数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算巩固练习

这是一份数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算巩固练习，共11页。试卷主要包含了单选题，单空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


向量的数量积练习
一、单选题
1. 已知|a|=2，|b|=1，a⋅b=1，则a，b的夹角θ的余弦值为  (    )
A. 12 B. 13 C. 235 D. 22
2. 设向量a，b满足|a|=|b|=1，|3a−2b|=7，则a，b的夹角为  (    )
A. π3 B. π6 C. π4 D. 2π3
3. 若m=4,n=6，m与n的夹角θ为45°，则m·n等于(   )
A. 12 B. 122 C. −122 D. −12
4. 如图，AB为圆O的一条弦，且|AB|=4，则OA⋅AB=(   )
A. 4
B. −4
C. 8
D. −8
5. 已知|a|=6，|b|=3，a⋅b=−12，e是与b同向的单位向量，则向量a在向量b上的投影向量是(    )
A. −4e B. 4e C. −2e D. 2e
6. 已知向量a，b满足|a|=1，|b|=2，a⋅(a−b)=0，则|a+b|=  (    )
A. 6 B. 4 C. 6 D. 5
7. 在△ABC中，向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)·BC=0，且BA|BA|·BCBC=22，则△ABC为(    )
A. 等边三角形 B. 直角三角形
C. 等腰非等边三角形 D. 等腰直角三角形
8. 已知向量a与b的夹角为120∘，|a|=3，|a+b|=13，则|b|=(    )
A. 1 B. 3 C. 4 D. 5
9. 设点A,B,C不共线，则“ AB与 AC的夹角是锐角”是“ |AB+AC|>|BC|”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
10. 已知平面向量a,b的夹角为π3，且a=1,b=12，则a−2b=
A. 1 B. 3 C. 2 D. 32
11. 若e1,e2是夹角为60°的两个单位向量，则2e1+e2与−3e1+2e2的夹角为(    )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
12. 设向量a=(0,2)，b=(2,2)，则( )
A. |a|=|b| B. (a-b)//b
C. a与b的夹角为π3 D.
二、单空题
13. 已知向量|a|=5，a·b=10，|a+b|=52，则|b|=________．
14. 在△ABC中，BC=4，D为BC的中点，且AD=2，则DA⋅DB的取值范围是_______．
15. 已知平面向量a,b,c满足|a|=1，|b|=3，a⋅b=0，c−a与c−b的夹角为π6，则c⋅(b−a)的最大值为             ．
16. 已知向量a，b满足|a|=2|b|=4，且a⋅b=−43，则向量a，b的夹角是_________．
17. 已知|OA|=|OC|=1，OA⋅OB=12，OA与OB的夹角为60°，OA与OC的夹角为60°，则OB⋅OC=_______．

18.
三、解答题
19. 已知|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是60°，计算：
(1)(2a+b)·(2a−b)； (2)|4a−2b|.





20. 已知|a|=1，|b|=2．
(1)若向量a与向量b的夹角为135°，求|a+b|及b在a上的投影向量；
(2)若向量a−b与向量a垂直，求向量a与b的夹角．





21. 已知|a|=5，|b|=4，
(1)若a与b的夹角为θ=120°．
①求a·b；
②求a在b上的投影向量．
(2)若a// b，求a·b．






答案和解析
1.【答案】A
【解答】
解：∵|a|=2，|b|=1，a·b=1
则a与b的夹角θ满足cosθ=a·bab=12×1=12．
故选A．
2.【答案】A
【解答】
解：设a与b的夹角为θ，
由题意得(3a−2b)2=7，
∴9|a|2+4|b|2−12a⋅b=7，
|a|=|b|=1，
∴a⋅b=12，
∴|a||b|cos θ=12，
即cos θ=12．
又θ∈[0,π]，
∴θ=π3．
故选A．
3.【答案】B
【解答】
解： 由已知有m·n=|m|·|n|cos45°
=4×6×22=122．
故选B．
4.【答案】D
【解答】
解： 设AB的中点为M，连接OM，则OM⊥AB，


则OA⋅AB=−AO⋅AB
=−|AO|⋅|AB|⋅cos∠OAB
=−|AM|·|AB|=−12|AB|2=−8．
故选D．
5.【答案】A
【解答】
解：设向量a与b的夹角为θ，则cos θ=a·b|a||b|=−126×3=−23，
则向量a在b上的投影向量为acosθ·bb=6×−23e=−4e，
故选A．
6.【答案】C
【解答】
解：∵|a|=1，|b|=2，a·a−2b=0，
∴a2−2a·b=0，即1−2a·b=0，
∴a·b=12，
∴a+b=a+b2=a2+b2+2a·b=1+4+1=6．
故选C．
7.【答案】D
【解答】
解：因为(ABAB+ACAC)·BC=0，
所以∠BAC的平分线与BC垂直，
所以三角形ABC是等腰三角形，且AB=AC．
又因为BABA·BCBC=22，
所以∠ABC=45°，
所以三角形ABC是等腰直角三角形．
8.【答案】C
【解答】
解：根据条件，(a+b)2=a2+2a⋅b+b2=9−3|b|+|b|2=13；
∴解得|b|=4，或−1(舍去)．
9.【答案】C
【解答】
解：点A，B，C不共线，
若“AB与AC的夹角为锐角”，则AB·AC>0，
|AB+AC|2=|AB−AC|2+4AB·AC
=|BC|2+4AB·AC>|BC|2，
∴“AB与AC的夹角为锐角”⇒“|AB+AC|>|BC|”，
若|AB+AC|>|BC|，则|AB+AC|2>|AC−AB|2，
化简得AB·AC>0，而点A,B,C不共线，
故 AB与AC的夹角为锐角，
∴“|AB+AC|>|BC|”⇒“AB与AC的夹角为锐角”，
∴设点A，B，C不共线，则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的充分必要条件．
10.【答案】A
【解答】
解：∵平面向量a，b的夹角为π3，且a=1，|b|=12，
∴|a−2b|=a−2b2=a2−4a·b+4b2=1−4×1×12×12+4×14=1，
11.【答案】C
【解答】
解：∵已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，∴e1⋅e2=1×1×cos60°=12，
令a=2e1+e2，b=−3e1+2e2
设a与b的夹角为θ，θ∈[0°,180°]，
∵|a|=(2e1+e2)2=4e12+4e1⋅e2+e22=7，|b|=(−3e1+2e2)2=9e12−12e1⋅e2+4e22=7，
a⋅b=(2e1+e2)⋅(−3e1+2e2)=−6e12+e1⋅e2+2e22=−6+12+2=−72，
∴cosθ=a⋅b|a|⋅|b|=−727⋅7=−12，∴θ=120°，
12.【答案】D
【解答】
解：向量a=(0,2)，b=(2,2)，
所以，故A错误；
因为，b=(2,2)，
所以与b不平行，故B错误；
因为a·b=4，，
所以cos=42×22=22，
即a与b的夹角为π4，故C错误；
因为，a=(0,2)，
所以，
即，故D正确．
13.【答案】5
【解答】
解：∵|a|=5，a·b=10，|a+b|=52，
∴(a+b)2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=25+|b|2=50，
∴|b|=5．
故答案为5．
14.【答案】−4,4
【解析】
解：以BC中点D为原点，以BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系如图，则B(−2,0)，C(2,0)
∵AD=2．
故可令
∴DA=2cosθ,2sinθ，DB=−2.0，
故DA·DB=−4cosθ
又
∴−4<−4cosθ<4
故DA⋅DB的取值范围为−4,4．
15.【答案】5
【解答】
解：∵a·b=0，∴可以a方向为x轴正方向，b方向为y轴正方向建立直角坐标系，如图所示：

由图可知，a=OA,b=OB，O(0,0)，A(1,0)，B(0,3)，
以线段AB为一边可作两个等边三角形：△ABM1和△ABM2，
由图可知，，以M1为圆心，AB长为半径作出圆M1，同理作出圆M2．
∵c−a与c−b的夹角为π6，即AC与BC的夹角为π6，即∠ACB=π6=12∠AM1B=12∠AM2B，
则点C的轨迹为圆M1中弦AB所对应的优弧以及圆M2中弦AB所对应的优弧．
①当C在圆M1中弦AB所对应的优弧中时，
由图可知M1(2,3)，设点C(x,y)，则有(x−2)2+(y−3)2=4，
令，则，
当时，即C(1,23)时，上式不等式可取等号，此时c·(a−b)取得最大值5．
故c·(a−b)的最大值为5；
②当C在圆M2中弦AB所对应的优弧中时，同理可得c·(b−a)的最大值为5；
综上所述，c⋅(b−a)的最大值为5．
16.【答案】5π6
【解答】
解：由题意可得cos=a⋅b|a||b|=−434×2=−32，
∴向量a，b的夹角为5π6．
故答案为5π6．
17.【答案】1或−12
【解答】
解：∵|OA|=|OC|=1，OA⋅OB=12
∴OA⋅OB=|OA||OB|cos 60∘=|OB|cos 60∘=12，
故|OB|=1．
又∵OA与OB的夹角为60°，OA与OC的夹角为60°
∴OB与OC的夹角为0°或120°，
故OB⋅OC=1×1×cos 0∘=1或OB⋅OC=1×1×cos 120∘=−12．
所以答案为1或−12．
18.【答案】解：(1)因为|a|=4，|b|=8，
所以(2a+b)·(2a−b)
=(2a)2−b 2=4|a|2−|b|2
=4×42−82=0；
(2)因为|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是60°，
所以|4a−2b|2=(4a−2b)2=16a 2−16a·b+4b 2
=16×42−16×4×8×cos 60°+4×82=256．
所以|4a−2b|=16．
19.【答案】解：(1)由已知得|a+b|2=(a+b)2=a2+2a⋅b+b2
=1+2×1×2×(−22)+2=1，
∴|a+b|=1；
b在a上的投影向量为bcos 135°·a=2×(−22)·a=−a．
(2)由已知得(a−b)⋅a=0，即a2−a⋅b=0，∴a⋅b=1．
∴cos ⟨a,b⟩=a⋅b|a|b=11×2=22,
∵⟨a,b⟩∈[0,π]，
∴向量a与b的夹角为π4．
20.【答案】解：(1)①a·b=|a||b|cos θ=5×4×cos 120°=−10．
②a在b上的投影向量为|a|·cos θb|b|=5×−12×b4=−58b．
(2)∵a// b，
∴a与b的夹角为θ=0°或180°．
当θ=0°时，a·b=|a||b|coscos 0°=20．
当θ=180°时，a·b=|a||b|cos180°=−20．