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安徽省合肥市四区县2022-2023学年下学期八年级期末数学试卷 （含答案）
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这是一份安徽省合肥市四区县2022-2023学年下学期八年级期末数学试卷 （含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省合肥市四区县八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式为最简二次根式的是( )
A. 13 B. 0.5 C. 6 D. 16
2. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )
A. 4，5，6 B. 5，6，7 C. 5，-11，12 D. 5，12，13
3. 下列方程中，一定为一元二次方程的是( )
A. x+3y=4 B. 5y=5y2 C. 4x-4=0 D. ax2-x=1
4. 利用“配方法”解一元二次方程x2-4x+1=0，配方后结果是( )
A. (x-4)2=15 B. (x-4)2=17 C. (x-2)2=3 D. (x-2)2=5
5. 勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系.如图，△ABC中，∠ABC=90°，若AB=2，BC=3，则正方形ACDE的面积为( )
A. 4 B. 13 C. 13 D. 16
6. 已知一组数据：2，1，3，2，2，这组数据的方差是( )
A. 0.4 B. 0.6 C. 2 D. 3
7. 下列叙述错误的是( )
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的四边形是矩形
8. 某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是( )
A. (x+16)(200-5x)=1200 B. (x+16)(200+5x)=1200
C. (x-16)(200+5x)=1200 D. (x-16)(200-5x)=1200
9. 已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度恰为方程的x2-14x+48=0两个实数根，则菱形ABCD的周长为( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
10. 如图，矩形ABCD中，E为BC边的中点，沿DE对折矩形，使点C落在C'处，折痕为DE，延长DC'交AB于点F，连接BC'并延长交AD于点G，连接CC'.给出以下结论：
①四边形BEDG为平行四边形；
②∠EC'C=∠BC'F；
③GC'=GD；
④C'为BG的中点．
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若二次根式 x-4在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12. 若一元二次方程x2-2x+2a=0有两个相等的实数根，则a的值为______ ．
13. 如图，一个正五边形和一个正方形各有一边在直线l上，且只有一个公共顶点A，则∠BAC的大小为______ 度.
14. 如图，A、B、C分别为数轴上的三点，且AB=BC，若点B对应的实数为1，点C对应的实数为 3，则点A对应的实数为______ ．
15. 如图，AD为△ABC的外角平分线，CD⊥AD于点D，M为BC边的中点，若BC=MD=6，则△ABC的周长为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
16. 解方程：x2+3x-1=0．
四、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算：(- 6)2-3 2× 18．
18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为形外一点，且AB//CD，AB=2CD，M为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图.(保留画图痕迹，不需要证明)
(1)在图1中，画出△ABC的AC边上的中线BE；
(2)在图2中，先画出AC边的中点O，再画出△ABC的BC边上的高AH．
19. (本小题8.0分)
某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米.已知现有的木板材料(图中细线部分)可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为a米．
(1)求与墙平行的一边长为多少米？(用含a的代数式表示)
(2)当a=10时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路(如图2中内部阴影区域)，使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
20. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过C点作CE//AD，连接AE，且CE=AE．
(1)求证：四边形ADCE为菱形；
(2)若AE=5，AC=6，求四边形ABCE的面积．
21. (本小题10.0分)
为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，教育部组织开展全国学生“学宪法讲宪法”系列活动.某校积极响应教育部的号召，开展了宪法知识普及测评，现分别从七、八年级中各随机抽取了8名学生的成绩(满分10分)进行整理与分析，信息如下：
收集信息：
七年级：8，10，7，6，6，7，10，6；
八年级：9，10，6，10，10，6，9，8．
整理信息：
平均数
中位数
众数
七年级
7.5
a
6
八年级
b
9
c
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ．
(2)若该校八年级共有1000名学生参加此次测评，请估计该校八年级学生中优秀(大于等于9分)的人数．
22. (本小题10.0分)
如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，CF⊥AE交AE的延长线于点F，DG⊥DF交AE于点G．
(1)求证：△DAG≌△DCF；
(2)若E为CD的中点，FC=2，求正方形ABCD的面积，
23. (本小题5.0分)
若实数a，b满足a-2ab+2ab2+4=0，则a的最大值与最小值之和为______ ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 13= 33，故A不符合题意；
B、 0.5= 12= 22，故B不符合题意；
C、 6是最简二次根式，故C符合题意；
D、 16=4，故D不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、52+62≠72，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、52+(-11)2≠122，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、122+52=132，能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于，则是直角三角形，否则就不能围成直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】B
【解析】解：A.方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.当a=0时，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
4.【答案】C
【解析】解：原方程可化为x2-4x+4-4+1=0，即(x-2)2=3．
故选C．
把方程左边化为完全平方公式的形式即可得出结论．
本题考查的是利用配方法解一元二次方程，熟记完全平方公式是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠ABC=90°，AB=2，BC=3，
∴AC= AB2+BC2= 22+32= 13，
∴正方形ACDE的面积为AC2=( 13)2=13．
故选：C．
先根据勾股定理求出AC的长，进而求出正方形ACDE的面积即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：这组数据的平均数为1+2×3+35=2，
则这组数据的方差为15×[(1-2)2+3×(2-2)2+(3-2)2]=0.4，
故选：A．
根据方差的定义列式计算即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义．
7.【答案】D
【解析】解：A、∵平行四边形的对角线互相平分，
∴选项A不符合题意；
B、∵矩形的对角线相等，
∴选项B不符合题意；
C、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意可得：(36+x-20)(200-5x)=1200，
即：(x+16)(200-5x)=1200．
故选：A．
根据总利润=销售量×每个利润．设涨价x元能赚得1200元的利润，即售价定为每个(x+40)元，销售量为(200-5x)个，结合获得的利润为1200元，可列方程．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”．
9.【答案】C
【解析】解：解方程x2-14x+48=0得：x1=6，x2=8，
∵菱形ABCD的对角线AC、BD的长度恰为方程的x2-14x+48=0两个实数根，
∴菱形ABCD的两对角线长分别是6和8，
设AC，BD的交点是O，令AC=6，BD=8，
∴OA=12AC=3，OB=12BD=4，
∴AB= OA2+OB2=5，
∴菱形ABCD的周长=4AB=20．
故选：C．
解方程x2-14x+48=0，得到菱形ABCD的两对角线长分别是6和8，由勾股定理得到AB= OA2+OB2=5，即可得到菱形ABCD的周长=4AB=20．
本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是通过解一元二次方程，求出AC，BD的长．
10.【答案】B
【解析】解：∵E为BC边的中点，
∴BE=EC=EC'，
∴∠C'BC+∠C'CB+∠BC'C=180°，
∠BC'E+∠EC'C+∠BC'C=180°，
2∠BC'C=180°，
∴∠BC'C=90°，
即DE//BG，
∵DG//BE，
∴四边形BEDG为平行四边形，故①正确；
∵∠DCB=∠DC'E=90°，
∴∠EC'C+∠BC'E=∠BC'F+∠BC'E=90°，
∴∠EC'C=∠BC'F，故②正确，
∵∠GC'D=∠FC'B=∠EC'C=∠ECC'，
∴当GC'=GD时，∠GDC'=∠ECC'，
∴∠C'DC=∠C'CD，
∴△C'CD是等边三角形，
即∠C'DC=60°，∠ADC'=120°，显然∠ADC'不是钝角，故③不正确，
当C'为BG的中点时．GC'=BC，即'在GB边的垂直平分线上，
即C'C是垂直平分线，
∴BC=CG，显然BC≠CG，故④不正确．
故选：B．
根据三角形内角和为180°，易证∠BC'C=90°可证出最终结论根据翻折的性质，加上正方形所有内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题，利用反推，若GC'=GD，则△C'CD为等边三角形，∠ADC'是钝角，显然∠ADC'不是钝角，即可得出结论．若C为BG的中点，C'在GB边的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质，即可得出结论．
本题主要考查四边形的综合运用，熟练掌握翻折的性质和正方形与平行四边形的定义是解题关键．
11.【答案】x≥4
【解析】解：依题意有x-4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
本题主要考查了二次根式的意义和性质，注意掌握概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.【答案】12
【解析】解：根据题意得Δ=(-2)2-4×2a=0，
解得a=12．
故答案为：12．
根据根的判别式的意义得到Δ=(-2)2-4×2a=0，然后解关于a的方程即可．
本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
13.【答案】18
【解析】解：由题意可得∠ABC=90°，∠ACB=360°÷5=72°，
则∠BAC=90°-72°=18°，
故答案为：18．
根据多边形的外角和及正多边形的性质求得∠ABC，∠ACB的度数，然后利用直角三角形的两锐角互余即可求得答案．
本题考查多边形的外角与直角三角形的性质，结合已知条件求得∠ACB的度数是解题的关键．
14.【答案】2- 3
【解析】解：由题意得，BC= 3-1，
∵AB=BC，
∴点A对应的实数为：1-( 3-1)=2- 3，
故答案为：2- 3．
先表示出BC的长度为 3-1，再用1-( 3-1)进行求解．
此题考查了用数轴上的点表示实数的应用能力，关键是能准确根据题意，利用数形结合思想进行列式、求解．
15.【答案】18
【解析】解：延长CD交BA的延长线于点E，
∵AD为△ABC的外角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∵CD⊥AD，
∴∠EDA=∠CDA=90°，
又AD为公共边，
∴△AED≌△ACD(ASA)，
∴CD=ED，AE=AC，
即点D是CE的中点，
∵M为BC边的中点，
∴MD是△BCE的中位线，
∴MD=12BE，
∵MD=6，
∴BE=12，
∴AB+AE=AB+AC=12，
∵BC=6，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=12+6=18，
故答案为：18．
延长CD交BA的延长线于点E，先利用ASA证得△AED和△ACD，得出AE=AC，MD是△BCE的中位线，根据三角形中位线定理可求出BE的长，从而求出△ABC的周长．
本题考查了三角形中位线定理，三角形全等的判定与性质，熟知：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
16.【答案】解：这里a=1，b=3，c=-1，
∵Δ=9+4=13>0，
∴x=-3± 132，
则x1=-3+ 132，x2=-3- 132．
【解析】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属于基础题．找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
17.【答案】解：原式=6-3 36
=6-18
=-12．
【解析】先进行乘方和二次根式的乘法运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18.【答案】解：如图：
(1)如图1所示；
(2)如图2所示．
【解析】(1)根据平行四边形的性质作图；
(2)根据三角形的三条中线相较于一点及三线合一作图．
本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】(1)解：由题意得：(26+2)-2a=(28-2a)米，
∴车棚与墙平行的一边长(28-2a)米；
(2)解：当a=10时，28-2a=28-2×10=28-20=8(米)，
设小路的宽为x米，
由题意得：(10-x)(8-2x)=54，
整理得：x2-14x+13=0，
解得：x1=13>10(舍去)，x2=1，
答：小路的宽为1米．
【解析】(1)根据题意可得：车棚与墙平行的一边长=[(26+2)-2a]米，然后进行计算即可解答；
(2)把a=10，代入(1)中的结论可得：车棚与墙平行的一边长为8米，然后设小路的宽为x米，根据题意可得：(10-x)(8-2x)=54，最后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，
∴CD=AD=BD，
∴∠DAC=∠DCA
∵CE=AE，
∴∠ECA=∠EAC，
∵CE//AD，
∴∠ECA=∠DAC，
∴∠EAC=∠DCA，
∴AE//CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵CE=AE，
∴四边形ADCE为菱形．
(2)解：∵四边形ADCE是菱形，AE=5，AC=6，
∴AD=AE=5，
∴AB=2AD=2×5=10，
∵∠ACB=90°，
∴BC= AB2-AC2= 102-62=8，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×6×8=24，
∴S△AEC=S△ADC=12S△ABC=12×24=12，
∴S四边形ABCE=S△AEC+S△ABC=12+24=36，
∴四边形ABCE的面积是36．
【解析】(1)由∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，得CD=AD=BD，所以∠DAC=∠DCA，由CE=AE，得∠ECA=∠EAC，由CE//AD，得∠ECA=∠DAC，所以∠EAC=∠DCA，则AE//CD，即可证明四边形ADCE为菱形；
(2)由菱形的性质得AD=AE=5，则AB=2AD=10，根据勾股定理得BC= AB2-AC2=8，即可求得S△ABC=12AC⋅BC=24，则S△AEC=S△ADC=12S△ABC=12，所以S四边形ABCE=S△AEC+S△ABC=36．
此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，证明AE//CD是解题的关键．
21.【答案】7 8.5 10
【解析】解：(1)把七年级的8名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数都是7，故中位数a=7+72=7，
八年级的平均数b=9+10+6+10+10+6+9+88=8.5，
八年级的8名学生的成绩中出现最多的数是10，故众数c=10．
故答案为：7，8.5，10；
1000×58=625(人)，
答：该校八年级学生中优秀的人数大约为625人．
(1)分别根据中位数、平均数和众数的定义解答即可；
(2)利用样本估计总体即可．
本题考查了众数、平均数、中位数以及用样本估计总体，掌握相关统计量是解答本题的根据．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°
∴∠ADG+∠GDC=90°，
∵DG⊥DF，
∴∠CDF+∠GDC=90°，
∴∠ADG=∠CDF，
∵CF⊥AF，
∴∠DCF+∠FEC=90°，
∵∠ADC=90°
∴∠DAG+∠AED=90°，
∵∠AED=∠FEC，
∴∠DAG=∠DCF，
在△DAG和△DCF中，
∠DAG=∠DCFAD=CD∠ADG=∠CDF，
∴△DAG≌△DCF(ASA)；
(2)解：过D点作DH⊥AF于点H，
∵CF⊥AF，
∴∠DHE=∠CFE=90°，
∵E为DC的中点，
∴CE=DE，
在△CFE和△DHE中，
∠CFE=∠DHE∠CEF=∠DEHCE=DE，
∴△CFE≌△DHE(AAS)，
∴CF=DH，
由(1)知△DAG≌△DCF，
∴DG=DF，AG=CF，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∴DH=GH=FH，
∴AG=GH=DH=FH=CF=2，
在△AHD中，AH=4，HD=2
由勾股定理得AD2=AH2+HD2=42+22=20
即正方形ABCD的面积为20．
【解析】(1)根据正方形的性质和已知条件证得∠ADG=∠CDF，∠DAG=∠DCF，即可得出△DAG≌△DCF；
(2)过D点作DH⊥AF于点H，先证△CFE和△DHE全等，得出CF=DH，结合(1)中的结论可得出AG=GH=DH=FH=CF=2，在Rt△AHD中根据勾股定理求出AD的平方即可得出正方形的面积．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
23.【答案】-8
【解析】解：a-2ab+2ab2+4=0是关于b的一元二次方程，将其整理成一元二次方程的一般形式2ab2-2ab+a+4=0.若它有实根，
则有Δ=(-2a)2-4×2a(a+4)=-4a2-32a≥0，即a(a+8)≤0．
∴a≥0a+8≤0或a≤0a+8≥0，解得-8≤a≤0，
∴a的最大值与最小值之和为-8．
故答案为：-8．
a-2ab+2ab2+4=0是关于b的一元二次方程，将其整理成一元二次方程的一般形式．若它有实根，则有Δ≥0，得到关于a的二元二次不等式并解之，将其最大值与最小值相加即可．
本题考查二次函数与不等式，这是初中数学中的重要内容，一定要熟练掌握，灵活运用．
2022-2023学年安徽省合肥市四区县八年级（下）期末数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列二次根式为最简二次根式的是( )
A. 13 B. 0.5 C. 6 D. 16
2. 在下列长度的各组线段中，能组成直角三角形的是( )
A. 4，5，6 B. 5，6，7 C. 5，-11，12 D. 5，12，13
3. 下列方程中，一定为一元二次方程的是( )
A. x+3y=4 B. 5y=5y2 C. 4x-4=0 D. ax2-x=1
4. 利用“配方法”解一元二次方程x2-4x+1=0，配方后结果是( )
A. (x-4)2=15 B. (x-4)2=17 C. (x-2)2=3 D. (x-2)2=5
5. 勾股定理是中国几何的根源，中华数学的精髓，诸如开方术、方程术、天元术等技艺的诞生与发展，寻根探源，都与勾股定理有着密切关系.如图，△ABC中，∠ABC=90°，若AB=2，BC=3，则正方形ACDE的面积为( )
A. 4 B. 13 C. 13 D. 16
6. 已知一组数据：2，1，3，2，2，这组数据的方差是( )
A. 0.4 B. 0.6 C. 2 D. 3
7. 下列叙述错误的是( )
A. 平行四边形的对角线互相平分 B. 矩形的对角线相等
C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 D. 对角线相等的四边形是矩形
8. 某商店将进货价格为20元的商品按单价36元售出时，能卖出200个.已知该商品单价每上涨1元，其销售量就减少5个.设这种商品的售价上涨x元时，获得的利润为1200元，则下列关系式正确的是( )
A. (x+16)(200-5x)=1200 B. (x+16)(200+5x)=1200
C. (x-16)(200+5x)=1200 D. (x-16)(200-5x)=1200
9. 已知菱形ABCD的对角线AC、BD的长度恰为方程的x2-14x+48=0两个实数根，则菱形ABCD的周长为( )
A. 12 B. 16 C. 20 D. 24
10. 如图，矩形ABCD中，E为BC边的中点，沿DE对折矩形，使点C落在C'处，折痕为DE，延长DC'交AB于点F，连接BC'并延长交AD于点G，连接CC'.给出以下结论：
①四边形BEDG为平行四边形；
②∠EC'C=∠BC'F；
③GC'=GD；
④C'为BG的中点．
其中正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若二次根式 x-4在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12. 若一元二次方程x2-2x+2a=0有两个相等的实数根，则a的值为______ ．
13. 如图，一个正五边形和一个正方形各有一边在直线l上，且只有一个公共顶点A，则∠BAC的大小为______ 度.
14. 如图，A、B、C分别为数轴上的三点，且AB=BC，若点B对应的实数为1，点C对应的实数为 3，则点A对应的实数为______ ．
15. 如图，AD为△ABC的外角平分线，CD⊥AD于点D，M为BC边的中点，若BC=MD=6，则△ABC的周长为______ ．
三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）
16. 解方程：x2+3x-1=0．
四、解答题（本大题共7小题，共55.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题5.0分)
计算：(- 6)2-3 2× 18．
18. (本小题8.0分)
如图，在△ABC中，AB=AC，点D为形外一点，且AB//CD，AB=2CD，M为AB的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图.(保留画图痕迹，不需要证明)
(1)在图1中，画出△ABC的AC边上的中线BE；
(2)在图2中，先画出AC边的中点O，再画出△ABC的BC边上的高AH．
19. (本小题8.0分)
某工厂利用空地新建一个长方形电动车棚，其中一面靠院墙，如图1，这堵墙的长度为10米.已知现有的木板材料(图中细线部分)可新建围墙26米，同时在与院墙平行的一面开一个2米宽的门，设该长方形电动车棚与院墙垂直的一边长为a米．
(1)求与墙平行的一边长为多少米？(用含a的代数式表示)
(2)当a=10时，为了方便职工通行，施工单位决定在车棚内修建几条等宽的小路(如图2中内部阴影区域)，使得停放电动车的空白面积为54平方米，那么小路的宽度是多少米？
20. (本小题9.0分)
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，过C点作CE//AD，连接AE，且CE=AE．
(1)求证：四边形ADCE为菱形；
(2)若AE=5，AC=6，求四边形ABCE的面积．
21. (本小题10.0分)
为深入学习贯彻习近平法治思想，推动青少年宪法学习宣传教育走深走实，教育部组织开展全国学生“学宪法讲宪法”系列活动.某校积极响应教育部的号召，开展了宪法知识普及测评，现分别从七、八年级中各随机抽取了8名学生的成绩(满分10分)进行整理与分析，信息如下：
收集信息：
七年级：8，10，7，6，6，7，10，6；
八年级：9，10，6，10，10，6，9，8．
整理信息：
平均数
中位数
众数
七年级
7.5
a
6
八年级
b
9
c
(1)填空：a= ______ ，b= ______ ，c= ______ ．
(2)若该校八年级共有1000名学生参加此次测评，请估计该校八年级学生中优秀(大于等于9分)的人数．
22. (本小题10.0分)
如图，正方形ABCD中，E为CD边上一点，CF⊥AE交AE的延长线于点F，DG⊥DF交AE于点G．
(1)求证：△DAG≌△DCF；
(2)若E为CD的中点，FC=2，求正方形ABCD的面积，
23. (本小题5.0分)
若实数a，b满足a-2ab+2ab2+4=0，则a的最大值与最小值之和为______ ．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A、 13= 33，故A不符合题意；
B、 0.5= 12= 22，故B不符合题意；
C、 6是最简二次根式，故C符合题意；
D、 16=4，故D不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A、42+52≠62，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、52+62≠72，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
C、52+(-11)2≠122，不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、122+52=132，能构成直角三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
计算较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于，则是直角三角形，否则就不能围成直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
3.【答案】B
【解析】解：A.方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.当a=0时，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
4.【答案】C
【解析】解：原方程可化为x2-4x+4-4+1=0，即(x-2)2=3．
故选C．
把方程左边化为完全平方公式的形式即可得出结论．
本题考查的是利用配方法解一元二次方程，熟记完全平方公式是解答此题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵∠ABC=90°，AB=2，BC=3，
∴AC= AB2+BC2= 22+32= 13，
∴正方形ACDE的面积为AC2=( 13)2=13．
故选：C．
先根据勾股定理求出AC的长，进而求出正方形ACDE的面积即可．
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：这组数据的平均数为1+2×3+35=2，
则这组数据的方差为15×[(1-2)2+3×(2-2)2+(3-2)2]=0.4，
故选：A．
根据方差的定义列式计算即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义．
7.【答案】D
【解析】解：A、∵平行四边形的对角线互相平分，
∴选项A不符合题意；
B、∵矩形的对角线相等，
∴选项B不符合题意；
C、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，
∴选项C不符合题意；
D、∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，
∴选项D符合题意；
故选：D．
由平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质分别对各个选项进行判断即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：根据题意可得：(36+x-20)(200-5x)=1200，
即：(x+16)(200-5x)=1200．
故选：A．
根据总利润=销售量×每个利润．设涨价x元能赚得1200元的利润，即售价定为每个(x+40)元，销售量为(200-5x)个，结合获得的利润为1200元，可列方程．
此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是理解“单价每上涨1元，其销售量就减少5个”．
9.【答案】C
【解析】解：解方程x2-14x+48=0得：x1=6，x2=8，
∵菱形ABCD的对角线AC、BD的长度恰为方程的x2-14x+48=0两个实数根，
∴菱形ABCD的两对角线长分别是6和8，
设AC，BD的交点是O，令AC=6，BD=8，
∴OA=12AC=3，OB=12BD=4，
∴AB= OA2+OB2=5，
∴菱形ABCD的周长=4AB=20．
故选：C．
解方程x2-14x+48=0，得到菱形ABCD的两对角线长分别是6和8，由勾股定理得到AB= OA2+OB2=5，即可得到菱形ABCD的周长=4AB=20．
本题考查菱形的性质，勾股定理，关键是通过解一元二次方程，求出AC，BD的长．
10.【答案】B
【解析】解：∵E为BC边的中点，
∴BE=EC=EC'，
∴∠C'BC+∠C'CB+∠BC'C=180°，
∠BC'E+∠EC'C+∠BC'C=180°，
2∠BC'C=180°，
∴∠BC'C=90°，
即DE//BG，
∵DG//BE，
∴四边形BEDG为平行四边形，故①正确；
∵∠DCB=∠DC'E=90°，
∴∠EC'C+∠BC'E=∠BC'F+∠BC'E=90°，
∴∠EC'C=∠BC'F，故②正确，
∵∠GC'D=∠FC'B=∠EC'C=∠ECC'，
∴当GC'=GD时，∠GDC'=∠ECC'，
∴∠C'DC=∠C'CD，
∴△C'CD是等边三角形，
即∠C'DC=60°，∠ADC'=120°，显然∠ADC'不是钝角，故③不正确，
当C'为BG的中点时．GC'=BC，即'在GB边的垂直平分线上，
即C'C是垂直平分线，
∴BC=CG，显然BC≠CG，故④不正确．
故选：B．
根据三角形内角和为180°，易证∠BC'C=90°可证出最终结论根据翻折的性质，加上正方形所有内角都是直角，再由同角的余角相等，即可解题，利用反推，若GC'=GD，则△C'CD为等边三角形，∠ADC'是钝角，显然∠ADC'不是钝角，即可得出结论．若C为BG的中点，C'在GB边的垂直平分线上，利用垂直平分线的性质，即可得出结论．
本题主要考查四边形的综合运用，熟练掌握翻折的性质和正方形与平行四边形的定义是解题关键．
11.【答案】x≥4
【解析】解：依题意有x-4≥0，
解得x≥4．
故答案为：x≥4．
根据二次根式的性质，被开方数大于等于0，列不等式求解．
本题主要考查了二次根式的意义和性质，注意掌握概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
12.【答案】12
【解析】解：根据题意得Δ=(-2)2-4×2a=0，
解得a=12．
故答案为：12．
根据根的判别式的意义得到Δ=(-2)2-4×2a=0，然后解关于a的方程即可．
本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
13.【答案】18
【解析】解：由题意可得∠ABC=90°，∠ACB=360°÷5=72°，
则∠BAC=90°-72°=18°，
故答案为：18．
根据多边形的外角和及正多边形的性质求得∠ABC，∠ACB的度数，然后利用直角三角形的两锐角互余即可求得答案．
本题考查多边形的外角与直角三角形的性质，结合已知条件求得∠ACB的度数是解题的关键．
14.【答案】2- 3
【解析】解：由题意得，BC= 3-1，
∵AB=BC，
∴点A对应的实数为：1-( 3-1)=2- 3，
故答案为：2- 3．
先表示出BC的长度为 3-1，再用1-( 3-1)进行求解．
此题考查了用数轴上的点表示实数的应用能力，关键是能准确根据题意，利用数形结合思想进行列式、求解．
15.【答案】18
【解析】解：延长CD交BA的延长线于点E，
∵AD为△ABC的外角平分线，
∴∠EAD=∠CAD，
∵CD⊥AD，
∴∠EDA=∠CDA=90°，
又AD为公共边，
∴△AED≌△ACD(ASA)，
∴CD=ED，AE=AC，
即点D是CE的中点，
∵M为BC边的中点，
∴MD是△BCE的中位线，
∴MD=12BE，
∵MD=6，
∴BE=12，
∴AB+AE=AB+AC=12，
∵BC=6，
∴△ABC的周长为：AB+AC+BC=12+6=18，
故答案为：18．
延长CD交BA的延长线于点E，先利用ASA证得△AED和△ACD，得出AE=AC，MD是△BCE的中位线，根据三角形中位线定理可求出BE的长，从而求出△ABC的周长．
本题考查了三角形中位线定理，三角形全等的判定与性质，熟知：连接三角形两边中点的线段是三角形的中位线；三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
16.【答案】解：这里a=1，b=3，c=-1，
∵Δ=9+4=13>0，
∴x=-3± 132，
则x1=-3+ 132，x2=-3- 132．
【解析】本题考查了解一元二次方程-公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键，属于基础题．找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
17.【答案】解：原式=6-3 36
=6-18
=-12．
【解析】先进行乘方和二次根式的乘法运算，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
18.【答案】解：如图：
(1)如图1所示；
(2)如图2所示．
【解析】(1)根据平行四边形的性质作图；
(2)根据三角形的三条中线相较于一点及三线合一作图．
本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
19.【答案】(1)解：由题意得：(26+2)-2a=(28-2a)米，
∴车棚与墙平行的一边长(28-2a)米；
(2)解：当a=10时，28-2a=28-2×10=28-20=8(米)，
设小路的宽为x米，
由题意得：(10-x)(8-2x)=54，
整理得：x2-14x+13=0，
解得：x1=13>10(舍去)，x2=1，
答：小路的宽为1米．
【解析】(1)根据题意可得：车棚与墙平行的一边长=[(26+2)-2a]米，然后进行计算即可解答；
(2)把a=10，代入(1)中的结论可得：车棚与墙平行的一边长为8米，然后设小路的宽为x米，根据题意可得：(10-x)(8-2x)=54，最后进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，代数式求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，
∴CD=AD=BD，
∴∠DAC=∠DCA
∵CE=AE，
∴∠ECA=∠EAC，
∵CE//AD，
∴∠ECA=∠DAC，
∴∠EAC=∠DCA，
∴AE//CD，
∴四边形ADCE为平行四边形，
∵CE=AE，
∴四边形ADCE为菱形．
(2)解：∵四边形ADCE是菱形，AE=5，AC=6，
∴AD=AE=5，
∴AB=2AD=2×5=10，
∵∠ACB=90°，
∴BC= AB2-AC2= 102-62=8，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×6×8=24，
∴S△AEC=S△ADC=12S△ABC=12×24=12，
∴S四边形ABCE=S△AEC+S△ABC=12+24=36，
∴四边形ABCE的面积是36．
【解析】(1)由∠ACB=90°，CD为AB边上的中线，得CD=AD=BD，所以∠DAC=∠DCA，由CE=AE，得∠ECA=∠EAC，由CE//AD，得∠ECA=∠DAC，所以∠EAC=∠DCA，则AE//CD，即可证明四边形ADCE为菱形；
(2)由菱形的性质得AD=AE=5，则AB=2AD=10，根据勾股定理得BC= AB2-AC2=8，即可求得S△ABC=12AC⋅BC=24，则S△AEC=S△ADC=12S△ABC=12，所以S四边形ABCE=S△AEC+S△ABC=36．
此题重点考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，证明AE//CD是解题的关键．
21.【答案】7 8.5 10
【解析】解：(1)把七年级的8名学生的成绩从小到大排列，排在中间的两个数都是7，故中位数a=7+72=7，
八年级的平均数b=9+10+6+10+10+6+9+88=8.5，
八年级的8名学生的成绩中出现最多的数是10，故众数c=10．
故答案为：7，8.5，10；
1000×58=625(人)，
答：该校八年级学生中优秀的人数大约为625人．
(1)分别根据中位数、平均数和众数的定义解答即可；
(2)利用样本估计总体即可．
本题考查了众数、平均数、中位数以及用样本估计总体，掌握相关统计量是解答本题的根据．
22.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°
∴∠ADG+∠GDC=90°，
∵DG⊥DF，
∴∠CDF+∠GDC=90°，
∴∠ADG=∠CDF，
∵CF⊥AF，
∴∠DCF+∠FEC=90°，
∵∠ADC=90°
∴∠DAG+∠AED=90°，
∵∠AED=∠FEC，
∴∠DAG=∠DCF，
在△DAG和△DCF中，
∠DAG=∠DCFAD=CD∠ADG=∠CDF，
∴△DAG≌△DCF(ASA)；
(2)解：过D点作DH⊥AF于点H，
∵CF⊥AF，
∴∠DHE=∠CFE=90°，
∵E为DC的中点，
∴CE=DE，
在△CFE和△DHE中，
∠CFE=∠DHE∠CEF=∠DEHCE=DE，
∴△CFE≌△DHE(AAS)，
∴CF=DH，
由(1)知△DAG≌△DCF，
∴DG=DF，AG=CF，
∴△DGF是等腰直角三角形，
∴DH=GH=FH，
∴AG=GH=DH=FH=CF=2，
在△AHD中，AH=4，HD=2
由勾股定理得AD2=AH2+HD2=42+22=20
即正方形ABCD的面积为20．
【解析】(1)根据正方形的性质和已知条件证得∠ADG=∠CDF，∠DAG=∠DCF，即可得出△DAG≌△DCF；
(2)过D点作DH⊥AF于点H，先证△CFE和△DHE全等，得出CF=DH，结合(1)中的结论可得出AG=GH=DH=FH=CF=2，在Rt△AHD中根据勾股定理求出AD的平方即可得出正方形的面积．
本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，灵活运用三角形全等的判定定理是解题的关键．
23.【答案】-8
【解析】解：a-2ab+2ab2+4=0是关于b的一元二次方程，将其整理成一元二次方程的一般形式2ab2-2ab+a+4=0.若它有实根，
则有Δ=(-2a)2-4×2a(a+4)=-4a2-32a≥0，即a(a+8)≤0．
∴a≥0a+8≤0或a≤0a+8≥0，解得-8≤a≤0，
∴a的最大值与最小值之和为-8．
故答案为：-8．
a-2ab+2ab2+4=0是关于b的一元二次方程，将其整理成一元二次方程的一般形式．若它有实根，则有Δ≥0，得到关于a的二元二次不等式并解之，将其最大值与最小值相加即可．
本题考查二次函数与不等式，这是初中数学中的重要内容，一定要熟练掌握，灵活运用．
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