2022-2023学年山东省青岛市李沧区、黄岛区、胶州市八年级（下）期末数学试卷(含解析)

这是一份2022-2023学年山东省青岛市李沧区、黄岛区、胶州市八年级（下）期末数学试卷(含解析)，共26页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，作图题请用直尺，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年山东省青岛市李沧区、黄岛区、胶州市八年级（下）期末数学试卷
一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务，如图所示航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．当x＝1时，下列分式无意义的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘A，B两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点O，然后分别取线段OA，OB的中点D，E，测量出DE＝20m，于是可以计算出A，B两点间的距离是（　　）
​

A．10m B．20m C．30m D．40m
4．下列各数中，是不等式4x﹣2＞3的解的是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
5．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
6．如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形、用n个全等的正五边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为（　　）
​

A．6 B．8 C．10 D．12
二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分.每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有错选得0分）
（多选）7．在△ABC中，已知a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中，能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．a＝5，b＝1，c＝5 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A＝40°，∠C＝70° D．∠A：∠B：∠C＝3：4：11
（多选）8．如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，0），B（﹣2，﹣2）为四边形的三个顶点，构造平行四边形，则下列各点中可以作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　）
​

A．（﹣3，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2） D．（3，2）
三、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．计算：a+a×＝　 　．
10．计算：0.583×202.3+2.036×202.3+7.381×202.3＝　 　．
11．如图所示，∠C＝∠D＝90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是　 　．

12．如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B＝60°，AB＝4，则△ADE的面积为 　 　．
​

13．根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　．

14．如图，在▱ABCD中，AB＝BD，点E在BD上，DE＝CE．如果∠A＝70°，那么∠ECB＝　 　．

15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转85°，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED＝　 　°．

16．如图，在平面直角坐标系中，x轴上有一点A（2，0），点A第1次向上平移2个单位至点A1（2，2），接着又向左平移2个单位至点A2（0，2），然后再向上平移2个单位至点A3（0，4），向左平移2个单位至点A4（﹣2，4），照此规律平移下去，点A平移至点A2023时，点A2023的坐标是 　 　．

四、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．已知：∠α，线段a，b．
求作：平行四边形ABCD，使∠CAB＝∠α，AB＝a，AC＝b．

五、解答题（本大题共8小题，共66分）
18．（1）解方程：；
（2）解不等式组：，并写出它的正整数解；
（3）计算：﹣x+1．
19．把下列各式因式分解：
（1）8a3b2﹣12ab3c+ab；
（2）9（x+y）2﹣y2．
20．已知：如图，点E，F在▱ABCD边BC的延长线上，且BE＝CF．
求证：四边形AEFD是平行四边形．

21．一次函数y1＝kx+b和y2＝3x+m的图象如图所示，且A（1，0），B（﹣4，0）
（1）观察图象，直接写出不等式kx+b＜0的解集；
（2）若不等式3x+m＞kx+b的解集是x＞﹣2，求点C的坐标．

22．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 　 　；（只填序号）
①；
②；
③；
④．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝　 　；
（3）判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．

24．有两款售价相同的汽车，信息如下表所示：
燃油车
新能源汽车
油箱容积：50升
电池容量：80千瓦时
油价：7.2元/升
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
续航里程：a千米
每千米行驶费用：元
每千米行驶费用：_____元
（1）新能源车的每千米行驶费用是 　 　元；（用含a的代数式表示）
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4600元和7200元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
25．已知，平行四边形ABCD中，AB＝12cm，AD＝8cm，∠DAB＝45°，点E，F分别是线段CD和AB上的动点，点E以1cm/s的速度从点D出发沿DC向点C运动，同时点F以2cm/s的速度从点B出发，在BA上沿B→A→B方向往返运动，当点E到达点C时，点E，F同时停止运动，连接AE，EF，设运动时间为t（s）（0＜t＜12），请回答下列问题：
（1）当t为何值时，AE平分∠DAB？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）连接BE并延长，交AD的延长线于点P，连接PC．设△PEC的面积为Scm2，求S与t之间的关系式．



参考答案
一、单项选择题（本题共6小题，每小题3分，共18分.在每个题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．2023年5月30日，神舟十六号载人飞船发射取得圆满成功，此次任务是我国载人航天工程进入空间站应用与发展阶段的首次载人飞行任务，如图所示航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的定义解答即可．
解：选项A、C、D不都能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形．
选项B能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形的识别，掌握“中心对称图形的定义判断中心对称图形”是解本题的关键，中心对称图形的定义：把一个图形绕某点旋转180°后能够与自身重合，则这个图形是中心对称图形．
2．当x＝1时，下列分式无意义的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】直接利用分式有意义的条件分析得出答案．
解：A、当x＝1时，分式有意义，不符合题意；
B，当x＝1时，分式有意义，不符合题意；
C、当x＝1时，x﹣1＝0，分式无意义，符合题意；
D、当x＝1时，x+1≠0，分式有意义，不符合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式的定义是解题关键．
3．如图，在一次实践活动课上，小明为了测量池塘A，B两点间的距离，他先在池塘的一侧选定一点O，然后分别取线段OA，OB的中点D，E，测量出DE＝20m，于是可以计算出A，B两点间的距离是（　　）
​

A．10m B．20m C．30m D．40m
【分析】根据三角形中位线定理求解即可．
解：由题意知，点D、E分别是OA、OB的中点，
∴DE是△OAB的中位线，
∴AB＝2DE＝2×20＝40（m），
故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，熟记三角形中位线定理是解题的关键．
4．下列各数中，是不等式4x﹣2＞3的解的是（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得答案．
解：∵4x﹣2＞3，
∴4x＞3+2，
4x＞5，
则x＞，
故选：D．
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
5．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是（　　）
A．3（x﹣1）＝ B．＝3
C．3x﹣1＝ D．＝3
【分析】根据单价＝总价÷数量结合少拿一株椽后剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
解：依题意，得：3（x﹣1）＝．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
6．如图1，用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形、用n个全等的正五边形按这种方式拼接，如图2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为（　　）
​

A．6 B．8 C．10 D．12
【分析】首先求得正五边形围成的多边形的内角的度数，然后根据多边形的内角和定理即可求得n的值．
解：正五边形的内角度数是：＝108°，
则正五边形围成的多边形的内角的度数是：360°﹣2×108°＝144°，
根据题意得：180×（n﹣2）＝144n，
解得：n＝10．
故选：C．
【点评】本题考查了全等图形，多边形的内角和定理，正确理解定理，求得围成的多边形的内角的度数是关键．
二、多项选择题（本题共2小题，每小题4分，共8分.每小题的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得4分，部分选对得2分，有错选得0分）
（多选）7．在△ABC中，已知a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，则下列条件中，能判定△ABC是等腰三角形的是（　　）
A．a＝5，b＝1，c＝5 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠A＝40°，∠C＝70° D．∠A：∠B：∠C＝3：4：11
【分析】根据等腰三角形的判定，三角形内角和定理，进行计算逐一判断即可解答．
解：A、∵a＝5，b＝1，c＝5，
∴a＝c＝5，
∴△ABC是等腰三角形，
故A符合题意；
B、∵a：b：c＝3：4：5，
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形，
故B不符合题意；
C、∵∠A＝40°，∠B＝70°，
∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝70°，
∴∠B＝∠C＝70°，
∴△ABC是等腰三角形，
故C符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：11，
∴∠A≠∠C≠∠B，
∴△ABC不是等腰三角形，
故D不符合题意；
故选：AC．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的判定，以及三角形内角和定理是解题的关键．
（多选）8．如图，在平面直角坐标系中，以O（0，0），A（1，0），B（﹣2，﹣2）为四边形的三个顶点，构造平行四边形，则下列各点中可以作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　）
​

A．（﹣3，﹣2） B．（﹣1，﹣2） C．（1，2） D．（3，2）
【分析】分两种情况讨论，由平行四边形的性质列出等式可求解．
解：∵O（0，0），A（1，0），B（﹣2，﹣2）
∴OA＝1，
当OA为边时，第四个点的坐标为（﹣3，﹣2），（﹣1，﹣2）；
当OA为对角线时，设第四个点的坐标为（x，y），
∴0+1＝﹣2+x，0+0＝﹣2+y，
∴x＝3，y＝2，
∴第四个点的坐标为（3，2），
故选：ABD．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分是解题的关键．
三、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．计算：a+a×＝　a+1　．
【分析】依据题意，根据分式的混合运算法则进行计算可以得解．
解：由题意，原式＝a+1．
故答案为：a+1．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，解题时要能熟练运用法则进行计算．
10．计算：0.583×202.3+2.036×202.3+7.381×202.3＝　2023　．
【分析】逆用乘法分配律进行计算即可．
解：原式＝（0.583+2.036+7.381）×202.3
＝10×202.3
＝2023．
故答案为：2023．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知乘法分配律是解题的关键．
11．如图所示，∠C＝∠D＝90°，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等，则应添加一个条件是　AC＝AD　．

【分析】此题是一道开放型的题目，答案不唯一，还可以是BC＝BD．
解：条件是AC＝AD，
∵∠C＝∠D＝90°，
在Rt△ABC和Rt△ABD中

∴Rt△ABC≌Rt△ABD（HL），
故答案为：AC＝AD．
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．
12．如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处，若∠B＝60°，AB＝4，则△ADE的面积为 　16　．
​

【分析】由平行四边形的性质得CD＝AB＝4，∠D＝∠B＝60°，由折叠得CE＝CD＝4，∠ACE＝∠ACD，因为点E在DC的延长线上，所以DE＝CE+CD＝8，∠ACD＝90°，所以∠CAD＝30°，则AD＝2CD＝8，AC＝＝4，即可求得S△ADE＝DE•AC＝16，于是得到问题的答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝4，∠B＝60°，
∴CD＝AB＝4，∠D＝∠B＝60°，
由折叠得CE＝CD＝4，∠ACE＝∠ACD，
∵点E在DC的延长线上，
∴∠ACE+∠ACD＝180°，DE＝CE+CD＝4+4＝8，
∴∠ACD＝×180°＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠D＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝2CD＝2×4＝8，
∴AC＝＝＝4，
∴S△ADE＝DE•AC＝×8×4＝16，
故答案为：16．
【点评】此题重点考查平行四边形的性质、轴对称的性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、三角形的面积公式等知识，证明∠ACD＝90°是解题的关键．
13．根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　（x+4）（x+2）　．

【分析】利用两种方法表示出这个图形的面积，列出等式即可．
解：四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，面积可以表示为：x2+2x+4x+8＝x2+6x+8＝（x+4）（x+2）．
故答案为：（x+4）（x+2）．
【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是弄清长方形的面积有两种表达方式．
14．如图，在▱ABCD中，AB＝BD，点E在BD上，DE＝CE．如果∠A＝70°，那么∠ECB＝　30°　．

【分析】根据平行四边形的性质得出∠DCB＝∠A＝70°，AD∥BC，根据等腰三角形的性质求出∠ADB＝∠A＝70°，根据平行线的性质求出∠BDC＝∠ABD＝40°，进而即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠A＝70°，
∴∠DCB＝∠A＝70°，AD∥BC，
∵AB＝BD，
∴∠ADB＝∠A＝70°，
∴∠ABD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，
∵AD∥BC，
∴∠BDC＝∠ABD＝40°，
∵DE＝CE，
∴∠ECD＝∠EDC＝40°，
∴∠ECB＝∠BCD﹣∠ECD＝70°﹣40°＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质的应用，能求出∠BCD和∠ECD的度数是解此题的关键．
15．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转85°，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED＝　95　°．

【分析】证明∠ABE+∠ADE＝180°，推出∠BAD+∠BED＝180°即可解决问题．
解：∵∠ABC＝∠ADE，∠ABC+∠ABE＝180°，
∴∠ABE+∠ADE＝180°，
∴∠BAD+∠BED＝180°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转角85°，得到△ADE，
∴∠BAD＝85°，
∴∠BED＝180°﹣85°＝95°．
故答案为：95．
【点评】本题考查旋转的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
16．如图，在平面直角坐标系中，x轴上有一点A（2，0），点A第1次向上平移2个单位至点A1（2，2），接着又向左平移2个单位至点A2（0，2），然后再向上平移2个单位至点A3（0，4），向左平移2个单位至点A4（﹣2，4），照此规律平移下去，点A平移至点A2023时，点A2023的坐标是 　（﹣2020，2024）　．

【分析】根据各个点纵横坐标的变化规律进行计算即可．
解：由题意可知，点A2022与点A2023的横坐标相同，
而A2022的横坐标比点A的横坐标减少2×＝2022，即横坐标为2﹣2×＝﹣2020，
由题意可知，点A2023的纵坐标比点A的纵坐标增加2×＝2024，
所以点A2023的坐标为（﹣2020，2024），
故答案为：（﹣2020，2024）．
【点评】本题考查坐标与图形变化，点的坐标规律型，发现点的纵横坐标的变化规律是正确解答的关键．
四、作图题（本题满分4分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹．
17．已知：∠α，线段a，b．
求作：平行四边形ABCD，使∠CAB＝∠α，AB＝a，AC＝b．

【分析】先作∠MAN＝∠α，再在AN上截取AB＝a，在AM上截取AC＝b，然后分别以点A、C为圆心，BC、AB为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形ABCD满足条件．
解：如图，四边形ABCD为所作，

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定．
五、解答题（本大题共8小题，共66分）
18．（1）解方程：；
（2）解不等式组：，并写出它的正整数解；
（3）计算：﹣x+1．
【分析】（1）按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
（2）按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答；
（3）利用异分母分式加减法法则，进行计算即可解答．
解：（1），
1+2（x﹣3）＝x+1，
解得：x＝6，
检验：当x＝6时，x﹣3≠0，
∴x＝6是原方程的根；
（2），
解不等式①得：x≤2，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴原不等式组的解集为：﹣1＜x≤2，
∴该不等式组的正整数解为：1，2；
（3）﹣x+1
＝﹣（x﹣1）
＝
＝．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解，解分式方程，分式的加减法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19．把下列各式因式分解：
（1）8a3b2﹣12ab3c+ab；
（2）9（x+y）2﹣y2．
【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可解答；
（2）利用平方差公式进行分解，即可解答．
解：（1）8a3b2﹣12ab3c+ab＝ab（8a2b﹣12b2c+1）；
（2）9（x+y）2﹣y2．
＝[3（x+y）+y][3（x+y）﹣y]
＝（3x+3y+y）（3x+3y﹣y）
＝（3x+4y）（3x+2y）．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
20．已知：如图，点E，F在▱ABCD边BC的延长线上，且BE＝CF．
求证：四边形AEFD是平行四边形．

【分析】先证明AD∥BC，AD＝BC，再证明BC＝EF，可得AD＝EF，从而可得结论．
【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵BE＝CF，
∴BE﹣CE＝CF﹣CE，
∴BC＝EF，
∴AD＝EF，
∴四边形AEFD是平行四边形．
【点评】本题考查的是矩形的性质，平行四边形的判定，熟练的运用矩形的性质进行证明是解本题的关键．
21．一次函数y1＝kx+b和y2＝3x+m的图象如图所示，且A（1，0），B（﹣4，0）
（1）观察图象，直接写出不等式kx+b＜0的解集；
（2）若不等式3x+m＞kx+b的解集是x＞﹣2，求点C的坐标．

【分析】（1）根据函数图象和题意可以直接写出不等式kx+b＞0的解集；
（2）利用待定系数法求得m的值，然后将x＝﹣2代入y2的解析式即可求得点C的坐标．
解：（1）∵A（1，0）在一次函数y1＝kx+b上，
由图象可知，不等式kx+b＜0的解集是x＞1；
（2）∵B（﹣4，0）在y2＝3x+m上，
∴0＝﹣12+m，
∴m＝12，
∴一次函数y2＝3x+12，
∵不等式3x+m＞kx+b的解集是x＞﹣2，
∴点C的横坐标是x＝﹣2，
当x＝﹣2时，y2＝3×（﹣2）+12＝6，
∴点C的坐标为（﹣2，6）．
【点评】本题考查一次函数与一元一次不等式、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
22．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，那么称这个分式为“和谐分式”，如：，则是“和谐分式”．
（1）下列分式中，属于“和谐分式”的是 　①③　；（只填序号）
①；
②；
③；
④．
（2）将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式：＝　x﹣1+　；
（3）判断的结果是否为“和谐分式”，并说明理由．
【分析】（1）依据题意，根据和谐分式的意义逐个判断即可得解；
（2）依据题意，分子x2﹣2x+2＝x2﹣2x+1+1＝（x﹣1）2+1，进而变形可以得解；
（3）依据题意，首先通过分式的混合运算法则进行化简，然后再依据和谐分式的意义判断即可得解．
解：（1）∵＝1+，
∴①是和谐分式．
∵分式分子的次数低于分母次数，
∴该分式不能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式．
∴②不是和谐分式．
∵＝＝1﹣，
∴③是和谐分式．
∵＝＝2x+1，
∴④不是和谐分式．
故答案为：①③．
（2）由题意，＝＝＝x﹣1+．
故答案为：x﹣1+．
（3）﹣÷
＝﹣•
＝﹣
＝
＝
＝4+．
∴该分式是和谐分式．
【点评】本题主要考查了分式的混合运算，解题时要能熟练掌握并理解．
23．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．
（1）求证：AE＝2CE；
（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．

【分析】（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；
（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．
【解答】（1）证明：
连接BE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，
在Rt△BCE中，BE＝2CE，
∴AE＝2CE；
（2）解：△BCD是等边三角形，
理由如下：连接CD．
∵DE垂直平分AB，
∴D为AB中点，
∵∠ACB＝90°，
∴CD＝BD，
∵∠ABC＝60°，
∴△BCD是等边三角形．

【点评】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．
24．有两款售价相同的汽车，信息如下表所示：
燃油车
新能源汽车
油箱容积：50升
电池容量：80千瓦时
油价：7.2元/升
电价：0.6元/千瓦时
续航里程：a千米
续航里程：a千米
每千米行驶费用：元
每千米行驶费用：_____元
（1）新能源车的每千米行驶费用是 　　元；（用含a的代数式表示）
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用；
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4600元和7200元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用+年其它费用）
【分析】（1）根据表中数据，每千米行驶费用＝电池电量×电价÷续航里程即可求解；
（2）①由题意可得，由燃油车的每千米行驶费用﹣新能源车每千米行驶费用＝0.52即可求解；
②设每年行驶里程为x千米，新能源车的年费用更低，根据题意可列出关于x的不等式，求解即可．
解：（1）根据表格数据可得，新能源车的每千米行驶费用为：＝（元）；
故答案为：；
（2）∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.52元，
﹣＝0.52，
解得：a＝600，
∴＝0.6（元），
＝0.08（元），
答：燃油车的每千米行驶费用为0.6元，新能源车每千米行驶费用0.08元；
②设每年行驶里程为x千米，新能源车的年费用更低，根据题可得，
0.6x+4600＞0.08x+7200，
解得：x＞5000，
答：每年行驶里程超过5000千米时，使用新能源车的年费用更低．
【点评】本题主要考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
25．已知，平行四边形ABCD中，AB＝12cm，AD＝8cm，∠DAB＝45°，点E，F分别是线段CD和AB上的动点，点E以1cm/s的速度从点D出发沿DC向点C运动，同时点F以2cm/s的速度从点B出发，在BA上沿B→A→B方向往返运动，当点E到达点C时，点E，F同时停止运动，连接AE，EF，设运动时间为t（s）（0＜t＜12），请回答下列问题：
（1）当t为何值时，AE平分∠DAB？
（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
（3）连接BE并延长，交AD的延长线于点P，连接PC．设△PEC的面积为Scm2，求S与t之间的关系式．

【分析】（1））由平行四边形的性质得CD∥AB，CD＝AB＝AB＝12cm，CB＝AD＝8cm，则∠AED＝∠EAB，而∠EAD＝∠EAB，所以∠AED＝∠EAD，则ED＝AD＝8cm，于是得1×t＝8，则t＝8，所以当t＝8时，AE平分∠DAB；
（2）当CE＝AF时，以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况讨论，一是当0＜t≤6时，由CE＝AF得12﹣t＝2t；二是当6＜t＜12时，由CE＝AF得12﹣t＝12×2﹣2t，解方程求出符合题意的t值即可；
（3）作CG⊥AD交AD的延长线于点G，EH⊥BC于点H，可证明EH＝CH，CG＝DG，则2EH2＝CE2，2CG2＝CD2＝122，所以EH＝CE＝（12﹣t）cm，CG＝6cm，则S＝×8×6﹣×8×（12﹣t）＝2t+24﹣24，所以S与t之间的关系式为S＝2t+24﹣24（0＜t＜12）．
解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，CD＝AB＝AB＝12cm，CB＝AD＝8cm，
∴∠AED＝∠EAB，
当AE平分∠DAB时，则∠EAD＝∠EAB，
∴∠AED＝∠EAD，
∴ED＝AD＝8cm，
∴1×t＝8，
解得t＝8，
∴当t＝8时，AE平分∠DAB．
（2）存在，
∵CE∥AF，
∴当CE＝AF时，以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形，
当点F与点B重合时，则2t＝12，
解得t＝6，
当0＜t≤6时，由CE＝AF得12﹣t＝2t，
解得t＝4；
当6＜t＜12时，由CE＝AF得12﹣t＝12×2﹣2t，
解得t＝12，不符合题意，舍去，
综上所述，存在某一时刻t，使得以E，C，F，A四点为顶点的四边形是平行四边形，t的值为4．
（3）作CG⊥AD交AD的延长线于点G，EH⊥BC于点H，则∠G＝∠CHE＝90°，
∵∠DCB＝∠GDC＝∠DAB＝45°，
∴∠HEC＝∠HCE＝45°，∠GCD＝∠GDC＝45°，
∴EH＝CH，CG＝DG，
∴EH2+CH2＝2EH2＝CE2，CG2+DG2＝2CG2＝CD2＝122，
∴EH＝CE＝（12﹣t）cm，CG＝6cm，
∵S＝S△PEC＝S△PBC﹣S△EBC，
∴S＝×8×6﹣×8×（12﹣t）＝2t+24﹣24，
∴S与t之间的关系式为S＝2t+24﹣24（0＜t＜12）．

【点评】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、根据转化思想求图形的面积、根据面积等式求函数关系式等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题．