人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示巩固练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示巩固练习，共5页。
第六章　6.3　6.3.5

A级——基础过关练
1．已知向量a＝(5，m)，b＝(2，－2)，若(a－b)⊥b，则实数m＝(　　)
A．－1　　　 B．1
C．2　　　　 D．－2
【答案】B
【解析】∵a＝(5，m)，b＝(2，－2)，∴a－b＝(3，m＋2)．∵(a－b)⊥b，则3×2－2(m＋2)＝0，解得m＝1．故选B．
2．已知平面向量a＝(2,1)，b＝(2,4)，则向量a，b夹角的余弦值为(　　)
A．　　 B．
C．－　　 D．－
【答案】B
【解析】∵a＝(2,1)，b＝(2,4)，∴cos〈a，b〉＝＝＝．故选B．
3．已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影向量的模长为(　　)
A．　　　 B．－
C．1　　　 D．－1
【答案】C
【解析】向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影向量的模长为＝＝1．故选C．
4．已知a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则|2a＋3b|等于(　　)
A．　　　 B．2
C．3　　　 D．4
【答案】D
【解析】∵已知a＝(1,2)，b＝(－2，m)，若a∥b，则＝，解得m＝－4．∴2a＋3b＝(－4,4＋3m)＝(－4，－8)，|2a＋3b|＝＝4．故选D．
5．已知O为坐标原点，向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P使得·有最小值，则点P的坐标是(　　)
A．(－3,0) B．(2,0)
C．(3,0) D．(4,0)
【答案】C
【解析】设点P的坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1)．·＝(x－2)(x－4)＋(－2)×(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1，所以当x＝3时，·有最小值1．此时点P的坐标为(3,0)．
6．(多选)(2022年广州模拟)设x，y∈R，向量a＝(x,2)，b＝(4，y)，c＝(1，－2)，且a⊥c，b∥c，则(　　)
A．x＝4 B．y＝－8
C．a＋b＝(－8,6) D．|a＋b|＝10
【答案】ABD
【解析】由a⊥c及b∥c，得x－4＝0且4×(－2)－y＝0，解得x＝4，y＝－8，A，B正确；∵a＝(4,2)，b＝(4，－8)，∴a＋b＝(4,2)＋(4，－8)＝(8，－6)，C错误；|a＋b|＝＝10，D正确．
7．(2020年重庆月考)已知向量m＝(－1,1)，n＝(1，λ)，若m⊥n，则m＋n与m之间的夹角为(　　)
A．45°　　　 B．30°
C．60°　　　 D．90°
【答案】A
【解析】∵向量m＝(－1,1)，n＝(1，λ)，若m⊥n，则m·n＝－1＋λ＝0，解得λ＝1，∴m＋n＝(0,1＋λ)＝(0,2)．设m＋n与m之间的夹角为θ，则(m＋n)·m＝m2＋m·n＝2＋0＝2．再根据(m＋n)·m＝|m＋n|·|m|·cos θ＝2×·cos θ，∴2·cos θ＝2，求得cos θ＝．∴θ＝．故选A．
8．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝________．
【答案】－1或2
【解析】已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0．根据向量数量积的坐标运算公式得到x2－x－2＝0⇒x＝－1或2．
9．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________．
【答案】19
【解析】ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，解得k＝19．
10．在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
解：∵＝(2,3)，＝(1，k)，∴＝－＝(－1，k－3)．若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，解得k＝－；若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，解得k＝；若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，解得k＝．综上所述，k的值为－或或．
B级——能力提升练
11．(多选)(2022年淄博期末)设平面三点A(1，0)，B(0,1)，C(2,5)，则(　　)
A．·＝－4 B．2＋的模为5
C．与的夹角的余弦值为 D．在上的投影为
【答案】BCD
【解析】因为A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，所以＝(0,1)－(1,0)＝(－1,1)，＝(2,5)－(1,0)＝(1,5)，所以·＝(－1,1)·(1,5)＝4, A错误；2＋＝2(－1,1)＋(1,5)＝(－1,7)，所以|2＋|＝5，B正确；设与的夹角为θ，则cos θ＝＝，C正确；易知||＝，所以向量在上的投影为||cos θ＝×＝，D正确．
12．在边长为1的正方形ABCD中，M为BC的中点，点E在线段AB上运动，则·的取值范围是(　　)
A．　 B．
C．　　 D．
【答案】C
【解析】以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，设E(x，0)，0≤x≤1．因为M，C(1,1)，所以＝，＝(1－x,1)．所以·＝·(1－x,1)＝(1－x)2＋．因为0≤x≤1，所以≤(1－x)2＋≤，即·的取值范围是．

13．如图，已知点A(1,1)，单位圆上半部分上的点B满足·＝0，则向量的坐标为________．

【答案】
【解析】根据题意可设B(cos θ，sin θ)(0＜θ＜π)，＝(1,1)，＝(cos θ，sin θ)．由·＝0得sin θ＋cos θ＝0，则tan θ＝－1，所以θ＝，cos＝－，sin＝．所以＝．
14．已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1，)．若|b|＝2，且b∥a，则向量b的坐标为________；若|c|＝，且(a＋c)⊥(2a－3c)，则a·c＝________．
【答案】(1，)或(－1，－)　2
【解析】令b＝λa＝(λ，λ)．因为|b|＝2，所以＝2，解得λ＝±1．所以b＝(1，)或(－1，－)．因为(a＋c)⊥(2a－3c)，所以(a＋c)·(2a－3c)＝0，即2|a|2－a·c－3|c|2＝0．所以a·c＝2|a|2－3|c|2＝2×4－3×2＝2．
15．已知向量a＝(4,3cos α)，b＝(1,2tan α)．
(1)若a∥b，求sin α的值；
(2)若a⊥b，且α∈，求cos的值．
解：(1)∵a＝(4,3cos α)，b＝(1,2tan α)，若a∥b，则8tan α－3cos α＝0，∴8sin α＝3cos2α＝3－3sin2α．∴3sin2α＋8sin α－3＝0，即(3sin α－1)(sin α＋3)＝0．∴sin α＝．
(2)∵a⊥b，且α∈，∴a·b＝4＋6cos αtan α＝0．∴sin α＝－，cos α＝．∴sin 2α＝2sin αcos α＝－．cos 2α＝2cos2α－1＝，∴cos＝×－×＝．