练掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形；熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
三、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．（8分）计算：．
【分析】先把化简，再利用完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可．
【解答】解：原式＝5+4+8﹣÷4
＝13+4﹣
＝13+4﹣
＝13+．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的除法法则和完全平方公式是解决问题的关键．
16．（8分）用公式法解方程：x2﹣6x＝﹣1．
【分析】根据公式法解方程即可．
【解答】解：x2﹣6x＝﹣1．变形得：x2﹣6x+1＝0．
Δ＝36﹣4＝32＞0，
x＝＝3±2，
∴x1＝3+2，x2＝3﹣2．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程：先算判别式断定根的情况，然后代入计算．
四、解答题。（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．（8分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若满足+＝2，求m的值．
【分析】（1）由x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，可得（2m﹣1）2﹣4m2≥0，可解得m的取值范围是m≤；
（2）由x2+（2m﹣1）x+m2＝0的实数根为x1，x2，得x1+x2＝1﹣2m，x1•x2＝m2，根据+＝2，即可得（1﹣2m）2﹣2m2＝2，解出m的值结合（1）可得答案．
【解答】解：（1）∵x2+（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，
∴Δ≥0，即（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
解得m≤；
∴m的取值范围是m≤；
（2）∵x2+（2m﹣1）x+m2＝0的实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝1﹣2m，x1•x2＝m2，
∵+＝2，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝2，
∴（1﹣2m）2﹣2m2＝2．
解得m＝或m＝，
∵m≤；
∴m＝．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
18．（8分）如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，四边形ABCD是网格内的格点四边形．
（1）求以AD、AB和BC为边长构成的三角形的面积；
（2）连接AC，利用网格在AD上找一点M，使得△MAB与△ADC的面积相等．

【分析】（1）根据勾股定理求出AD、AB和BC的边长，利用勾股定理的逆定理判定其构成的三角形为直角三角形即可得出结论；
（2）先求得△ADC的面积为4，再求得△DAB的面积为5，根据等高的三角形面积比等于底边比作出AD的五等分点即可求解．
【解答】解：（1）∵每个小正方形的边长均为1个单位，
∴由勾股定理可知：AD＝2，BC＝，AB＝．
∵AD2+BC2＝（2）2+（）2＝13，AB2＝（）2，
∴AD2+BC2＝AB2．
∴以AD、AB和BC为边长构成的三角形为直角三角形，
∴以AD、AB和BC为边长构成的三角形的面积S＝AD•BC＝＝；
（2）如图所示：

【点评】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，三角形的面积，关键是熟练掌握图形的面积计算．
五、解答题。（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．（10分）小明同学每次回家进入电梯间时，总能看见如图所示的提示“高空抛物 害人害己”．为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师，得知高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响，g≈10m/s2，）
（1）已知小明家住20层，每层的高度近似为3m，假如从小明家坠落一个物品，求该物品落地的时间；（结果保留根号）
（2）小明查阅资料得知，伤害无防护人体只需要64焦的动能，高空抛物动能（焦）＝10×物体质量（千克）×高度（米），某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后，最少经过几秒落地就可能会伤害到楼下的行人？

【分析】（1）根据题意可先求得h＝60m，根据t＝代入计算即可求解；
（2）由题意可知“高度（米）＝”，以此求出该玩具最低的下落高度，再由t＝代入求解即可．
【解答】解：（1）∵小明家住20层，每层的高度近似为3米，
∴h＝20×3＝60（米），
∴t＝＝＝（秒），
∴该物品落地的时间为秒；
（2）该玩具最低的下落高度为h＝＝64（米），
∴t＝＝＝≈＝3.5776（秒）．
∴最少经过3.5776秒落地就可能会伤害到楼下的行人．
【点评】本题主要考查二次根式的应用，读懂题意，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
20．（10分）如图，在菱形ABCD中，四条边的垂直平分线EQ、FQ、GN、HN交于M、N、P、Q四点．
（1）连接BD，求证：点M在BD的垂直平分线上；
（2）判断四边形MNPQ的形状，并说明理由．

【分析】（1）连接AM、BM、DM，由线段的垂直平分线的性质得AM＝BM，AM＝DM，则BM＝DM，所以点M在BD的垂直平分线上；
（2）设直线EQ交CD于点L，连接AC，由QE垂直平分AB，NG垂直平分CD，得∠AEL＝∠CGN＝90°，由菱形的性质得AB∥CD，所以∠CLE＝∠AEL＝90°，则∠CGN＝∠CLE，所以PN∥MQ，同理可证明MN∥PQ，则四边形MNPQ是平行四边形，连接AN、DN、CN，由线段的垂直平分线的性质得AN＝DN，CN＝DN，所以AN＝CN，则点N在AC的垂直平分线上，同理可证明点Q在AC的垂直平分线上，所以点N、点Q都在BD上，由（1）得，点M在BD的垂直平分线上，同理可证明点P在BD的垂直平分线上，所以点M、点P都在AC上，则NQ⊥MP，所以四边形MNPQ是菱形．
【解答】（1）证明：连接AM、BM、DM，
∵点M在AB的垂直平分线上，
∴AM＝BM，
∵点M在AD的垂直平分线上，
∴AM＝DM，
∴BM＝DM，
∴点M在BD的垂直平分线上．
（2）四边形MNPQ是菱形，理由如下：
设直线EQ交CD于点L，连接AC，
∵QE垂直平分AB，NG垂直平分CD，
∴∠AEL＝∠CGN＝90°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴∠CLE＝∠AEL＝90°，
∴∠CGN＝∠CLE，
∴PN∥MQ，
同理，MN∥PQ，
∴四边形MNPQ是平行四边形，
连接AN、DN、CN，
∵点N在AD的垂直平分线上，
∴AN＝DN，
∵点N在CD的垂直平分线上，
∴CN＝DN，
∵AN＝CN，
∴点N在AC的垂直平分线上，
同理，点Q在AC的垂直平分线上，
∵BD垂直平分AC，
∴点N、点Q都在BD上，
由（1）得，点M在BD的垂直平分线上，
同理，点P在BD的垂直平分线上，
∵AC垂直平分BD，
∴点M、点P都在AC上，
∴NQ⊥MP，
∴四边形MNPQ是菱形．

【点评】此题重点考查菱形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质、平行线的判定与性质等知识，证明NQ⊥MP是解题的关键．
七、解答题。（本题满分12分）
21．（12分）为了美化校阳环境，某校准备用28m长的栅栏，围成一个长方形花圃．
（1）若花圃的面积为48m2，求长方形的长和宽；
（2）若要用完栅栏（不考虑损耗），求出围成的花圃面积的最大值；
（3）如图．现需要用一部分栅栏在花圃内围成两个长方形栽种区，学校决定将花圃背靠两面互相垂直的墙面而建，其它区域修成宽为2m的走道．如图所示，若此时长方形花圃的面积为49m2，求此时长方形花圃的长和宽．

【分析】（1）设长为xm，根据面积为48m2建立方程，解之即可；
（2）根据矩形的面积公式可表达矩形的面积，根据二次函数的性质可得出结论；
（3）设长为xm，宽为ym，根据题意建立方程，根据二次函数的性质解方程即可得出结论．
【解答】解：（1）设长为xm，
由题意可知，x（14﹣x）＝48，
解得x＝6或x＝8，
∴当花圃长为8m，宽为6m时，花圃面积为48m2；
（2）设长为xm，
∴矩形的面积S＝x（14﹣x）＝﹣（x﹣7）2+49，
∵﹣1＜0，
∴当x＝7时，花圃面积的最大值为49m2；
（3）设长为xm，宽为ym，
由题意可得，x+y+2（x﹣6）+4（y﹣4）＝28，
整理得，y＝，
∴x•＝49，
解得x＝7或x＝，
∴长方形花圃的长为m，宽为m或长为7m，宽为7m．
【点评】此题主要考查了一元二次方的应用，正确得出等量关系是解题关键．
八、解答题。（本题满分14分）
22．（14分）如图1，在矩形ABCD中，BC＝4，CD＝1，分别以BC、CD为边向外作正方形BCCH和正方形CFED，连接BG交AD于点N，连接HE交BG于点M．
（1）求证：HM＝ME；
（2）连接CM，求CM的长；
（3）如图2，将正方形CDEF绕C点旋转，当F落在边BC上时（点D旋转到D1），请直接写出GM的长为 　　．
​
【分析】（1）证明△GHM≌△NEM，从而得出结论；
（2）取BF的中点Q，连接MQ，可得MQ是梯形BFEH的中位线，从而得出MQ的长，进而求得BQ的长，进一步得出CQ的长，进而得出结果；
（3）延长EF，交BG于R，作RT⊥CG于T，可得出RT＝ED1＝1，GR＝RT＝，进而求得BG和BR的长，同理（1）可得RM＝BM＝BR＝，进而得出结果．
【解答】（1）证明：∵四边形BCGH和CDEF是正方形，
∴BC＝GH＝CG，CD＝DE，∠GDE＝∠CDF＝∠CGH＝90°，∠BGC＝45°，
∴∠GND＝90°﹣∠BGC＝45°，GH∥EN，
∴∠GND＝∠BGC，∠GHM＝∠NEM，
∴DG＝DN，
∴DN+DE＝DG+CD，
∴EN＝CG，
∴GH＝EN，
∵∠EMN＝∠GMH，
∴△GHM≌△NEM（AAS），
∴HM＝ME；
（2）解：如图1，

取BF的中点Q，连接MQ，
由（1）得：HM＝EM，
∵EF∥BH，
∴MQ∥BH∥EF，MQ＝＝，
∵BH⊥BF，
∴MQ⊥BC，
∵四边形BCGH是正方形，
∴∠CBG＝45°，
∴∠BMQ＝90°﹣∠CBG＝45°，
∴∠CBG＝∠BMQ，
∴BQ＝MQ＝，
∴CQ＝BC﹣BQ＝4﹣＝，
∴CM＝＝；
（3）解：如图2，

延长EF，交BG于R，作RT⊥CG于T，
可得矩形ERTD1，
∴RT＝ED1＝1，
∴GR＝RT＝，
∵BG＝BC＝4，
∴BR＝BG﹣GR＝4＝3，
同理（1）可得：△BHM≌△REM，
∴RM＝BM＝BR＝，
∴GM＝GR+RM＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，梯形的中位线定理，勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形．