吉林省长春市净月高新区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）

这是一份吉林省长春市净月高新区2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年吉林省长春市净月高新区七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）“一片甲骨惊天下”，甲骨文是我国目前发现最早的文字，其图画性强的特点非常明显．下列甲骨文图画是轴对称的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）把方程x+y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（　　）
A．y＝x+3 B．y＝﹣x+3 C．y＝x﹣3 D．y＝﹣x﹣3
3．（3分）如果x＝1.8是某不等式的解，那么该不等式可以是（　　）
A．x＞3 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2
4．（3分）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）

A．三角形具有稳定性
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两直线平行，内错角相等
5．（3分）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1＝110°，则∠2等于（　　）

A．10° B．20° C．25° D．30°
6．（3分）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　）


A．350克 B．300克 C．250克 D．200克
7．（3分）为有效开展大课间体育锻炼活动，班主任李老师将班级同学进行分组（组数固定）．若每组7人，则多余2人；若每组8人，则还缺3人．设班级同学有x人，则可得方程为（　　）
A．7x+2＝8x﹣3 B．7x﹣2＝8x+3 C．x-27=x+38 D．x+27=x-38
8．（3分）如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数为（　　）

A．90° B．108° C．120° D．135°
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）不等式x+3≤4的解集是 　 　．
10．（3分）写出一个解为x＝﹣7的一元一次方程：　 　．
11．（3分）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝　 　°．

12．（3分）利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为α，则α至少为 　 　．
13．（3分）已知关于x，y的二元一次方程a1x+b1y＝c1的部分解如表：
x
…
﹣1
2
5
8
11
…
y
…
﹣19
﹣12
﹣5
2
9
…
关于x，y的二元一次方程a2x+b2y＝c2的部分解如表：
x
…
﹣1
2
5
8
11
…
y
…
﹣70
﹣46
﹣22
2
26
…
则关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是 　 　．
14．（3分）如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠A＝100°，点D是AB边上的固定点(BD＜12AB)，在BC上找一点E．将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与AC边平行时，∠BED的度数为 　 　°．

三、解答题（本大题共9小题，共78分）
15．（5分）解方程：x﹣2（2﹣x）＝8．
16．（6分）解不等式组5x＞3(x-1)①2x-1≤x+2②，并把它的解集在数轴上表示出来．

17．（7分）下面是小张同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并回答相应的问题．
解方程组：x-2y=1①3x+y=-2②
解：①×3，得3x﹣6y＝3③…第一步
②﹣③，得﹣5y＝﹣5…第二步
y＝1…第三步
y＝1代入①，得x＝3…第四步
所以，原方程组的解为x=3y=1⋯第五步
（1）小彬同学的解题过程从第 　 　步开始出现错误；
（2）请写出正确的解题过程；
（3）解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 　 　（填序号）．
A．数形结合
B．类比思想
C．转化思想
D．分类讨论
18．（7分）如图，△ABC≌△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上．
（1）求证：BF＝EC；
（2）若AB＝3，EF＝7，求AC边的取值范围．

19．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC经过平移，使点C移到点C′的位置．
（1）在网格中画出△A′B′C′；
（2）连接线段AA′、BB′，这两条线段的关系是 　 　；
（3）平移过程中，线段AB扫过的图形的面积为 　 　．

20．（7分）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和1副围棋共需125元，购买2副象棋和3副围棋共需165元．
（1）求每副象棋和围棋的价格；
（2）若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？
21．（8分）数学兴趣小组学习了三角形的外角性质1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．提出问题：四边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？

【回顾】如图①．请直接写出∠ACD与∠A、∠B之间的数量关系：　 　．
【探究】如图②，已知∠DCE是四边形ABCD的外角，求∠DCE、∠A、∠B与∠D的数量关系．请补全下面解答过程．
解：∵∠DCE是四边形ABCD的外角．
∴　 　∠DCB＝180°．
∴∠DCB＝180°﹣　 　．
∵∠DCB+∠B+∠D＝　 　．
∴180°﹣　 　+∠A+∠B+∠D＝　 　．
∴∠DCE＝∠A+∠B+∠D+　 　．
22．（9分）【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC、AD⊥BC于D，猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．

（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的特殊值求∠EAD值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值：（单位：度）
∠B
10
30
30
20
20
∠C
70
70
60
60
80
∠EAD
30
a
15
20
30
上表中a＝　 　，猜想∠EAD与∠B、∠C的数量关系并证明．
【变式应用】
（2）小明继续研究，在图②中，∠B＝35°，∠C＝75°，其它条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“点F是线段AE上任意一点，FD⊥BC于D”，则∠DFE＝　 　°（直接写出结果）．
（3）小明提出问题，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，若点F是线段AE延长线上一点，FD⊥BC于D，试探究∠DFE与∠B、∠C的数量关系 　 　（直接写出结论，不需证明）．
23．（12分）等面积法是一种常用的、重要的数学解决问题的方法．请尝试利用这种数学方法解决下面问题：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5．
（1）如图①，CD⊥AB，求△ABC的面积及CD的长；
（2）如图②、点D、点P分别在边AB、AC上，将△APD沿着DP折叠（DP为折痕），使点A和点B重合，AP=258，求△ABP的面积；
（3）在（2）的条件下，作DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为点E、点F，则DE＝DF，求DE（或DF）的长；
（4）如图③，点P在边AC上；且AP＝BP，点Q是边AB上一点（不与点A、点B重合）QE⊥BP，QF⊥AP，垂足分别为点E、点F．直接写出QE+QF的值．


2022-2023学年吉林省长春市净月高新区七年级（下）期末数学试卷（参考答案）
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．（3分）“一片甲骨惊天下”，甲骨文是我国目前发现最早的文字，其图画性强的特点非常明显．下列甲骨文图画是轴对称的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：选项A、B、C的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形．
选项D的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：D．
2．（3分）把方程x+y＝3改写成用含x的式子表示y的形式，正确的是（　　）
A．y＝x+3 B．y＝﹣x+3 C．y＝x﹣3 D．y＝﹣x﹣3
【解答】解：移项得，y＝3﹣x，
故选：B．
3．（3分）如果x＝1.8是某不等式的解，那么该不等式可以是（　　）
A．x＞3 B．x＞2 C．x＜1 D．x＜2
【解答】解：∵1.8＜2，
∴x＝1.8是不等式x＜2的解．
故选：D．
4．（3分）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是（　　）

A．三角形具有稳定性
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．两直线平行，内错角相等
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理：三角形具有稳定性．
故选：A．
5．（3分）体育课上的侧压腿动作（如图1）可以抽象为几何图形（如图2），如果∠1＝110°，则∠2等于（　　）

A．10° B．20° C．25° D．30°
【解答】解：由题意可得：∠2＝∠1﹣90°＝20°．
故选：B．
6．（3分）如图，在天平上放若干苹果和香蕉，其中①②的天平保持平衡，现要使③中的天平也保持平衡，需要在天平右盘中放入砝码（　　）


A．350克 B．300克 C．250克 D．200克
【解答】解：设苹果重为x克，香蕉重为y克，
∴2x+y＝350，x+2y＝400，
相加得：3x+3y＝750，
∴x+y＝250．
∴需要在天平右盘中放入砝码250克，
故选：C．
7．（3分）为有效开展大课间体育锻炼活动，班主任李老师将班级同学进行分组（组数固定）．若每组7人，则多余2人；若每组8人，则还缺3人．设班级同学有x人，则可得方程为（　　）
A．7x+2＝8x﹣3 B．7x﹣2＝8x+3 C．x-27=x+38 D．x+27=x-38
【解答】解：由题意可得，
x-27=x+38，
故选：C．
8．（3分）如图，用一条宽相等的足够长的纸条，打一个结，然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图所示的正五边形ABCDE，其中∠BAE的度数为（　　）

A．90° B．108° C．120° D．135°
【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BAE＝（5﹣2）×180°÷5＝108°，
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共18分）
9．（3分）不等式x+3≤4的解集是 　x≤1　．
【解答】解：移项得：x≤4﹣3，
解得：x≤1．
故答案为：x≤1．
10．（3分）写出一个解为x＝﹣7的一元一次方程：　x+7＝0　．
【解答】解：方程为x+7＝0，
故答案为：x+7＝0（答案不唯一）．
11．（3分）如图，四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，若∠B＝90°，∠C＝60°，∠D′＝105°，则∠A′＝　105　°．

【解答】解：∵四边形ABCD≌四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′，∠D＝∠D′，
∵∠D′＝105°，
∴∠D＝105°，
∵∠B＝90°，∠C＝60°，
∴∠A＝105°，
∴∠A′＝105°，
故答案为：105．
12．（3分）利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案，如图②中的图案是由图①中的基本图形以点O为旋转中心，顺时针旋转4次而生成的，每一次旋转的角度均为α，则α至少为 　72°　．
【解答】解：根据题意，顺时针（或逆时针）旋转角度α，依次旋转四次而组成，
这个图形可以由一个基本图形绕中心依次旋转四次旋转而得到，
每次旋转的度数为360°除以5为72°，即旋转角是72°的倍数，
故旋转角α的最小值是72°．
故答案为：72°．
13．（3分）已知关于x，y的二元一次方程a1x+b1y＝c1的部分解如表：
x
…
﹣1
2
5
8
11
…
y
…
﹣19
﹣12
﹣5
2
9
…
关于x，y的二元一次方程a2x+b2y＝c2的部分解如表：
x
…
﹣1
2
5
8
11
…
y
…
﹣70
﹣46
﹣22
2
26
…
则关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是 　x=8y=2　．
【解答】解：由表格可知，x＝8，y＝2是a1x+b1y＝c1的解，
x＝8，y＝2是a2x+b2y＝c2的解，
∴关于x，y的二元一次方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2的解是：x=8y=2．
故答案为：x=8y=2．
14．（3分）如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠A＝100°，点D是AB边上的固定点(BD＜12AB)，在BC上找一点E．将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与AC边平行时，∠BED的度数为 　24　°．

【解答】解：∵EF∥AC，
∴∠BEF＝∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣100°﹣32°＝48°．
∵∠BED=12∠BEF=12×48°＝24°，
故答案为：24．
三、解答题（本大题共9小题，共78分）
15．（5分）解方程：x﹣2（2﹣x）＝8．
【解答】解：x﹣2（2﹣x）＝8，
x﹣4+2x＝8，
x+2x＝8+4，
3x＝12，
x＝4．
16．（6分）解不等式组5x＞3(x-1)①2x-1≤x+2②，并把它的解集在数轴上表示出来．

【解答】解：5x＞3(x-1)①2x-1≤x+2②，
解不等式①得：x＞-32，
解不等式②得：x≤3，
∴原不等式组解集为：-32＜x≤3，
把不等式组的解集在数轴上如下：

17．（7分）下面是小张同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并回答相应的问题．
解方程组：x-2y=1①3x+y=-2②
解：①×3，得3x﹣6y＝3③…第一步
②﹣③，得﹣5y＝﹣5…第二步
y＝1…第三步
y＝1代入①，得x＝3…第四步
所以，原方程组的解为x=3y=1⋯第五步
（1）小彬同学的解题过程从第 　二　步开始出现错误；
（2）请写出正确的解题过程；
（3）解二元一次方程组的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是 　C　（填序号）．
A．数形结合
B．类比思想
C．转化思想
D．分类讨论
【解答】解：（1）由题意，根据二元一次方程组的解法，②﹣③得，7y＝﹣5．
∴第二步开始出现错误．
故答案为：二．
（2）由题意，①×3，得3x﹣6y＝3③．
②﹣③，得7y＝﹣5．
∴y=-57．
把y=-57代入x+107=1，
∴x=-37．
∴原方程组的解为x=-37y=-57．
（3）第二步的基本思想是“消元”，即把“二元”变为“一元”，在此过程中体现的数学思想是转化思想，
故选：C．
18．（7分）如图，△ABC≌△DEF，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在一条直线上．
（1）求证：BF＝EC；
（2）若AB＝3，EF＝7，求AC边的取值范围．

【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴BC＝EF，
∴BC﹣CF＝EF﹣CF，
∴BF＝EC；
（2）解：∵△ABC≌△DEF，EF＝7，
∴BC＝EF＝7，
在△ABC中，BC﹣AB＜AC＜BC+AB，
∴7﹣3＜AC＜7+3，
即4＜AC＜10．
19．（7分）如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，将△ABC经过平移，使点C移到点C′的位置．
（1）在网格中画出△A′B′C′；
（2）连接线段AA′、BB′，这两条线段的关系是 　AA′＝BB′，AA′∥BB′　；
（3）平移过程中，线段AB扫过的图形的面积为 　12　．

【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
（2）结论：AA′＝BB′，AA′∥BB．
故答案为：AA′＝BB′，AA′∥BB′；
（3）线段AB扫过的图形的面积＝4×3＝12．
故答案为：12．

20．（7分）围棋起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，围棋距今已有4000多年的历史，中国象棋也是中华民族的文化瑰宝，它源远流长，趣味浓厚，基本规则简明易懂．某学校为活跃学生课余生活，欲购买一批象棋和围棋，已知购买3副象棋和1副围棋共需125元，购买2副象棋和3副围棋共需165元．
（1）求每副象棋和围棋的价格；
（2）若学校准备购买象棋和围棋总共100副，且总费用不超过3200元，则最多能购买多少副围棋？
【解答】解：（1）设每副象棋的价格为x元，每副围棋的价格为y元．
依题意得，
解得．
答：每副象棋的价格为30元，每副围棋的价格为35元．
（2）设购买m副围棋，则购买（100﹣m）副象棋．
依题意得：30（100﹣m）+35m≤3200，
解得m≤40．
答：最多能购买40副围棋．
21．（8分）数学兴趣小组学习了三角形的外角性质1三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和．提出问题：四边形的一个外角与它不相邻的内角之和具有怎样的数量关系？

【回顾】如图①．请直接写出∠ACD与∠A、∠B之间的数量关系：　∠ACD＝∠A+∠B；　．
【探究】如图②，已知∠DCE是四边形ABCD的外角，求∠DCE、∠A、∠B与∠D的数量关系．请补全下面解答过程．
解：∵∠DCE是四边形ABCD的外角．
∴　∠DCE+　∠DCB＝180°．
∴∠DCB＝180°﹣　∠DCE　．
∵∠DCB+∠B+∠D＝　360°　．
∴180°﹣　∠DCE　+∠A+∠B+∠D＝　360°　．
∴∠DCE＝∠A+∠B+∠D+　﹣180°　．
【解答】解：【回顾】∠ACD＝∠A+∠B；
故答案为：∠ACD＝∠A+∠B；
【探究】∵∠DCE是四边形ABCD的外角，
∴∠DCE+∠DCB＝180°，
∴∠DCB＝180°﹣∠DCE．
∵∠DCB+∠A+∠B+∠D＝360°，
∴180°﹣∠DCE+∠A+∠B+∠D＝360°，
∴∠DCE＝∠A+∠B+∠D+﹣180°．
故答案为：∠DCE+，∠DCE，360°，∠DCE，360°，﹣180°．
22．（9分）【问题呈现】小明在学习中遇到这样一个问题：如图①，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC、AD⊥BC于D，猜想∠B、∠C、∠EAD的数量关系．

（1）小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠B、∠C的特殊值求∠EAD值并寻找它们的数量关系，得到下面几组对应值：（单位：度）
∠B
10
30
30
20
20
∠C
70
70
60
60
80
∠EAD
30
a
15
20
30
上表中a＝　20　，猜想∠EAD与∠B、∠C的数量关系并证明．
【变式应用】
（2）小明继续研究，在图②中，∠B＝35°，∠C＝75°，其它条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“点F是线段AE上任意一点，FD⊥BC于D”，则∠DFE＝　20　°（直接写出结果）．
（3）小明提出问题，在△ABC中，∠C＞∠B，AE平分∠BAC，若点F是线段AE延长线上一点，FD⊥BC于D，试探究∠DFE与∠B、∠C的数量关系 　∠EFD=12（∠C﹣∠B）　（直接写出结论，不需证明）．
【解答】解：（1）∵∠B＝30°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，
∴Rt△ABD中，∠BAD＝90°﹣∠B＝60°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE=12∠BAC＝40°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝20°，
∴a＝20；
∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，∠BAE=12∠BAC，∠BAD＝90°﹣∠B，
∴∠DAE＝∠BAD﹣∠BAE=90°-∠B=12(180°-∠B-∠C)=90°-∠B-90°+12∠B+12∠C=12(∠C-∠B)，
∴∠EAD=12（∠C﹣∠B）；
故答案为：20；
（2）如图，过点A作AG⊥BC于G，

∵FD⊥BC，AG⊥BC，
∴FD∥AG，
∴∠EFD＝∠EAG，
∵∠B＝35°，∠C＝75°，
由（1）同理可得：∠BAG＝90°﹣35°＝55°，∠BAE=12∠BAC=12(180°-35°-75°)=35°，
∴∠EAG＝∠BAG﹣∠BAE＝55°﹣35°＝20°，
由（1）同理可得：∠EAG=12（∠C﹣∠B），
∴∠DFE=12（∠C﹣∠B）＝20°，
故答案为：20；
（3）如图，过A作AG⊥BC于G，而FD⊥BC，

∴AG∥FD，
∴∠EAG＝∠EFD，
由（1）同理可得：∠EAG=12（∠C﹣∠B），
∴∠EFD=12（∠C﹣∠B），
故答案为：∠EFD=12（∠C﹣∠B）；
23．（12分）等面积法是一种常用的、重要的数学解决问题的方法．请尝试利用这种数学方法解决下面问题：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB＝5．
（1）如图①，CD⊥AB，求△ABC的面积及CD的长；
（2）如图②、点D、点P分别在边AB、AC上，将△APD沿着DP折叠（DP为折痕），使点A和点B重合，AP=258，求△ABP的面积；
（3）在（2）的条件下，作DE⊥BP，DF⊥AP，垂足分别为点E、点F，则DE＝DF，求DE（或DF）的长；
（4）如图③，点P在边AC上；且AP＝BP，点Q是边AB上一点（不与点A、点B重合）QE⊥BP，QF⊥AP，垂足分别为点E、点F．直接写出QE+QF的值．

【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴S△ABC=12AC⋅BC=12×3×4=6，AB＝5，
由12AB⋅CD=6得，
12×5⋅CD=6，
∴CD=125；
（2）S△ABP=12AP⋅BC=12×258×3=7516；
（3）由S△ABP＝S△APD+S△PBD得，
12AP•BC=12AP•DE+12BP•DF，
由折叠得：AP＝BP，
∴DE+DF＝BC，
∵DE＝DF，BC＝3，
∴2DE＝3，
∴DE=32；
（4）由（3）知：12AP•BC=12AP•QE+12BP•QF，AP＝BP，
∴QE+QF＝3．