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河南省+郑州市+金水区河南省实验中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案）
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这是一份河南省+郑州市+金水区河南省实验中学2022-2023学年七年级下学期期末数学试卷（含答案），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年河南省实验中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个汉字是轴对称图形的是（ ）
A．实 B．验 C．中 D．学
2．（3分）经过多年的努力，我国在光刻机研发上已经取得了重大突破，前段时间上海微电子已经宣布成功研发出0.000000028米光刻机，这对于我国芯片制造业来说是一个非常振奋人心的消息．则数据“0.000000028”用科学记数法表示是（ ）
A．2.8×10﹣8 B．2.8×10﹣9 C．28×10﹣9 D．2.8×10﹣10
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4a+3b＝7ab B．（﹣b2）5＝b10
C．2x•3x3＝6x4 D．（m﹣n）2＝m2﹣n2
4．（3分）如图，a∥b，c∥d，∠1＝49°，则∠2 的度数为（ ）
A．141° B．131° C．149° D．139°
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“翻开七年级下册数学课本，恰好是第62页”是不可能事件
B．某学生投篮5次，投中1次，则可断定他投篮命中的概率一定为20%
C．投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定是5000次
D．“从一副扑克牌中抽一张，恰好是大王”是随机事件
6．（3分）若a2﹣2a＝0，那么代数式（a+1）（a﹣1）﹣2a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0
7．（3分）如果三角形的两边长分别为3和6，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
8．（3分）郑州的宇通公交车数量位列全国之首．某线路一辆公交车每月的乘车人数x（人）与每月利润（每月利润＝每月票款收入﹣每月支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的票价固定不变）．以下说法错误的是（ ）
x（人）
…
1000
2000
3000
4000
5000
…
y（元）
…
﹣3000
﹣1000
1000
3000
5000
…
A．在变化过程中，自变量是每月乘车人数
B．在变化过程中，每月的利润是因变量
C．若当月乘客达到2500人时，该公交车不会亏损
D．若当月乘客达到6000人时，该公交车盈利6000元
9．（3分）若用如图①这样一副七巧板，拼成图②的图案，若七巧板面积为16，则图②中阴影部分的面积是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（3分）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝4，CK＝6．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM均为正方形，且它们的面积之和为100，则重叠部分长方形LFKD的面积为（ ）
A．40 B．48 C．42 D．50
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：2﹣2+（﹣2023）0＝ ．
12．（3分）如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝65°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，交BC于点D，连接AD，则∠DAC的度数为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE为△ABD的中线，若AB＝8，CD＝2，则△DBE的面积为 ．
15．（3分）如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠A＝100°，点D是AB边上的固定点，在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与AC边平行时，∠BDE的度数为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：[（3x+y）（3x﹣y）+（x﹣y）2+2x（x﹣2y）]÷（2x），其中x＝2，y＝4．
17．（8分）如图，已知在△ABC中，∠A＝70°．
（1）分别作∠B，∠C的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当∠B＝60°时，∠BOC的度数为 ．
（3）当∠B＝α时，∠BOC的度数为 ．
18．（10分）如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，试说明∠3＝∠E．
证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（ ）
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行），
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（ ），
∴CD∥EF（ ），
∴∠3＝∠E（ ）．
19．（9分）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题．
（1）格点△ABC（顶点均在格点上）的面积＝ ；
（2）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1；
（3）在DE上画出点P，使PB+PC最小．
20．（9分）小明想知道一堵墙上点A到地面的高度AO，AO⊥OD，但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由．
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠OCD＝∠ABO，标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量 的长度，即为点A到地面的高度AO．
请说明小明这样测量的理由．
21．（9分）如图，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．
两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的规则从下面两种中选一种：
（1）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；
（2）猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”．
如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由．
22．（10分）图①长方形ABCD，AD＝24cm，点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D的路线以每秒3cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动．图②是点P出发x秒时，△APD的面积S（cm2）与时间x（s）的关系图象．
（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；根据题目提供的信息，可得a＝ ，b＝ ；
（2）点P在DC上运动时，PD的长度y（cm）与点P运动时间x（s）的关系式 ；
（3）点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的？
23．（12分）（1）问题发现
如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是 ，与线段AD相等的线段是 ；
（2）拓展探究
如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．求证：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升
如图3，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE＝4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB＝30°时，请直接写出CD的长度．
2022-2023学年河南省实验中学七年级（下）期末数学试卷
（参考答案）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个汉字是轴对称图形的是（ ）
A．实 B．验 C．中 D．学
【解答】解：选项C汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、B、D的汉字不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
2．（3分）经过多年的努力，我国在光刻机研发上已经取得了重大突破，前段时间上海微电子已经宣布成功研发出0.000000028米光刻机，这对于我国芯片制造业来说是一个非常振奋人心的消息．则数据“0.000000028”用科学记数法表示是（ ）
A．2.8×10﹣8 B．2.8×10﹣9 C．28×10﹣9 D．2.8×10﹣10
【解答】解：0.000000028＝2.8×10﹣8．
故选：A．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4a+3b＝7ab B．（﹣b2）5＝b10
C．2x•3x3＝6x4 D．（m﹣n）2＝m2﹣n2
【解答】解：A、4a与3b不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、（﹣b2）5＝﹣b10，故B不符合题意；
C、2x•3x3＝6x4，故C符合题意；
D、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故D不符合题意；
故选：C．
4．（3分）如图，a∥b，c∥d，∠1＝49°，则∠2 的度数为（ ）
A．141° B．131° C．149° D．139°
【解答】解：如图，
∵a∥b，c∥d，
∴∠3＝∠1，∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝49°，
∴∠3＝49°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝131°．
故选：B．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“翻开七年级下册数学课本，恰好是第62页”是不可能事件
B．某学生投篮5次，投中1次，则可断定他投篮命中的概率一定为20%
C．投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定是5000次
D．“从一副扑克牌中抽一张，恰好是大王”是随机事件
【解答】解：A、“翻开七年级下册数学课本，恰好是第62页”是随机事件，故本选项不符合题意；
B、某学生投篮5次，投中1次，则不能断定他投篮命中的概率一定为20%，故本选项不符合题意；
C、投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数不一定是5000次，故本选项不符合题意；
D、“从一副扑克牌中抽一张，恰好是大王”是随机事件，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）若a2﹣2a＝0，那么代数式（a+1）（a﹣1）﹣2a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0
【解答】解：由题意，（a+1）（a﹣1）﹣2a＝a2﹣1﹣2a＝a2﹣2a﹣1．
∵a2﹣2a＝0，
∴（a+1）（a﹣1）﹣2a＝0﹣1＝﹣1．
故选：B．
7．（3分）如果三角形的两边长分别为3和6，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【解答】解：∵三角形的两边长分别为3和6，
∴第三边x的长度范围是6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9，
∴这个三角形的周长a范围是3+6+3＜a＜3+6+9，即12＜a＜18，
故选：C．
8．（3分）郑州的宇通公交车数量位列全国之首．某线路一辆公交车每月的乘车人数x（人）与每月利润（每月利润＝每月票款收入﹣每月支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的票价固定不变）．以下说法错误的是（ ）
x（人）
…
1000
2000
3000
4000
5000
…
y（元）
…
﹣3000
﹣1000
1000
3000
5000
…
A．在变化过程中，自变量是每月乘车人数
B．在变化过程中，每月的利润是因变量
C．若当月乘客达到2500人时，该公交车不会亏损
D．若当月乘客达到6000人时，该公交车盈利6000元
【解答】解：A、由表格知，每月的利润y随着每月的乘车的人数x发生变化，自变量是每月乘车人数，故A正确，不符合题意；
B、由表格知，每月的利润y随着每月的乘车的人数x发生变化，因变量是每月利润，故B正确，不符合题意；
C、由表格分析知，当每月乘客的达到2500人时，y＝0该公交车不会亏损，故C正确，不符合意意；
D、由表格分析知，当每月乘客达到6000人时，该公交车利润为7000元，故D错误，符合题意；
故选：D．
9．（3分）若用如图①这样一副七巧板，拼成图②的图案，若七巧板面积为16，则图②中阴影部分的面积是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：设①中小正方形的边长为a，
则大正方形的面积为4××2a•2a＝8a²＝16，
∴a²＝2，
∴②中阴影部分的面积为×2a•2a+a²+2××2a•2a﹣a（2a+4a）＝a²＝7，
故选：A．
10．（3分）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝4，CK＝6．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM均为正方形，且它们的面积之和为100，则重叠部分长方形LFKD的面积为（ ）
A．40 B．48 C．42 D．50
【解答】解：设LD＝x，DK＝y，
∵四边形ELDN和四边形DKGM为正方形，
∴DN＝LD＝x，DM＝DK＝y，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，
∵AD＝AL+LD，CD＝CK+DK，
∴AL+LD＝CK+DK，
∵AL＝4，CK＝6，
∴4+x＝6+y，
∴x＝y+2，
∵正方形ELDN和正方形DKGM的面积之和为100，
∴x2+y2＝100，
将x＝y+2代入x2+y2＝100中，得：
（y+2）2+y2＝100，
解得：y＝6或y＝﹣8（舍），
∴x＝y+2＝8，
∴DL＝8，DK＝6，
∴重叠部分长方形LFKD的面积＝DL•DK＝8×6＝48．
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：2﹣2+（﹣2023）0＝ ．
【解答】解：原式＝+1
＝．
故答案为：．
12．（3分）如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是 三角形具有稳定性 ．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝65°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，交BC于点D，连接AD，则∠DAC的度数为 25° ．
【解答】解：由作图可知DF垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠BAC＝90°，∠B＝65°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°，
∴∠DAC＝25°．
故答案为：25°．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE为△ABD的中线，若AB＝8，CD＝2，则△DBE的面积为 4 ．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，∠C＝90°，
∴DH＝CD＝2，
∵DE为△ABD的中线，
∴，
∴．
故答案为：4．
15．（3分）如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠A＝100°，点D是AB边上的固定点，在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与AC边平行时，∠BDE的度数为 124° ．
【解答】解：∵EF∥AC，
∴∠BEF＝∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣100°﹣32°＝48°．
∵∠BED＝∠BEF＝×48°＝24°，
∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣32°﹣24°＝124°．
故答案为：124°．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：[（3x+y）（3x﹣y）+（x﹣y）2+2x（x﹣2y）]÷（2x），其中x＝2，y＝4．
【解答】解：原式＝[（9x2﹣y2）+（x2﹣2xy+y2）+（2x2﹣4xy）]÷（2x）
＝（9x2﹣y2+x2﹣2xy+y2+2x2﹣4xy）÷（2x）
＝（12x2﹣6xy）÷（2x）
＝6x﹣3y，
当x＝2，y＝4时，
原式＝12﹣12＝0．
17．（8分）如图，已知在△ABC中，∠A＝70°．
（1）分别作∠B，∠C的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当∠B＝60°时，∠BOC的度数为 120° ．
（3）当∠B＝α时，∠BOC的度数为 90°+α ．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠CB）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°．
故答案为：120°；
（3）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠CB）＝90°﹣α，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+α．
故答案为：90°+α．
18．（10分）如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，试说明∠3＝∠E．
证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（ 垂直的定义 ）
∴ AB ∥ CD （同位角相等，两直线平行），
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴CD∥EF（ 平行于同一直线的两直线平行 ），
∴∠3＝∠E（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【解答】解：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（垂直的定义），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠3＝∠E（两直线平行，同位角相等），
故答案为：垂直的定义；AB；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．
19．（9分）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题．
（1）格点△ABC（顶点均在格点上）的面积＝ 5 ；
（2）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1；
（3）在DE上画出点P，使PB+PC最小．
【解答】解：（1）S△ABC＝4×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×4×3＝5；故答案为：5；
（2）所作图形如图所示：
（3）如图所示：
20．（9分）小明想知道一堵墙上点A到地面的高度AO，AO⊥OD，但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由．
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠OCD＝∠ABO，标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量 OD 的长度，即为点A到地面的高度AO．
请说明小明这样测量的理由．
【解答】解：OD；
理由：在△AOB与△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OA＝OD．
故答案为：OD．
21．（9分）如图，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．
两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的规则从下面两种中选一种：
（1）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；
（2）猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”．
如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由．
【解答】解：（1）共有10种等可能出现的结果数，其中“是3的倍数”的有3种，“不是3的倍数”的7种，因此“是3的倍数”可能性是30%，“不是3的倍数”的可能性是70%，
（2）共有10种等可能出现的结果数，其中“是大于6的数”的有4种，“不是大于6的数”的有6种，因此“是大于6的数”可能性是40%，“不是大于6的数”的可能性是60%，
因此，猜数者选择“不是3的倍数”，这样获胜的可能性为70%，获胜的可能性最大．
22．（10分）图①长方形ABCD，AD＝24cm，点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D的路线以每秒3cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动．图②是点P出发x秒时，△APD的面积S（cm2）与时间x（s）的关系图象．
（1）在上述变化过程中，自变量是 时间x（s） ，因变量是 △APD的面积S（cm2） ；根据题目提供的信息，可得a＝ 360 ，b＝ 18 ；
（2）点P在DC上运动时，PD的长度y（cm）与点P运动时间x（s）的关系式 y＝﹣3x+108 ；
（3）点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的？
【解答】解：（1）根据函数的图象得：自变量是时间x（s），因变量是△APD的面积S（cm2），
由函数的图象可知：点P从点A运动到点B用时10s，
∵点P的运动速度为每秒3cm，
∴运动的路程AB＝3×10＝30（cm），
∵AD＝24cm，
当点P到达点B时，（cm2），
∴a＝360，
∵四边形ABCD为长方形，
∴BC＝AD＝24（cm），
∴点P从点B运动到点C所用的时间为：24÷3＝8（s），
∴点P从点A→B→C所用的时间为：10+8＝18（s），
∴b＝18．
故答案为：时间x（s），△APD的面积S（cm2），360，18．
（2）当点P在CD上运动时，运动的路程为：3x （cm），
依题意得：AB+BC+CP＝3x，
即：30+24+CP＝3x，
∴CP＝3x﹣54，
∴PD＝CD﹣CP＝30﹣（3x﹣54）＝﹣3x+84，
∴PD的长度y（cm）与点P运动时间x（s）的关系式为：y＝﹣3x+84，
故答案为：y＝﹣3x+108，
（3）∵点P在BC上运动时，△APD的面积S保持不变，此时S＝360（cm2），
∴当△APD的面积是长方形ABCD面积的时，点P在AB上运动或在CD上运动；
①当点P在AB上运动时，运动的路程AP＝3x（cm），其中0＜x≤10，
∴，S长方形ABCD＝AD•AB＝720cm2，
∴依题意得：，
解得：x＝5，
即：点P出发5秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的．
②当点P在CD上运动时，由（2）可知：PD＝y＝﹣3x+108，其中18≤x≤28，
∴，
依题意得：，
解得：x＝23，
即：点P出发23秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的．
综上所述：点P出发5秒或23秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的．
23．（12分）（1）问题发现
如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是 ∠EBC ，与线段AD相等的线段是 BE ；
（2）拓展探究
如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．求证：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升
如图3，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE＝4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB＝30°时，请直接写出CD的长度．
【解答】（1）解：∵∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，∠ABD+∠EBC＝90°，
∴∠BAD＝∠EBC，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE，
故答案为：∠EBC；BE；
（2）证明：∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE，
∴∠CDE＝∠BAD，
在△ADB和△DEC中，
，
∴△ADB≌△DEC（AAS）；
（3）解：如图3，过点B作BM∥EF交DF于点M，
∵△DEF、△ABC是等边三角形，
∴DE＝DF，AC＝BC，∠D＝∠DFE＝∠ACB＝60°，
∵∠CFB＝30°，BM∥EF，
∴∠BFE＝60°﹣30°＝30°＝∠MBF，
∴∠MBF＝∠CFB，∠CMB＝∠MBF+∠CFB＝60°，
∴BM＝FM，
∵∠D＝∠ACB＝60°，
∴∠DAC+∠ACD＝120°，∠ACD+∠BCM＝120°，
∴∠DAC＝∠BCM，
在△ACD和△CBM中，
，
∴△ACD≌△CBM（AAS），
∴CD＝BM＝FM，AD＝CM，
∴DF＝CD+CM+FM＝2CD+CM＝2CD+AD，
∵DE＝AD+AE＝DF，
∴AE＝2CD，
∵AE＝4，
∴CD＝2．
2022-2023学年河南省实验中学七年级（下）期末数学试卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个汉字是轴对称图形的是（ ）
A．实 B．验 C．中 D．学
2．（3分）经过多年的努力，我国在光刻机研发上已经取得了重大突破，前段时间上海微电子已经宣布成功研发出0.000000028米光刻机，这对于我国芯片制造业来说是一个非常振奋人心的消息．则数据“0.000000028”用科学记数法表示是（ ）
A．2.8×10﹣8 B．2.8×10﹣9 C．28×10﹣9 D．2.8×10﹣10
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4a+3b＝7ab B．（﹣b2）5＝b10
C．2x•3x3＝6x4 D．（m﹣n）2＝m2﹣n2
4．（3分）如图，a∥b，c∥d，∠1＝49°，则∠2 的度数为（ ）
A．141° B．131° C．149° D．139°
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“翻开七年级下册数学课本，恰好是第62页”是不可能事件
B．某学生投篮5次，投中1次，则可断定他投篮命中的概率一定为20%
C．投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定是5000次
D．“从一副扑克牌中抽一张，恰好是大王”是随机事件
6．（3分）若a2﹣2a＝0，那么代数式（a+1）（a﹣1）﹣2a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0
7．（3分）如果三角形的两边长分别为3和6，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
8．（3分）郑州的宇通公交车数量位列全国之首．某线路一辆公交车每月的乘车人数x（人）与每月利润（每月利润＝每月票款收入﹣每月支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的票价固定不变）．以下说法错误的是（ ）
x（人）
…
1000
2000
3000
4000
5000
…
y（元）
…
﹣3000
﹣1000
1000
3000
5000
…
A．在变化过程中，自变量是每月乘车人数
B．在变化过程中，每月的利润是因变量
C．若当月乘客达到2500人时，该公交车不会亏损
D．若当月乘客达到6000人时，该公交车盈利6000元
9．（3分）若用如图①这样一副七巧板，拼成图②的图案，若七巧板面积为16，则图②中阴影部分的面积是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（3分）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝4，CK＝6．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM均为正方形，且它们的面积之和为100，则重叠部分长方形LFKD的面积为（ ）
A．40 B．48 C．42 D．50
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：2﹣2+（﹣2023）0＝ ．
12．（3分）如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是 ．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝65°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，交BC于点D，连接AD，则∠DAC的度数为 ．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE为△ABD的中线，若AB＝8，CD＝2，则△DBE的面积为 ．
15．（3分）如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠A＝100°，点D是AB边上的固定点，在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与AC边平行时，∠BDE的度数为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：[（3x+y）（3x﹣y）+（x﹣y）2+2x（x﹣2y）]÷（2x），其中x＝2，y＝4．
17．（8分）如图，已知在△ABC中，∠A＝70°．
（1）分别作∠B，∠C的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当∠B＝60°时，∠BOC的度数为 ．
（3）当∠B＝α时，∠BOC的度数为 ．
18．（10分）如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，试说明∠3＝∠E．
证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（ ）
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行），
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（ ），
∴CD∥EF（ ），
∴∠3＝∠E（ ）．
19．（9分）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题．
（1）格点△ABC（顶点均在格点上）的面积＝ ；
（2）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1；
（3）在DE上画出点P，使PB+PC最小．
20．（9分）小明想知道一堵墙上点A到地面的高度AO，AO⊥OD，但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由．
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠OCD＝∠ABO，标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量 的长度，即为点A到地面的高度AO．
请说明小明这样测量的理由．
21．（9分）如图，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．
两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的规则从下面两种中选一种：
（1）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；
（2）猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”．
如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由．
22．（10分）图①长方形ABCD，AD＝24cm，点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D的路线以每秒3cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动．图②是点P出发x秒时，△APD的面积S（cm2）与时间x（s）的关系图象．
（1）在上述变化过程中，自变量是 ，因变量是 ；根据题目提供的信息，可得a＝ ，b＝ ；
（2）点P在DC上运动时，PD的长度y（cm）与点P运动时间x（s）的关系式 ；
（3）点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的？
23．（12分）（1）问题发现
如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是 ，与线段AD相等的线段是 ；
（2）拓展探究
如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．求证：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升
如图3，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE＝4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB＝30°时，请直接写出CD的长度．
2022-2023学年河南省实验中学七年级（下）期末数学试卷
（参考答案）
一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列四个汉字是轴对称图形的是（ ）
A．实 B．验 C．中 D．学
【解答】解：选项C汉字能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
选项A、B、D的汉字不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
故选：C．
2．（3分）经过多年的努力，我国在光刻机研发上已经取得了重大突破，前段时间上海微电子已经宣布成功研发出0.000000028米光刻机，这对于我国芯片制造业来说是一个非常振奋人心的消息．则数据“0.000000028”用科学记数法表示是（ ）
A．2.8×10﹣8 B．2.8×10﹣9 C．28×10﹣9 D．2.8×10﹣10
【解答】解：0.000000028＝2.8×10﹣8．
故选：A．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．4a+3b＝7ab B．（﹣b2）5＝b10
C．2x•3x3＝6x4 D．（m﹣n）2＝m2﹣n2
【解答】解：A、4a与3b不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、（﹣b2）5＝﹣b10，故B不符合题意；
C、2x•3x3＝6x4，故C符合题意；
D、（m﹣n）2＝m2﹣2mn+n2，故D不符合题意；
故选：C．
4．（3分）如图，a∥b，c∥d，∠1＝49°，则∠2 的度数为（ ）
A．141° B．131° C．149° D．139°
【解答】解：如图，
∵a∥b，c∥d，
∴∠3＝∠1，∠2+∠3＝180°，
∵∠1＝49°，
∴∠3＝49°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝131°．
故选：B．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．“翻开七年级下册数学课本，恰好是第62页”是不可能事件
B．某学生投篮5次，投中1次，则可断定他投篮命中的概率一定为20%
C．投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数一定是5000次
D．“从一副扑克牌中抽一张，恰好是大王”是随机事件
【解答】解：A、“翻开七年级下册数学课本，恰好是第62页”是随机事件，故本选项不符合题意；
B、某学生投篮5次，投中1次，则不能断定他投篮命中的概率一定为20%，故本选项不符合题意；
C、投掷一枚质地均匀的硬币10000次，正面朝上的次数不一定是5000次，故本选项不符合题意；
D、“从一副扑克牌中抽一张，恰好是大王”是随机事件，故本选项符合题意；
故选：D．
6．（3分）若a2﹣2a＝0，那么代数式（a+1）（a﹣1）﹣2a的值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．0
【解答】解：由题意，（a+1）（a﹣1）﹣2a＝a2﹣1﹣2a＝a2﹣2a﹣1．
∵a2﹣2a＝0，
∴（a+1）（a﹣1）﹣2a＝0﹣1＝﹣1．
故选：B．
7．（3分）如果三角形的两边长分别为3和6，那么这个三角形的周长可能是（ ）
A．10 B．12 C．16 D．18
【解答】解：∵三角形的两边长分别为3和6，
∴第三边x的长度范围是6﹣3＜x＜6+3，即3＜x＜9，
∴这个三角形的周长a范围是3+6+3＜a＜3+6+9，即12＜a＜18，
故选：C．
8．（3分）郑州的宇通公交车数量位列全国之首．某线路一辆公交车每月的乘车人数x（人）与每月利润（每月利润＝每月票款收入﹣每月支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的票价固定不变）．以下说法错误的是（ ）
x（人）
…
1000
2000
3000
4000
5000
…
y（元）
…
﹣3000
﹣1000
1000
3000
5000
…
A．在变化过程中，自变量是每月乘车人数
B．在变化过程中，每月的利润是因变量
C．若当月乘客达到2500人时，该公交车不会亏损
D．若当月乘客达到6000人时，该公交车盈利6000元
【解答】解：A、由表格知，每月的利润y随着每月的乘车的人数x发生变化，自变量是每月乘车人数，故A正确，不符合题意；
B、由表格知，每月的利润y随着每月的乘车的人数x发生变化，因变量是每月利润，故B正确，不符合题意；
C、由表格分析知，当每月乘客的达到2500人时，y＝0该公交车不会亏损，故C正确，不符合意意；
D、由表格分析知，当每月乘客达到6000人时，该公交车利润为7000元，故D错误，符合题意；
故选：D．
9．（3分）若用如图①这样一副七巧板，拼成图②的图案，若七巧板面积为16，则图②中阴影部分的面积是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【解答】解：设①中小正方形的边长为a，
则大正方形的面积为4××2a•2a＝8a²＝16，
∴a²＝2，
∴②中阴影部分的面积为×2a•2a+a²+2××2a•2a﹣a（2a+4a）＝a²＝7，
故选：A．
10．（3分）如图，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝4，CK＝6．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM均为正方形，且它们的面积之和为100，则重叠部分长方形LFKD的面积为（ ）
A．40 B．48 C．42 D．50
【解答】解：设LD＝x，DK＝y，
∵四边形ELDN和四边形DKGM为正方形，
∴DN＝LD＝x，DM＝DK＝y，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，
∵AD＝AL+LD，CD＝CK+DK，
∴AL+LD＝CK+DK，
∵AL＝4，CK＝6，
∴4+x＝6+y，
∴x＝y+2，
∵正方形ELDN和正方形DKGM的面积之和为100，
∴x2+y2＝100，
将x＝y+2代入x2+y2＝100中，得：
（y+2）2+y2＝100，
解得：y＝6或y＝﹣8（舍），
∴x＝y+2＝8，
∴DL＝8，DK＝6，
∴重叠部分长方形LFKD的面积＝DL•DK＝8×6＝48．
故选：B．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：2﹣2+（﹣2023）0＝ ．
【解答】解：原式＝+1
＝．
故答案为：．
12．（3分）如图所示，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的依据是 三角形具有稳定性 ．
【解答】解：人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
13．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝65°．分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线EF，交BC于点D，连接AD，则∠DAC的度数为 25° ．
【解答】解：由作图可知DF垂直平分线段AC，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C，
∵∠BAC＝90°，∠B＝65°，
∴∠C＝90°﹣∠B＝90°﹣65°＝25°，
∴∠DAC＝25°．
故答案为：25°．
14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE为△ABD的中线，若AB＝8，CD＝2，则△DBE的面积为 4 ．
【解答】解：过点D作DH⊥AB于点H，
∵AD平分∠BAC，DH⊥AB，∠C＝90°，
∴DH＝CD＝2，
∵DE为△ABD的中线，
∴，
∴．
故答案为：4．
15．（3分）如图，有一张三角形纸片ABC，∠B＝32°，∠A＝100°，点D是AB边上的固定点，在BC上找一点E，将纸片沿DE折叠（DE为折痕），点B落在点F处，当EF与AC边平行时，∠BDE的度数为 124° ．
【解答】解：∵EF∥AC，
∴∠BEF＝∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣100°﹣32°＝48°．
∵∠BED＝∠BEF＝×48°＝24°，
∴∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED＝180°﹣32°﹣24°＝124°．
故答案为：124°．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（8分）先化简，再求值：[（3x+y）（3x﹣y）+（x﹣y）2+2x（x﹣2y）]÷（2x），其中x＝2，y＝4．
【解答】解：原式＝[（9x2﹣y2）+（x2﹣2xy+y2）+（2x2﹣4xy）]÷（2x）
＝（9x2﹣y2+x2﹣2xy+y2+2x2﹣4xy）÷（2x）
＝（12x2﹣6xy）÷（2x）
＝6x﹣3y，
当x＝2，y＝4时，
原式＝12﹣12＝0．
17．（8分）如图，已知在△ABC中，∠A＝70°．
（1）分别作∠B，∠C的平分线，它们交于点O（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）当∠B＝60°时，∠BOC的度数为 120° ．
（3）当∠B＝α时，∠BOC的度数为 90°+α ．
【解答】解：（1）图形如图所示：
（2）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝120°，
∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠CB）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°．
故答案为：120°；
（3）∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，
∵BO平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝∠ABC+∠ACB＝（∠ABC+∠CB）＝90°﹣α，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+α．
故答案为：90°+α．
18．（10分）如图，AB⊥BF，CD⊥BF，∠1＝∠2，试说明∠3＝∠E．
证明：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（ 垂直的定义 ）
∴ AB ∥ CD （同位角相等，两直线平行），
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（ 内错角相等，两直线平行 ），
∴CD∥EF（ 平行于同一直线的两直线平行 ），
∴∠3＝∠E（ 两直线平行，同位角相等 ）．
【解答】解：∵AB⊥BF，CD⊥BF（已知），
∴∠ABD＝∠CDF＝90°（垂直的定义），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∵∠1＝∠2（已知），
∴AB∥EF（内错角相等，两直线平行），
∴CD∥EF（平行于同一直线的两直线平行），
∴∠3＝∠E（两直线平行，同位角相等），
故答案为：垂直的定义；AB；CD；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等．
19．（9分）如图，在所给正方形网格（每个小网格的边长是1）图中完成下列各题．
（1）格点△ABC（顶点均在格点上）的面积＝ 5 ；
（2）画出格点△ABC关于直线DE对称的△A1B1C1；
（3）在DE上画出点P，使PB+PC最小．
【解答】解：（1）S△ABC＝4×4﹣×4×2﹣×2×1﹣×4×3＝5；故答案为：5；
（2）所作图形如图所示：
（3）如图所示：
20．（9分）小明想知道一堵墙上点A到地面的高度AO，AO⊥OD，但又没有直接测量的工具，于是设计了下面的方案，请你先补全方案，再说明理由．
第一步：找一根长度大于OA的直杆，使直杆靠在墙上，且顶端与点A重合，记下直杆与地面的夹角∠ABO；
第二步：使直杆顶端竖直缓慢下滑，直到∠OCD＝∠ABO，标记此时直杆的底端点D；
第三步：测量 OD 的长度，即为点A到地面的高度AO．
请说明小明这样测量的理由．
【解答】解：OD；
理由：在△AOB与△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OA＝OD．
故答案为：OD．
21．（9分）如图，一个均匀的转盘被平均分成10等份，分别标有1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这10个数字．转动转盘，当转盘停止后，指针指向的数字即为转出的数字．
两人参与游戏：一人转动转盘，另一人猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则猜数的人获胜，否则转动转盘的人获胜．猜数的规则从下面两种中选一种：
（1）猜“是3的倍数”或“不是3的倍数”；
（2）猜“是大于6的数”或“不是大于6的数”．
如果轮到你猜数，那么为了尽可能获胜，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？请说明理由．
【解答】解：（1）共有10种等可能出现的结果数，其中“是3的倍数”的有3种，“不是3的倍数”的7种，因此“是3的倍数”可能性是30%，“不是3的倍数”的可能性是70%，
（2）共有10种等可能出现的结果数，其中“是大于6的数”的有4种，“不是大于6的数”的有6种，因此“是大于6的数”可能性是40%，“不是大于6的数”的可能性是60%，
因此，猜数者选择“不是3的倍数”，这样获胜的可能性为70%，获胜的可能性最大．
22．（10分）图①长方形ABCD，AD＝24cm，点P从点A出发，沿A﹣B﹣C﹣D的路线以每秒3cm的速度匀速运动，到达点D时停止运动．图②是点P出发x秒时，△APD的面积S（cm2）与时间x（s）的关系图象．
（1）在上述变化过程中，自变量是 时间x（s） ，因变量是 △APD的面积S（cm2） ；根据题目提供的信息，可得a＝ 360 ，b＝ 18 ；
（2）点P在DC上运动时，PD的长度y（cm）与点P运动时间x（s）的关系式 y＝﹣3x+108 ；
（3）点P出发几秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的？
【解答】解：（1）根据函数的图象得：自变量是时间x（s），因变量是△APD的面积S（cm2），
由函数的图象可知：点P从点A运动到点B用时10s，
∵点P的运动速度为每秒3cm，
∴运动的路程AB＝3×10＝30（cm），
∵AD＝24cm，
当点P到达点B时，（cm2），
∴a＝360，
∵四边形ABCD为长方形，
∴BC＝AD＝24（cm），
∴点P从点B运动到点C所用的时间为：24÷3＝8（s），
∴点P从点A→B→C所用的时间为：10+8＝18（s），
∴b＝18．
故答案为：时间x（s），△APD的面积S（cm2），360，18．
（2）当点P在CD上运动时，运动的路程为：3x （cm），
依题意得：AB+BC+CP＝3x，
即：30+24+CP＝3x，
∴CP＝3x﹣54，
∴PD＝CD﹣CP＝30﹣（3x﹣54）＝﹣3x+84，
∴PD的长度y（cm）与点P运动时间x（s）的关系式为：y＝﹣3x+84，
故答案为：y＝﹣3x+108，
（3）∵点P在BC上运动时，△APD的面积S保持不变，此时S＝360（cm2），
∴当△APD的面积是长方形ABCD面积的时，点P在AB上运动或在CD上运动；
①当点P在AB上运动时，运动的路程AP＝3x（cm），其中0＜x≤10，
∴，S长方形ABCD＝AD•AB＝720cm2，
∴依题意得：，
解得：x＝5，
即：点P出发5秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的．
②当点P在CD上运动时，由（2）可知：PD＝y＝﹣3x+108，其中18≤x≤28，
∴，
依题意得：，
解得：x＝23，
即：点P出发23秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的．
综上所述：点P出发5秒或23秒时，△APD的面积是长方形ABCD面积的．
23．（12分）（1）问题发现
如图1，把一块三角板（AB＝BC，∠ABC＝90°）放入一个“U”形槽中，使三角形的三个顶点A、B、C分别在槽的两壁及底边上滑动，已知∠D＝∠E＝90°，在滑动过程中，发现与∠DAB始终相等的角是 ∠EBC ，与线段AD相等的线段是 BE ；
（2）拓展探究
如图2，在△ABC中，点D在边BC上，并且DA＝DE，∠B＝∠ADE＝∠C．求证：△ADB≌△DEC．
（3）能力提升
如图3，在等边△DEF中，A，C分别为DE、DF边上的点，AE＝4，连接AC，以AC为边在△DEF内作等边△ABC，连接BF，当∠CFB＝30°时，请直接写出CD的长度．
【解答】（1）解：∵∠D＝∠ABC＝90°，
∴∠DAB+∠ABD＝90°，∠ABD+∠EBC＝90°，
∴∠BAD＝∠EBC，
在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（AAS），
∴AD＝BE，
故答案为：∠EBC；BE；
（2）证明：∵∠ADC＝∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE，
∴∠CDE＝∠BAD，
在△ADB和△DEC中，
，
∴△ADB≌△DEC（AAS）；
（3）解：如图3，过点B作BM∥EF交DF于点M，
∵△DEF、△ABC是等边三角形，
∴DE＝DF，AC＝BC，∠D＝∠DFE＝∠ACB＝60°，
∵∠CFB＝30°，BM∥EF，
∴∠BFE＝60°﹣30°＝30°＝∠MBF，
∴∠MBF＝∠CFB，∠CMB＝∠MBF+∠CFB＝60°，
∴BM＝FM，
∵∠D＝∠ACB＝60°，
∴∠DAC+∠ACD＝120°，∠ACD+∠BCM＝120°，
∴∠DAC＝∠BCM，
在△ACD和△CBM中，
，
∴△ACD≌△CBM（AAS），
∴CD＝BM＝FM，AD＝CM，
∴DF＝CD+CM+FM＝2CD+CM＝2CD+AD，
∵DE＝AD+AE＝DF，
∴AE＝2CD，
∵AE＝4，
∴CD＝2．
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